高中數(shù)學(xué)課堂講義-隨機(jī)事件與概率：事件的相互獨(dú)立性

高中數(shù)學(xué)課堂講義一隨機(jī)事件與概率:事件的相互獨(dú)

立性

目錄

1.教學(xué)大綱....................................................................1

2.知識(shí)點(diǎn)事件的相互獨(dú)立性...................................................1

3.相互獨(dú)立事件的判斷.........................................................2

4.相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算.....................................................4

5.相互獨(dú)立事件概率的實(shí)際應(yīng)用.................................................5

6.不同賽制的可行性探究.......................................................7

7.課堂作業(yè)....................................................................9

1.教學(xué)大綱

新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)

1.結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件相互獨(dú)

數(shù)學(xué)抽象

立的含義

2.結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算積事件的概率數(shù)學(xué)運(yùn)算

3張獎(jiǎng)券只有1張能中獎(jiǎng)，3名同學(xué)有放回地抽取.事件A為“第一名同學(xué)

沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”，事件B為“第三名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”.

［問(wèn)題］(1)上述問(wèn)題中事件A的發(fā)生是否會(huì)影響B(tài)發(fā)生的概率？

(2)互斥事件與相互獨(dú)立事件有什么區(qū)別？

2.知識(shí)點(diǎn)事件的相互獨(dú)立性

1.相互獨(dú)立事件的定義

對(duì)任意兩個(gè)事件A與3,如果P(A8)=P(A)P(B)成立,則稱事件A與事件B

相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.

2.相互獨(dú)立事件的性質(zhì)

當(dāng)事件A,8相互獨(dú)立時(shí)，事件A與事件方相互獨(dú)立,事件了與事件8相

互獨(dú)立,事件X與事件下相互獨(dú)立.

第1頁(yè)共18頁(yè)

兩個(gè)事件獨(dú)立與互斥的區(qū)別

兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)

事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響.

一般地，兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立，因?yàn)榛コ馐录豢赡芡瑫r(shí)發(fā)

生，而相互獨(dú)立事件是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提.

0想一想

若事件A與8相互獨(dú)立，那么A與力，了與8,了與方相互獨(dú)立嗎？

提示：相互獨(dú)立.

0做一做

1.判斷正誤.(正確的畫“，錯(cuò)誤的畫“義”)

(1)不可能事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立.()

(2)必然事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立.()

(3)若兩個(gè)事件互斥，則這兩個(gè)事件相互獨(dú)立.()

答案：(1)V(2)V(3)X

2.甲、乙兩人參加“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩人能榮獲

一等獎(jiǎng)的概率分別為］2和3本甲、乙兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這兩個(gè)人

中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為()

「5r5

C7Dl2

解析：選D根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎(jiǎng)即甲獲得乙沒(méi)有獲得或甲沒(méi)

有獲得乙獲得，則所求概率是—號(hào))=卷，故選D.

3.甲、乙兩水文站同時(shí)作水文預(yù)報(bào)，如果甲站、乙站各自預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為

0.8和0.7.那么，在一次預(yù)報(bào)中，甲、乙兩站預(yù)報(bào)都準(zhǔn)確的概率為.

解析：由題意知，兩水文站水文預(yù)報(bào)相互獨(dú)立，故在一次預(yù)報(bào)中甲、乙兩

站預(yù)報(bào)都準(zhǔn)確的概率為0.8X0.7=0.56.

答案：0.56

3.相互獨(dú)立事件的判斷

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［例1］(鏈接教科書第248頁(yè)例1)判斷下列各對(duì)事件是不是相互獨(dú)立事件：

(1)容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球，“從8個(gè)球中任意取出1個(gè),

取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白球”；

(2)擲一枚骰子一次，”出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”.

［解］(1)''從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”的概率為若這一

O

事件發(fā)生了，則''從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的仍是白球”的概率

為生若前一事件沒(méi)有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為*可見(jiàn)，前一事件是否發(fā)

生，對(duì)后一事件發(fā)生的概率有影響，所以兩者不是相互獨(dú)立事件.

(2)記4=”出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)"，B="出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”，則4={2,4,6},B

={3,6},AB={6},

31211

所以P(A)=d=］,P(8)=d=1,P(A3)=d，

所以P(AB)=P(A)P(B),

所以事件A與B相互獨(dú)立.

兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的判斷

(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響；

(2)定義法：如果事件A,8同時(shí)發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件5

發(fā)生的概率的積，則事件A,8為相互獨(dú)立事件.

［跟蹤訓(xùn)練］

從52張撲克牌(不含大小王)中任抽一張，記事件A為“抽得K”，記事件

B為“抽得紅牌”，記事件。為“抽到J”.判斷下列每對(duì)事件是否相互獨(dú)立？

為什么？

(1)A與B；(2)C與A.

解：(1)尸(4)=今=卡，P(fi)=52=2,

事件A3即為“既抽得K又抽得紅牌”，亦即“抽得紅桃K或方塊K”，

21

故尸(48)=豆=而，從而有P(A)P(B)=P(AB),因此事件A與8相互獨(dú)立.

(2)事件A與事件C是互斥的，因此事件A與C不是相互獨(dú)立事件.

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4.相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算

［例2］(鏈接教科書第248頁(yè)例2)甲、乙兩個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們

能譯出密碼的概率分別為導(dǎo)色求：

(1)兩個(gè)人都譯出密碼的概率；

(2)求至少1個(gè)人譯出密碼的概率；

(3)恰有1個(gè)人譯出密碼的概率.

［解］記“甲獨(dú)立她譯出密碼”為事件A,“乙獨(dú)立地譯出密碼”為事件B,

A,B為相互獨(dú)立事件，且P(A)=g,P(B)=".

⑴兩個(gè)人都譯出密碼的概率為尸(AB)=P(A>P⑻=(X；=*.

(2)“至少有1個(gè)人譯出密碼”的對(duì)立事件為“兩個(gè)人都未譯出密碼”，所

————23

以至少有1個(gè)人譯出密碼的概率為1-P(AB)=1-P(A)P(B)=］--XJ=

1

2,

(3)恰有1個(gè)人譯出密碼可以分為兩類，即甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙

譯出，且兩個(gè)事件為互斥事件，所以恰有1個(gè)人譯出密碼的概率為

————一——一1(n

P(ABUA8)=尸(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)尸(5)=爐11一/+

［母題探究］

1.(變?cè)O(shè)問(wèn))若本例條件不變，求兩個(gè)人都譯不出密碼的概率.

解：兩個(gè)人都譯不出密碼的概率為

尸(AB)=P(A)P(B)=［1-W)M1一砌=(L；)x(l—

2.(變?cè)O(shè)問(wèn))若本例條件不變，求至多1個(gè)人譯出密碼的概率.

解：“至多1個(gè)人譯出密碼”的對(duì)立事件為“兩個(gè)人都譯出密碼”，所以

至多1個(gè)人譯出密碼的概率為1—P(AB)=1—P(A)P(B)=1—

第4頁(yè)共18頁(yè)

1.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟

(1)首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；

(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；

(3)求出每個(gè)事件的概率，再求積.

2.使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件,

即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，而且它們可同時(shí)發(fā)生.

［跟蹤訓(xùn)練］

甲、乙、丙3位大學(xué)生同時(shí)應(yīng)聘某個(gè)用人單位的職位，3人能被選中的概率

分別為32i3r1且各自能否被選中互不影響.求：

(1)3人同時(shí)被選中的概率；

(2)3人中恰有1人被選中的概率.

23

解：記甲、乙、丙能被選中的事件分別為A,B,C,則P(A)=§,尸⑻=：,

P(Q=/

2311

(1)3人同時(shí)被選中的概率P]=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=5X4X3=：T6,

______________?

(2)3人中恰有1人被選中的概率尸2=P(A3CUABCUABC)=^X

5.相互獨(dú)立事件概率的實(shí)際應(yīng)用

［例3］(鏈接教科書第249頁(yè)例3)

Ti

-II———

三個(gè)元件7L72,73正常工作的概率分別為1點(diǎn)水3水3將它們中的某兩個(gè)元

件并聯(lián)后再和第三個(gè)元件串聯(lián)接入電路，如圖所示，求電路不發(fā)生故障的概率.

［解］記”三個(gè)元件小，72,73正常工作”分別為事件4,A2,A3,則尸(4)

133

=1,P(A2)=4，尸(A3)=a.

