高中數(shù)學(xué)常用公式及知識(shí)點(diǎn)(北師大版必修1~必修5及選修2-1)

必修1

§集合

1.集合的基本運(yùn)算

2.?集合的包含關(guān)系:；；

3.識(shí)記重要結(jié)論：

4.對(duì)常用集合的元素的認(rèn)識(shí)

②中的元素是不等式的解，B即不等式的解

集；③中的元素是函數(shù)的

函數(shù)值，2①中的元素是方程的解，A即方程的

解集；22222

c’即函數(shù)的值域；22(4)中的元素是函數(shù)

的自變量，D即函

數(shù)的定義域；

⑤中的元素可看成是關(guān)于x,y的方程的解集，也可看

成以方程

的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，M為點(diǎn)的集合，是一條直線。nnn5.集合

的子集個(gè)數(shù)共有2個(gè)；真子集有2-1個(gè)；非空子集有2-1個(gè)；非空

的真子集有2-2個(gè).

6.方程在(kl,k2)上有且只有一個(gè)實(shí)根，與不等價(jià)，前者是后

者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地，方程有且只有一個(gè)

實(shí)根在2

(kl,k2)內(nèi),等價(jià)于或且

7.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問(wèn)題：或且

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及

區(qū)間的2a

兩端點(diǎn)處取得，具體如下：(1)當(dāng)a>O時(shí)，①若，則2a

b②，，2a

第1頁(yè)共26頁(yè)；0

(2)當(dāng)a<O時(shí),①若

②若，則則

9.由不等導(dǎo)相等的有效方法：若■則

§函數(shù)

L函數(shù)的單調(diào)性

⑴設(shè)么

在上是增函數(shù)；

在上是減函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間增函數(shù)增函數(shù)慮，且復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間增函

數(shù)減函數(shù)減函數(shù)是它的定義域減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)的某個(gè)子區(qū)減函數(shù)

增函數(shù)減函數(shù)間。

3.函數(shù)的奇偶性(注：奇偶函數(shù)大前提：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

⑴若f(x)是偶函數(shù)，則；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)

稱；偶函數(shù)在x>O和x<O上具有相反的單調(diào)區(qū)間。

⑵定義域含零的奇函數(shù)必過(guò)原點(diǎn)(可用于求參數(shù))；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱；奇函數(shù)在x>O和x<O上具有相同的單調(diào)區(qū)間。

⑶判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：或者

第2頁(yè)共26頁(yè)

⑷奇偶函數(shù)的圖象特征：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸

對(duì)稱;反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如

果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).⑸多項(xiàng)式函數(shù)

的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.多項(xiàng)式函

數(shù)P(x)是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

4.函數(shù)的圖象的對(duì)稱性：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

5.兩個(gè)函數(shù)圖象的哥稱容一

(1)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線即y軸)對(duì)稱.

(2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線即x軸)對(duì)稱.(3)指數(shù)函數(shù)

和的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

X

6.若將函數(shù)(x)的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到函數(shù)的圖

象；若將曲線的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到曲線

的圖象.7.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系：幾個(gè)常見(jiàn)抽象函

數(shù)模型所對(duì)應(yīng)的具體函數(shù)模裂____________________

(1)正比例函數(shù)

(2)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函

數(shù)

X

xy

(4)募函數(shù)

⑸余弦函數(shù)正弦函數(shù)

9.對(duì)于，，，，y

右下圖:

23

12

1

的圖象，了解它們的變化情況.如10.幾個(gè)函數(shù)方程的周期⑴對(duì)

,則f(x)的周期為a的周

期函數(shù)

⑵或恒成立，則是周

期為2a的周期函數(shù)

⑶若是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線對(duì)稱，則是周期為2a的周

期函數(shù)⑷若是奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線對(duì)稱，則是周期為4a

的周期函數(shù)

第3頁(yè)共26頁(yè)

⑸對(duì)時(shí)，，或

的周期2a的周期函數(shù)則

11.函數(shù)圖像變換

圖象

圖象圖象圖象圖象

12.分?jǐn)?shù)指數(shù)累：

,且)

n(，且).

