高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題5.4三角恒等變換(真題測試)(原卷版+解析)

專題5.4三角恒等變換（真題測試）一、單選題1．(2023·全國·高考真題（文））函數(shù)的最小正周期為（）A． B． C． D．2.（2023·全國·高考真題（文））函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和23．（2023·全國·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高考真題（文））已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=（）A． B．C． D．5．(2023·全國·高考真題（文））已知函數(shù)，則（）A．的最小正周期為，最大值為B．的最小正周期為，最大值為C．的最小正周期為，最大值為D．的最小正周期為，最大值為6．(2023·全國·高考真題（文））已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有兩點，，且，則（）A． B． C． D．7．（2023·湖北·高三階段練習）在平面直角坐標系中，角的大小如圖所示，則（

）A．1 B． C． D．8．（2023·浙江·高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數(shù)的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題9．(2023·廣東湛江·二模）已知是函數(shù)的一個周期，則的取值可能為（

）A．﹣2 B．1 C． D．310．（2023·全國·高三專題練習）已知，其中為銳角，則以下命題正確的是（）A． B．C． D．11．(2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．函數(shù)的圖象不關于原點對稱B．函數(shù)在上的值域為C．函數(shù)在上單調遞減D．函數(shù)在上有3個零點12．（2023·全國·高考真題）已知為坐標原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2023·全國·高考真題（文））若，則__________．14．(2023·北京·高考真題）若函數(shù)的一個零點為，則________；________．15．（2023·全國·高考真題（文））函數(shù)的最小值為___________．16．(2023·浙江·高考真題）若，則__________，_________．四、解答題17．(2023·北京·高考真題（文））已知函數(shù).（I）求f(x)的最小正周期；（II）求證：當時，．18．(2023·北京·高考真題（文））已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值.19．(2023·江蘇·高考真題）已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．20．(2023·全國·模擬預測）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并解答問題．已知，，，______，求．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．21．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，求(1)求的值；(2)求的值；(3)若，求的值.22．（2023·全國·高三專題練習）（1）已知，求的值；（2）已知，，且，，求．專題5.4三角恒等變換（真題測試）一、單選題1．(2023·全國·高考真題（文））函數(shù)的最小正周期為（）A． B． C． D．答案：C【解析】【詳解】分析:將函數(shù)進行化簡即可詳解：由已知得的最小正周期故選C.2.（2023·全國·高考真題（文））函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和2答案：C【解析】分析：利用輔助角公式化簡，結合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.【詳解】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C．3．（2023·全國·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.4．（2023·全國·高考真題（文））已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=（）A． B．C． D．答案：B【解析】分析：利用二倍角公式得到正余弦關系，利用角范圍及正余弦平方和為1關系得出答案．【詳解】，．，又，，又，，故選B．5．(2023·全國·高考真題（文））已知函數(shù)，則（）A．的最小正周期為，最大值為B．的最小正周期為，最大值為C．的最小正周期為，最大值為D．的最小正周期為，最大值為答案：B【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，對函數(shù)解析式進行化簡，將解析式化簡為，之后應用余弦型函數(shù)的性質得到相關的量，從而得到正確選項.【詳解】根據(jù)題意有，所以函數(shù)的最小正周期為，且最大值為，故選B.6．(2023·全國·高考真題（文））已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有兩點，，且，則（）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：首先根據(jù)兩點都在角的終邊上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函數(shù)的定義式，求得，從而得到，再結合，從而得到，從而確定選項.【詳解】由三點共線，從而得到，因為，解得，即，所以，故選B.7．（2023·湖北·高三階段練習）在平面直角坐標系中，角的大小如圖所示，則（

）A．1 B． C． D．答案：C【解析】分析：根據(jù)已知求出，化簡即得解.【詳解】解：由題圖知，則，所以．故選：C．8．（2023·浙江·高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數(shù)的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C【解析】分析：利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個代數(shù)式不可能均大于，再結合特例可得三式中大于的個數(shù)的最大值.【詳解】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，故選：C.法2：不妨設，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，故選：C.二、多選題9．(2023·廣東湛江·二模）已知是函數(shù)的一個周期，則的取值可能為（

