高考數(shù)學平面解析幾何復習學案

高考平面解析幾何復習教案

【知識特點】

1、本章內容主要包括直線與方程、圓與方程、圓錐曲線，是解析幾何最基本，也是很重

要的內容，是高中數(shù)學的重點內容，也是高考重點考查的內容之一；

2、本章內容集中體現(xiàn)了用坐標法研究曲線的思想與方法，概念、公式多，內容多，具有

較強的綜合性：

3、研究圓錐曲線的方法很類似，因此可利用類比的方法復習橢圓、雙曲線、拋物線的定

義與幾何性質，掌握解決解析兒何問題的最基本的方法。

【重點關注】

1、關于直線的方程，直線的斜率、傾斜角，幾種距離公式，兩直線的位置關系，圓錐曲

線的定義與性質等知識的試題，都屬于基本題目，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，一般涉及

兩個以上的知識點，這些將是今后高考考查的熱點；

2、關于直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系的題目出現(xiàn)次數(shù)較多，既有選擇題、填

空題，也有解答題。既考查基礎知識的應用能力，又考查綜合運用知識分析問題、解決問題

的能力；

3、直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題多以高檔題出現(xiàn)，要求學生分析問題的能力，計

算能力較高；

4、注重數(shù)學思想方法的應用

解析法、數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程的思想、轉化與化歸的思想、分類討論思想及待定

系數(shù)法在各種題型中均有體現(xiàn)，應引起重視。

【地位和作用】

解析幾何是17世紀數(shù)學發(fā)展的重大成果之一，其本質是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性

質，體現(xiàn)了數(shù)形結合的重要數(shù)學思想。在本模塊中，學生將在平面直角坐標系中建立直線和

圓的代數(shù)方程，運用代數(shù)方法研究它們的幾何性質及其相互位置關系，并了解空間直角坐標

系。體會數(shù)形結合的思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力。

在平面解析幾何初步的教學中，教師應幫助學生經歷如下的過程：首先將幾何問題代數(shù)

化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數(shù)問題：處理代數(shù)問題；

分析代數(shù)結果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應貫穿平面解析幾何教學的始終,

幫助學生不斷地體會“數(shù)形結合”的思想方法。

從新課改近兩年來的高考信息統(tǒng)計可以看出，命題呈現(xiàn)出以下特點：

1、各種題型均有所體現(xiàn)，分值大約在19-24分之間，比重較高，以低檔題、中檔題為主;

2、主要考查直線及圓的方程，圓錐曲線的定義、性質及綜合應用，符合考綱要求，這些

知識屬于本章的重點內容，是高考的必考內容，有時還注重在知識交匯點處命題；

3、預計本章在今后的高考中仍將以直線及圓的方程，圓錐曲線的定義、性質及直線與圓

錐曲線的位置關系為主命題，且難度有所降低；更加注重與其他知識交匯，充分體現(xiàn)以能力

立意的命題方向。

第一節(jié)直線與方程

【高考目標定位】

-、直線的傾斜角與斜率

（―）考綱點擊

1、理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；

2、能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直。

（-）熱點提示

1、直線的傾斜角和斜率、兩直線的位置關系是高考熱點；

2、主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔題目。

二、直線的方程

（-）考綱點擊

1、掌握確定直線位置的幾何要素；

2、掌握直線方程的兒種形式（點斜式、兩點及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關系。

（二）熱點提示

1、直線的方程是必考內容，是基礎知識之一；

2、在高考中多與其他曲線結合考查，三種題型可出現(xiàn)，屬于中低檔題。

三、直線的交點坐標與距離公式

（一）考綱點擊

1、能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標；

2、掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。

（二）熱點提不

1、本節(jié)重點體現(xiàn)一種思想一一轉化與化歸的思想，這種思想是高考的熱點之一;

2、本部分在高考中主要以選擇、填空為主，屬于中低檔題目。

【考綱知識梳理】

一、直線的傾斜角與斜率

1、直線的傾斜角與斜率

(1)直線的傾斜角

①關于傾斜角的概念要抓住三點：

i.與x軸相交；

ii.x軸正向；

iii,直線向上方向.

