高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 四 數(shù)列 第二講 數(shù)列的通項與求和學(xué)案 理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)學(xué)案

第二講數(shù)列的通項與求和

核心考點犬破Hexinkaodiantupo>?典例精析題型突破

考點一求數(shù)列的通項公式

數(shù)列通項公式的求法

［Si,n=L

(1)公式法：由&尸、求通項公式.

⑸一ST,

⑵累加法：由形如4+i—a產(chǎn)『5)(『(〃)是可以求和的)的遞推關(guān)系求通項公式時，常

用累加法.

(3)累乘法：由形如空infS)(/1(〃)是可以求積的)的遞推關(guān)系求通項公式時，常用累乘

法.

(4)構(gòu)造法：由形如且AW1)”的遞推關(guān)系求通項公式時，可用迭

代法或構(gòu)造等比數(shù)列法.

角度1：公式法求數(shù)列通項

［解題指導(dǎo)］

［解析］解法一：由S=2a+1,得a=22+1,所以&=—1,當(dāng)〃22時，an=Sn—

S-i=2a+l—(2&-1+1),得品=22-1,1{&}是首項為-1,公比為2的等比數(shù)列.

a1(1—7)_~(1-26)

63.

1-7-1-2

解法二：由S=2a+1,得S=2S+1,所以S=-l,當(dāng)時，由S=2a+1得S

=2(S—Sn-i)+1,即S=2ST—1,.*.57—1=2(57-1—1),又S—1=—2,?，.{S—1}是首項

為一2,公比為2的等比數(shù)列，所以S—1=—2X2〃T=-2〃，所以S=l—/，???&=1-

=—63.

［答案］—63

角度2：累加法、累乘法求數(shù)列通項

［解析］因為a〃+i—1=&+2〃,

所以當(dāng)時，為一4―1=2/?—1,

an-\—an-2=2(7?—1)—1,

a，n-2—an—3=2(〃—2)—1,

a.2—a=2X2—1,

將以上各式相加，

得dn—4=(2/7—1)+[2(7?-1)—1]+[2(n—2)—1]+…+(2X2—1)=[2〃+2(n—1)

+2(77—2)~\----F2X2]—(77—1)~D；'+4)一刀+]=(〃-1)(刀+2)一刀+1=刀2-1?

又因為a=2,所以4=〃2—l+ai=7/+l(〃三2).

當(dāng)〃=1時，a=2適合上式.

故an=n+1(〃￡N*).

[答案]A=T/+1

角度3：構(gòu)造法求數(shù)列通項

［解析］在遞推公式女尸2a+3義才的兩邊同時除以2"＜得券=,+|,所以數(shù)歹曙

是等差數(shù)歹（J,其首項為藍(lán)'=1,公差為之所以號=1+（77—1）x|=-|/7—所以an=（3/7—1）?2"

乙乙乙乙乙乙

［答案］a〃=（3"-1）?2”T

［探究追問］若本例中的"a〃+i=2a〃+3X2"”改為"a〃+i=2a〃+3X5"”，其他條件不

變，則數(shù)列｛aj的通項公式為.

［解析］解法一：在遞推公式a〃+1=2a〃+3X5"的兩邊同時除以5/，得部=|*3之

5555

①

OOOOoQ

令W=bn,則①式變?yōu)?+1=三4+'即%1—1=三（4一1）,又因為61—1=￡—1=一.

555555

39

所以數(shù)歹1HA-1｝是等比數(shù)列,其首項為一匚，公比為匚,

所以b-l

n=HM(H即g-I義官

23X2"T

所咤=i-|x15^

故a〃=5"-3X2"T.

解法二：設(shè)a〃+i+4?5"+?2(a0+#X5"),則a〃+i=2a〃-3AX5",與題中遞推公式比較

得A=—1,即a“+】一5〃+i=2(4-5"),所以數(shù)歹?。荩鸻-5"｝是首項為a一5=-3,公比為2的

等比數(shù)列，則2—5"=—3X2〃T,故a〃=5"—3X2〃T.

