中考初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講第40講解直角三角形

第40講解直角三角形

【考題導(dǎo)向】

本部分主要把握用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的

實(shí)際問(wèn)題.正確地建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型以及熟悉測(cè)量，航海，航空，

工程等實(shí)際問(wèn)題中的常用概念是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.

注意：（1）準(zhǔn)確理解幾個(gè)概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角.

（2）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵是畫(huà)出符合題意的圖形.（3）在一些

問(wèn)題中要根據(jù)需要添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形，?從而轉(zhuǎn)化為解直角三角形

的問(wèn)題

【考點(diǎn)精練】

考點(diǎn)1：解直角三角形

【典例】（2018?無(wú)錫）已知AABC中，AB=10,AC=2J%/B=30°,則AABC的面積等于.

【同步練】（2018?香坊區(qū)）如圖，在AABC中，AB=AC,tanZACB=2,D在aABC內(nèi)部，且

AD=CD,ZADC=90°,連接BD,若4BCD的面積為10,則AD的長(zhǎng)為.

考點(diǎn)2：解直角三角形——仰角、俯角問(wèn)題

【典例】（2018?遵義）如圖，吊車在水平地面上吊起貨物時(shí)，吊繩BC與地面保持垂直，吊

臂AB與水平線的夾角為64°,吊臂底部A距地面1.5m（計(jì)算結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)

據(jù)sin64°弋0.90,cos64°七0.44,tan64°弋2.05）

（1）當(dāng)?shù)醣鄣撞緼與貨物的水平距離AC為5m時(shí)，吊臂AB的長(zhǎng)為m.

（2）如果該吊車吊臂的最大長(zhǎng)度AD為20m,那么從地面上吊起貨物的最大高度是多少？（吊

鉤的長(zhǎng)度與貨物的高度忽略不計(jì)）

：D

【同步練】(2018?資陽(yáng))如圖是小紅在一次放風(fēng)箏活動(dòng)中某時(shí)段的示意圖，她在A處時(shí)的

風(fēng)箏線(整個(gè)過(guò)程中風(fēng)箏線近似地看作直線)與水平線構(gòu)成30°角，線段AAi表示小紅身高

1.5米.

(1)當(dāng)風(fēng)箏的水平距離AC=18米時(shí)，求此時(shí)風(fēng)箏線AD的長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)她從點(diǎn)A跑動(dòng)9我米到達(dá)點(diǎn)B處時(shí)，風(fēng)箏線與水平線構(gòu)成45°角，此時(shí)風(fēng)箏到達(dá)

點(diǎn)E處，風(fēng)箏的水平移動(dòng)距離CF=10遮米，這一過(guò)程中風(fēng)箏線的長(zhǎng)度保持不變，求風(fēng)箏原

來(lái)的高度GD.

考點(diǎn)3：解直角三角形——方向角問(wèn)題

【典例】（2018廣西桂林）（8.00分）如圖所示，在某海域，一般指揮船在C處收到漁船在

B處發(fā)出的求救信號(hào)，經(jīng)確定，遇險(xiǎn)拋錨的漁船所在的B處位于C處的南偏西45。方向上,

且BC=60海里；指揮船搜索發(fā)現(xiàn)，在C處的南偏西60°方向上有一艘海監(jiān)船A,恰好位于B

處的正西方向.于是命令海監(jiān)船A前往搜救，已知海監(jiān)船A的航行速度為30海里/小時(shí)，問(wèn)

漁船在B處需要等待多長(zhǎng)時(shí)間才能得到海監(jiān)船A的救援？（參考數(shù)據(jù)：加-1.41,8

1.73,加心2.45結(jié)果精確到0.1小時(shí)）

北|

西___________________東

南

【同步練】（2018湖南湘西州）（8.00分）如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路1經(jīng)過(guò)A、

B兩個(gè)景點(diǎn)，景區(qū)管委會(huì)又開(kāi)發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)C.經(jīng)測(cè)量，C位于A的北偏東60°的方

向上，C位于B的北偏東30°的方向上，且AB=10km.

（1）求景點(diǎn)B與C的距離；

（2）為了方便游客到景點(diǎn)C游玩，景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)C向公路1修一條距離最短的公

路，不考慮其他因素，求出這條最短公路的長(zhǎng).（結(jié)果保留根號(hào)）

考點(diǎn)4：解直角三角形——坡比問(wèn)題

【典例】（2018?徐州）如圖，一座堤壩的橫截面是梯形，根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，求壩高和

壩底寬（精確到0.1m）參考數(shù)據(jù)：72^1.414,、行Q1.732

【同步練】（2018古呼和浩特）（7.00分）如圖，一座山的一段斜坡BD的長(zhǎng)度為600米，

且這段斜坡的坡度i=l：3（沿斜坡從B到D時(shí)，其升高的高度與水平前進(jìn)的距離之比）.已

知在地面B處測(cè)得山頂A的仰角為33°,在斜坡D處測(cè)得山頂A的仰角為45°.求山頂A

到地面BC的高度AC是多少米？（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可）

B

考點(diǎn)5：解直角三角形一其它實(shí)際問(wèn)題

【典例】（2018?紹興）如圖1,窗框和窗扇用“滑塊錢鏈”連接，圖3是圖2中“滑塊錢

鏈”的平面示意圖，滑軌MN安裝在窗框上，托懸臂DE安裝在窗扇上，交點(diǎn)A處裝有滑塊,

滑塊可以左右滑動(dòng)，支點(diǎn)B,C,D始終在一直線上，延長(zhǎng)DE交MN于點(diǎn)F.己知AC=DE=20cm,

AE=CD=10cm,BD=40cm.