②直線與X軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為°,

③傾斜角a的范圍o°4a<180°

(2)直線的斜率

①直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為90°的直線斜率不存在。

②經過兩點P"H'P"'''()的直線的斜率公式是

⑥一工

③每條直線都有傾斜角，但并不是每條直線都有斜率。

2、兩條直線平行與垂直的判定

(1)兩條直線平行

=

對于兩條不重合的直線Ii,l2,其斜率分別為k3k2,則有I1//I2uk,k2?特別地，當

直線的斜率都不存在時，卜與L的關系為平行。

(2)兩條直線垂直

如果兩條直線ll」2斜率存在，設為k3k2,則L^2u=1

注：兩條直線k,12垂直的充要條件是斜率之積為-1,這句話不正確；由兩直線的斜率之

積為-1,可以得出兩直線垂直，反過來，兩直線垂直，斜率之積不一定為-1o如果ll12中有

一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，卜與I2互相垂直。

二、直線的方程

1、直線方程的幾種形式

名稱方程的形式己知條件局限性

y—y=9（1一

點斜式（Xiyi）

Jl）r不包括垂直于X軸的

為直線上一定點，k為斜

直線

—

y=ka4b

斜截式k為斜率，b是直線在y軸上的截距不包括垂直于X軸的

y-?_且改

（N,?）,（與，*）

兩點式》一予我一、

且x￥不包括垂直于x軸和v

是直線上兩

軸的直線

定點―

上+?=1

ab

截距式a是直線在x軸上的非零截距，b不包括垂直于X軸和y

AJH~By+C=0是直線在y軸上的非零截距

軸或過原點的直線

々乂氏、/-w口，—刁、wyurtv-'P'JfLjd/j'j’j，

E（2'）'PZF'M）位置的直線

注：過兩守一3且y*a的直線是否-定可用兩點式方殿和（不-

彥關衿皋，一，，直線垂直于x軸，方卓后y,；（2）若

不聲不且

，直線垂直于y軸，方程為；（3）若

,直線方程可用兩點式表示）

2、線為矗坐標公式（力"），（△?）PP2

若點工=而嘮居為，且線段的中點M的坐標為

<,

1—?—PR

<x,y）,則此公式為線段的中點坐標公式。

直線的交點坐標與距離公式

li：AiJH-BIG=0*i：Ar-FByC=0

1.兩條直線的交點

設兩條直線的方程是

（Aix4~Biy+Ci=0

兩條直線的交點坐標就是方程組IA；x+B?y+G二°的解，若方程組有唯一解，則這兩

條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平

行；反之，亦成立。

2.兒種距離

（1）兩點間的距離

平面上的兩點Pi（H，出），P2（，出）間的距離公式

PiPI=箝）十（y-yi7Tl

特別地，原點0（0,0）與任一點P（x,y）的距離2Pl=

（2）點到直線的距離

d=IAg+B*+CI

點到直線bAa:+By+C=0的距離*+!?>

（3）兩條平行線間的距離

兩條平行線A”-0、（一（與A,liy（''間的距離

j=|C,CJ

山V+B2,

注：（1）求點到直線的距離時，直線方程要化為一般式；

（2）求兩條平行線間的距離時，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后，才能套

用公式計算。

【熱點難點精析】

一、直線的傾斜角與斜率

（-）直線的傾斜角

※相關鏈接※

傾斜角0T

斜取值0(0,+8)不存在(—8,0)

率增減性/遞增一遞增

2.已知斜率k的范圍求傅角的電超若k逅數(shù)，則范卿，）a2的子

2

集，且k=tan增函數(shù)；若k舞攵劇范圉,}a—n的子集，且k=tan增函數(shù)。

2

若k的范圃正有負則所范損大于等于0或小于0分兩部分，鐘年啷分再根據(jù)

斜率的增減性求鐮角范圍

※例解析※

R例H已知直戰(zhàn)s?.-y+1+0=（eR）.求直的毓角的取值蒯

思路解析：-cosa的范斛率4k的范的的范鐮角。的取值事P

解答:

-14cosa14-cosct<1.-1441」.-1<tanP41,

a江丸qk

4B4—4B

0或nt

州4￡U,|二九

L3

m的范曲］,.