［答案］a〃=5"—3X2"-'

名師點撥A

求數(shù)列通項公式的兩種策略

(1)已知S與a的遞推關(guān)系求通項常用兩個思路：一是利用s—ST=A522)轉(zhuǎn)化為

&的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為S的遞推關(guān)系，先求出S與〃之間的關(guān)系，

再求a?.

(2)已知為與當(dāng)+I的遞推關(guān)系式求通項，通常結(jié)合關(guān)系式的特征采用累加、累乘、構(gòu)造

等方法.

［對點訓(xùn)練］

1.［角度11(2018?安徽合肥一模)己知數(shù)列｛aj的前〃項和為S,若31=2aL3〃,則

［解析］..,數(shù)列｛aj的前〃項和為S,3s=2a〃一3A,；.ai=S=w(2ai—3),解得a=—

o

5=可(2%一3/?)①,

O

當(dāng)時，S-i=g(2&—i—3〃+3)②,

22

①一②，得為二鼻為一鼻4―1-1

,J0

+1=—2,「.｛品+1｝是以-2為首項，—2為公比的等比數(shù)列，區(qū)+1=(—2)n,

n20182018-

an—(—2)—1，.二52018—(—2)—1=21.故選A.

［答案］A

2.［角度2］(2017?東北三校聯(lián)考)若數(shù)列面｝滿足&=1,a*+i=23,則數(shù)列｛a〃｝的通

項公式a?=.

［解析］

絲=2］，"=22,…，衛(wèi)-=2〃-1(〃)2),將這n~\個等式

Q］Qn—1

直乘得回=21+2+…+(〃一］)=2%山，故a〃=2%?.

又Q1=1滿足上式，故a”=22.

〃(〃—1)

［答案］

3.［角度3］已知數(shù)列—｝的前〃項和是S,且滿足S+a〃=2〃+l(〃GN*),則數(shù)列回｝

的通項公式為.

［解析］因為S+a=2〃+l,

3

所以當(dāng)〃=1時，&+為=2+1,解得囪=］.

當(dāng)?shù)?2時，S—1+a—i=2(〃-1)+1,

所以a,n—4-1+a=2,即為=5a-1+1,

1

2-

即an—2——(43/2-1—2),又因為al-2-

所以數(shù)歹U｛a一2｝是等比數(shù)列，其首項為一5,公比為;,

所以a?—2=—所以a=2一曲=2—p

［答案］a?=2,—^

考點二求數(shù)列的前〃項和

數(shù)列求和的方法

(1)分組求和法：分組求和法是解決通項公式可以寫成心=當(dāng)+4形式的數(shù)列求和問題

的方法，其中｛2｝與伉｝是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列.

(2)裂項相消法：將數(shù)列的通項分成兩個代數(shù)式子的差，即為=F5)的形式,

然后通過累加抵消中間若干項的求和方法.形如［片〉(其中｛aj是各項均不為0的等差數(shù)

［a，na，n-\-1J

列，C為常數(shù))的數(shù)列等.

(3)錯位相減法：形如｛a—4｝(其中｛aj為等差數(shù)列，｛4｝為等比數(shù)列)的數(shù)列求和，一

般分三步：①巧拆分；②構(gòu)差式；③求和.

(4)倒序相加法：將一個數(shù)列倒過來排序，它與原數(shù)列相加時，若有公因式可提，并且

剩余的項的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和.

角度1：裂項相消法求和

【例1】(2018?廣東七校第一次聯(lián)考)已知等差數(shù)列如“｝的前”項和為S,,,ai=

A(A>0),a?=2/S7+UN*).

+1切入點：利用a”+1=S”+1—S”轉(zhuǎn)

(D求入的值;化為S〃+1與S”的遞推關(guān)系.

(2)求數(shù)列I'一］的前”項和T“.

關(guān)鍵點：求出右，利用裂項相消法

求和.