第5頁(yè)共18頁(yè)

不發(fā)生故障的事件為(A2UA3)4,

則不發(fā)生故障的概率為

P=P[(/2U4)4]

=P(A2UA3>P(AI)

=[1-P(T2)-P(T3)]-P(AI)

一C4X4jX2-32-

求較復(fù)雜事件的概率的方法

(i)列出題中涉及的各事件，并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示；

(2)厘清事件之間的關(guān)系(兩事件是互斥還是對(duì)立，或者是相互獨(dú)立)，列出關(guān)

系式；

(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算；

(4)當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可先間接地計(jì)算對(duì)立事件

的概率，再求出符合條件的事件的概率.

[跟蹤訓(xùn)練]

某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一

輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問(wèn)題的

概率分別為4點(diǎn)§3§251,且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響.

(1)求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率；

(2)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率.

解：記”該選手能正確回答第i輪的問(wèn)題”的事件為4(i=l,2,3,4),則P(Ai)

=1,P<2)=|,P(43)=|,P(A4)=1.

(1)”該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰”記為事件B,P(B)=P(y4iA2A3T4)=

P(4)P(A2)P(A3)P(A4)Xm義5義(1一寸=耐.

(2)“該選手至多進(jìn)入第三輪考核”記為事件C

法一：P(O=p(TiuAiT2uA1A2T3)=P(T1)+P(AI)P(72)+

第6頁(yè)共18頁(yè)

——14_101

P(4)P(A2)P(A3)=g+§X-l25,

4321

法二：”該選手進(jìn)入第四輪沒(méi)有被淘汰”記為事件。，則

_24

=625-

因?yàn)?。與8UO為對(duì)立事件，B與。為互斥事件，所以P(O=1-P(5UO)

9624101

=1—P(B)—P(0=1-625-625=125-

6.不同賽制的可行性探究

乒乓球比賽規(guī)則如下：

在一局比賽中，先得11分的一方為勝方，10分平后，先多得2分的一方為

勝方；一場(chǎng)比賽應(yīng)采用奇數(shù)局，如三局兩勝制、五局三勝制等；

一場(chǎng)比賽應(yīng)連續(xù)進(jìn)行，但在局與局之間，任何一方運(yùn)動(dòng)員都有權(quán)要求不超

過(guò)1分鐘的休息時(shí)間.

某校要通過(guò)選拔賽選取一名學(xué)生參加市級(jí)乒乓球單打比賽，選拔賽采取淘

汰制，敗者直接出局.現(xiàn)有兩種賽制方案：三局兩勝制和五局三勝制.

［問(wèn)題探究］

1.若甲、乙對(duì)決，甲每局獲勝的概率為0.6,現(xiàn)采用三局兩勝制，則這場(chǎng)

比賽中甲獲勝的概率是多少？

提示：甲、乙兩人對(duì)決，甲每局獲勝的概率為0.6,采用三局兩勝制時(shí)，甲

獲勝，其勝局情況是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.而這三種結(jié)局互

不影響，于是由獨(dú)立事件的概率公式，得甲最終獲勝的概率為PI=0.62+2X0.62

X(1-0.6)=0.648.

2.若甲、乙對(duì)決，甲每局獲勝的概率為0.6,現(xiàn)采用五局三勝制，則這場(chǎng)

比賽中甲獲勝的概率是多少？

提示：甲、乙兩人對(duì)決，甲每局獲勝的概率為0.6,采用五局三勝制，若甲

最終獲勝，至少需比賽3局，且最后一局必須是甲勝，而前面甲需勝兩局，由

33

獨(dú)立事件的概率公式，得五局三勝制下甲最終獲勝的概率為P2=0.6+3X0,6

X(1-0.6)+6X0.63X(1-0.6)2=0.68256.

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3.兩選手對(duì)決時(shí)，選擇何種賽制更有利于選拔出實(shí)力最強(qiáng)的選手，并說(shuō)明

理由.(各局勝負(fù)相互獨(dú)立，各選手水平互不相同)

提示：甲、乙兩人對(duì)決，若甲更強(qiáng)，則其獲勝的概率p>；.采用三局兩勝制

時(shí)，若甲最終獲勝，其勝局情況是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.而

這三種結(jié)局互不影響，于是得甲最終獲勝的概率為P3=p2+2〃2(l—p).

