押廣東卷第22題 圓 四邊形等幾何問題探究-2023年中考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押題解析版

押廣東卷第22題

圓四邊形等幾何問題探究

押題探究

廣東數(shù)學(xué)中考在22題中在2019年~2020年考查了反比例函數(shù)與幾何結(jié)合方面的內(nèi)容，2021年中考考查了幾何

綜合類方面的知識(shí)。一般難度大，2022年考察了圓的綜合問題，難度一般，預(yù)計(jì)今年對(duì)考生知識(shí)掌握與運(yùn)用能力高，

難度有所提高

幾何綜合題型都會(huì)是壓軸題出現(xiàn)，難度也不會(huì)低。預(yù)測今年幾何綜合依然會(huì)出現(xiàn)在壓軸題，可能會(huì)結(jié)合圓的相

關(guān)性質(zhì)一起考查，考查動(dòng)點(diǎn)或最值問題。特別要注意和三角函數(shù)結(jié)合在一起的考察。

解題秘籍

在備考中，考查們熟練掌握各圖形的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。包括平行四邊形與特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)，

中垂線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，

角平分線的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用與計(jì)算，圖形相似與全等的判定與性質(zhì)，圓的相關(guān)定理和性質(zhì)等。加強(qiáng)壓

軸題型的總結(jié)和歸納。

真題回顧

1.（2021?廣東?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形A8C。中，AB//CD,AB^CD,NA8C=90。，點(diǎn)E、產(chǎn)分別在線段8C、

AO上，旦EF//CD,AB=AF,CD=DF.

D

(1)求證：CFA.FB-,

(2)求證：以A￡>為直徑的圓與8c相切；

(3)若EF=2,ZDFE=120°,求VAOE的面積.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)

【分析】(1)設(shè)ZDCF=N￡>FC=a，進(jìn)而求得NA5P=ZAF3=90°-a,再由NCFB=180。一NC尸￡>-NBR4=90°即

可求得CF_LFB；

(2)取4)中點(diǎn)O,過點(diǎn)。作QW_LBC,由梯形中位線定理得到OM=J(AB+C￡>),利用A尸=AB=得到

AD=2OA,進(jìn)而。4=OM=OD,由此即可證明；

EF2l

(3)過點(diǎn)。，點(diǎn)A分別向印作垂線交鏟于點(diǎn)何，N,得到S=$￡?,+$￡〃，分別求出==

CE=6EF=2拒再代入求解即可.

【詳解】解：(1)：8=。尸，談ADCF=ADFC=a,

"DC=180。-2a,

,JCD^AB,

：.ZBAF=180-(180-2a)=2a,

y.'-'AB^AF,

1QQO_2<y

???ZABF=^AFB=———-=90°-a,

2

.,?/CFB=180°-ZCFD-ZBFA=180°-cr-(90°-a)=90°,

：.CFLBF.

(2)如圖，取A￡>中點(diǎn)。，過點(diǎn)。作OM_LBC,

9：CD//AB,N43C=90。,

AZ￡>CB=90°,

又*：OMIBC,

：.OM/7AB,

為BC中點(diǎn),

A<?M=1(AB+CD),

,/AD=AF+DF,

又；AF=AB,DF=DC,

：.AD=AB+CD=2OM,

又：AD=2OA,

：.OA=OM=OD,

以A￡>為直徑的圓與3c相切.

(3)VZDFE=120°,CD〃EF〃AB,

ZCDA=60°,ZBAD=120°,ZAFE=6O°,

又,：DC=DF

；?_DCF為等邊三角形，ZDFC=NFCD=60°,

,:CD〃EF,

：.ZCFE=ZFCD=6O°,

由(2)得：NCFB=90°,

ZEFB=30°,

：.ZBFA=ZFBA=30°,

VEF=2,在陽中，三邊之比為1:6:2,

V33

在R/CE廠中，三邊之比為1:退：2,

,CE=拒EF=2G,

如圖，過點(diǎn)。，點(diǎn)A分別向印作垂線交EF于點(diǎn)M,N,

,/?CEM?EMD?ECD90,

二四邊形CDME為矩形，

,CE=DM=26，

同理，四邊形BENA為矩形，

BE=AN=-y/3,

3

S.ADE=SEFD+SEFA=；.EF.DM+g.EF.AN

=:?￡：尸.(OM+AN)

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形等腰對(duì)等角、梯形中位線定理、割補(bǔ)法求四邊形的面積、圓的切線的證明方法等,

熟練掌握各圖形的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

2.(2021?廣東廣州.統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，直線/：y=；x+4分別與x軸，y軸相交于4、

8兩點(diǎn)，點(diǎn)P(x,y)為直線/在第二象限的點(diǎn)

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)設(shè)的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)解析式：并寫出x的取值范圍；

(3)作.240的外接圓C,延長PC交，C于點(diǎn)Q,當(dāng)△PO。的面積最小時(shí)，求工C的半徑.