.根式的性質(zhì)：(1

)(2)當(dāng)n

為奇數(shù)時(shí),

;當(dāng)n

為偶數(shù)時(shí),

.有理指數(shù)易的運(yùn)算性質(zhì)

15.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式：

16.對(duì)數(shù)的換底公式：

推論且且

且且m

17.對(duì)數(shù)有關(guān)性質(zhì)：

⑴logab的符號(hào)有口訣“同正異負(fù)”記憶；

(2)；

⑶；

⑷對(duì)數(shù)恒等式：a

2⑸；2⑹設(shè)函數(shù)記

若f(x)的定義域?yàn)镽,則

，且若f(x)的值域?yàn)镽,則，且對(duì)于的情形，需要單獨(dú)

檢驗(yàn).；

18.⑴對(duì)數(shù)函數(shù)一圖像和性質(zhì)分析：

第4頁(yè)共26頁(yè)

⑵指數(shù)函數(shù)

的圖像和性質(zhì)分析：

19.如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為p,則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y,

有

必

修

1.常用公理和定理

第5頁(yè)共26頁(yè)

2

§立體幾何初步

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)

的公共直線.公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

定理：①空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

②平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

③一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.

④一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直.

⑤一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則兩個(gè)平面垂直.

⑥一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直

線平行.⑦兩個(gè)平面平行，則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互

平行.

⑧垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

2.三余弦定理（最小角定理:立平斜公式）

設(shè)AB與平面a所成的角為是a直線，且AC與AB的射影AB所成的

角為，/AB與AC所成的角為

.則如右圖⑴。/

圖⑴

S”3.面積射影定理平面多邊形及其射影的面積分別是S、S,它們所在平

面所成銳二面角的為如圖⑵。

、、，因此有線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面

所成的角分別為、、，則有。（線線面12）

圖⑵5.棱錐的平行截面的性質(zhì)：

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與

底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)

成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方）；

相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比.）

其表面積3

,截面圓半徑（r）,球；②球的半徑（R）

心到截面的距離為（d）構(gòu)成直角三角形，因而有關(guān)6.①球的半徑是R,則

其體積

系：

7.球的組合體

第6頁(yè)共26頁(yè)圖⑶

（1）球與長(zhǎng)方體的組合體：長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).

（2）球與正方體的組合體:正方體的8.柱體、錐體的體積

11

V柱體（S是柱體的底面積、h是柱體的高）;V錐體（S是錐體的底

面積、

33

h是錐體的高）.

§解析幾何初步

1.斜率公式①

（P、）；②直線的

一個(gè)方向向量為

2.直線的五種方程

(1)點(diǎn)斜式直線1過(guò)點(diǎn)Pl(xl,yl),且斜率為k).

(2)斜截式為直線1在y軸上的截距).

(4)截距式、b分別為直線的橫、縱截距，a、

ab

(5)一般式其中A、B不同時(shí)為0).

(3)兩點(diǎn)式

3.兩條直線的平行和垂直

⑴若，，則有①②

(2)若且Al、A2、Bl、B2都不為

零，

A1B1C1

;②；

A2B2C2

(3)直線1中，若則1垂直于y軸；若

則1垂直于x軸。

①

4.四種常用直線系(具有共同特征的一族直線)方程(1)定點(diǎn)直線系方程：

經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程為除直線

其中k是待定的系數(shù)；經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程為

其中A,B是待定的系數(shù).

(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線的

交點(diǎn)的直線系方程為除12),其中九是

待定的系數(shù).(3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí),

表示平行直線系方程.與直線平行的直線系方程是

九是參變量，

(4)垂直直線系方程：與直線知)垂直的直線系方程是

是參變量.

5.點(diǎn)到直線的距離

第7頁(yè)共26頁(yè)

點(diǎn)P(xO,yO),直線1：

2

2

2

6.圓的三種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

；(2)圓的一般方程

>0).(3)圓的直徑式方程

圓的直徑的端點(diǎn)是A(xl,yl)、B(x2,y2)).

7.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)P(x0,y0)與圓在圓內(nèi).

