高中數(shù)學(xué)：極限思想的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)：極限思想的應(yīng)用

利用極限思想處理某些數(shù)學(xué)問題往往能化難為易。

引例兩人坐在方桌旁，相繼輪流往桌面上平放一枚同

樣大小的硬幣。當(dāng)最后桌面上只剩下一個(gè)位置時(shí)，誰放

下最后一枚，誰就算勝了。設(shè)兩人都是高手，是先放者

勝還是后放者勝？(G?波利亞稱“由來已久的難題”)

G?波利亞的精巧解法是“一猜二證”：

猜想(把問題極端化)如果桌面小到只能放下一枚硬

幣，那么先放者必勝。

證明(利用對稱性)由于方桌有對稱中心，先放者可

將第一枚硬幣占據(jù)桌面中心，以后每次都將硬幣放在對

方所放硬幣關(guān)于桌面中心對稱的位置，先放者必勝。

從波利亞的精巧解法中，我們可以看到，他是利用極限

的思想考察問題的極端狀態(tài)，探索出解題方向或轉(zhuǎn)化途

徑。

極限思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，靈活地借助極限思

想，可以避免復(fù)雜運(yùn)算，探索解題新思路，現(xiàn)舉五例說

明極限思想的應(yīng)用。

例1已知0<x<y<a<l<span="">,則有()

</x<y<a<l<>

(A)I*(初<0

(B)。<1組式初<1

(C)

(D)log式P)>2(02年高考)

分析當(dāng)xra時(shí)，由題意y-a,此時(shí)9~a2,loga3)-?2,

故可排除(A)、(B),當(dāng)y-o時(shí)，由題意X-0,此時(shí)

?-0,又0。<1,則1嗚(9)一用，排除(C),故選(D)

例2給出下列圖象

其中可能為函數(shù)

s2

/(x)=/+ax+bx+cx+d(a,b,c,deR)的圖象是_o

分析這道模擬試題得分率很低，許多亭星做這道題時(shí)

感到無從下手，通過與部分學(xué)生訪談知道，大部分學(xué)生

都是猜想結(jié)果，雖然有一些學(xué)生想到求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

小奴+3#+2"+*但仍然不知如何處理。其實(shí)，這道題

若從極限角度考慮，問題便迎刃而解。當(dāng)X-+8時(shí)，

所以，當(dāng)時(shí)圖象是上升的，排除④，再令

a=b=c=O,y">0不是恒成立的，排除②，選①③。

例3已知數(shù)列｛a』中，ai=l,且對于任意正整數(shù)n,總

有小二口，是否存在實(shí)數(shù)a,b,能使得即“一長寸對

于任意正整數(shù)n恒成立？若存在，給出證明；若不存

在，說明理由。

分析極限思想：

如果這樣的a,b存在的話，則

由久”一只一寸，可得翹0%=”，

a一%_a

對蟲/-2兩邊取極限，得”口，

解得&=0或0=3

_2

若"=0,則數(shù)列｛』｝應(yīng)該是以1為首項(xiàng)，以藍(lán)為公比的等

比數(shù)列。

Fi廣二

可知13,

顯然，“"力，不合題意舍去；

若"3,將4=1代入

2

%二°一/一寸，可求得b=-3,

2

?ra=3+3x（—二）*

此時(shí)“3,

同樣驗(yàn)證％，亦可得出矛盾。

因此，滿足題意的實(shí)數(shù)a,b不存在。

例4正三棱錐相鄰兩側(cè)面所成的角為&,則&的取值范

圍是（）

（/）（0。,180。）（8）（0。,60。）

（0）（60°,90。）（D）（60°,180°）

分析如圖1所示，正三棱錐S-ABC中，SO是過底面正

三角形ABC中心且垂直于底面的垂線段。當(dāng)so-o時(shí)，

相鄰兩個(gè)側(cè)面的夾角趨近于180。，當(dāng)SOT伊?xí)r，正三棱

錐無限接近一個(gè)正三棱柱，顯然相鄰兩個(gè)側(cè)面的夾角無

限接近60。，故正三棱錐相鄰兩個(gè)側(cè)面所成角的取值范圍

為（60。」80。），故選（D）o

例5已知長方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（0,0）、B（2,0）、

C（2,1）和D（0,1）,一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)Po沿與

AB夾角為8的方向射到BC上的點(diǎn)Pi后，依次反射到

CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射

角），設(shè)點(diǎn)P4的坐標(biāo)為（X4,0）,若I<x4〈2〈/x,則

tan。的取值范圍是（）

I19

(，)(+1)(5)

2192

⑹金)(佻亨

分析如圖2,顯然當(dāng)P1為BC中點(diǎn)時(shí)，則P2、P3和P4