【答案】(1)A(-8,0),B(0,4)；(2)S=2x+16,-8<^<0；(3)4.

【分析】(1)根據(jù)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)利用三角形面積公式及點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可求出結(jié)果；

(3)根據(jù)圓周角性質(zhì)可得NP4?=NPQO,NPOQ=90。.由等角的三角函數(shù)關(guān)系可推出

tanZPAO=箸=g=tanNPQO=黑，再根據(jù)三角形面積公式得S00c=；OP?。。=g?機(jī)?2〃?=根？，由此得結(jié)論當(dāng)

機(jī)最小時(shí)，△POQ的面積最小，最后利用圓的性質(zhì)可得“有最小值，且OA為一C的直徑，進(jìn)而求得結(jié)果.

【詳解】解：(1)當(dāng)y=0時(shí)，0=gx+4,解得x=-8,

；.A(-8,0).

當(dāng)x=0時(shí)，y=—x0+4=4,

：.B(0,4).

(2)VA(-8,0),

：.OA=S.

點(diǎn)P在直線/：y=”4上，

?，?yp=；工+4,

***SPAO=~OA?Vp=~x8x(—x+4)—2x+16.

???點(diǎn)尸在第二象限，

**?-x+4>0,且x〈0.

2

解得-8〈犬VO；

(3),:B(0,4),

：.OB=4.

???C為；240的外接圓，

?,.ZPAO=ZPQO,ZPOQ=90°.

CR1CP

tanZPAO=——=-=tanZPQO=-—

OA2OQ

設(shè)OP=m,則OQ=2m.

SPOQ=gOP-OQ=g?〃??2m=nr.

當(dāng)加最小時(shí)，△POQ的面積最小.

...當(dāng)OP1AB時(shí)，加有最小值，且Q4為C的直徑.

/.r=—OA=4.

2

即：，C的半徑為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角形面積計(jì)算及圓的相關(guān)性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握一次函數(shù)的圖像與

性質(zhì)、三角形面積計(jì)算及圓的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題)如圖，在菱形A8C。中，ZBAD=120°,AB=6,連接2。.

(1)求的長；

(2)點(diǎn)E為線段8。上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,。重合)，點(diǎn)尸在邊AO上，且BEfDF,

①當(dāng)CEL4B時(shí);求四邊形A8EF的面積；

②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+石CF的值是否也最?。咳绻?，求CE+gC尸的最小值：如果不是,

請(qǐng)說明理由.

【答案】（l）8O=65/5；

⑵①四邊形A8EF的面積為7百；②最小值為12

【分析】（1）證明△ABC是等邊三角形，可得8。=36，即可求解；

（2）過點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M,N,根據(jù)菱形的面積可求出MN=3^3，設(shè)BE=x,則EN=gx,

從而得到EM=MN-EN=3C-］，再由BE=百DF,可得DF=BX,從而得到四邊形ABEF的面積s=S^ABD-S^DEF

=B1x-3用總&,①當(dāng)CE_LAB時(shí)，可得點(diǎn)￡是/\48。重心，從而得至"BE=CE=：B0=孑x36=26,即可

求解；②作CHLAO于H,可得當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)0和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；再由

s=*（x-3W『+學(xué)，可得當(dāng)x=3g,即BE=3g時(shí)，s達(dá)到最小值，從而得到此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)。的位置，

而點(diǎn)尸也恰好在點(diǎn)”位置，即可求解.

【詳解】（1）解：連接AC,設(shè)4c與8。的交點(diǎn)為。，如圖，

???四邊形ABC。是菱形，

：.AC±BD,OA=OC,AB//CD,AC平分NZM8,

■:NBAD=120°,

NCAB=60°,

??△ABC是等邊三角形，

???8O=AB?sin60o=6x4=33

BD=2BO=6x/3；

(2)解：如圖，過點(diǎn)后作A。的垂線，分別交A。和BC于點(diǎn)M,N,

B

,/ZVIBC是等邊三角形,

：.AC=AB=6,

由(1)得：BD=6y/3;

菱形ABC。中，對(duì)角線BQ平分NABC,AB//CD,BC=AB=6,

:.MN1BC,

TZBAD=120°,

???ZABC=60°,

???ZEBN=30°；

?EN=1BE

：2

?：S筌我ABCD=LAC?BD=MN?BC,

:.MN=3B

設(shè)的x,貝l」EN=L,

2

EM=MN-EN=3^--x,

2

S娜ABCD=AD-MN=6x36=186,

SAABD=IS碗ABCD=9G，

?：BE=y/5DF,

.nrBEV3

..Dr=-=——x,

63

SADEF=IDF?EM=)￥-gx)=-^|x2+|x,

記四邊形ABEF的面積為s,

2

：.s=S^ABD-SADEF=9y/3-(-—x+-x)=—(x-3^V+.