8.直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓r的位置關(guān)

系有三種相離相切相交其中

2

2

2

2

2

2

的位置關(guān)系有三種

若

則點(diǎn)P在圓外點(diǎn)P在圓上點(diǎn)P

2

2

9.兩圓位置關(guān)系的判定方法：設(shè)兩圓圓心分別為01,02,半徑分別為rl,r2,

外離條公切線外切條公切線

相交條公切線內(nèi)切條公切線;

內(nèi)含無(wú)公切線.

10.圓的切線方程：已知圓.過(guò)圓上的P0(x0,y0)點(diǎn)的切線方程為

2

2

2

11.空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)及距離公式：3.設(shè)A(xl,yl,zl),B(x2,y2,z2),則

必修

§統(tǒng)

1.抽樣方法主要有：①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽簽法、隨機(jī)樣數(shù)表法)常常用于總體個(gè)

數(shù)較少時(shí)，

它的主要特征是從總體中逐個(gè)抽?。虎谙到y(tǒng)抽樣，常常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，

它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一個(gè)；③分層抽樣，主要特征

分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異。它們的共同特征是每個(gè)個(gè)體被

抽到的概率相等。每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比與樣本容量與總體容量的比

相等或相近。即：

每部分抽取的個(gè)體數(shù)樣本容量

該部分的個(gè)體總數(shù)總體中的個(gè)體數(shù)

2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的比較

或者

第8頁(yè)共26頁(yè)

樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確，要求能畫(huà)出頻率分布表和頻率分布直方圖.

4.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

中位數(shù)：算出來(lái)可避免極端數(shù)據(jù)，代表著數(shù)據(jù)總體的中等情況。（如果總數(shù)

個(gè)數(shù)是奇數(shù)的話，按從小到大的順序，取中間的那個(gè)數(shù)；如果總數(shù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)

的話，按從小到大的順序，取中間那兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）

眾數(shù)：一般來(lái)說(shuō)，一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就叫這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

例如：1,2,3,3,4的眾數(shù)是3。

但是，如果有兩個(gè)或兩個(gè)以上個(gè)數(shù)出現(xiàn)次數(shù)都是最多的，那么這幾個(gè)數(shù)都是這

組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

例如：1,2,2,3,3,4的眾數(shù)是2和3。

還有，如果所有數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣，那么這組數(shù)據(jù)沒(méi)有眾數(shù)。

例如：1,2,3,4,5沒(méi)有眾數(shù)。

;n

222212樣本方差：；樣

本平均數(shù)：

樣本數(shù)據(jù)xl,x2??xn的標(biāo)準(zhǔn)差必過(guò)樣本平均點(diǎn)x,y,其中b為斜

率，如，則變量x每增加5.回歸直線y

系數(shù)公式：1個(gè)單位時(shí)，變量y平均減少1個(gè)單位；線性回歸方程方程

為

第9頁(yè)共26頁(yè)

§算

2

2

2

2

法

初步

1.①畫(huà)出計(jì)算的程序框圖，如圖⑴；②對(duì)圖⑵，若

輸入

1

,則執(zhí)行程序后輸出y的值為:—2

③某城市缺水問(wèn)題比較突出，為了制定節(jié)水管理辦法，對(duì)全市居民某年的

月均用水量進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其中4位居民的月均用水量分別

為單位：噸)。根據(jù)如圖所示的程序框圖，若

xl,x2,x3,x4分別為1,1.5,1.5,2,則輸出的結(jié)果s為.④如

果執(zhí)行下面的程序框圖，如圖⑷，輸入

N=5,則輸出的數(shù)等于—；

⑤閱讀下面的程序框圖(5),運(yùn)行相應(yīng)的程序后，則輸出S的值為.