44

（二）直繃斜率及陶

※相關接※

yy與兩點順無關，即兩點的橫縱標公式中前后次序相同;

1、斜率公式：21

k

xX

21-

2、求斜率的一般方法：

aayy=條斜率;

（1）已知直纜兩點，根據(jù)斜率公式21

k（xx）

21

=X=X=

21

（2）已知直的^角或的某種三角函數(shù)根據(jù)ktan來求斜率;

3、利用斜率明三點共戰(zhàn)方法:

X2X3或KABKAC，則IA、B、C三點共幺戔

已知A(x,y)IB(X2，y2),C(x,y3)^x1

注：斜率傀分成甌段,o

90是分界線遇到斜率要談存在與否需進

※例解析※

33

例』段是互不相等的三個數(shù)，如果3

Kb,cA(a,a)、B(b,b)、C（c,c）在同一直線

上，求證abc0

思路解析：若三點共畿則任兩點所確定的直畿率相等或都不存在。

解答：

互不相等，過4B、C任兩點的直線的斜率均存在。

/-廿

又L==『+ab+6',

=a+ac+c.

VAB、C三點共線,..=k“

即1+oc+c'=a'+ac+c\(b-c)3+6+c)=0.

而6wc,:.a+b+c=0.

（三）兩條直的平行與垂直

m已知點M（2,2）,N（5,?2）,點P在x軸，分別謹下列條件的P點坐標

(1)zMOP=zOPN(0是坐榻點)；

（2）zMPN是直角。

思路解析：zMOP?OPN=OM〃PN,NMPN是直角=>MP1NP,故而可利用兩直線行和

垂直的條件求得。

解答:

典x,0),⑴7MOP=QPN,O.M//NP.k.k=

OMNP

=2-0==0(2)=-2-*

又kk一X

1,(5),

0M----/.NP

-20x5x5

,./2±J

1,x7,即P(7,0).

x=-5——*X

-o

(2)JPN=90,MPNP,kk1.

MPNP

2222

又k(X2),k(x5),1,

MPNP

2xx52xx5

解得x或xL〃5=瓦=兒"I-LL0瓦?fe?=—1

16,

即(1,0)或(6,0).

P

注：（1）充分掌握兩直線行的條件及垂直的條件是解決木頻關鍵布斜率都存在

且不重合的兩條直線|和L，O若有一條

1

直的斜率不存在，那么另一條直統(tǒng)斜率是多少一定要特物意。

（2）注意與與化思想的國。

（3）利用斜率的幾何意義以明不等式,利用兩斜率之的關系可以判斷兩直的平

行或垂直，數(shù)形結的思想方法可幫助我很直觀分析OM-lffl

二、直的方程

(-)直線程的求法

※相關接※

1、求直線程應璇當?shù)母]程形式并注意各種形式的適用條件?；痉椒ò?/p>

利用條件直接求直的基本量和利用待定系數(shù)法求直緘基本量。

用待定系數(shù)法求直緘程的步驟

(1)破求直線程的某種形式；

(2)由條件建立所求參數(shù)的方程(組

(3)解迭方程(蛆求參數(shù)；

(4)把所求的參數(shù)值入所逾線程。

2、求直線程時首先分析具保么桶條件；然后恰當?shù)乩碇苯y(tǒng)程的形式準確寫

出直纜程。要注意若不能斷定宜線有斜率時棚率存在與不存在加以誰在遮

距式時應判斷截距是否為若不確定，期分犍論

※例解析※

K例U求道P(2,-1),在x躺y軸的截距分別a、b,且滿a=3b的直線程。

思路解析：越距是否內分洪詡讖程代隊已知條件求解t得直線

程。

2+2=3+丫=

解答：當a=3,b±0時城求直線程為

，即1又直逐動

+__++_P

ab3bb

2=1=1=w

1,b.x3y10.