12212v>4

?.?點(diǎn)E在8。上，且不在端點(diǎn)，.?.0<BE<BD,即0<X<6G；

①當(dāng)CE_LAB時(shí)，

：OBLAC,

二點(diǎn)E是△ABC重心，

BE=CE=-B0=-x3>/3=2x/3,

33

此時(shí)$=第(26-36『+^^=76，

...當(dāng)CELA8時(shí)，四邊形A8EF的面積為7道；

②作CyLAO于“，如圖，

D

VCO±BD,CH±AD,而點(diǎn)E和F分別在8。和A。上，

???當(dāng)點(diǎn)E和尸分別到達(dá)點(diǎn)。和點(diǎn)〃位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；

在菱形ABCD中，AB//CD,AD=CD,

,：ZBAD=120°,

：.NADC=60。，

.?.△ACO是等邊三角形，

：.AH=DH^3,

:心=通

..5,加227—

???當(dāng)x=3g,即8E=36時(shí)，s達(dá)到最小值，

?:BE*DF,

：.DF=3,

此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)。的位置，而點(diǎn)尸也恰好在點(diǎn)”位置，

當(dāng)四邊形A8EF面積取得最小值時(shí)，CE和CF也恰好同時(shí)達(dá)到最小值，

：.CE+&CF的值達(dá)到最小,

其最小值為CO+gC”=3+6x36=12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形

等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

4.(2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題)一個(gè)玻璃球體近似半圓OAB為直徑，半圓。上點(diǎn)C處有個(gè)吊燈所，EF〃AB,

CO±AB,EF的中點(diǎn)為。,。4=4.

⑴如圖①，CM為一條拉線，M在08上，0M=1.6,0尸=0.8,求的長度.

(2)如圖②，一個(gè)玻璃鏡與圓。相切，H為切點(diǎn)，M為0B上一點(diǎn)、,為入射光線，M7為反射光線,

3

/OHM=Z0HN=45°,tan/COH=一，求ON的長度.

(3)如圖③，M是線段08上的動(dòng)點(diǎn)，為入射光線，/HOM=50°,HN為反射光線交圓。于點(diǎn)N,在M從。運(yùn)動(dòng)

到B的過程中，求N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長.

【答案】(1)2

Q)0N吟

(3)4+?萬

【分析】(1)由。F=0.8,OM=1.6,￡)F〃OB,可得出DF為VCQW的中位線，可得出。為C0中點(diǎn)，即可得出CO

的長度；

3

(2)過N點(diǎn)作NDJ_O〃，交OH于點(diǎn)、D,可得出△?/￡＞為等腰直角三角形，根據(jù)tan/CCW二:,可得出

4

ND34

tan/M9D=——=-,設(shè)ND=3x=DH,則OO=4x,根據(jù)OD+OH=O"，即可求得工=一，再根據(jù)勾股定理即

OD47

可得出答案；

(3)依題意得出點(diǎn)N路徑長為：OB+卻，推導(dǎo)得出N8O7=80。，即可計(jì)算給出加，即可得出答案.

【詳解】(1)?/DF=0.8,=1.6,DF//OB

???DF為YCOM的中位線

???。為CO的中點(diǎn)

9：CO=AO=4

：.CD=2

(2)過N點(diǎn)作NDLOH,交OH于點(diǎn)、D,

*/NOHN=45。,

???△AW3為等腰直角三角形，即NQ=Q”，

3

又?.?tanNC。"二一，

4

3

tanZ.NOD=—,

4

?.八

??tan/N”O(jiān)inD=N--D-=—3,

OD4

:.ND:OD=3:4,

設(shè)ND=3x=DH,則OD=4x,

?：OD+DH=OH,

3x+4x=4,

4

解得x=],

：.ND=—OD=—

7f7

20

???在用△NO。中,

T

(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)〃與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)N也與點(diǎn)O重合.當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)T,故點(diǎn)N路徑長

為：OB+lBT.

丁ZNHO=ZMHO,ZTHO=ZMHO.ZHOM=50°.

ZOHA=ZOAH=65°.

：.ZTHO=65°,ZTOH=50°.

AZBCT=80°,

???N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為：OB+IBT=4+—7T9

故答案為：4+不~萬,

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，弧長公式、勾股定理、中位線，利用銳角三角函數(shù)值解三角函數(shù)，掌握以上知識(shí),

并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)健.

5.(2022?廣東.統(tǒng)考中考真題)如圖，四邊形43。內(nèi)接于O,AC為。的直徑，ZADB=ACDB.

(1)試判斷ABC的形狀，并給出證明；

(2)若AB=&,AT>=1,求8的長度.

【答案】(DAA8C是等腰直角三角形；證明見解析;

⑵5

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理可得NABC=90。，由NA08=NCOB根據(jù)等弧對(duì)等角可得NACB=NCA8,即可證明;

(2)RsABC中由勾股定理可得AC,Rt△A。C中由勾股定理求得C。即可；

【詳解】⑴證明：：AC是圓的直徑，則乙4BC=/ADC=90。，

:NADB=NCDB,NADB=NACB,ZCDB=ZCAB,

，NACB=NCAB,

.??△ABC是等腰直角三角形；

（2）解：:△ABC是等腰直角三角形，

BC=AB=>/2,

-'-AC^yjAB2+BC2=2-

RtZiAOC中，ZADC=90°,AD=1,則CD=^AC2-AD2=石，

：.CD=^5.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；掌握等弧對(duì)等角是解題關(guān)鍵.