圖⑵

圖⑶

第10頁(yè)共26頁(yè)

率

1.等可能性事件的概率:

P(

2.P（A）=

m事件A包含的基本事件數(shù)m

n試驗(yàn)的基本事件總數(shù)n

構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）

（幾何概率公式）

試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）

必修

4

§三角函數(shù)

1.⑴終邊相同的角的集合：⑵角度與弧度的換算:

⑶弧長(zhǎng)與扇形的面積公式：弧長(zhǎng)，扇形面積⑷常見(jiàn)三角不等式①

若

11

2③；

,貝U；②若

則

22

2.常用三角函數(shù)不等式及相關(guān)等式的解集：

（1）①的x集合是

②的X集合是‘

③的X集合是

O

⑵①的X集合；是

②的X集合是

的x集合是

3.⑴對(duì)于三個(gè)式子，已知其中任意一個(gè)

式子的

第11頁(yè)共26頁(yè)

值，可求出其余二式的值。

⑵三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：“奇變偶不變，符號(hào)看象

限，，”

形似角中的角不論多大，都看作銳角；形似角在原名稱、原象限中的符號(hào)作

為等式右邊的符號(hào)；000

4.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)，xGR及函數(shù)，xG為常數(shù),

且A/),3>0)的周期

;函數(shù)，

2

為

常數(shù)，且AWO,3>0)的周期

5.①類(lèi)正弦函數(shù)的圖像的變換：兩種辦法殊途同歸。

②類(lèi)正弦函數(shù)y=Asin(w

□2

的參數(shù)計(jì)算：振幅

2

min

第12頁(yè)共26頁(yè)

注意：對(duì)于類(lèi)余弦函數(shù)也有以上①②相應(yīng)的結(jié)論。7.

第13頁(yè)共26頁(yè)

§平面向量

1.向量的加減法的代數(shù)結(jié)構(gòu)：⑴⑵

平面向量基本定理

如果el、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向

量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九1、九2,使得a=；Jel+九2e2.(不共線的向量el、e2叫做

表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.)

3.向量平行與垂直的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xl,yl),b=(x2,y2),且，則a〃；

4.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)：a-b=|a||b|cos0.其幾何意義：數(shù)量積a-b等于a的

長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos。的乘積.5.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴設(shè)a=(xl,yl),b=(x2,y2),則；⑵設(shè)a=(xl,yl),b=(x2,y2),

則

a-；(3)設(shè)A(xl,yl),B(x2,y2),則

(4)設(shè)，則設(shè)a=(xl,yl),b=(x2,y2),則

;6.兩向量的夾角公式：

7.平面兩點(diǎn)間的距離公式：，

B(x2,y2)).

8.①線段的定比分公式：

第14頁(yè)共26頁(yè)

(a=(xl,yl),b=(x2,y2)).

，則設(shè)PU2的分點(diǎn)是實(shí)數(shù),且PPl(xl,yl),P2(x2,y2),P(x,y)是線

段PP

()

②中點(diǎn)的向量形式：平面內(nèi)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為C,0為直線AB外任意一

點(diǎn)，則有......

2

,y設(shè)此時(shí)，則中點(diǎn)的坐標(biāo)公式：

9.三角形的重心坐標(biāo)公式：AABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(xl,yl)、B(x2,y2)、

C(x3,y3),則4ABC的重心的坐標(biāo)是G(

,)?33

10.三角形四“心”向量形式的充要條件....

設(shè)O為所在平面上一點(diǎn)，角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則

(1)O為的外心

(2)O為的重心

(3)。為的垂心

(4)。為的內(nèi)心

§三角恒等變換

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，

2

2

推論:

112

(正負(fù)號(hào)取決于所在的象限)

2.和角與差角公式

正弦平方差公式

);

輔助角所在象限由點(diǎn)(a,b)所在的象限來(lái)決定,

b

且

a

第15頁(yè)共26頁(yè)

3.二倍角公式:

sin2

；cos2

4.半角公式（降累公式）:

②

①cos2

必修

5

§數(shù)列

1.⑴自然數(shù)和公式：①

3

3

3

;②

2

222

6

⑵常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式：①

;②；

⑤

③

⑶數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系①

②（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）

③（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）

2.（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：①一般式：；②推廣形式:

*

③前n項(xiàng)和形式（注：該公式對(duì)任

意數(shù)列都適用）④前n項(xiàng)和公式為：

第16頁(yè)共26頁(yè)

⑵數(shù)列為等差數(shù)列（，（1為常數(shù)）

⑶常用性質(zhì)：①若m+n=p+q，則有；特別地：若am是an,ap

的等差中項(xiàng)，則有、m、p成等差數(shù)列；②等差數(shù)列的“間隔相

等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列，，（如，）仍

是等差數(shù)列；③為等差數(shù)列，Sn為其前，則，

也成等差數(shù)列；④.n.項(xiàng)和..