［解題指導(dǎo)］(1)

求出S/f|求出)

(2)|由(1)求出a1——--裂成兩項一|求和

--------Q必〃+］----

[解](l)&+i=S+i—S,代入4+i=2?^+l,

得S+i—S=2，2+1,整理可得S+i=(，￡+1):

因為S>0,所以二一"&=1，

所以數(shù)列h何｝是首項為盧，公差為1的等差數(shù)列，

所以+(77—1)=n+yj^-1,Sn=—I)：

<

當(dāng)?shù)?2時，an=Sn—Sn-\=2n+2y\~^—i,

???a+i—a=2,因為數(shù)列｛a｝為等差數(shù)列，

所以。2—a=2y/~^+1—4=2,解得4=1.

(2)由(1)可得an=2n—l,

]_]」(11)

所以a〃a0+i=(2〃-1)(2〃+1)=5X\2n~\~2n+\J，

111

因為T—

n劣4+1

111

十

所以-X--11

23315+,l5_7i+.+,2T7-12〃+MJ-5_4_〃+2,

角度2：錯位相減法求和

【例2】(2018?合肥二模)已知在數(shù)列｛斯｝中，01=2,〃2=4,且依x

=3<2?—2a”—i(〃)2).

J222：------------------------------------------------------>切入點：由即間的遞推關(guān)系式變形構(gòu)造

(1)證明：婺M蟲二至經(jīng)鯉烈，并求翹回1螭更繆；.--->

L2222222222222：________________________……J等比數(shù)列.

L>關(guān)鍵點：累加法求通項公式.

(2)令?！?紅二工，求數(shù)列｛6”｝的前"項和T,,,

an關(guān)鍵點：由即得出｛與｝的通項公式，結(jié)合

r^22r.----------------------------------------->

特征選擇適當(dāng)?shù)那蠛头椒?

構(gòu)造數(shù)列n—,-----------------累加法

［解題指導(dǎo)1(1)f求出a—a

U?+i—a?)fl+1n

求an

求｛“J前〃項和

［解］(1)證明：由&+1=3a-2為-1(〃22),得a+i—a=2(a一a-1),

因此數(shù)列｛為+1一為｝是公比為2,首項為/一2=2的等比數(shù)列.

n2nl

所以當(dāng)時，an—an-\=2X2~=2~,

=1/?2

an(a—a-)+(”—i—劣―2)+…+(/-Si)+包=(2"+2+***+2)+2=2”,

當(dāng)〃=1時，也符合，故劣=2”.

(2)由(1)知4=與工，

135

所以北=,+了+亍H------F

113,5,?2/7-1^

北=夕+水+卜￡+1②

5乙乙乙m乙H----乙

……/口11222..2277-1

①一②，得萬北=5+夕+"+寸H-----卜夕一"+1

乙乙乙乙乙乙乙

12/7-1

=屈2$+撲攝+…+32〃一

1

+

2-

2〃+3

所以方=3

2〃

|名師點撥A

數(shù)列求和的解題策略

(D解決數(shù)列求和問題，一般首先確定數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)其結(jié)構(gòu)形式，采取相

適應(yīng)的求解方法.

(2)裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差，裂項相消后，前、后保留的項數(shù)一樣多.

(3)用錯位相減法求和時，要注意找準(zhǔn)項數(shù)、開始的項和結(jié)束的項，不要漏項或加項.在

錯位相減后一定要注意其中各個項的結(jié)構(gòu)，特別是相減后得到的和式的第一項是否可以和后

續(xù)的項組成等比數(shù)列.

［對點訓(xùn)練］

1.［角度1］(2018?濟南模擬)已知等差數(shù)列｛aj的前n項和為S,公差為4若必￡

為函數(shù)f(x)=(x—2)(x—99)的兩個零點且d<S).

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

1

(2)若4=(z?eN,),求數(shù)列—｝的前n項和Tn.

［解］(1)因為&S為函數(shù)f(x)=(x—2)(x—99)的兩個零點且點S,

所以d=2,S=99,

又因為

所以X2=99,解得2=3,

所以｛a｝是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,

所以a=劭+(77—1)d=2〃+l.