（1）窗扇完全打開(kāi)，張角NCAB=85°,求此時(shí)窗扇與窗框的夾角/DFB的度數(shù)；

（2）窗扇部分打開(kāi)，張角NCAB=60°,求此時(shí)點(diǎn)A,B之間的距離（精確到0.1cm）.

（參考數(shù)據(jù)：73^1.732,76^2.449）

【同步練】（2018?臨沂）如圖，有一個(gè)三角形的鋼架ABC,ZA=30°,ZC=45°,AC=2（yfj

+1）＞n.請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明，工人師傅搬運(yùn)此鋼架能否通過(guò)一個(gè)直徑為2.Im的圓形門？

B

【真題演練】

1.（2018?綿陽(yáng)）一艘在南北航線上的測(cè)量船，于A點(diǎn)處測(cè)得海島B在點(diǎn)A的南偏東30°

方向，繼續(xù)向南航行30海里到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，測(cè)得海島B在C點(diǎn)的北偏東15°方向，那么海島

B離此航線的最近距離是（）（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）（參考數(shù)據(jù)：?七1.732,V2

?=1.414）

A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里

2.（2018?長(zhǎng)春）如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點(diǎn)A、B在同一

水平面上）.為了測(cè)量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機(jī)從A地出發(fā)，垂直上升800米

到達(dá)C處，在C處觀察B地的俯角為a，則A、B兩地之間的距離為（）

A.800sina米B.800tana米C.邈米D.顏，米

sinQtana

3.（2018?重慶）如圖，旗桿及升旗臺(tái)的剖面和教學(xué)樓的剖面在同一平面上，旗桿與地面垂

直，在教學(xué)樓底部E點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂端的仰角NAED=58°,升旗臺(tái)底部到教學(xué)樓底部的距離

DE=7米，升旗臺(tái)坡面CD的坡度i=l：0.75,坡長(zhǎng)CD=2米，若旗桿底部到坡面CD的水平距

離BC=1米，則旗桿AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin58°^0.85,cos58°心0.53,

tan58°21.6）

A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米

4.（2018?重慶）如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學(xué)從建筑物底端B出發(fā)，先

沿水平方向向右行走20米到達(dá)點(diǎn)C,再經(jīng)過(guò)一段坡度（或坡比）為i=l：0.75、坡長(zhǎng)為10

米的斜坡CD到達(dá)點(diǎn)D,然后再沿水平方向向右行走40米到達(dá)點(diǎn)E（A,B,C,D,E均在同

一平面內(nèi)）.在E處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為24°,則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：

sin24°*0.41,cos24°々0.91,tan24°=0.45)()

A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米

5.（2018?眉山）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形

的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)0,則tan/A0D=.

6.(2018?齊齊哈爾)四邊形ABCD中，BD是對(duì)角線，ZABC=90°,tanZABD=—,AB=20,

4

BC=10,AD=13,則線段CD=.

7.（2018?寧波）如圖，某高速公路建設(shè)中需要測(cè)量某條江的寬度AB,飛機(jī)上的測(cè)量人員

在C處測(cè)得A,B兩點(diǎn)的俯角分別為45°和30°.若飛機(jī)離地面的高度CH為1200米，且點(diǎn)

11,A,B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為米（結(jié)果保留根號(hào)）.

8.（2018?長(zhǎng)沙）為加快城鄉(xiāng)對(duì)接，建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對(duì)A、B兩地間的公路進(jìn)行

改建.如圖，A、B兩地之間有一座山.汽車原來(lái)從A地到B地需途徑C地沿折線ACB行駛，

現(xiàn)開(kāi)通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛.已知BC=80千米，NA=45°,ZB=30°.

（1）開(kāi)通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？

（2）開(kāi)通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1千米）（參

考數(shù)據(jù)：我七141,6-1.73）

9.（2018?隨州）隨州市新源水一橋（如圖1）設(shè)計(jì)靈感來(lái)源于市花--蘭花，采用蝴蝶蘭

斜拉橋方案，設(shè)計(jì)長(zhǎng)度為258米，寬32米，為雙向六車道，2018年4月3日通車.斜拉橋

又稱斜張橋，主要由索塔、主梁、斜拉索組成.某座斜拉橋的部分截面圖如圖2所示，索塔

AB和斜拉索（圖中只畫(huà)出最短的斜拉索DE和最長(zhǎng)的斜拉索AC）均在同一水平面內(nèi)，BC在

水平橋面上.已知/ABC=NDEB=45°,ZACB=30°,BE=6米，AB=5BD.