解得一所求直線程為耳b

b3

當a3bo時則短繳京舄瞰程為kx(k0).

1

又直遂P(2,1),則2k,k++

2-

1

所求直線程為X.

2

1

綜!所述所求直線程的3y10或yx.

2

(二)用一般式方建判定置的位置關系

※相關鏈※

兩條直餞置關系的判定

已知直隴AxBiyCi0,l2:A2XB2yC20,則

(1)

I//IuAB-AB=0且AC-AC*0(或BC-BO0)

12122112211221

A=&_wC-

111

或論、、不為

一+(ABC0).

uT2=22

ABC

222

Z智達”重票^A?B您_0入Bl=0且A,C2-A2c

(3)

=0(或BG-RC=0)或記為今=卷=圣(4、風心不i]0),

A口5

AR

4與L相交㈡AB—.4840或記為今工號

A15

(A、B不為0).

(4)

++=+一+—=

※例題析※

2

K例』已知直級ax2y60和直級:x(a1)ya10,6)判斷L與I2

是否平行；(2)luL時求a的值

思路解析：可直接根據(jù)方程的一般式求解，也可根據(jù)斜率求解，所求直統(tǒng)斜率可能不

存在，故按I的斜率是否存在為攫分洪論

-2=——X一xw

「——X=i——=

解答：(寫我法一：==_

一—XH(一*

2

由AB=AB0,得a(a1)120,由ACAC0,得a(a1)160,

12211221

2

a(a1)120aa20

I//Ia1,

1222

a(a1)160a(a1)6

故當時，否則不平行

a1I//II

122

方法二:

當時_1I]:x_2y_6_012：不下歷方；12

當a=0時I:y3,l:xy1=0,l不平行于I；

=1=—2——=12

當aJ且a.0時兩直域化為

a1

I:y=一一x-3,1:y=------x-(a+1),

12一

2(1a

!-a=

±±_=—

3=81)

練竹聯(lián)ft時，否則不平行.

a1IZ/lII

1212

(2)方戊一：=

由2

出AABB0得a2(a1)0

a—?++-—

1-212

3

方法二：

當2y6=4),I：X0,l與I不垂直，故a1不成立.

一1212

a1

當時

a1?：yx3,l:yX(a1),

2

21a

a1a

由()1a

21a3

（三）直線程的困

※相關接※

利用直線程解決胤竭讖直線程的形式，以便簡運算。一般地，已知一

點通常握點制式；已蝴蟀握斜截式或點斜式；已知截距或兩點逢截限減兩點式。

另外，從所求的結來看，若求直線坐軸圈的三角形面敕周長常理截距式

或點斜式。

注：（1）點斜式與途以式，要注意在這種形式中所要求直

（2）“截距"并非“距離”軀見是的,誣以是0.

※例解析※

K例》如圖道P(2,1)作直h分施x、y軸

正半軸于A、B兩點。

(1)當/AOB的面積最小時，求直線I的方程;

(2)當IPAI?IPBI取最小值時，求直線I的方程。

思路解析：求直線方程時，要善于根據(jù)已知條件，選取適當?shù)男问?。由于本題中給出了

一點，且直線與x、y軸在正方向上分別相交，故有如下常見思路：

.y—1jr-2)

①點斜式：設I的方程為",分別求出A、B的坐標，根據(jù)題目要求

建立目標函數(shù)，求出最小值并確立最值成立的條件；

—4-=1

②截距式：設I的方程為ab，將點(2,1)代入得出a與b的關系，建立

目標函數(shù)，求最小值及最值成立的條件;

③根據(jù)題意，設出一個角，建立目標函數(shù)，利用三角函數(shù)的有關知識解決。

解答；(1)方法一；設I的方程為y_1=k(x_2)(k/0),則A(2_1，O),Ro,1_2k),

k

,1111?1

SLAOB=(2--)(1-2k)-2=2+-(-4k--)>2+-_2^(-4k)(--)=4,

11

當且僅當-4k=一一，即k=±一時取等號.

k2

'：；.=-+-=-4-+-=

k<0,k,y1(x2),x2y40.