采用五局三勝制，若甲最終獲勝，則至少需比賽3局，且最后一局必須是

甲勝，而前面甲需勝兩局，由此得五局三勝制下甲最終獲勝的概率為P4=p3+

3P3(1—p)+6p3(l—p)2.而P4—P3=p2(6p3—15P2+12p-3)=3P2(p—1)2(2p—1).

因?yàn)镻>3，所以24>P3,即五局三勝制下甲最終獲勝的可能性更大.

所以五局三勝制更能選拔出最強(qiáng)的選手.

［遷移應(yīng)用］

(2020?全國(guó)卷I)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：

累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每

場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰;

當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲

勝，比賽結(jié)束.

經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為去

(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率；

(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；

(3)求丙最終獲勝的概率.

解：⑴甲連勝四場(chǎng)的概率為七

(2)根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽，

至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽.

比賽四場(chǎng)結(jié)束，共有三種情況：

甲連勝四場(chǎng)的概率為上；

乙連勝四場(chǎng)的概率為上

第8頁(yè)共18頁(yè)

丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為

O

所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為

,1113

1161684,

(3)丙最終獲勝，有兩種情況：

比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為J；

O

比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場(chǎng)開始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝、負(fù)、

輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為白，

10OO

因此丙最終獲勝的概率為"點(diǎn)+2+卜看

7.課堂作業(yè)

1.如圖，在兩個(gè)圓盤中，指針落在本圓盤每個(gè)數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會(huì)均等，那

么兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是()

C.1D.g

42

解析：選A左邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率為]=東右邊圓盤指針落

2224

在奇數(shù)區(qū)域的概率也為則兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)區(qū)域的概率為1><]=§.

2.兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為哥哈兩個(gè)

零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為

()

第9頁(yè)共18頁(yè)

11

c-D

46-

解析：選B恰有一4s—品即有一^個(gè)是一^品、一個(gè)不是一^品，故所

求概率為|x(l-翥+(1-|區(qū)=2+川=1+觸總故選B.

3.某單位對(duì)應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生進(jìn)行“創(chuàng)業(yè)扶持”，若甲、乙兩人獲得扶持資

金的概率分別為2爭(zhēng)咤3兩人是否獲得扶持資金相互獨(dú)立，則這兩人中至少有一

人獲得扶持資金的概率為()

22

A記B5

T屋

。25u15

22332

解析：選c兩人中至少有一人獲得扶持資金的概率為P=5X5+]X]+5

v3_j9

X5-25,

4.周老師上數(shù)學(xué)課時(shí)，給班里同學(xué)出了兩道選擇題，她預(yù)估做對(duì)第一道題

的概率為0.80,做對(duì)兩道題的概率為0.60,則預(yù)估做對(duì)第二道題的概率是()

A.0.80B.0.75

C.0.60D.0.48

解析：選B設(shè)“做對(duì)第一道題”為事件A,“做對(duì)第二道題”為事件8,

則尸(A8)=P(A)P(B)=0.8XP(B)=0.6,故P(B)=0.75.故選B.

12—

5.已知A,B是相互獨(dú)立事件，且P(A)=1,P(3)=1,則P(AB)=,

P(AB)=.

解析：???A,8是相互獨(dú)立事件，

...A與石，了與方也是相互獨(dú)立事件.

又?.?尸(A)=,P(B)=|,

—1—21

故P(A)=,P(B)=l-3=3,

——111

，P(AB)=P(A)P(B)=2X3=6J

第10頁(yè)共18頁(yè)

-------——111

P（AB）=P（A）P（5）=2X3=6.

答案.I

[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]

1.社區(qū)開展“建軍90周年主題活動(dòng)——軍事知識(shí)競(jìng)賽”，甲、乙兩人能

榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為各埠兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這兩人中至

少有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為（）

,3-2

A-5B15

J5u15

解析：選c由題意可知，甲、乙兩人都不能獲得一等獎(jiǎng)的概率為（i一|）x

H2213

故這兩人中至少有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為.故選

=TIJ7,1X—J.1JC.