（1）求最短的斜拉索DE的長(zhǎng)；

（2）求最長(zhǎng)的斜拉索AC的長(zhǎng).

10.（2018?常德）圖1是一商場(chǎng)的推拉門，已知門的寬度AD=2米，且兩扇門的大小相同（即

AB=CD）,將左邊的門ABBA繞門軸AAi向里面旋轉(zhuǎn)37°,將右邊的門CDDC繞門軸DD向外

面旋轉(zhuǎn)45°,其示意圖如圖2,求此時(shí)B與C之間的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）.（參考數(shù)

據(jù)：sin37°弋0.6,cos37°七0.8加F.4)

圖1圖2

11.（2018遼寧撫順）（12.00分）如圖，BC是路邊坡角為30°,長(zhǎng)為10米的一道斜坡，

在坡頂燈桿CD的頂端D處有一探射燈，射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的夾角

NDAN和NDBN分別是37°和60°（圖中的點(diǎn)A、B、C、D、M、N均在同一平面內(nèi)，CM〃AN）.

（1）求燈桿CD的高度；

（2）求AB的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：73=1.73.sin37°-060,cos37°

弋0.80,tan37°弋0.75）

【拓展研究】

（2018?嘉興）如圖1,滑動(dòng)調(diào)節(jié)式遮陽(yáng)傘的立柱AC垂直于地面AB,P為立柱上的滑動(dòng)調(diào)節(jié)

點(diǎn)，傘體的截面示意圖為aPDE,F為PD的中點(diǎn)，AC=2.8m,PD=2m,CF=lm,ZDPE=20°,

當(dāng)點(diǎn)P位于初始位置P。時(shí)，點(diǎn)D與C重合（圖2）.根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)太陽(yáng)光線與PE垂直

時(shí)，遮陽(yáng)效果最佳.

（1）上午10：00時(shí)，太陽(yáng)光線與地面的夾角為65°（圖3）,為使遮陽(yáng)效果最佳，點(diǎn)P

需從P。上調(diào)多少距離？（結(jié)果精確到0.1m）

（2）中午12：00時(shí)，太陽(yáng)光線與地面垂直（圖4）,為使遮陽(yáng)效果最佳，點(diǎn)P在（1）的

基礎(chǔ)上還需上調(diào)多少距離？（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin70°^0.94,cos70°弋

0.34,tan70°g2.75,M心1.41,正七1.73）

第40講解直角三角形（解析版）

【考題導(dǎo)向】

本部分主要把握用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的

實(shí)際問(wèn)題.正確地建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型以及熟悉測(cè)量，航海，航空，

工程等實(shí)際問(wèn)題中的常用概念是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.

注意：（1）準(zhǔn)確理解幾個(gè)概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角.

（2）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵是畫(huà)出符合題意的圖形.（3）在一些

問(wèn)題中要根據(jù)需要添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形，?從而轉(zhuǎn)化為解直角三角形

的問(wèn)題

【考點(diǎn)精練】

考點(diǎn)1：解直角三角形

【典例】（2018?無(wú)錫）已知AABC中，AB=10,AC=2J%/B=30°,則AABC的面積等于.

【分析】作ADJ_BC交BC（或BC延長(zhǎng)線）于點(diǎn)D,分AB、AC位于AD異側(cè)和同側(cè)兩種情況,

先在RtAABD中求得AD、BD的值，再在RtAACD中利用勾股定理求得CD的長(zhǎng)，繼而就兩種

情況分別求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式求解可得.

【解答】解：作ADLBC交BC（或BC延長(zhǎng)線）于點(diǎn)D,

①如圖1,當(dāng)AB、AC位于AD異側(cè)時(shí)，

在Rt/XABD中,VZB=30°,AB=10,

；.AD=ABsinB=5,BD=ABcosB=5b，

在RlaACI）中，

???CD=VAC2-AD2=V（2VT）2-52=0

則BC=BD+CD=6?,

S,BC?AD=X6<^3X5=15<>y3'

②如圖2,當(dāng)AB、AC在AD的同側(cè)時(shí)，

圖2

由①知，BD-5^3，CD=，5，

則BC二BD-CD=4遂，

.1.S&**?BC?AD弓X4?X5=10

綜上，△ABC的面積是156或10?,

故答案為156或1()

【同步練】(2018?香坊區(qū))如圖，在△ABC中，AB=AC,tan/ACB=2,D在aABC內(nèi)部，且

AD=CD,ZADC=90°,連接BD,若4BCD的面積為10,則AD的長(zhǎng)為.

【分析】作輔助線，構(gòu)建全等三角形和高線DH,設(shè)CM=a,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三

角函數(shù)表示AC和AM的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積表示DH的長(zhǎng)，證明△ADGZ/XCDH(AAS),可得

DG=DII=MG^—,AG=CH=ai—,根據(jù)AM=AG+MG,列方程可得結(jié)論.

aa

【解答】解：過(guò)D作DH_LBC于H,過(guò)A作AM_LBC于M,過(guò)D作DG_LAM于G,

設(shè)CM=a>

VAB=AC,

ABC=2CM=2a,

VtanZACB=2,

.AM_9

CM

；.AM=2a,

由勾股定理得：AC=Jga,

SABDC==BC?DH=10?

