高考數(shù)學(xué)大題精做專題11解析幾何與平面向量相結(jié)合問題(第五篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題11解析幾何與平面向量相結(jié)合問題類型對應(yīng)典例解析幾何與向量線性運(yùn)算相結(jié)合問題典例1解析幾何與數(shù)量積運(yùn)算相結(jié)合問題典例2解析幾何與共線相結(jié)合問題典例3解析幾何與模長相結(jié)合問題典例4【典例1】【寧夏銀川一中2020屆高三月考】已知，兩點(diǎn)分別在x軸和y軸上運(yùn)動，且，若動點(diǎn)滿足．求出動點(diǎn)P的軌跡對應(yīng)曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；一條縱截距為2的直線與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若以PQ直徑的圓恰過原點(diǎn)，求出直線方程．【典例2】【云南省楚雄州2020屆高三模擬】已知橢圓()的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)為的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，，且.（1）求的方程；（2）已知過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，垂直于的直線過且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求.【典例3】【2020屆泉州市高三畢業(yè)班線上質(zhì)量檢測】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與相交于兩點(diǎn).（1）若，求的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)作軸的垂線交于另一點(diǎn)，若是的外心，證明:為定值.【典例4】【2019屆安徽省安慶一中高三下學(xué)期6月第四次模擬考試】已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，拋物線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）若拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)滿足，試判斷是否為定值，若是，求這個定值：若不是，請說明理由.【針對訓(xùn)練】1.【重慶市2019屆高三高考全真模擬】已知點(diǎn)，直線，為直角坐標(biāo)平面上的動點(diǎn)，過動點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，且滿足．（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線與（1）中的軌跡相切于點(diǎn)，，且與圓心為的圓，相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點(diǎn)的坐標(biāo).2.【河北省衡水中學(xué)2019屆高三第一次摸底考試】已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，若點(diǎn)在拋物線上，且求拋物線的方程；動直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在定點(diǎn)其中，使得向量與向量共線其中為坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3.【廣西柳州市2019屆高三畢業(yè)班1月模擬考試】已知點(diǎn)，直線為平面內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且.（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與分別交軌跡于四點(diǎn).求的取值范圍.4.【天津市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第四次月考】如圖已知橢圓，是長軸的一個端點(diǎn)，弦過橢圓的中心，且，.（Ⅰ）求橢圓的方程：（Ⅱ）設(shè)為橢圓上異于且不重合的兩點(diǎn)，且的平分線總是垂直于軸，是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，請求出的最大值，若不存在，請說明理由.5.【黑龍江省齊齊哈爾市2019屆高三第一次模擬考試】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓C相交所得的弦長為3，直線與橢圓C相切．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在直線l：與橢圓C相交于E，D兩點(diǎn)，使得？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由！備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題11解析幾何與平面向量相結(jié)合問題類型對應(yīng)典例解析幾何與向量線性運(yùn)算相結(jié)合問題典例1解析幾何與數(shù)量積運(yùn)算相結(jié)合問題典例2解析幾何與共線相結(jié)合問題典例3解析幾何與模長相結(jié)合問題典例4【典例1】【寧夏銀川一中2020屆高三月考】已知，兩點(diǎn)分別在x軸和y軸上運(yùn)動，且，若動點(diǎn)滿足．求出動點(diǎn)P的軌跡對應(yīng)曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；一條縱截距為2的直線與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若以PQ直徑的圓恰過原點(diǎn)，求出直線方程．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及|AB|=1，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）直線l1斜率必存在，且縱截距為2，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，即可求出k的值，問題得以解決．【詳解】(1)因?yàn)榧此运杂忠驗(yàn)?所以即:,即所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)直線斜率必存在，且縱截距為,設(shè)直線為聯(lián)立直線和橢圓方程得:由,得設(shè)以直徑的圓恰過原點(diǎn)所以,即也即即將(1)式代入,得即解得,滿足（*）式，所以所以直線【典例2】【云南省楚雄州2020屆高三模擬】已知橢圓()的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)為的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，，且.（1）求的方程；（2）已知過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，垂直于的直線過且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求.【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)，由已知，求得的坐標(biāo)為，代入橢圓方程，得；再由，求得，結(jié)合，求出值，即可求得結(jié)論；（2）先討論直線斜率不存在和斜率為0的情況，驗(yàn)證不滿足條件，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消元，由韋達(dá)定理和相交弦長公式，求出；再將直線方程與橢圓聯(lián)立，求出，由求出的值，進(jìn)而求出，再求出點(diǎn)到直線的距離，即可求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，∵，∴的坐標(biāo)為.∵在上，將代人，得.又∵，∴，∴.又∵，∴，，的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，，，不符合題意；當(dāng)直線的斜率為0時，，，也不符合題意.∴可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立得，則，..由得或∴.又∵，∴，∴，∴.∵到直線的距離，∴.【典例3】【2020屆泉州市高三畢業(yè)班線上質(zhì)量檢測】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與相交于兩點(diǎn).（1）若，求的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)作軸的垂線交于另一點(diǎn)，若是的外心，證明:為定值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程消，根據(jù)韋達(dá)定理求出兩根之和、兩根之積，由，可得，兩根之和、兩根之積即可求解.