四川省仁壽縣文宮中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高三上期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c2．已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示.則（）A． B．C． D．3．將3個黑球3個白球和1個紅球排成一排，各小球除了顏色以外其他屬性均相同，則相同顏色的小球不相鄰的排法共有（）A．14種 B．15種 C．16種 D．18種4．若復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A． B．2 C．3 D．6．已知拋物線：，點為上一點，過點作軸于點，又知點，則的最小值為（）A． B． C．3 D．57．?dāng)?shù)列滿足：，，，為其前n項和，則（）A．0 B．1 C．3 D．48．等比數(shù)列的前項和為，若，，，，則（）A． B． C． D．9．已知的展開式中的常數(shù)項為8，則實數(shù)（）A．2 B．-2 C．-3 D．310．若變量，滿足，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．1011．已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且，，為邊上的中線，若，則的面積為（）A． B． C． D．12．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在△ABC中，AB=AC=2，，，AE的延長線交BC邊于點F，若，則____.14．函數(shù)的極大值為________.15．如圖，四面體的一條棱長為，其余棱長均為1，記四面體的體積為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是____；最大值為____.16．過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知在處的切線與軸垂直，若方程有三個實數(shù)解、、（），求證：.18．（12分）根據(jù)國家統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù)，1978年至2018年我國GDP總量從0.37萬億元躍升至90萬億元，實際增長了242倍多，綜合國力大幅提升.將年份1978，1988，1998，2008，2018分別用1，2，3，4，5代替，并表示為；表示全國GDP總量，表中，.326.4741.90310209.7614.05（1）根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計圖表，判斷與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為全國GDP總量關(guān)于的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由），并求出關(guān)于的回歸方程.（2）使用參考數(shù)據(jù)，估計2020年的全國GDP總量.線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，.參考數(shù)據(jù)：45678的近似值551484031097298119．（12分）已知函數(shù).（1）討論的零點個數(shù)；（2）證明：當(dāng)時，.20．（12分）如圖1，在等腰中，，，分別為，的中點，為的中點，在線段上，且。將沿折起，使點到的位置（如圖2所示），且。（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，與曲線交于，兩點，求取得最大值時直線的直角坐標(biāo)方程.22．（10分）交通部門調(diào)查在高速公路上的平均車速情況，隨機抽查了60名家庭轎車駕駛員，統(tǒng)計其中有40名男性駕駛員，其中平均車速超過的有30人，不超過的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為，家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關(guān)；平均車速超過的人數(shù)平均車速不超過的人數(shù)合計男性駕駛員女性駕駛員合計（2）根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來估計總體，隨機調(diào)查3輛家庭轎車，記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過的人數(shù)為，假定抽取的結(jié)果相互獨立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：其中臨界值表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關(guān)系為b＞c＞a．故選：A．【點睛】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2、C【解析】

由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意，，即,解得；因為所以，當(dāng)時，.故選:C.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用,難度一般.3、D【解析】

采取分類計數(shù)和分步計數(shù)相結(jié)合的方法，分兩種情況具體討論，一種是黑白依次相間，一種是開始僅有兩個相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好，再插入紅球.情況1：黑球和白球按照黑白相間排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此時將紅球插入6個球組成的7個空中即可，因此共有2×7=14種；情況2：黑球或白球中僅有兩個相同顏色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此時紅球只能插入兩個相同顏色的球之中，共4種.綜上所述，共有14+4=18種.故選：D【點睛】本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用，插空法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題4、A【解析】

化簡復(fù)數(shù)，求得，得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)點的坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)z滿足，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為位于第一象限故選：A.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算，以及復(fù)數(shù)的幾何表示方法，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的表示方法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由奇函數(shù)定義求出和．【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，.又當(dāng)時，，.故選：A．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．6、C【解析】

由,再運用三點共線時和最小，即可求解.【詳解】.故選：C【點睛】本題考查拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵，注意拋物線的性質(zhì)的靈活運用，屬于中檔題．7、D【解析】

用去換中的n，得，相加即可找到數(shù)列的周期，再利用計算.【詳解】由已知，①，所以②，①+②，得，從而，數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且前6項分別為1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故選：D.【點睛】本題考查周期數(shù)列的應(yīng)用，在求時，先算出一個周期的和即，再將表示成即可，本題是一道中檔題.8、D【解析】試題分析：由于在等比數(shù)列中，由可得：，又因為，所以有：是方程的二實根，又，，所以，故解得：，從而公比；那么，故選D．考點：等比數(shù)列．9、A【解析】

先求的展開式，再分類分析中用哪一項與相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為展開式的常數(shù)項，從而求出的值.【詳解】展開式的通項為，當(dāng)取2時，常數(shù)項為，當(dāng)取時，常數(shù)項為由題知，則.故選：A.【點睛】本題考查了兩個二項式乘積的展開式中的系數(shù)問題，其中對所取的項要進(jìn)行分類討論，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可．【詳解】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：如圖點坐標(biāo)分別為，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為，可行域內(nèi)點與坐標(biāo)原點的距離的平方，由圖可知到原點的距離最大，故.故選：D【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．11、B【解析】