6.（2021.廣東深圳.統(tǒng)考中考真題）在正方形A8CO中，等腰直角ZAFE=90°,連接CE,H為CE中點(diǎn),

圖1圖2

②ZHBF=;

③小明為了證明①②，連接AC交8。于。，連接。證明了空和空的關(guān)系，請(qǐng)你按他的思路證明①②.

AFBO

RDpA

（2）小明又用三個(gè)相似三角形（兩個(gè)大三角形全等）擺出如圖2,—=—=k,ZBDA=ZEAF=0（00<0<90°）

ADFA

求：

FD

①（用4的代數(shù)式表示）

HD

FH

②黑=（用底，的代數(shù)式表示）

HD

【答案】（1）①0;②45。；③見解析；（2）①：；②4"一=cos士

kk

【分析】（I）①通過中位線得出O"=《AE,再通過等腰直角三角形斜邊與直角邊的關(guān)系得出空=亞，則絲=包,

2AFAF2

在等腰RmOBA中得出絲=變，再結(jié)合中位線?！焙驼叫蔚男再|(zhì)證明/BO”=NBAF,即可證明出

AB2

△BOHS^BAF,即可得出比值；②利用相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)角相等，代換角即可求出4汨尸；

（2）①用與（1）相似的方法可以證明出即可得出比值；②通過添加輔助線，構(gòu)造兩個(gè)直角三

角形，用銳角三角函數(shù)和勾股定理表示出兩邊，即可求出比值.

【詳解】（1）應(yīng)；②45。

③證明：如圖所示：

由正方形性質(zhì)得：黑=&，。為AC的中點(diǎn)

又為CE的中點(diǎn)，則OH^-AE

2

AAEF是等腰直角三角形

'AE=QAF

.=友=空

OHB0

'：OHHAE

：.NCOH=ZC4E,

XVZCAE=ZDAF

：.NCOH=NDAF

又ZBOC=NBAD=90。

：.ZBOH=ZBAF,

又?.?這=空=&

OHB0

：.ABOHs^BAF

BFr-

:.——=J2,NHBO=NFBA

BH

???ZHBF=ZHBO+/DBF=ZFBA+ZDBF=/DBA=45°

(2)①2②J-cos夕+4

kk

理由如下：

①如圖，連接AC,與BO交于。點(diǎn)，連接OH

由題可知四邊形ABCD為平行四邊形,

；.0為AC和B。的中點(diǎn)，

又?：H為CE中點(diǎn),

AOH=-AE,OD=-BD,

22

P..BDEA.

又?——=——=K,

ADFA

：.OH=^A，即詈=；幺，

0D=JgtgAD,即&=；k,

2AD2

???0”是4ACE的中位線，

???OH//AE,

???ZCOH=ZCAE,

又??,NDOC是^AOD的外角,

：.?DOC?ODATOADq+?OAD,

又ODA?EAFq,

?COD?DAO2EAF,

:.?BOH?DAF,

嘰空」

FAAD2

XDOHsXDAF

.FDAD2

"~HD~l)O~~k

②：

由ADOHsADAF得:

NHDO=NFDA,則23F=/8D4=e

FD2

在.HDF中,NHDF=8,—=-

HDk

不妨令DF=2t,DH=kt,如圖作“ML。尸

則：HM=DHsmO-ktsin0,DM=ktcos0

則MF=DF-DM=(2-kcosmt

由勾股定理“產(chǎn)解得：

/公-4&cos，+4

.FHy/k2-4kcos0+4

??-----=,?

DHk

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行

四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大，能夠通過己知條件找出判定相似三角形的條件是解題

關(guān)鍵.

押題沖關(guān)

7.（2023?廣東東莞??？家荒＃┤鐖D1,直角AABC中，ZABC=90°,AB是。O的直徑，。。交AC于點(diǎn)D,取

CB的中點(diǎn)E,DE的延長線與AB的延長線交于點(diǎn)P.

（1）求證：PD是。O的切線；

（2）若OB=BP,AD=6,求BC的長；

圖1圖2

【答案】（1）證明見解析；

（2）BC=4；

【分析】（1）連接BD、DO,OE,只要證明NODE=90。，OD是半徑，就可得到DE是。O的切線;

（2）根據(jù)AADBs/^BDC,從而根據(jù)相似比不難求得BD的長；

（3）根據(jù)平行線分線段成比例進(jìn)行分析.