故所求直線的方程為即o.

2—+-J=l(a>0^>0),—+^-=1

abab

方法二：設所求@單的由已知得

22=J_=JL

-

a*ab2a=A.h=2

,即時,

尹甘丹大值3蚪取最小值4。故所求的直線I的方程為

,即f+f^Ka>0,b>0),

2部當資由由已知得

abQ-2

(a-2)"+4(。-2)+4

：?S\^OB="2-ub~

2(a-2)2(L2)

=/(T)+旨+22+2=4,

19

當*L2)=告,即「4時取等號,此時22.

，所求?直線］的方程為手+—=1,即工+2/—4=0,

4Z

(2)方法一:

1

設直線___<分別令==得

i：y1k(x2)(k0),?yo,xQA(2,0),B(0,12k).

L=1++—I++—2k=—

Y111

由|PNf|PB|卜4ki(1)22

84(k)4.當且令當k,

<,=—2__22

kkk

即k1時,|PA||PB|取得最小值.

k

又k°-_e1侵解?的方程是xy30.

方法二：

-------=o=0

設過作軸于作軸于

BAO(0),PPExE,PFyF.

==.\2=-

7~~0

|PE|sin,|FP|cos.

|AP^

e

7t11

0|RE|1|FF9|=2,|隊R：，lBP|

sincos

???IARMBP+-=24

,sincossin2

(0,),0sin21,當sin21,即時，原式取得最小值

24

kI的方程是xy

1.30.

注：解析法解決實際問題，就是在實際問題中建立直角坐標系，用坐標表示點，用方程

表示曲線，從而把問題轉化為代數(shù)問題，利用代數(shù)的方法使問題得到解決。

三、直線的交點坐標與距離公式

(-)有關距離問題

※相關鏈接※

1、點到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式是常用的公式，應熟練掌握。

2、點到幾種特殊直線的距離

(1)點P(x0,y0)到x岫距離d|yb|?

(2)點「(*0,作)至|「yftti距離d|XD|.

(3)點p(x,y)到與X軸行的直餞a的距離d|y=a|。_

000

(4)點P(Xo,yo)至嶼y軸行的直蜻b的距離d|x0a|.~

注：點到直的距離公式當A=0或B=0時公式仍成立，但也可不用公式而直接用數(shù)形

結部曬膝

※例解析※

K例》已知點P(2,-1)o

(1)求電點且與原點距離的的直加j方程；

(2)求電點且與原點距離最大的直質的方程，最大距離是多少？

(3)是否存在勝點且與原點距離黜J直線若存在，求出方程；若不存在，W

理由。

思路解析：出直線程由直到直線離求參數(shù)判斷時取得最大催求之。

解答：⑴過點的直!戈與原點距離怒而P點坐的2,-1),可見電(2,

-1)且垂直于x軸直W1W。此扁斜率不存在,其方程新2,若斜率存在，I殳的

I—2^-11_o

方程為1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知，得+i，解得=3

KI

4

方程3x-4y-10=0.

練b麗懸戈的方程行2或3x-4y-10=0.