2.在某道路A,B,C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的

時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒.某輛車在這條道路上勻速行駛，則三處都不

停車的概率為（）

A7口25

A-64B192

C叵D正

J92口576

573

解析：選C由題意可知，每個(gè)交通燈開放綠燈的概率分別為方，右，

.57335

在這條道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為方

L4JL乙t1374

3.從甲袋中摸出1個(gè)白球的概率為小從乙袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率是多

從兩個(gè)袋內(nèi)各摸1個(gè)球，那么概率為焉的事件是（）

A.2個(gè)球都是白球B.2個(gè)球都不是白球

C.2個(gè)球不都是白球D.2個(gè)球恰好有1個(gè)白球

解析：選C從甲袋內(nèi)摸出白球與從乙袋內(nèi)摸出白球兩事件相互獨(dú)立，故

第11頁(yè)共18頁(yè)

兩個(gè)球都是白球的概率為Pi=1x1=^,

，兩個(gè)球不都是白球的概率為P=1-P1=7.

4.設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件A和3都不發(fā)生的概率為"，A發(fā)生8不發(fā)生的概率與

8發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率P(A)等于()

A2b±

入9D18

C.1D.1

解析：選D由題意，PCA)-P(~B)=^,

P(A)P(B)=P(A>P(石).

設(shè)P(A)=x,P(B)=y,

(l-x)(l-y)=x,

貝9

。一元)y=x(l-y),

,1

即LL>+町=§,

尸y.

/.x2—2x+1=/,

1=一；或1=；(舍去)，

,.尤3.

5.分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第1枚為正面”為事件A,“第2

枚為正面”為事件8,“2枚結(jié)果相同”為事件C,有下列三個(gè)命題：

①事件A與事件B相互獨(dú)立；

②事件8與事件C相互獨(dú)立；

③事件C與事件A相互獨(dú)立.

以上命題中，正確的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1

第12頁(yè)共18頁(yè)

C.2D.3

解析：選DP(A)=2,P(B)=],P(C)=2,

P(AB)=P(AC)=P(BC)=不

因?yàn)槭?A3)=1=P(A)P(B),所以A,B相互獨(dú)立；

因?yàn)镻(AC)="=尸(A)尸(0,所以A,。相互獨(dú)立；

因?yàn)槭?BC)=；=P(3)P(C),所以8,。相互獨(dú)立.

6.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9,在兩批種子中各取一粒，

則恰有一粒種子能發(fā)芽的概率是.

解析：所求概率P=0.8X0.1+0.2X0.9=0.26.

答案：0.26

7.在一次三人象棋對(duì)抗賽中，甲勝乙的概率為0.4,乙勝丙的概率為0.5,

丙勝甲的概率為0.6,比賽順序如下：第一局，甲對(duì)乙；第二局，第一局勝者對(duì)

丙；第三局，第二局勝者對(duì)第一局?jǐn)≌撸坏谒木?，第三局勝者?duì)第二局?jǐn)≌撸?/p>

則乙連勝四局的概率為.

解析：乙連勝四局，即乙先勝甲，然后勝丙，接著再勝甲，最后再勝丙，

二概率P=(l-0.4)X0.5X(1-0.4)X0.5=0.09.

答案：0.09

8.臺(tái)風(fēng)在危害人類的同時(shí)，也在保護(hù)人類.臺(tái)風(fēng)給人類送來(lái)了淡水資源，

大大緩解了全球水荒，另外還使世界各地冷熱保持相對(duì)均衡.甲、乙、丙三顆

衛(wèi)星同時(shí)監(jiān)測(cè)臺(tái)風(fēng)，在同一時(shí)刻，甲、乙、丙三顆衛(wèi)星準(zhǔn)確預(yù)報(bào)臺(tái)風(fēng)的概率分

別為0.8,0.7,0.9,各衛(wèi)星間相互獨(dú)立，則在同一時(shí)刻至少有兩顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)準(zhǔn)

確的概率是.

解析：設(shè)甲、乙、丙預(yù)報(bào)準(zhǔn)確依次記為事件A,B,C,不準(zhǔn)確記為事件了，

~B,~C,則P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P(A)=0.2,P(石)=0.3,P(~C)

=0.1,至少兩顆預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的事件有AB下，ABC,~ABC,ABC,這四個(gè)事件

兩兩互斥.