【詳解】解：（1）如圖1,連接BD,OD,OE,

VAB是直徑，

NADB=NCDB=90。，

；E是BC中點(diǎn)，

；.DE=EC=EB,

XVOD=OB,OE=OE,

.?.△ODE絲△OBE(SSS),

.".ZODE=ZOBE=90°,

.".OD1DP,

???PD是。。的切線；

(2)VOB=BP,ZODP=90°,

ADB=OB=BP,即DB=OB=OD,

AAODB是等邊三角形，

?,.ZDOB=60°.

:.ZA=30°,

又???NABC=90。，

/.ZC=60°,

AZCBD=30°,

：.CD=-BC

2f

設(shè)CD=x,BC=2x,

VAD=6,

2x=—(6+x),

2

x=2,

???BC=4；

(3)如圖2,連接BD,OE,

VtanZC=2,ZCDB=90°,

.BD.

??-二2，

CD

又???/ABD=NC=60。，

?①-2

CD,

設(shè)CD=a,BD=2a,

AAC=5a,

TO是AB中點(diǎn)，E是BC中點(diǎn),

???OE//AC,OE=；AC=2

.AFAD

..---=---,

FEOE

AF_4a_8

-7^-5~-5.

—a

2

【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了圓的切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊

三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，綜合掌握各性質(zhì)及判定是解題的關(guān)鍵

8.（2023?廣東東莞?石龍三中?？家荒＃┤鐖D，一ABC內(nèi)接于，。，直線A￡＞切，。于A,其外角平分線AD與CO的

延長線交于點(diǎn)。.

⑴求證：AB=AC；

（2）若40=40，BC=8,求圖中陰影部分面積.

【答案】（1）見解析

(2)8^-16

【分析】（1）連接A0并延長交3c于E,交，。于尸，利用角平分線的定義和切線的性質(zhì)證明NOAB=NC4O,利

用圓周角定理得到N8O/=NCO產(chǎn)，利用垂徑定理的推論得到OE_L8C,最后利用垂直平分線的性質(zhì)即可證明；

（2）求出圓的半徑和陰影部分所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)即可，利用相似三角形求出半徑，再根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)求

出/BOC,最后利用與彭郃分=幾%MC-S^BOC計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：如圖，連接AO并延長交BC于E,交：。于尸，連接

；直線切。于A,

ZOAD=90°,即ZBAD+ZOAB=90°,

ZZMM+ZC4O=90°,

,/AO平分

ZMAD=ZI3AD,

：.ZOAB=ZCAO,

ZOAB=-ZBOF,ZCAO=-4cOF,

22

:./BOF=NCOF,

又?：OB=OC,

：?BE=CE,OE1BC,

：.AB=AC；

(2),ZOAD=ZOEC=90°,ZAOD=ZEOCf

/.AOD^EOC,

.ADOA

'~EC~~OE

由（1）可知CE=48C=4,

2

設(shè)半徑為r,在RtZ\EOC中，由勾股定理得,

OE=\lr2—42=Jr?-16>

4>/2_r

解得廠=4a（取正值），

經(jīng)檢驗(yàn)r=4人是原方程的解，

即0B=0C=0A=4&,OE=J（4&『-16=4，

又BC=8,

OB2+OC2=BC-,

.-.08c是等腰直角三角形，

.-.ZBOC=90°,

S陰影部分-S用形即c-Sgoc

907rx（40

--x8x4

3602

=8^-16.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，角平分線，圓周角定理.，扇形面積的計(jì)算，靈活運(yùn)用切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?廣東東莞?東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校?？家荒＃?）已知正方形ABC。，E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，將

繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到8尸處，得二BEF,連接C/，如圖1,填空：

①普

②ZACF的度數(shù)為

CF

（2）在矩形45CO和Rt△班尸中，NEBF=90。,NAC3=NEE6=60。，連接。尸，如圖2,請(qǐng)判斷一的值及NACV

AE

的度數(shù)，并說明理由.

（3）在（2）的條件下，取EF的中點(diǎn)“，連接BM、CM,若AB=2。則當(dāng)式加0是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得3E=5居ZE8b=90。，則NABK=NC8E,通過證明,即可得出

結(jié)論；

(2)根據(jù)NAC3=N￡FB=60?？傻眠€=空=蛆，根據(jù)NABC-Z￡BC=N￡B尸-ZEBC,得出NA5E=NC3產(chǎn)，

ABBE3

即可證明△AHESACB/，即可得出結(jié)論；

(3)先求出BC的長度，根據(jù)點(diǎn)M為EF中點(diǎn)，可得CM=BM=；EF,根據(jù)二C8M是直角三角形，可求出BM,

從而得到EF,最后根據(jù)勾股定理，列出方程求解即可.

【詳解】解：(1)1/BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到BF,

BE=BF,NEBF=90°,

???四邊形A8CD為正方形，

AZABC=90°,AB=CB,ZEAB=ZACB=45°,

：.ZABC-ZEBC=ZEBF-ZEBC,BPZABE=NCBF,

在;ABE和VC8尸中，

BE=BF

-NABE=ZCBF,

AB=CB

：.AABE^ACBF(SAS),

CF=AE/FCB=ZEAB=45°,

器=1,NACF=450+45°=90°,

AE

故答案為：1；90°.