2

y*2a*DH=10'

DH=—,

a

,/ZDHM=ZHMG=ZMGD=90°,

四邊形DIIMG為矩形，

AZHDG=90°=/HDC+NCDG,DG=HM,1)H=MG,

VZADC=90°=/ADC+NCDG,

ZADG=ZCDH,

在AADG和中，

'NAGD=/CHD=90°

ZADG=ZCDH，

AD=CD

.,.△ADG^ACDH(AAS),

；.DG=DH=MG=W,AG=CH=a+—,

aa

；.AM=AG+MG,

BP2a=a+—i—,

aa

a2=20,

在RtZkADC中,AD2+CD2=AC2,

VAD=CD,

.,.2AD2=5a2=100,

.?.AD=50或-50(舍)，

故答案為：572--

【點(diǎn)評(píng)】綜合運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)來(lái)解直角三角形.

考點(diǎn)2：解直角三角形——仰角、俯角問(wèn)題

【典例】（2018?遵義）如圖，吊車在水平地面上吊起貨物時(shí)，吊繩BC與地面保持垂直，吊

臂AB與水平線的夾角為64°,吊臂底部A距地面1.5m.(計(jì)算結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)

據(jù)sin64°g0.90,cos64°七0.44,tan64°^2.05)

(1)當(dāng)?shù)醣鄣撞緼與貨物的水平距離AC為5m時(shí)，吊臂AB的長(zhǎng)為m.

(2)如果該吊車吊臂的最大長(zhǎng)度AD為20m,那么從地面上吊起貨物的最大高度是多少？(吊

鉤的長(zhǎng)度與貨物的高度忽略不計(jì))

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可；

(2)過(guò)點(diǎn)D作DHL地面于H,利用直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可.

【解答】解：(1)在RtZ\ABC中，

VZBAC=64°,AC=5m,

AC

'AB=---中—-5+0.44—11.4(m);

cosb4

故答案為：IL4；

(2)過(guò)點(diǎn)D作DHL地面于H,交水平線于點(diǎn)E,

VAD=20m,ZDAE=64°,EH=1.5m,

.,.DE=sin64°XAD^20X0.18(m),

BPDH=DE+EH=18+1.5=19.5(m),

答：如果該吊車吊臂的最大長(zhǎng)度AD為20m,那么從地面上吊起貨物的最大高度是19.5m.

【同步練】(2018?資陽(yáng))如圖是小紅在一次放風(fēng)箏活動(dòng)中某時(shí)段的示意圖，她在A處時(shí)的

風(fēng)箏線(整個(gè)過(guò)程中風(fēng)箏線近似地看作直線)與水平線構(gòu)成30°角，線段AAi表示小紅身高

1.5米.

(1)當(dāng)風(fēng)箏的水平距離AC=18米時(shí)，求此時(shí)風(fēng)箏線AD的長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)她從點(diǎn)A跑動(dòng)90米到達(dá)點(diǎn)B處時(shí)，風(fēng)箏線與水平線構(gòu)成45°角，此時(shí)風(fēng)箏到達(dá)

點(diǎn)E處，風(fēng)箏的水平移動(dòng)距離CF=10遙米，這一過(guò)程中風(fēng)箏線的長(zhǎng)度保持不變，求風(fēng)箏原

來(lái)的高度CD

【分析】(1)在RtAACD中，由AD=—嚓7k可得答案；

cosZCAD

(2)設(shè)AF=x米，則BF=AB+AF=9亞+x,在RtaBEF中求得AD=BE=——5——=18+亞x,

cosNEBF

山cosNCAD=坐可建立關(guān)于x的方程，解之求得x的值，即可得出AD的長(zhǎng)，繼而根據(jù)

AD

CD=ADsinZCAD求得CD從而得出答案.

【解答】解：(1)?.?在RtZ\ACD中，cosZCAD=—,AC=18,ZCAD=30°,

AD

???AD=缶r*亭21米)，

答：此時(shí)風(fēng)箏線AD的長(zhǎng)度為12f米；

（2）設(shè)AF=x米，則BF=AB+AF=9?+x（米），

M+x

在RtZ\BEF中，BE-————=Jo=18+打（米），

cosZEBF

2

由題意知AD=BE=18+J^x（米），

VCF=10V3.

.,.AC=AF+CF=10?+x,

由cMA端可得醇黯,

解得：x=3j分2?,

貝l」AD=18+?（3亞+2?）=24+3加,

.\CD=ADsinZCAD=（24+3加）X既竺粵2

則CiD=CD+C￡=2牡3遍+2=27+3&,

222

答：風(fēng)箏原來(lái)的高度3D為27+3遍米.

2

【點(diǎn)評(píng)】1.利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即利用解直角三角形的知識(shí)去解決.2.解題時(shí)注意仰角、俯角概念的含

義.