延長到，使，連接，則四邊形為平行四邊形，根據(jù)余弦定理可求出，進(jìn)而可得的面積.【詳解】解：延長到，使，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，，在中，則，得，.故選：B.【點睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查三角形面積公式的應(yīng)用，其中根據(jù)中線作出平行四邊形是關(guān)鍵，是中檔題.12、C【解析】

根據(jù)直線與圓相交，可求出k的取值范圍，根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因為圓心，半徑，直線與圓相交，所以，解得所以相交的概率,故選C.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，幾何概型，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

過點做,可得，，由可得，可得，代入可得答案.【詳解】解：如圖，過點做,易得：,,,故,可得：，同理：,,可得,,由，可得,可得：,可得：，,故答案為：.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算和平面向量的數(shù)量積，由題意作出是解題的關(guān)鍵.14、【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可容易求得函數(shù)的極大值.【詳解】依題意，得.所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以當(dāng)時，函數(shù)有極大值.故答案為：.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.15、(或?qū)懗?【解析】試題分析：設(shè)，取中點則,因此,所以，因為在單調(diào)遞增，最大值為所以單調(diào)增區(qū)間是，最大值為考點：函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)區(qū)間16、【解析】

根據(jù)與已知直線垂直關(guān)系，設(shè)出所求直線方程，將已知圓圓心坐標(biāo)代入，即可求解.【詳解】圓心為，所求直線與直線垂直，設(shè)為，圓心代入，可得，所以所求的直線方程為.故答案為：.【點睛】本題考查圓的方程、直線方程求法，注意直線垂直關(guān)系的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①當(dāng)時，在單調(diào)遞增,②當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為（2）證明見解析【解析】

（1）先求解導(dǎo)函數(shù)，然后對參數(shù)分類討論，分析出每種情況下函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）根據(jù)條件先求解出的值，然后構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系，由此證明出.【詳解】（1），①當(dāng)時，恒成立，則在單調(diào)遞增②當(dāng)時，令得，解得，又，∴∴當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.（2）依題意得，，則由（1）得，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴若方程有三個實數(shù)解，則法一：雙偏移法設(shè)，則∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，即∵，∴，其中，∵在上單調(diào)遞減，∴，即設(shè)，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，即∵，∴，其中，∵在上單調(diào)遞增，∴，即∴.法二：直接證明法∵，，在上單調(diào)遞增，∴要證，即證設(shè)，則∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴，∴，即（注意：若沒有證明，扣3分）關(guān)于的證明：（1）且時，（需要證明），其中∴∴∴（2）∵，∴∴，即∵，，∴，則∴【點睛】本題考查函數(shù)與倒導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較難.（1）對于含參函數(shù)單調(diào)性的分析，可通過分析參數(shù)的臨界值，由此分類討論函數(shù)單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常用方法：構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值，從而達(dá)到證明不等式的目的.18、（1），；（2）148萬億元.【解析】

（1）由散點圖知更適宜，對兩邊取自然對數(shù)得，令，，，則，再利用線性回歸方程的計算公式計算即可；（2）將代入所求的回歸方程中計算即可.【詳解】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)及圖表可以判斷，更適宜作為全國GDP總量關(guān)于的回歸方程.對兩邊取自然對數(shù)得，令，，，得.因為，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為，所以關(guān)于的回歸方程為.（2）將代入，其中，于是2020年的全國GDP總量約為：萬億元.【點睛】本題考查非線性回歸方程的應(yīng)用，在處理非線性回歸方程時，先作變換，轉(zhuǎn)化成線性回歸直線方程來處理，是一道中檔題.19、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）求出，分別以當(dāng)，，時，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值判斷零點的個數(shù).（2）令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出；同理可求出滿足，從而可得，進(jìn)而證明.【詳解】解析：（1），，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，，，此時有1個零點；當(dāng)時，無零點；當(dāng)時，由得，由得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴在處取得最小值，若，則，此時沒有零點；若，則，此時有1個零點；若，則，，求導(dǎo)易得，此時在，上各有1個零點.綜上可得時，沒有零點，或時，有1個零點，時，有2個零點.（2）令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴.令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，∴，，∴，即.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點問題，考查了運用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，考查了分類的數(shù)學(xué)思想.本題的難點在于第二問不等式的證明中，合理設(shè)出函數(shù)，通過比較最值證明.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）要證明線面平行，需證明線線平行，取的中點，連接，根據(jù)條件證明，即；（2）以為原點，所在直線為軸，過作平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求兩個平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取的中點，連接.∵，∴為的中點.又為的中點，∴.依題意可知，則四邊形為平行四邊形，∴，從而.又平面，平面，∴平面.（2），且，平面，平面，，，且，平面，以為原點，所在直線為軸，過作平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.從而，故平面與平