(2)絲=近；ZACF=90°,理由如下：

AE3

在矩形ABC。中，ZABC=90°,

VZ4CB=60°,則NC43=30。，

?*/…一CB

??tan/CA3—--=—,

AB3

同理在口△￡?尸中，

VZEFB=60°,則N在仍=30。，

tan/FEB=^=烏,

BE3

?CB_BF

?；ZABC=ZEBF,

:.ZABC-ZEBC=ZEBF-ZEBC,即ZABE=/CBF

：.AABESACBF,

?CF=CB=6

??AE-AB-3'

：.ZBCF=/BAE=30°,

???ZACF=ZACB+/BCF=60。+30°=90°,

綜上：懸=4；ZACF=90°.

AE3

(3)由(2)可得絲=近，ZACF=90°,

AB3

?AB=2\/3，

:.CB=AB*=2,

AC=AB2+BC2=4，

：點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，NEBF=90。,

:.CM=BM=、EF,

2

：為直角三角形，

ZMCB=ZMBC=45°,

CM=BM=BC--=>/2,

2

EF=2BM=2V2,

設(shè)CF=x,則AE=GX,CE=AC-AE=4-y/3x,

在中，根據(jù)勾股定理得：CF2+CE2=EF2,

即X2+（4-X/3X]2=（2>/2）2,

解得：X,=A/3—1,^2=5/3+1.

；?Cf=6-1或CF=百+1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三

角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用.

10.（2023?廣東汕尾?校考三模）如圖，A8是。的直徑，CD是。的弦，AB1CD,垂足是點(diǎn)“，過點(diǎn)C作直線

分別與AB,AD的延長線交于點(diǎn)E,F,且NEC￡>=2/3A。.

（1）求證：CP是：。的切線;

⑵如果/W=10,CD=6.

①求AE的長；

②求二的面積.

【答案】（1）證明見解析；

（2）①4E嚀；②竿.

48

【分析】（1）連接OC,BC,利用圓周角定理.，垂徑定理，同圓的半徑線段，等腰三角形的性質(zhì)和圓的切線的判

定定理解答即可；

（2）①利用勾股定理在RJOCH中求出。"=4,同理求出3C=何，AC=3ji6,利用切線的性質(zhì)及勾股定理建

立等式解答即可；②過點(diǎn)尸作FG_LAfi,交A3的延長線于點(diǎn)G

設(shè)產(chǎn)G=4M則總=5%,利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得尸G,再利用三角形的面積公式解答即可.

【詳解】（1）證明：連接OC、BC,如圖，

OH

是(。的直徑，

/.ZACB=90°,AO=OB,

ABLCD,

平分弦CD,A3平分CO，

:.CH=HD9BC=BD，ZCHA=90°=ZCHEf

：.ZBAD=ZBAC=ZDCB,

/ECD=2/BAD,

/ECD=2ZBAD=2NBCD,

/ECD=/ECB+/BCD,

；,/BCE=/BCD,

:.ZBCE=ZBACf

OC=OA,

??.ZBAC=ZOCA,

NECB=NOCA,

ZACB=90°=ZOCA+ZOCB,

:./ECB+NOCB=NOCF=90°,

/.CO±FC,

??.CF是。的切線；

(2)解：①AB=WfCD=6,

???在(1)的結(jié)論中有AO=O8=5,CH=HD=3,

???在RLOC”中，OH=Voc2-C//2=V52-32=4，

同理利用勾股定理，可求得=AC=3Vio,

??.BH=OB-OH=5—4=1,HA=OA+OH=4+5=9,

即HE=BH+BE,

在中，EC2=HC2+HE2=32+(1+BE)2,

CF是。的切線，

/.ZOCE=90°,

在RtAECO中，EC?=OE2-OC2=(OB+BE)2-52=(5+BE)2-52,

(5+BE)2-52=32+(1+SE)2,

解得：BE=4，

4

545

AE=AB+BE=\0+-=—；

44

②過點(diǎn)/作FG,AB,交AB的延長線于點(diǎn)G,如下圖，

；A￡=—,OA=OC=5,

4

4525

??.OE=AE-OA=—-5=—,

44

.OC4

??---=—,

OE5

VFG1AB,OC1CF,

:.ZOCF=NFGE=90°,

VNCEO=NGEF,

_OCEsjGE.

.OCFG4

??----=-----=—,

OEFE5

設(shè)尸G=43則莊=5攵，

：?EG=>jEF2-FG2=3k^

VDHLAB,FG.LAB,

：.ZAHD=ZAGF=90P,

??ND4//=NE4G,

:?二AH*_AGF,

.AHPH

^^\G~~FG'

9-3

A45^."*解得

彳+3244

:.FG=4k=5,

1?25

??...A￡F的面積=7xAE?尸G='.

