2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第4講隨機(jī)事件與概率

第4講隨機(jī)事件與概率1.[多選]從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列說(shuō)法正確的有（BCD）A.至少有一個(gè)黑球與都是黑球是互斥事件B.至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球不是互斥事件C.恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球是互斥事件D.至少有一個(gè)黑球與都是紅球是對(duì)立事件解析解法一（列舉法）設(shè)兩個(gè)紅球分別為a，b，兩個(gè)黑球分別為1，2.則從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，所有可能的情況為{a，b}，{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，{1，2}，共6種.對(duì)于A，至少有一個(gè)黑球與都是黑球都包含事件{1，2}，故二者不是互斥事件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球都包含事件{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，故二者不是互斥事件，B正確；對(duì)于C，恰好有一個(gè)黑球包含事件{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，恰好有兩個(gè)黑球包含事件{1，2}，故二者是互斥事件，C正確；對(duì)于D，至少有一個(gè)黑球包含事件{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，{1，2}，都是紅球包含事件{a，b}，故二者是對(duì)立事件，D正確.故選BCD.解法二從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，設(shè)取出的黑球個(gè)數(shù)為X，則取出的紅球個(gè)數(shù)為2－X，X的所有可能取值為0，1，2.對(duì)于A，“至少有一個(gè)黑球”對(duì)應(yīng)X≥1，即X＝1或X＝2，“都是黑球”對(duì)應(yīng)X＝2.顯然當(dāng)X＝2時(shí)，兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，“至少有一個(gè)黑球”對(duì)應(yīng)X≥1，即X＝1或X＝2，“至少有一個(gè)紅球”對(duì)應(yīng)2－X≥1，即X≤1，即X＝0或X＝1，顯然當(dāng)X＝1時(shí)，兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，故B正確.對(duì)于C，“恰好有一個(gè)黑球”對(duì)應(yīng)X＝1，“恰好有兩個(gè)黑球”對(duì)應(yīng)X＝2，顯然二者不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故C正確.對(duì)于D，“至少有一個(gè)黑球”對(duì)應(yīng)X≥1，即X＝1或X=2，“都是紅球”對(duì)應(yīng)2－X＝2，即X＝0，顯然二者不能同時(shí)發(fā)生，且二者的并事件包含X的所有取值，故兩事件是對(duì)立事件，故D正確.2.[命題點(diǎn)2/北京高考]電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.（1）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；（2）隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率；（3）電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1，哪類電影的好評(píng)率減少0.1，使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？（只需寫出結(jié)論）解析（1）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25＝50，故所求概率為502000＝（2）由題意知，樣本中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估計(jì)為1－3722000＝（3）增加第五類電影的好評(píng)率，減少第二類電影的好評(píng)率.3.[2023濟(jì)南3月模擬]從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，則所得三角形是直角三角形的概率為（C）A.310 B.12 C.35 解析如圖所示，正六邊形ABCDEF的外接圓為圓O，則AD，BE，CF均為圓O的直徑.從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)頂點(diǎn)，共有C63＝20（種）等可能結(jié)果.取定A，D兩點(diǎn)時(shí)，在B，C，E，F(xiàn)中任取一個(gè)點(diǎn)均可構(gòu)成直角三角形，即此時(shí)可構(gòu)成4個(gè)直角三角形；同理，當(dāng)取定B，E兩點(diǎn)或取定C，F(xiàn)兩點(diǎn)時(shí)，均可構(gòu)成4個(gè)直角三角形.故共可構(gòu)成4×3＝12（個(gè)）直角三角形.所以所得三角形是直角三角形的概率P＝1220＝34.[多選]某次數(shù)學(xué)考試對(duì)多項(xiàng)選擇題的要求是：在每小題給出的A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求；全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.已知某選擇題的正確答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都不會(huì)做，下列表述正確的是（ABC）A.甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，能得2分的概率是1B.乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)，能得5分的概率是1C.丙同學(xué)隨機(jī)選擇選項(xiàng)，能得分的概率是1D.丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是1解析對(duì)于A，甲同學(xué)僅隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)，有四種方式，即A，B，C，D，能得2分的選項(xiàng)為C，D，概率為12對(duì)于B，乙同學(xué)可能選擇的情況有AB，AC，AD，BC，BD，CD，僅在選CD時(shí)才能得5分，概率為16對(duì)于C，丙同學(xué)可能選擇的情況有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共15種，能得分的情況有C，D，CD，共3種，故丙同學(xué)能得分的概率為315＝1對(duì)于D，丁同學(xué)可能選擇的情況為AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共11種，能得分的情況只有CD1種，故丁同學(xué)能得分的概率為111.故選5.[全國(guó)卷Ⅲ]若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的