（2）由（1）得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，利用弦長公式求出，根據(jù)題意可得的垂直平分線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線的方程為，代入得，設(shè)，則，若，則，解得，所以，的方程為（2）由（1）得的中點(diǎn)坐標(biāo)為所以因?yàn)槭堑耐庑模允蔷€段的垂直平分線與的垂直平分線的交點(diǎn)，的垂直平分線為令，得，即，所以，，所以為定值.【典例4】【2019屆安徽省安慶一中高三下學(xué)期6月第四次模擬考試】已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，拋物線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）若拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)滿足，試判斷是否為定值，若是，求這個定值：若不是，請說明理由.【思路引導(dǎo)】（1）首先設(shè)，根據(jù)得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線方程即可.（2）首先設(shè)，，根據(jù)，得到，再利用兩點(diǎn)之間距離公式代入化簡計(jì)算即可.【詳解】（1）由題知：設(shè)，，.因?yàn)?，所?即.又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，因?yàn)?，所以，即，?所以又因?yàn)椋?所以，所以為定值，且定值為.【針對訓(xùn)練】1.【重慶市2019屆高三高考全真模擬】已知點(diǎn)，直線，為直角坐標(biāo)平面上的動點(diǎn)，過動點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，且滿足．（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線與（1）中的軌跡相切于點(diǎn)，，且與圓心為的圓，相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點(diǎn)的坐標(biāo).【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)，得到，根據(jù)題意得到點(diǎn)的軌跡方程；（2）根據(jù)題意表示出切線，并且當(dāng)時，面積最大，得到圓心到的距離，構(gòu)造出關(guān)于，的關(guān)系式，求出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)，點(diǎn)，直線，過動點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，．，整理，得動點(diǎn)的軌跡的方程為．（2），所以求導(dǎo)得切點(diǎn)，所以切線斜率所以切線為整理得，，，，，則時，面積最大，此時圓心到直線的距離為．則有，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．2.【河北省衡水中學(xué)2019屆高三第一次摸底考試】已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，若點(diǎn)在拋物線上，且求拋物線的方程；動直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在定點(diǎn)其中，使得向量與向量共線其中為坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【思路引導(dǎo)】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得的坐標(biāo)，代入拋物線方程，解得，進(jìn)而得到拋物線的方程；在軸上假設(shè)存在定點(diǎn)其中，使得與向量共線，可得軸平分，設(shè)，，聯(lián)立和，根據(jù)恒成立，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡整理可得的方程，求得，可得結(jié)論．【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，即有，即，則，解得，則拋物線的方程為；在x軸上假設(shè)存在定點(diǎn)其中，使得與向量共線，由，均為單位向量，且它們的和向量與共線，可得x軸平分，設(shè)，，聯(lián)立和，得，恒成立．，設(shè)直線DA、DB的斜率分別為，，則由得，，，聯(lián)立，得，故存在滿足題意，綜上，在x軸上存在一點(diǎn)，使得x軸平分，即與向量共線．3.【廣西柳州市2019屆高三畢業(yè)班1月模擬考試】已知點(diǎn)，直線為平面內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且.（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與分別交軌跡于四點(diǎn).求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)動點(diǎn)，則，由展開計(jì)算得到的關(guān)系式即可；(2)當(dāng)直線的斜率不存在（或者為0）時，可求出四點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到；當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)為，直線的方程為，與軌跡的方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得到+的表達(dá)式，然后利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識可求出的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)動點(diǎn)，則，由，則，所以，化簡得.故點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，軸，可設(shè)，，當(dāng)直線的斜率為0時，軸，同理得，當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)為，則直線的方程為：，設(shè)，由得:，則所以，則，直線的方程為：，同理可得：，所以令，則，，由，得；，得；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故.綜上所述，的取值范圍是.4.【天津市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第四次月考】如圖已知橢圓，是長軸的一個端點(diǎn)，弦過橢圓的中心，且，.（Ⅰ）求橢圓的方程：（Ⅱ）設(shè)為橢圓上異于且不重合的兩點(diǎn)，且的平分線總是垂直于軸，是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，請求出的最大值，若不存在，請說明理由.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）易知根據(jù)條件確定形狀，即得C坐標(biāo)，代入橢圓方程可得，（Ⅱ）即先判斷是否成立，設(shè)的直線方程，與橢圓聯(lián)立方程組解得坐標(biāo)，根據(jù)、關(guān)系可得坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式即得斜率，進(jìn)而判斷成立，然后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算長度最大值，即可得的最大值.【詳解】（Ⅰ）∵，∴又，即，2∴是等腰直角三角形∵，∴因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，∴∴∴所求橢圓方程為（Ⅱ）對于橢圓上兩點(diǎn)、，∵的平分線總是垂直于軸∴與所在直線關(guān)于對稱，設(shè)且，則，則的直線方程①的直線方②將①代入得③∵在橢圓上，∴是方程③的一個根，∴以替換，得到.因?yàn)?所以∴∴，∴存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時即時取等號，又，5.【黑龍江省齊齊哈爾市2019屆高三第一次模擬考試】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓C相交所得的弦長為3，直線與橢圓C相切．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在直線l：與橢圓C相交于E，D兩點(diǎn)，使得？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由！【思路引導(dǎo)】（1