28

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的判定，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是連接經(jīng)過切點(diǎn)的半徑

是解決此類問題常添加的輔助線.

11.（2023?廣東江門?校考一模）如圖，AB是。的直徑，點(diǎn)。在。上，C為O外一點(diǎn)，且NBCD=90。,

2ZA+ZABC=180°.

（1）求證：直線CO為。的切線.

⑵若NA=30。，BC=2,求。的半徑.

（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積.

【答案】（1）證明見解析

(2)4

(3)6石-,

【分析】（1）連接。。，根據(jù)圓周角定理得出2ZA=ZB。。，再由平行線的性質(zhì)及等量代換即可證明；

（2）連接BO,由圓周角定理及等邊三角形的判定得出.OBD是等邊三角形,再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)

及等邊三角形的性質(zhì)即可求解；

（3）結(jié)合圖形，利用扇形面積及三角形面積的關(guān)系求解即可.

【詳解】（1）證明：連接0。，

2ZA=NBOD,

'：2ZA+ZABC=180°,

，ZfiOD+Z4BC=180°,

OD//BC,

：.NODB+^BCD=180°,

又：ZBC￡>=90°,

ZODC=90°,

：.ODLCD,

又；點(diǎn)。在。上，

直線co為。的切線;

(2)連接8。，

ZA=30°,

ZBOD=60°,

又?：OD=OB,

:.08。是等邊三角形，

：?/OBD="。,/BDC=34。,

???BC=2,

，BD=4,

??,.080是等邊三角形，

:.OB=BD=4,

即：。的半徑為4；

S,,=--DC-BC=-x2y[3x2=2>5,

(3)41n0ZnxcV22

s_16%_8萬

3扇形O5D=二丁，

S80BD=x4=4方,

S陰影=26一(?一4后)=65^-與.

【點(diǎn)睛】題目主要考查圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定及不規(guī)則圖形的面積，理解題意，作出

輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

12.(2023?廣東深圳?統(tǒng)考二模)操作：如圖1,點(diǎn)E在矩形4BC。邊8上，沿AE折疊，使點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，得多

邊形ACFBNM(圖2),思考：若48=6,4)=10.

BDCBNDC

圖1圖2

⑴求圖1中CE的長；

(2)求證：,AC'FVECD.

(3)探究：若用一張A4(AD=6AB)紙進(jìn)行上述操作，判斷C’尸與M的數(shù)量關(guān)系.

Q

【答案】⑴5

(2)見解析

(3)C*F=BF

【分析】(1)由折疊知AD=AD=10,由勾股定理得皿=8,求證，ED'CD'AB,從而力=--,求解C￡；

BDAB

(2)由A3〃a>得Z4ED=E4E,結(jié)合折疊的性質(zhì)導(dǎo)出NE4C=NC。'，用AS4求證,ACT=EC。'；

(3)令A(yù)3=m,由勾股定理得比*'=加，CD=(應(yīng)-l)m，由(1)ED'C得*=緇，求得

ED'=(2-&)m，由(2)ACF—ECD,得=(^2-,AF=(2-近)m，從而得證C尸=BF.

【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)可得，AD'=AD=W,

?:?B90?,AB=6,

：.B￡X=8,

:.CD=BC-BD'=10-8=2,

:NAZXB+ZED'C=90°,ZADB+ZBAEf=90°,

：.NEDC=NBAD,

：四邊形A8CD是矩形，

NB=NC=90°,

AED'CD'AB,

.CECD'

??-=,

BD'AB

.CE2

??—=—，

86

.8

?*CE=§.

（2）證明：

四邊形ABC。是矩形，

AB//CD,

；?ZAED=FAE,

由折疊的性質(zhì)得出NA￡"=AED',NE4C'=AAEC,

：.NFAE=ZAED,ZE4c-AFAE=ZAEC-ZAED',

即ZFAC=NCED,

又；AC'=EC,NC'=NC,

A_AC'F^..ECD'（ASA）.

（3）探究：CF=BF.

理由：由AO=&AB，令A(yù)3=/n,則AD="n，

2

BD'=\lAD'--AB="（應(yīng)加＞一＞=m

CD'=BC-BD'=-m=（板-Dm,

'：.ED'CD'AB,

.ED'D'C

??---=----,

D'AAB

._（亞-1加

Mnm

ED'=（2-應(yīng)）m，

'：AC'F=ECD',

C'F=CD'=（0-l）w，AF=ED'=（2-也）m

BF=AB-AF=m-（,2-而m=（亞-Dm?

C'F=BF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、折疊及軸對(duì)稱的知識(shí)；能夠由折

疊轉(zhuǎn)化為等角及相等線段、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)作線段的求解是解題的關(guān)鍵.

13.(2023?廣東汕頭?校聯(lián)考二模)已知在,ACD中，P是的中點(diǎn)，8是AO延長線上的一點(diǎn)，連結(jié)BC,AP.

