經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)與決策（第2版）課件

1第六章馬爾科夫法

一、基本概念（一）馬爾科夫鏈如果把隨機(jī)變量序列

的參數(shù)

看作時(shí)間，其“將來”只是通過“現(xiàn)在”與“過去”發(fā)生聯(lián)系，一旦“現(xiàn)在”已知，“將來”和“過去”無關(guān)。隨機(jī)過程的這一特性被稱為馬爾可夫性，或稱無后效性。馬爾可夫鏈（簡稱馬氏鏈）是時(shí)間參數(shù)

只取離散值的馬爾可夫過程，也是最簡單的一種馬氏過程。

{}2

（二）狀態(tài)及狀態(tài)轉(zhuǎn)移

狀態(tài)是指客觀事物可能出現(xiàn)或存在的狀況。

不同的事物，不同的預(yù)測(cè)目的，有不同的狀態(tài)劃分。預(yù)測(cè)對(duì)象狀態(tài)的劃分兩大類：

客觀存在的狀態(tài)

人為劃分的狀態(tài)

狀態(tài)轉(zhuǎn)移是指客觀事物由一種狀態(tài)到另一種狀態(tài)的變化。

隨機(jī)過程的狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移的統(tǒng)計(jì)特性用概率描述。

3（三）狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

1.條件概率

當(dāng)A、B為兩個(gè)事件時(shí)，它表示A事件出現(xiàn)時(shí)，B事件出現(xiàn)的概率。這是一個(gè)條件概率。

2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

客觀事物可能有

，

，…,共n種狀態(tài)，其每次只能處于一種狀態(tài)，則每一狀態(tài)都具有n個(gè)轉(zhuǎn)向（包括轉(zhuǎn)向自身），將這種轉(zhuǎn)移的可能性用概率描述，就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。一步轉(zhuǎn)移概率

表示由狀態(tài)經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的概率，記作。43.狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣將事物n個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率依次排列，可以得到一個(gè)n行n列的矩陣=稱P為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，k步轉(zhuǎn)移概率矩陣為5示例某市銷售普通、一級(jí)、特級(jí)三種醬油====普通一級(jí)特級(jí)=6二、馬爾科夫預(yù)測(cè)法（一）一重鏈狀相關(guān)預(yù)測(cè)若時(shí)間序列

在t=k+1時(shí)取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律只與

在t=k時(shí)的取值有關(guān)，而與t=k以前的取值無關(guān)，稱此時(shí)序?yàn)橐恢劓湢钕嚓P(guān)時(shí)間序列，或稱為一重馬爾可夫鏈。對(duì)于一重馬氏鏈，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣全面地描述了狀態(tài)之間相互轉(zhuǎn)移的概率分布，可以根據(jù)它對(duì)時(shí)序未來所處的狀態(tài)作出預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)步驟1.預(yù)測(cè)對(duì)象狀態(tài)劃分預(yù)測(cè)對(duì)象本身已有狀態(tài)界限，可以直接利用。若不存在明顯的界限，需要根據(jù)實(shí)際情況人為地劃分。

2.計(jì)算初始概率初始概率是指狀態(tài)出現(xiàn)的概率，近似地說就是狀態(tài)出現(xiàn)的概率。

=滿足=1≈≈83.計(jì)算狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移概率假定由狀態(tài)

轉(zhuǎn)向狀態(tài)的個(gè)數(shù)為

，則一步轉(zhuǎn)移概率為==（i=1,2,…,nj=1,2,…,n）一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=

4．預(yù)測(cè)

將n個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率按大小排列成不等式，可能性最大者就是預(yù)測(cè)的結(jié)果，即可以得知預(yù)測(cè)對(duì)象經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移最大可能達(dá)到的狀態(tài)。

例6.1

例6.2分析預(yù)測(cè)我國以商務(wù)目的入境人次

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（二）模型預(yù)測(cè)

實(shí)際預(yù)測(cè)中，往往需要知道經(jīng)過一段時(shí)間后，預(yù)測(cè)對(duì)象可能處于的狀態(tài)，這就要求建立一個(gè)能反映變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。馬爾可夫模型預(yù)測(cè)是利用概率建立一種隨機(jī)隨時(shí)序模型預(yù)測(cè)的方法，通常稱為馬爾可夫法。

1.預(yù)測(cè)模型式中：是預(yù)測(cè)對(duì)象=時(shí)刻的狀態(tài)向量；為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣；是預(yù)測(cè)對(duì)象在=+1時(shí)的狀態(tài)向量，也就是預(yù)測(cè)的結(jié)果。=

其中，=

2.適用條件

適用于具有馬爾可夫性的時(shí)間序列，并且時(shí)間序列在要預(yù)測(cè)的時(shí)期內(nèi)，各時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率保持穩(wěn)定，即每一時(shí)刻向下一時(shí)刻變化的轉(zhuǎn)移概率都是一樣的，均為一步轉(zhuǎn)移概率。若時(shí)序的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率隨不同時(shí)刻在變化，不宜用此方法。由于實(shí)際的客觀事物很難長期保持同一狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，故此方法一般適用于短期預(yù)測(cè)。

3.應(yīng)用例6.3企業(yè)產(chǎn)品用戶占有率的分析預(yù)測(cè)13三、馬氏鏈的穩(wěn)定狀態(tài)及其應(yīng)用

經(jīng)過較長一段時(shí)間以后，馬氏鏈將逐漸趨于這樣一種狀態(tài)，它與初始狀態(tài)無關(guān)，即有=這種狀態(tài)稱為穩(wěn)定狀態(tài)。（一）馬氏鏈的穩(wěn)態(tài)概率

馬氏鏈達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的狀態(tài)概率就是穩(wěn)定狀態(tài)概率，也稱為穩(wěn)態(tài)概率。它表示在穩(wěn)定狀態(tài)下，預(yù)測(cè)對(duì)象處于各個(gè)狀態(tài)的概率。141.馬氏過程存在穩(wěn)定狀態(tài)的條件若馬氏鏈的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣，那么馬氏鏈必定