）A．﹣2 B．1 C． D．3答案：ABD【解析】分析：根據(jù)三角恒等變換公式進行化簡，根據(jù)周期函數(shù)定義求出的表達式即可求解．【詳解】依題意得，由周期函數(shù)定義得：，即：即：解得：又或故選：ABD．10．（2023·全國·高三專題練習）已知，其中為銳角，則以下命題正確的是（）A． B．C． D．答案：AB【解析】分析：利用湊角的方式，將角看成整體，但要注意角的范圍，根據(jù)同角三角函數(shù)的關系，兩角和差的余弦公式及解方程即可求解.【詳解】因為，，所以，故A正確；因為，所以所以，故B正確；，，由得，，解得；故C不正確；由得，，解得；，故D不正確.故選：AB.11．(2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．函數(shù)的圖象不關于原點對稱B．函數(shù)在上的值域為C．函數(shù)在上單調遞減D．函數(shù)在上有3個零點答案：AD【解析】分析：根據(jù)奇函數(shù)的定義、余弦的二倍角公式，利用換元法、二次函數(shù)的性質、零點的定義逐一判斷即可.【詳解】的定義域為R．因為，所以，則函數(shù)的圖象不關于原點對稱，故A正確．，故當，即時，令，，則問題轉化為函數(shù)在上的值域，且圖象的對稱軸方程為，故函數(shù)在上單調遞增，最大值為1，最小值為－2，故B錯誤．當，在上單調遞增，即，時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，根據(jù)復合函數(shù)單調性，故C錯誤．令，即，解得或，當時，或或，故函數(shù)在上有3個零點，故D正確．故選：AD．12．（2023·全國·高考真題）已知為坐標原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】分析：A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標，應用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；故選：AC三、填空題13．（2023·全國·高考真題（文））若，則__________．答案：【解析】分析：直接利用余弦的二倍角公式進行運算求解即可.【詳解】.故答案為：.14．(2023·北京·高考真題）若函數(shù)的一個零點為，則________；________．答案：

1

【解析】分析：先代入零點，求得A的值，再將函數(shù)化簡為，代入自變量，計算即可.【詳解】∵，∴∴故答案為：1，15．（2023·全國·高考真題（文））函數(shù)的最小值為___________．答案：.【解析】分析：本題首先應用誘導公式，轉化得到二倍角的余弦，進一步應用二倍角的余弦公式，得到關于的二次函數(shù)，從而得解.【詳解】，，當時，，故函數(shù)的最小值為．16．(2023·浙江·高考真題）若，則__________，_________．答案：

【解析】分析：先通過誘導公式變形，得到的同角等式關系，再利用輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來再求．【詳解】，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則．故答案為：；．四、解答題17．(2023·北京·高考真題（文））已知函數(shù).（I）求f(x)的最小正周期；（II）求證：當時，．答案：（1）（2）見解析【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）首先根據(jù)兩角差的余弦公式化簡，再根據(jù)輔助角公式化簡為，最后根據(jù)公式求周期；（Ⅱ）先求的范圍再求函數(shù)的最小值.試題解析:（Ⅰ）.所以的最小正周期.（Ⅱ）因為，所以.所以.所以當時，.18．(2023·北京·高考真題（文））已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值.答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（I）將化簡整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根據(jù)，可求的范圍，結合函數(shù)圖象的性質，可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ），所以的最小正周期為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因為，所以.要使得在上的最大值為，即在上的最大值為1.所以，即.所以的最小值為.19．(2023·江蘇·高考真題）已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．答案：（1）；（2）【解析】【詳解】分析：先根據(jù)同角三角函數(shù)關系得，再根據(jù)二倍角余弦公式得結果；（2）先根據(jù)二倍角正切公式得，再利用兩角差的正切公式得結果.詳解：解：（1）因為，，所以．因為，所以，因此，．（2）因為為銳角，所以．又因為，所以，因此．因為，所以，因此，．20．(2023·全國·模擬預測）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并解答問題．已知，，，______，求．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．答案：【解析】分析：若選條件①，利用誘導公式和同角三角函數(shù)關系可求得；若選條件②，切化弦后可求得，由同角三角函數(shù)關系可得；若選條件③，由二倍角公式可求得，根據(jù)同角三角函數(shù)關系可得；利用同角三角函數(shù)求得后，根據(jù)，利用兩角和差余弦公式求解即可.【詳解】若選條件①，由得：，又，，，；若選條件②，由得：，，，，；若選條件③，由得：，，，；，，，，.21．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，求(1)求的值；(2)求的值；(3)若，求的值.答案：(1)(2)(3)【解析】分析：小問1：由三角函數(shù)基本關系式即可求值，這里要注意角的范圍；小問2：先由誘導公式對原式進行化簡，然后利用齊次