/、11

(2)-：b=-^=~產(chǎn)=I---------~I—

n7&y2n+3+y^2n+l

_~\/2〃+3—

=「2,

2.［角度2］數(shù)列｛aj的前〃項和為￡,對于任意的正整數(shù)〃都有2〉0,4￡=(a+1)2.

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

⑵設(shè)4=/，1=設(shè)+二T---tbn,求7L

0

［解］⑴依題意得4S=(品+1):貝I4S—i=(a一1+1)二刀22.

將上述兩式相減可得，4劣=濕一an-\-\-2an—2an-\.

即(為+4-1)(a一an-i—2)=0,〃22.

?a〃〉0,??Q，n-H3>n—1>09

??<3/2Q-n—1I2.

又4s=4劭=(2+1)。解得百=1.

??&=2/71.

⑵由(1)可得4=(2〃-1)?

則北=1弓+3./+5?8+…+(2f

*1?歙+3?^+-+(2/7-3)?椒+(2f?(獷

將上述兩式相減得，

|謂+2?［0+2?8+…+2?(+(2f.(護

_22(/7+1)

33⑶，

Tn=l—(zz+l)?"

后考真題體驗匕

aokaozhentitiyan>?細(xì)研真題探明考向

1.(2017?全國卷III)設(shè)數(shù)列｛aj滿足ai+3az+…+(2〃-1)4=2〃.

(1)求｛&｝的通項公式；

(2)求數(shù)列［告1的前〃項和.

\CJ11ILI

［解］⑴因為81+3/+…+(2〃-1)an=2n,故當(dāng)時，國+3a2+…+(2〃-3)an-\

=2(7?—1).

9

兩式相減得(2刀-1)a=2,所以為----(/?^2).

277—1

2

又由題設(shè)可得囪=2也適合上式，從而｛4｝的通項公式為~~-

277—1

(2)記［2,J的前11項和為S.

.I/>.,3，n211

由矢口2〃+1=(2〃+1)(2〃-1)=2〃一1—2〃+1'

皿11.11.?112/7

川&=7-3+3-5^12A一12〃+1=2。+1

2.(2017?天津卷)已知｛aj為等差數(shù)列，前〃項和為S(〃GN*),｛4｝是首項為2的等

比數(shù)列，且公比大于0,&+&=12,左=a—2a”51=1164.

(1)求｛aj和伍｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛曲甌-J的前n項和(〃GN*).

［解］(1)設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為4等比數(shù)列｛&J的公比為4由已知質(zhì)+為=12,得

4(。+/)=12,而打=2,所以爐+1一6=0.又因為g>0,解得夕=2.所以4=2".

由物=34-2&,可得3d—ai=8.①

由SU=1164,可得ai+5d=16,②

聯(lián)立①②，解得ai=l,d=3,由此可得&=3〃-2.

所以數(shù)列同｝的通項公式為a0=3〃一2,

數(shù)列伉｝的通項公式為4=2".

(2)設(shè)數(shù)列｛a2?b2?-i｝的前n項和為T?,

由ain=6n—2,^-i=2X4"-1,

有曲風(fēng)T=(3A—1)X4",故

7；=2X4+5X42+8X43H-----F(3〃-1)X4",

47；=2X42+5X43+8X44H-----卜(3〃-4)X4"+(3〃-1)X4"+1,

上述兩式相減，得

12X(1—4”)

-37；=2X4+3X42+3X43H----F3X4"—(3〃-1)X40+1

~i771-4-(3z?-

1）X4"i=—（3A—2）X4°+1-8.

得。=迎合義4"+|十*

oo

所以數(shù)列｛電弧的前n項和為包產(chǎn)乂4m+*

OU

感悟高考A

i.高考主要考查兩種基本數(shù)列（等差數(shù)列、等比數(shù)列）、兩種數(shù)列求和方法（裂項求和法、

錯位相減法）、兩類綜合（與函數(shù)綜合、與不等式綜合），主要突出數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.