考點(diǎn)3：解直角三角形——方向角問(wèn)題

【典例】（2018廣西桂林）（8.00分）如圖所示，在某海域，一般指揮船在C處收到漁船在

B處發(fā)出的求救信號(hào)，經(jīng)確定，遇險(xiǎn)拋錨的漁船所在的B處位于C處的南偏西45°方向上,

且BC=60海里；指揮船搜索發(fā)現(xiàn)，在C處的南偏西60°方向上有一艘海監(jiān)船A,恰好位于B

處的正西方向.于是命令海監(jiān)船A前往搜救，已知海監(jiān)船A的航行速度為30海里/小時(shí)，問(wèn)

漁船在B處需要等待多長(zhǎng)時(shí)間才能得到海監(jiān)船A的救援？（參考數(shù)據(jù)：V2^1-41,G

1.73,、后-2.45結(jié)果精確到0.1小時(shí)）

北|

【分析】延長(zhǎng)AB交南北軸于點(diǎn)D,則ABLCD于點(diǎn)D,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解

答即可.

【解答】解：因?yàn)锳在B的正西方，延長(zhǎng)AB交南北軸于點(diǎn)D,則AB1CD于點(diǎn)D

VZBCD=45°,BD±CD

；.BD=CD

在RtZ\BDC中，；cos/BCD=里，BC=60海里

BC

即cos45°=CD解得CD=30\歷每里

60-2

.-.BD=CD=30&海里

在RtZSADC中，：tan/ACD=坦

CD

即tan60°=」%=?,解得加=3麗海里

3072

VAB=AD-BD

??-AB=30A/6-3072-30（遍飛）海里

??,海監(jiān)船A的航行速度為30海里/小時(shí)

則漁船在B處需要等待的時(shí)間為現(xiàn)3U（W）=&3=2.45-1.41=1.04比1.0小

3030

時(shí)

漁船在B處需要等待1.0小時(shí)

【同步練】（2018湖南湘西州）（8.00分）如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路1經(jīng)過(guò)A、

B兩個(gè)景點(diǎn)，景區(qū)管委會(huì)又開(kāi)發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)C.經(jīng)測(cè)量，C位于A的北偏東60°的方

向上，C位于B的北偏東30°的方向上，且AB=10km.

（1）求景點(diǎn)B與C的距離；

（2）為了方便游客到景點(diǎn)C游玩，景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)C向公路1修一條距離最短的公

路，不考慮其他因素，求出這條最短公路的長(zhǎng).（結(jié)果保留根號(hào)）

【分析】（1）先根據(jù)方向角的定義得出NCAB=30°,ZABC=120°,由三角形內(nèi)角和定理求

出NC=180°-ZCAB-ZABC=30°，則/CAB=/C=30°，根據(jù)等角對(duì)等邊求出BC=AB=10km.；

（2）首先過(guò)點(diǎn)C作CELAB于點(diǎn)E,然后在Rtz^CBE中，求得答案.

【解答】解：（1）如圖，由題意得NCAB=30°,ZABC=90°+30°=120°,

,?.ZC=1800-ZCAB-ZABC=30°,

...NCAB=NC=30°,

.".BC=AB=10km,

即景點(diǎn)B、C相距的路程為10km.

(2)過(guò)點(diǎn)C作CELAB于點(diǎn)E,

,.,BC=10km,C位于B的北偏東30°的方向上,

?.ZCBE=60°,

冬C=5代km.

在Rt^CBE中,CE=

【點(diǎn)評(píng)】1.利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即利用解直角三角形的知識(shí)去解決.2.解題時(shí)注意方向角概念的含義.

考點(diǎn)4：解直角三角形——坡比問(wèn)題

【典例】(2018?徐州)如圖，一座堤壩的橫截面是梯形，根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，求壩高和

壩底寬(精確到0.1m)參考數(shù)據(jù)：、回Q1.414,返亡1.732

【分析】利用銳角三角函數(shù)，在Rt^CDE中計(jì)算出壩高DE及CE的長(zhǎng)，通過(guò)矩形ADEF.利

用等腰直角三角形的邊角關(guān)系，求出BF的長(zhǎng)，得到壩底的寬.

【解答】解：在RtZ\CDE中，

...DECE

.sinZC--cosZC=--

DCCD

.?.DE=sin30°X1)C=—X14=7(m),

2

CE=cos30°XDC=2^X14=7遂-12.124-12.12,

?.?四邊形AFED是矩形，

?,.EF=AD=6m,AF=DE=7m

在RtAABF中，

?/ZB=45°

DE=AF=7m,

???BOBF+EF+EC=7+6+12.12=25.12=25.1(m)

答：該壩的壩高和壩底寬分別為7m和25.1m.

【同步練】（2018古呼和浩特）（7.00分）如圖，一座山的一段斜坡BD的長(zhǎng)度為600米，

且這段斜坡的坡度i=l：3（沿斜坡從B到D時(shí)，其升高的高度與水平前進(jìn)的距離之比）.已

知在地面B處測(cè)得山頂A的仰角為33°,在斜坡D處測(cè)得山頂A的仰角為45°.求山頂A

到地面BC的高度AC是多少米？（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可）

【分析】作DHLBC于H.設(shè)AE=x.在RlZkABC中，根據(jù)tan/ABC=M?，構(gòu)建方程即可解決

BC

問(wèn)題；

【解答】解：作DHJ_BC于H.設(shè)AE=x.