(2)作圖得以:點與原點。距離最大的直筑城點且與PO垂直的直線由ILOP,

=-=―—N--=

得kk1,所以k2,由直線程的點斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直線

1op'k

OP

=>r

2x-y-5=0是邑點且與原點O距離最大的直線最大距離為\r'5

5。

(3)由(2)可知，過點不存在到原點距離超&的直線盅不存在過點且到原

點距離隹的直線

(-)有關稱朗

※相關接※

常岫稱朗

（1）中心稱

①若點M（X，y）及N（工?“關于城”觸柄點坐標式得

fX—2a-Xi

\y=2b~y,

②直線于點的稱，其主要方法是：在已知直纜取兩點，利用中點坐標式求出它

日貨于改聯(lián)瑞的兩點坐標再由兩點式求出直級程，或者求出一個稱點，再利用

,由點斜式得到所求直線程。

（2）.

①點關于直絨稱

若兩點E（工…X）與巳（乃,》）關于直鼠Ax+By+C=O稱，網

的中點在稱標匕而且接的直線直君砒1左，由方程組

]A（互/AB（比處+C=0

乙/f

A（y—?）=B（辦—%）

可得到點P關于I戳的點P2的坐茂，丫2（某中A）0,XiX2羊豐

1

②宜線于直線稱

此掘題般轅的關于直統(tǒng)稱來解決，有兩種情況：一是已知直線稱軸

交；二是已知直線稱軸行。

※例題析※

K例2求直線=+=+

h：y2x3關于直踐yx1稱的直哪方程。

思路解析：轉迪關于直能稱隨不用邠睡解。

：=+

'，V=2冷3

解答：方法一：由、一知直晶I的交點坐為-2,-1）,段哪方程為

Vx1

y+1=k（x+2）,即kx-y+2k-1=0.在直段上任取一點（1,2）,由蹲點（1,2）到直線

I、Iz

1

一十一一+

的距離和節(jié)4由奈到港I蝴峰會式得一=-=

J-+J+一

|k22k1||223|,解得卜1(k2舍去)

22222

(1)k2(1)

，直線

I的方程的2y=0.

2

方法二：破求直纜一點的（x,y）,則直牡必存在一點R（xo,y0）與點P關于

直繳

xxyy

由題i斑1與首1睡直，且段PPi的中點oo

P2(,)在直纜。

22

二+

x=寸1

0

，代入立k：y2x3得x+1=2(y-1)+3,

yx1

0

整理得x-2y=0.

所以所求直線程為2y=0.

（三）解析法（坐糕）ffl

K例』（12）如圖已知P是等腰三角形ABC的底BC上一點,PM1AB于MPNJ.AC于

思路解析：建立直角坐標利用點到直線距離公式求出|PM|和|PN|的腰。

建立如圖示的直角坐標

1分

段(-a,0),C(a,0)(a>0),A(0,b),P(Xi,0),a,b用值Xi參數(shù),-a(XiMa,

AB的方程護bx-ay+ab=0,AC的方程是

|?|D2l-Ibxi-abl

(二公+尸L=?

bx+ay-ab=0>............................'…-J2?1J/+7?,4分

由點到直統(tǒng)距離公式得7分

■.a>0,b>0,.-.ab>0,-ab<0,把原點坐標入AB,AC方程左端分冽ab,-ab,且點P在直細,

AC的下方，bx,+ab>O,bXi-ab<0,..................................................................................................10分

IPMI+IPN|=細+二弛=定值）..

Q在+6Qw+-........12分

注：解析法（坐標）即通建立平面直角坐疑，把幾何題轉成代數(shù)題用處

理代數(shù)照的方法蟀決程方法是聯(lián)平面解析幾何的維求調題曲表示出要

明假式子，最后出現(xiàn)值

【感悟高考真題

1.（2010安徽文數(shù)）（4）道（1,0）且與直影y-2=0平行的直線程是

（A）x-2y-1=0（B）x-2y+1=0（C）2x+y-2=0（D）x+2y-1=0

4.A

【解析】置戰(zhàn)程均2yc-0,又卷式）），故c1,所求方程的2y10.--=

【方法技巧】因所求直線與直始y-2=0平行，所以設行直繳方程的2yc0,-+=

代入此直繼的點的坐標得參數(shù)值