2.若以解答題形式考查，數(shù)列往往與解三角形在17題的位置上交替考查，試題難度中

等；若以客觀題考查，難度中等的題目較多，但有時也出現(xiàn)在第12題或16題位置上，難度

偏大，復(fù)習(xí)時應(yīng)引起關(guān)注.

名師微課導(dǎo)學(xué)Mingshiweikedaoxue?…》》技巧點撥升華素養(yǎng)

熱點課題11數(shù)學(xué)文化中的數(shù)列問題

應(yīng)用舉例破題關(guān)鍵點

【僅1】（2018?河北調(diào)研）“珠算之父”程大位是我國明代偉大的數(shù)學(xué)家，他的應(yīng)用數(shù)學(xué)

巨著《算法統(tǒng)宗》的問世，標(biāo)志著我國的算法由籌算到珠算轉(zhuǎn)變的完成.程大位在

《算法統(tǒng)宗》中常以詩歌的形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，其中有一首“竹筒容米”問題的詩歌：

切入點：各節(jié)容積依次成

>等差數(shù)列.

生迭夔青康矮也蝮蟆町袈重.）用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識求得中間兩節(jié)的容

〉關(guān)鍵點:古文譯注.

積為

A.1.9升B.2.1升C.2.2升D.2.3升

規(guī)范解答構(gòu)建課題模板

［解析:］由題意知，各節(jié)容積依次構(gòu)成等差數(shù)列，記為｛%｝,設(shè)從下至上各節(jié)容積分別第一步讀懂題意：會脫去數(shù)

學(xué)文化的背景，轉(zhuǎn)化為相關(guān)

為a1,a2，…，。9，公差為d.

（a］+（a］+d）+（ai+2d）=3.9,數(shù)學(xué)知識.

由題意得1

［（。1+54）+（可+6d）+（。1+74）+（即+8d）=3,第二步構(gòu)建模型：構(gòu)建等差

數(shù)列或等比數(shù)列或遞推關(guān)系

解得即=1.4,J=—0.1.

式的數(shù)列模型.

???中間兩節(jié)的容積為〃4+。5=（1.4—0.1乂3）+（1.4—0.1乂4）=2.1（升）.故選B.

第三步求解模型：利用所學(xué)

［:答案：］B

知識求解數(shù)列的相關(guān)信息.

［感悟體驗］

1.（2017?全國卷H）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七

層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了

381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

［解析］由題意可知，由上到下燈的盞數(shù)a”az,as,…，a?構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)

列，.?.&=*=）=381,；.&=3.故選民

1—N

［答案］B

2.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二

人所得與下三人等，問各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢，甲、

乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問五

人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）這個問題中，甲所得為（）

A.3錢B.黑C.g錢D.戔

5

［解析］依題意，設(shè)甲所得為團，公差為4則ai+a2=a3+&+a5=5，即2團+d=34

544

+9d=5,解得a尸耳，所以甲得碑.故選B.

［答案］B

專題跟蹤訓(xùn)練（十九）

一、選擇題

1.（2018?安徽淮南一模）已知｛a｝中，a=/72+An,且｛aj是遞增數(shù)列，則實數(shù)八的

取值范圍是（）

A.（—2,+°°）B.［—2,+°0）

C.（-3,+8）D.［-3,+8）

［解析］：｛a〃｝是遞增數(shù)列，.\V〃GN*,an+i>a?,

（〃+1）~+八（z?+l）>zf+An,

化簡得—（2z?+1）,A>—3.故選C.

［答案］C

\a?+2,〃是奇數(shù)，

2.（2018?信陽二模）已知數(shù)列｛aj中，ai—a2=l,a?+2=\則數(shù)列

［2a?,〃是偶數(shù)，

回｝的前20項和為（）

A.1121B.1122C.1123D.1124

［解析］由題意可知，數(shù)列｛a?”｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列｛az”一｝是首項

為1,公差為2的等差數(shù)歹!J,故數(shù)列｛a｝的前20項和為I'：2）+10X1+3^x2=1123.