VDH：BH=1：3,

在RtZSBDH中，DH'+(3DH)2=6002,

.?.DH=60V10>BH=180V10-

在RtZ\ADE中，VZADE=45°,

ADE=AE=x,

;又HC=ED,EC=DH,

；.HC=x,EC=60V10，

在Rt^ABC中，tan33°=x+60V10

180V10+x

.-18O/lQtan330-60710

.?xv-------------------------?

l-tan330

，AC=AE+EC=18Ch/T5tan33°nrz120VI^tan33°

l-tan330l-tan330

答：山頂A到地面BC的高度AC是12WT^tan330米

l-tan330

【點(diǎn)評(píng)】L利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即利用解直角三角形的知識(shí)去解決.2.解題時(shí)注意坡角、坡度等概念的

含義.

考點(diǎn)5：解直角三角形——其它實(shí)際問(wèn)題

【典例】（2018?紹興）如圖1,窗框和窗扇用“滑塊錢鏈”連接，圖3是圖2中“滑塊較

鏈”的平面示意圖，滑軌MN安裝在窗框上，托懸臂DE安裝在窗扇上，交點(diǎn)A處裝有滑塊,

滑塊可以左右滑動(dòng)，支點(diǎn)B,C,D始終在一直線上，延長(zhǎng)DE交MN于點(diǎn)F.已知AC=DE=20cm,

AE=CD=10cm,BD=40cm.

（1）窗扇完全打開(kāi)，張角NCAB=85°,求此時(shí)窗扇與窗框的夾角NDFB的度數(shù)；

（2）窗扇部分打開(kāi)，張角NCAB=60°,求此時(shí)點(diǎn)A,B之間的距離（精確到0.1cm）.

（參考數(shù)據(jù)：?-1.732,、后Q2.449）

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可以解答本題；

（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)和題意可以求得AB的長(zhǎng)，從而可以解答本題.

【解答】解：（1）,/AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,

四邊形ACDE是平行四邊形，

/.AC//DE,

ZDFB=ZCAB,

VZCAB=85°,

?,.ZDFB=85°；

（2）作CGLAB于點(diǎn)G,

VAC=20,ZCGA=90°,ZCAB=60°,

.".CG=lCh/3-AG=10,

VBD=40,CD=10,

???CB=30,

???BG=7302-(10V3)2=10V6-

AB=AG+BG=10+10A/6^10+10X2.449=34.49=34.5cm,

即A、B之間的距離為34.5cm.

【同步練】(2018?臨沂)如圖，有一個(gè)三角形的鋼架ABC,ZA=30°,ZC=45°,AC=2(?

+l)m.請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明，工人師傅搬運(yùn)此鋼架能否通過(guò)一個(gè)直徑為2.Im的圓形門？

【分析】過(guò)B作BD_LAC于D,解直角三角形求出AD=?xm,CD=BD=xm,得出方程，求出方

程的解即可.

工人師傅搬運(yùn)此鋼架能通過(guò)一個(gè)直徑為2.1m的圓形門,

理由是：過(guò)B作BDLAC于D,

VAB>BD,BC>BD,AC>AB,

求出DB長(zhǎng)和2.1m比較即可，

設(shè)BD=xm,

VZA=30°,ZC=45°,

DC=BD=xm,AD=J^BD=,

VAC=2(V3+I)m,

...x+?x=2(遂+1),

.'.x=2,

即BD=2m<2.Im,

工人師傅搬運(yùn)此鋼架能通過(guò)一個(gè)直徑為2.1m的圓形門.

【點(diǎn)評(píng)】1.利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即利用解直角三角形的知識(shí)去解決.解答此類問(wèn)題注意結(jié)合實(shí)際情況分

析.

【真題演練】

1.（2018?綿陽(yáng)）一艘在南北航線上的測(cè)量船，于A點(diǎn)處測(cè)得海島B在點(diǎn)A的南偏東30°

方向，繼續(xù)向南航行30海里到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，測(cè)得海島B在C點(diǎn)的北偏東15°方向，那么海島

B離此航線的最近距離是（）（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）（參考數(shù)據(jù)：73^1.732,如

七1.414）

A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形知NBAC=30°、ZACB=15°,作BDLAC于點(diǎn)D,以

點(diǎn)B為頂點(diǎn)、BC為邊，在4ABC內(nèi)部作NCBE=/ACB=15°,設(shè)BD=x,則AB=BE=CE=2x、AD=DE=

?x,據(jù)此得出AC=2?x+2x,根據(jù)題意列出方程，求解可得.

【解答】解：如圖所示，

由題意知，ZBAC=30°、ZACB=15",

作BDJ_AC于點(diǎn)D,以點(diǎn)B為頂點(diǎn)、BC為邊，在AABC內(nèi)部作NCBE=/ACB=15°,

則/BED=30°,BE=CE,

設(shè)BD=x,

則AB=BE=CE=2x,A【）=DE=&x,

AC=AD+DE+CE=2bx+2x,

VAC=30,

.*.2?x+2x=30,

解得：XJ5，T）=5.49,

2

故選:B.