第13頁(yè)共18頁(yè)

至少兩顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABQ+

P(ABQ=0.8X0.7X0.1+0.8X0.3X0.9+0.2X0.7X0.9+0.8X0.7X0.9=0.056

+0.216+0.126+0.504=0.902.

答案：0.902

9.某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，假設(shè)撥過(guò)了

的號(hào)碼不再重復(fù)，試求下列事件的概率.

(1)第3次撥號(hào)才接通電話；

(2)撥號(hào)不超過(guò)3次而接通電話.

解：設(shè)4=｛第i次撥號(hào)接通電話｝,i=l,2,3.

(1)第3次才接通電話可表示為了IN2A3,

_______gQ11

于是所求概率為P(A1A2A3)=mXGXQ=R.

1Uyo1U

(2)撥號(hào)不超過(guò)3次而接通電話可表示為4+NIA2+NI72A3,由于事件

Ai,A1A2,AiA2A3兩兩互斥，

于是所求概率為P(Al+714+工1T2A3)

=P(4)+P(AIA2)+P(A.1A2A3)

10十109十1098IO-

10.甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員在一次2米跳高中成功的概率分別為0.7,0.6,

且每次試跳成功與否相互之間沒(méi)有影響，求：

(1)甲試跳三次，第三次才成功的概率；

(2)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率；

(3)甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率.

解：記“甲第i次試跳成功”為事件4,“乙第i次試跳成功”為事件3,

依題意得P(A,)=0.7,P(8)=0.6,且4,8相互獨(dú)立.

(1)“甲試跳三次，第三次才成功”為事件Xi了2A3,且這三次試跳相互獨(dú)

立.

所以P(~A1'AIA3)=P(~A2)P(A3)=0.3X0.3X0.7=0.063.

第14頁(yè)共18頁(yè)

(2)記“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件C,則P(C)=1

-P(Ai)P(-Bi)=l-0.3X0.4=0.88.

(3)記“甲在兩次試跳中成功/次”為事件M0=0,l,2),“乙在兩次試跳中

成功/次”為事件20=0,1,2),因?yàn)槭录?'甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次

數(shù)恰好多一次”可表示為MiNo+MWi,且MiNo,M2M為互斥事件，則所求的

概率為

P(MINO+M2NI)

=P(MiNo)+P(M2M)

=P(M)P(No)+P(M2)P(M)

=2X0.7X0.3X0.42+0.72X2X0.6X0.4

=0.0672+0.2352=0.3024.

所以甲、乙每人試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率為0.3024.

[B級(jí)綜合運(yùn)用]

11.如圖，已知電路中4個(gè)開關(guān)閉合的概率都是多且是互相獨(dú)立的，則燈

亮的概率為()

解析：選C記“A,B,C,。四個(gè)開關(guān)閉合”分別為事件A,B,C,D,

可用對(duì)立事件求解，圖中含開關(guān)的三條線路同時(shí)斷開的概率為P(三)P(萬(wàn))口一

11rli、3313

坳=5乂7、1—5X5=%?所以燈亮的概率為1—7=左?故選C.

22\ZZylololo

1——1——1

事件相互獨(dú)立，如果

12.A,B,CP(AB)=Q0P(BG0=Q,P(0ABC)=R

則P(B)=，P(TB)=.

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解析：?.?/W/)=P(AB)PG)=,a)=I

—31

.?.P(c)=不即尸(。=不

又p(萬(wàn)c)=p(石)P(o=(,

—11

.?.P(8)=2,P(B)=￡

又P(AB)=:,則P(A)=；,

：.P(AB)=PCA)P(B)=(1-3)X2=3

答案：||

13.在某校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，甲、乙、丙三支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽(即每?jī)申?duì)比賽

一場(chǎng))，共賽三場(chǎng)，每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒(méi)有平局.在每一場(chǎng)比

賽中，甲勝乙的概率為:，甲勝丙的概率為匕乙勝丙的概率為/

(1)甲隊(duì)獲第一名且丙隊(duì)獲第二名的概率為；

(2)在該次比賽中甲隊(duì)至少得3分的概率為.

解析：(1)設(shè)甲隊(duì)獲第一且丙隊(duì)獲第二為事件A,

則P(A)=gx3(L捫卷.

(2)甲隊(duì)至少得3分有兩種情況