則；⑤l+2+3+,,+n=

3.⑴等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：①一般形式:

aln

;②推廣形式：q

，q

an

（視的奇數(shù)或偶數(shù)等來(lái)開(kāi)方得到q的值）am

③前n項(xiàng)和形式（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）

④前n項(xiàng)的和公式為：，或

⑵數(shù)列為等比數(shù)列

⑶常用性質(zhì)：①若m+n=p+q,則有；特別地：若am是an,ap

的等比中項(xiàng)，則有、m、p成等比數(shù)歹U;②等比數(shù)列的“間隔相等

的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列，，（如，）仍是

等比數(shù)列；③為等比數(shù)列，

2

Sn為其前n項(xiàng)和，則，也成等比數(shù)

列（當(dāng)或

者且m不是偶數(shù)時(shí)候成立）；④設(shè)等比數(shù)列｛bn｝的前為T(mén)n,則Tk,.n

項(xiàng)積?.

T2kT3k

,,TkT2k

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T4k,…成等比數(shù)列.T3k

§解三角形

abcl.⑴正弦定理：（R為外接圓的半徑，也是外接圓半

徑......sinAsinBsinC

的一種算

法。）..........

sinAsinCsinBabc①，，

abcacb②，，等；

sinAsinBsinCbac⑵余弦定理

⑶正弦定理和余弦定理的應(yīng)用解題常與三角形內(nèi)角和定理相伴。解題時(shí)注意一

種重要關(guān)系：在中，給定角A、B的正弦或余弦值，則角C的正弦或余

弦有解（即存在）

2.三角形內(nèi)角和定理：

在4ABC中，有

3.面積定理

（ha、hb、he分別表示a、b、c邊上的高）.222

111（2）

其中R為的外

接（1）

圓的半徑）

（4）

⑸（R為外接圓的半徑，也是外接圓半徑的一種算

法。）............4R1也能導(dǎo)出內(nèi)切圓半徑的一種其中r

為的內(nèi)切圓的半徑，..............2

,其中a、b為兩條直角邊，c為2算法。順便說(shuō)下，直角三角形中內(nèi)

切圓的半徑..............

斜邊。）

第18頁(yè)共26頁(yè)

(6)

⑺其中的三角....。為一個(gè)頂點(diǎn)

,海倫公式）2____________

形的面積公式）；設(shè)，則

§不等式

L常用不等式：⑴重要不等式：且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”

號(hào)）；

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=”號(hào)）；2

⑶三角形不等式：①（對(duì)于時(shí)，當(dāng)ab同號(hào)時(shí)右邊取等

號(hào)，⑵均值不等式：a

當(dāng)ab異號(hào)時(shí)左邊取等號(hào)；對(duì)于時(shí)，易判斷等號(hào)成立的條件）；

②（對(duì)于時(shí)，當(dāng)ab同號(hào)時(shí)左邊取等號(hào)，當(dāng)ab異號(hào)時(shí)右

邊取等號(hào)；對(duì)于時(shí)，易判斷等號(hào)成立的條件+）

2.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

（1）若積xy是定值p,則當(dāng)時(shí)和

yl2s.4

22推廣形式：已知，則有....（2）若和是

定值s,則當(dāng)時(shí)積xy有最大值

（1）若積xy是定值，則當(dāng)最大時(shí)最大；當(dāng)最小時(shí)最小.

（2）若和是定值，則當(dāng)最大時(shí),|xy|最??；當(dāng)最小時(shí),|xy|最大.