選C.

洛案］C

3.（2018?石家莊一模）已知正項數(shù)列｛a｝中，3i=lf且（〃+2）4+1—（刀+1）忒+劣劣+1

=0,則它的通項公式為（）

12

A-a產(chǎn)行IB.

n+2

C?Q，n2D.3，n=n

［解析］因為(刀+2)W+i—(〃+1)^+劣為+1=0,所以［(〃+2)為+i—(刀+1)劣］,(2+1+

&?+l77+1

a）=0.又｛a｝為正項數(shù)列，所以（刀+2）&+L（7?+1）劣=0,即，

&7A+2'

Hn3-n—1&nn~122l,

則當(dāng)?shù)?2時，a—---?----一?ai=--?---晨匚市?又：國=1也

n3，n~l3，n~2a\n-v1n

2

適合,區(qū)=1+］,故選B.

［答案］B

4.（2018?廣東茂名二模）S是數(shù)列｛aj的前A項和，且W〃GN*都有2s=3a〃+4,則S

A.2—2X3”B.4X3”

C.-4X3"TD.-2-2X3"T

［解析］：2S=3a〃+4,；.2S=3(S—ST)+4(〃22),變形為S—2=3(ST—2),又

〃=1時,25=35+4,解得S=—4,2=-6..?.數(shù)歹［J｛￡—2｝是等比數(shù)列，首項為-6,

公比為3.二￡-2=-6X3-1,可得$=2-2X30.故選A.

［答案］A

5.(2018?河北石家莊一模)若數(shù)列｛2｝滿足a=2,^=-~~則曲H8的值為()

+11—區(qū)

11

2-3---

A.B.C.2D.3

［解析］Vai=2,a-T，—3,同理可得：備=弓氏=2,…,

可得劣+4=劣，則^2018-5504X4+2=3,2=-3.故選B.

［答案］B

6.數(shù)列｛a｝滿足劭=2,4+1=4(2>0,〃￡N*),則為=()

A.ICT?B.IO”TC.10277"1D.22小

［解析］因為數(shù)列｛a｝滿足a=2,a+產(chǎn)濕(為>0,〃￡N*),

所以log2品+l=21og2d/7,

即與g=2.

Iog2a?

又ai=2,所以log2ai=log22=l.

故數(shù)列｛logzaj是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

所以log2a〃=2"T,即a〃=22〃T.

［答案］D

二、填空題

7.(2018?河南新鄉(xiāng)三模)若數(shù)列｛a〃+i—a.｝是等比數(shù)列，且&=1,a?=2,&=5,則

4=.

［解析］&=1,含—功=3,7—3,

「?a+1-4=3"I???當(dāng)力22時，an—ai=&—2+&-/+…+a—i—an-2-\-an—&i=l

1一『

+3+-+3/?-2=-

1—O

??_?3^+1_必中人,3”一+1

?311,??d-n2?&1也適合，??3，n之,

［答案］―一

8.已知數(shù)列｛aj中，ai=3,且點只(a〃，a〃+i)(〃GN*)在直線4x—y+l=0上，則數(shù)列

｛aj的通項公式為.

［解析］因為點已⑸，a〃+i)(AGN*)在直線4x—y+l=0上，

所以4a〃-a〃+i+l=0.

所以<9/?+1+H&+g.

因為a=3,所以2+鼻=學(xué).

OO

故數(shù)列卜+苴是首項為學(xué)，公比為4的等比數(shù)列.

所以a+9=學(xué)義4"7,故數(shù)列｛品｝的通項公式為2=學(xué)義4"7一

jjoo

［答案］^=^X4/?-1—1

77JI

9.(2018?山西大同模擬)已知數(shù)列｛a｝的通項公式為a=(—1)”(2刀一1)-cos—+1(/7

￡N*),其前刀項和為S,則&o=.

［解析］由題意可得，當(dāng)〃=4A—3(4￡N*)時，an=a4k-3=l；當(dāng)〃=44一2(A《N