(1)如圖1,若NAC8=90。，ZCAD=60°,BD=AC,AP=C，求BC的長.

(2)過點(diǎn)。作交AP延長線于點(diǎn)E,如圖2所示.若NC4D=60。，BD=AC,求證：BC=2AP.

【答案】(1)2后

(2)見解析

【分析】(1)解Rt^ACB得出AB=2AC,再證△ADC是等邊三角形，推出NACD=60。，解RtAAPC求出AC,再

解RtAACB即可求出8c的長；

(2)連結(jié)BE,先利用AAS證明..CPA組刀PE,再證是等邊三角形，最后..C4BaEBA(SAS)，推出AE=BC,

即可證明8c=2AP.

【詳解】(1)解：V=90°,ZC4Z)=60°,

AB=AC=2AC

cos600

?：BD=AC,AB=AD+DB,

AD=AC,

???ZVIDC是等邊三角形，

ZAC。=60。，

???p是CO的中點(diǎn)，

:.AP±CDf

在RtAAPC中，AP=G，ZACP=60°,

BC=4Ctan60。=2\/3.

(2)證明：連結(jié)的，

■:DE//AC,

：.ZCAP=ZDEP,

■:CP=DP,4CPA=4DPE,

，_CP4四上。PE(AAS),

AP=EP=-AE,DE=AC,

2

?；BD=AC,

/?BD=DE，

又：DE//AC,

：./3DE=NC4￡)=60°,

△3/)E是等邊三角形，

:.BD=BE,ZEBD=60°,

'：BD=AC,

AC=BE,

又?/ZCAB=NEBA=60°,AB=BA,

：..CAB^EBA(SAS),

，AE=BC,

：.BC=2AP.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，難度一

般，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形和全等三角形的判定方法.

14.(2023?廣東汕頭?統(tǒng)考一模)如圖，A8為的直徑，點(diǎn)C、點(diǎn)。在，。上，CE_LA￡>,交AO延長線于點(diǎn)E,

連接AC,B.ZDCE=ZDAC.

EC

(1)證明：ACDESAABC；

(2)證明：CE為O的切線；

(3)若DA=￡>C,A8=8,求A。的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)4

【分析】(1根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可證48C=NE￡>C,再由A8為。的直徑得到446=90。，進(jìn)而得到

Z.E-ZACB,即可求證；

(2)連接OC,證明OC〃A￡,即可解答，

(3)易證NTMC=NDC4=，￡)CE,從而求出NDC4=—430=30。，連接8￡),即可求解.

【詳解】(1)證明：；四邊形A88內(nèi)接于O,

：.ZABC+ZADC=180°.

ZEDC+ZADC=180°.

:.ZABC=ZEDC.

?「A8為。的直徑，

，ZACB=90°.

9：CELAD,

：.ZE=90°.

：.ZE=ZACB.

：.ACDEsAABC；

(2)證明：連接OC,

9：OA=OC,

:.ZOAC=ZOCA.

由(1)得，ACDEs^ABC,

:?/DCE=/BAC.

又丁ZDCE=ZDAC,

：.ZDAC=ZOCA.

：.OC//AE.

???CE_LAO,

：.OCLEF.

???CE為。的切線；

(3)解：,：DA=DC,

：.ZDCA=ZDAC.

又丁/DCE=NDAC,

：.ZDAC=ZDCA=NDCE.

VZE=90°,

90°

:.ZDAC=ZDCA=NDCE=—=30°.

3

連接30,：.ZABD=ZDCA=3GP.

?:AB為。的直徑，

：.ZADB=90°.

在RtAAB。中，AB=8,

AD=-AB=-x8=4.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握切線的判定，相似

三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

15.(2023?廣東汕尾?統(tǒng)考二模)如圖，43c中，43=3,BC=4,AC=5,以AB為直徑作O,交AC于點(diǎn)凡

連接CO并延長，分別交：。于。、E兩點(diǎn)，連接BE、BD.

⑴求證：8c是；。的切線;

(2)求證：BC2=CDCE;

(3)求—4組的正切值.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)tanNABE=歷-3

【分析】(1)利用勾股定理的逆定理證明NA8C=90",然后利用切線的判定即可得證；

(2)證明即可；

(3)根據(jù)(2)中8c2=C?CE求出。，然后根據(jù)tanNABE=tanE=2g=經(jīng)即可求解.

BECB

【詳解】(1)證明：AB=3,BC=4,AC=5,

AB2+BC2=32+42=25,4c2=52=25,

/.AB2+BC2=AC2,

/.ZABC=90\

.?.BC是。的直徑；

(2)證明：DE是。的直徑，

:.NDBE=90",ZABD+ZABE=90\

ZABC=9(f,

/.ZABD+ZCeD=90\

:.NCBD=ZABE,

又OB=OE,

：.ZABE=ZE,

???/CBD=/E,

又ZBCD=/ECB,

MBD~4CEB,

BCCE

,即Rn8c27=COCE；

CDBC

(3