3.①一元二次不等式或，如果a與22

同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與異號(hào)，則其解

集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根外，異號(hào)兩根間.線小線

段”.???；對(duì)于的情形“大射

或

②簡(jiǎn)單的高次不等式的解法：數(shù)軸標(biāo)根法（穿針引線法）。注意重因式的處理,

奇次重根一次穿過(guò)，偶次重根穿而不過(guò)。

例如：23從，如圖圖中易知解

集為

4.含有絕對(duì)值的不等式，當(dāng)a>O時(shí)，有

2大射線小線段.....；或

5.①理解絕對(duì)值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條

件：

第19頁(yè)共26頁(yè)

或其中A、B不同時(shí)為0）.所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是：若

則用原點(diǎn)試，結(jié)果適合不等式，表示原點(diǎn)所在的平面區(qū)域就是。

否則，邊界的另一區(qū)域才是；

若，則用點(diǎn)或者試，方法同上。

選修

§常用邏

2-1

輯用

語(yǔ)

1.真值表（表

12.四種命題的相互關(guān)系如下圖所示

13.

（1）若

第20頁(yè)共26頁(yè)

（2）充要條件：若，且，則p是q的充要條件.

另外：如果條件最終都可化為數(shù)字范圍，則可轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系來(lái)刻畫(huà),

二者邏輯關(guān)系一目了然。

設(shè)，，①若

AB,則p是q的充分不必要條件;

②②若

BA,則p是q的必要不充分條件；③若，則p是q的充要條件。

§空間向量與立體幾

何

L空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律

(1)若，，①

②。

③夾角：.(規(guī)定：

④模長(zhǎng)公式：，

2.若A(xl,yl,zl),B(x2,y2,z2),如下圖，則

3.直線的方向向量：我們把直線1上的向量以及與e共線的向量叫做直線1

的方向向量.

4.平面的法向量：如果表示向量n則稱這個(gè)向量垂直于平面a,記作，如

果，那么向量n叫做平面a的法向量。5.用向量描述空間線面關(guān)系：設(shè)空

間兩條直線11,12的方向向量分別為el,e2,兩個(gè)平面的法向量分別為

nl,n2,則由如下結(jié)論

第21頁(yè)共26頁(yè)

6.法向量在求面面角中的應(yīng)用：

原理：一個(gè)二面角的平面角與這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量所成的角

相等或互補(bǔ)。7.法向量在求線面角中的應(yīng)用：

原理：設(shè)平面的斜線1與平面所的角為，斜線1與平面的法向量所

成角，則與互余或與利用向量求二面角的大小。

方法一：轉(zhuǎn)化為分別是在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)且與棱都垂直的兩條

直線上的兩個(gè)向量的夾角(注意：要特別關(guān)注兩個(gè)向量的方

向)...........如圖：二面角a-1-p的大小為0,A,Bel,,

AC±1,BD±1則0=<AC,BD>=<CA,DB>

方法二：先求出二面角一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面的距離及到棱的距離，然后通

過(guò)解直角三角

形求角。

如右圖：已知二面角a-1-B，在a內(nèi)取一點(diǎn)P,

過(guò)P作PO，B，及PAL,連AO,則AOL成立，NPAO角的平面角用向量

可求出|PA|及|P0|,然后解三角形PAO方法三：如右圖P為二面角a-lf內(nèi)一點(diǎn)，

作PA，a,PB±p,則NAPB與二面角的平面角互補(bǔ)。

§圓錐曲線與方程

）L①橢圓定義：（；

2222

②（即，注意）

2

2

③設(shè)P是橢圓上任意一點(diǎn)，且，則有

第22頁(yè)共26頁(yè)

222

下表是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)。

x2y2a2

(1)橢圓

焦半徑公式:

abca2

(2)橢圓的的，②A0(即1111

，注意，箕中Al、B1為同一象限內(nèi)的實(shí)頂點(diǎn)、虛頂點(diǎn),

0為坐標(biāo)原

點(diǎn)。)③設(shè)M

2

2

④設(shè)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，有

(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P落在頂點(diǎn)時(shí)取到等號(hào)。)

第23頁(yè)共26頁(yè)

是雙曲線上任意一點(diǎn)，且

2

,則有

下表是其標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何意義。

x2y2a2

(1)雙曲線的焦半徑公式:

abca2

C

⑵雙曲線的內(nèi)外部：

22x0y0x2y2

①點(diǎn)P(xO,yO)在雙曲線

的內(nèi)部；

abab

22x0y0x2y2

②點(diǎn)P(xO,yO)在雙曲線