2.（2018?長(zhǎng)春）如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點(diǎn)A、B在同一

水平面上）.為了測(cè)量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機(jī)從A地出發(fā)，垂直上升800米

到達(dá)C處，在C處觀察B地的俯角為a,則A、B兩地之間的距離為（）

A.800sina米B.800tana米C.一迤一米D.一迎一米

sinCItanQ

【分析】在Rt^ABC中，ZCAB=90°,ZB=a,AC=800米，根據(jù)tana=星，即可解決問(wèn)

AB

題；

【解答】解：在RtZ\ABC中,VZCAB=90°,NB=a,AC=800米,

tana

AB

-AC_800

?.AD---------------------------------.

tanatana

故選：D.

3.（2018?重慶）如圖，旗桿及升旗臺(tái)的剖面和教學(xué)樓的剖面在同一平面上，旗桿與地面垂

直，在教學(xué)樓底部E點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂端的仰角/AED=58°,升旗臺(tái)底部到教學(xué)樓底部的距離

DE=7米，升旗臺(tái)坡面CD的坡度i=l：0.75,坡長(zhǎng)CD=2米，若旗桿底部到坡面CD的水平距

離BC=1米，則旗桿AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin58°^0.85,cos58°心0.53,

tan58°=1.6）

A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米

【分析】如圖延長(zhǎng)AB交ED的延長(zhǎng)線于M,作CJLDM于J.則四邊形BMJC是矩形.在口△

CDJ中求出CJ、DJ,再根據(jù)，tanNAEM=粵構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

EM

【解答】解：如圖延長(zhǎng)AB交ED的延長(zhǎng)線于M,作CJ_LDM丁J.則四邊形BMJC是矩形.

教

學(xué)

樓

在Rt^CJD中，器二萬(wàn)景二?，設(shè)@=4k,DJ=3k,

則有9k?+16/=4,

：.k=—,

5

.".BM=CJ=—,BC=MJ=1,DJ=—,EM=MJ+DJ+DE=—,

555

在RSAEM中,tanZAEM=—,

EM

5

解得AB-13.1（米），

故選：B.

4.（2018?重慶）如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學(xué)從建筑物底端B出發(fā)，先

沿水平方向向右行走20米到達(dá)點(diǎn)C,再經(jīng)過(guò)一段坡度（或坡比）為i=l：0.75,坡長(zhǎng)為10

米的斜坡CD到達(dá)點(diǎn)D,然后再沿水平方向向右行走40米到達(dá)點(diǎn)E（A,B,C,D,E均在同

一平面內(nèi)）.在E處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為24°,則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：

sin24°g0.41,cos24°?=0.91,tan24°=0.45）（）

A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米

【分析】作BMLED交ED的延長(zhǎng)線于M,CNLDM于N.首先解直角三角形RtZ\CDN,求出CN,

DN,再根據(jù)tan24°=粵，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

EM

【解答】解：作BM±ED交ED的延長(zhǎng)線于M,CN1DM于?N.

在RtZ\CDN中，V設(shè)CN=4k,DN=3k,

DN0.753

.,.CD=10,

(3k)2+(4k)2=100,

.\k=2,

；.CN=8,DN=6,

?.,四邊形BMNC是矩形，

；.BM=CN=8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66,

在RtZkAEM中，tan24°,

EM

,,.AB=21.7（米），

故選：A.

5.（2018?眉山）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形

的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)0,則tanNA0D=2.

D

【分析】首先連接BE,由題意易得BF=CF,AAC0-ABK0,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比

例，易得KO：CO=1：3,即可得OF：CF=OF：BF=1：2,在RtZkOBF中，即可求得tanNBOF

的值，繼而求得答案.

【解答】解：如圖，連接BE,

?.?四邊形BCEK是正方形，

.,.KF=CF=—CK,BE=—BE,CK=BE,BE1CK,

22

.,.BF=CF,

根據(jù)題意得：AC〃BK,

.,.△ACO^ABKO,

AKO：CO=BK：AC=1：3,

AKO：KF=1：2,

.,.KO=OF=—CF=—BF,

22

在RtZXPBF中，tanNBOF=2E=2,

OF

,/ZAOD=ZBOF,

.'.tanZAOD=2.

故答案為：2

6.(2018?齊齊哈爾)四邊形ABCD中,BD是對(duì)角線,ZABC=90°,tanZABD=—,AB=20,

4

BC=10,AD=13,則線段CD=.

【分析】作AHLBD于H,CG_LBD于G,根據(jù)正切的定義分別求出AH、BH,根據(jù)勾股定理求

出HD,得到BD,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【解答】解：作AHJ_BD于H,CGLBD于G,

3

VtanZABD=—,

4

...—AH=一3，

BH4

設(shè)AH=3x,則BH=4x,

由勾股定理得，(3x)2+(4x)2=20、

解得,x=4,

則AH=12,BH=16,

在RtZ\AHD中，皿=〃口2_人02=5,

ABD=BH+HD=21,

VZABD+ZCBD=900,NBCH+NCBD=90°，

AZABD=ZCBH,

...鰻=s,又BC=10,

GC4

/.BG=6,CG=8,

；.DG=BD-BG=15,

?*?CD=VCG2+DG2=17>

故答案為：17.

7.（2018?寧波）如圖，某高速公路建設(shè)中需要測(cè)量某條江的寬度AB,飛機(jī)上的測(cè)量人員

在C處測(cè)得A,B兩點(diǎn)的俯角分別為45°和30°.若飛機(jī)離地面的高度C11為1200米，且點(diǎn)

H,A,B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為米（結(jié)果保留根號(hào)）.

【分析】在RtaACH和RtZ\HCB中，利用銳角三角函數(shù)，用CH表示出AH、BH的長(zhǎng)，然后計(jì)

算出AB的長(zhǎng).

【解答】解:由于CD〃HB,

.,.ZCAH=ZACD=45°,NB=/BCD=30°

在RtAACH中，；ZCAH=45°

.\AH=CH=1200米,

在Rt/XHCB,VtanZB=—

HB

.I*CH1200

tanNBtan30

1200

=技=]200加（米）.

T

；.AB=HB-HA

=1200?-1200

=1200（“-1）米

故答案為：1200（加-1）

8.（2018?長(zhǎng)沙）為加快城鄉(xiāng)對(duì)接，建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對(duì)A、B兩地間的公路進(jìn)行

改建.如圖，A、B兩地之間有一座山.汽車原來(lái)從A地到B地需途徑C地沿折線ACB行駛，

現(xiàn)開(kāi)通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛.已知BC=80千米，NA=45°,ZB=30°.

（1）開(kāi)通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？

（2）開(kāi)通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1千米）（參

考數(shù)據(jù)：我2141,遂心1.73）

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線CD,垂足為D,在直角4ACD中，解直角三角形求出CD,

進(jìn)而解答即可；

（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD,再求出AD,進(jìn)而求出汽車從A地到B地比原

來(lái)少走多少路程.

.,.CD=BC?sin300=80義工=40（千米），

2

CD40—c

AC=sin45。=禧-4哂r（千米），

~2~

AC+BC=80+40-72^40XI.41+80=136.4（千米）,

答：開(kāi)通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米;

（2）Vcos30o=—,BC=80（千米），

BC

亨=40\/^（千米）

.*.BD=BC?cos300=80X

Vtan45°=型，CD=40（千米），

AD

CD

.\AD=~p=40（千米），

tan450

，AB=AD+BD=40+40加心40+40XL73=109.2（千米），

汽車從A地到B地比原來(lái)少走多少路程為:AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2（千米）.

答：汽車從A地到B地比原來(lái)少走的路程為27.2千米.

9.（2018?隨州）隨州市新源水一橋（如圖1）設(shè)計(jì)靈感來(lái)源于市花--蘭花，采用蝴蝶蘭

斜拉橋方案，設(shè)計(jì)長(zhǎng)度為258米，寬32米，為雙向六車道，2018年4月3日通車.斜拉橋

又稱斜張橋，主要由索塔、主梁、斜拉索組成.某座斜拉橋的部分截面圖如圖2所示，索塔

AB和斜拉索（圖中只畫(huà)出最短的斜拉索DE和最長(zhǎng)的斜拉索AC）均在同一水平面內(nèi)，BC在

水平橋面上.已知NABC=/DEB=45°,ZACB=30°,BE=6米，AB=5BD.

（1）求最短的斜拉索DE的長(zhǎng)；

（2）求最長(zhǎng)的斜拉索AC的長(zhǎng).

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算DE的長(zhǎng)；

（2）作AH±BC于H,如圖2,由于BD=DE=3y，則AB=3BD=15&,在RtAABH中，根據(jù)

等腰直角三角形的性質(zhì)可計(jì)算出BH=AII=15,然后在RtAACll中利用含30度的直角三角形三

邊的關(guān)系即可得到AC的長(zhǎng).

【解答】解：(1)VZABC=ZDEB=45°,

???△BDE為等腰直角三角形，

...DE，喙BE=乎X6=3V2.

答：最短的斜拉索DE的長(zhǎng)為3&n：

(2)作AH_LBC于H,如圖2,

；BD=DE=3也，

.,.AB=3BD=5X3->/2=155/21

在RtZXABH中,VZB=45°，

：.BH=AH=乎AB=掾X15后15,

在RtZkACH中,VZC=3O0,

Z.AC=2AH=30.

答：最長(zhǎng)的斜拉索AC的長(zhǎng)為30m.

10.（2018?常德）圖1是一商場(chǎng)的推拉門，已知門的寬度AD=2米,且兩扇門的大小相同（即

AB=CD）,將左邊的門ABBA繞門軸AAi向里面旋轉(zhuǎn)37°,將右邊的門CDDC繞門軸DM向外

面旋轉(zhuǎn)45°,其示意圖如圖2,求此時(shí)B與C之間的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）.（參考數(shù)

據(jù)：sin37°七0.6,cos37°七0.8,加g1.4）

圖1