福建省福州市九縣（市、區(qū)）一中2023-2024學年高二下學期7月期末聯(lián)考數(shù)學試題

2023-2024學年度第二學期九縣（區(qū)、市)一中期末聯(lián)考高中二年數(shù)學科試卷完卷時間：120分鐘滿分：150分第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求．1．設集合，，若，則（)A． B． C． D．2．已知實數(shù)a，b，c，d滿足，則下列不等式一定正確的是（)A． B．C． D．3．命題p：，，則“”是“p為真命題”的（)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．某校聯(lián)考的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，其總體密度函數(shù)為：，且，若聯(lián)考的學生有500人，則成績超100過分的人數(shù)約為（)A．100 B．120 C．125 D．1505．已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（)A．24 B．25 C．26 D．276．的展開式中，常數(shù)項為（)A． B． C．141 D．1407．已知函數(shù)，對于任意兩個不相等的實數(shù)，都有不等式成立，則實數(shù)a取值范圍為（)A． B． C． D．8．已知函數(shù)定義域為R，且，下列結論成立的是（)A．為偶函數(shù) B．C．在上單調遞減 D．有最大值二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．對具有相關關系的兩個變量x和)進行回歸分析時，下列結論正確的是（)A．若A，B兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)分別為，，則A組數(shù)據(jù)比B組數(shù)據(jù)的相關性較強B．若所有樣本點都落在一-條斜率為非零實數(shù)的直線上，則決定系數(shù)的值為1C．若樣本點的經(jīng)驗回歸方程為，則在樣本點處的殘差為0.3D．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為求出回歸方程，設，將其變換后得到線性方程，則c，k的值分別是和210．已知事件A，B，且，，，則（)A． B．C． D．11．已知函數(shù)，則（)A．的圖象關于對稱B．C．D．在區(qū)間上的極小值為第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．第13題第一空2分，第二空3分12．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為______．13．某快件從甲送到乙需要5個轉運環(huán)節(jié)，其中第1，2兩個環(huán)節(jié)各有a，b兩種方式，第3，4兩個環(huán)節(jié)各有b，c兩種方式，第5個環(huán)節(jié)有d，e兩種方式，則快件從甲送到乙，第一個環(huán)節(jié)使用a方式的送達方式有______種；從甲到乙恰好用到4種方式的送達方式有______種．14．定義為集合A中所有元素的乘積，規(guī)定：只有一個元素時，乘積即為該元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次記為、、…、，則______．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分)對某地區(qū)2024年第一季度手機品牌使用情況進行調查，市場占有率數(shù)據(jù)如下：甲品牌乙品牌其他品牌市場占有率50%30%20%（1)從所有品牌手機中隨機抽取2部，求抽取的2部中至少有一部是甲品牌的概率；（2)已知所有品牌手機中，甲品牌、乙品牌與其他品牌手機價位不超過4000元的占比分別為40%，30%，50%，從所有品牌手機中隨機抽取1部，求該手機價位不超過4000元的概率．16．（15分)某工廠進行生產線智能化升級改造，對甲、乙兩個車間升級改造后，（1)從該工廠甲、乙兩個車間的產品中各隨機抽取50件進行檢驗，其中甲車間優(yōu)等品占，乙車間優(yōu)等品占，請?zhí)顚懭缦铝新?lián)表：優(yōu)等品非優(yōu)等品總計甲車間乙車間總計依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為車間與優(yōu)等品有關聯(lián)？（結果精確到0.001)，其中．下表是X獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（2)調查了近10個月的產量（單位：萬個)和月銷售額（單位：萬元)，得到以下數(shù)據(jù)：，根據(jù)散點圖認為y．關于x的經(jīng)驗回歸方程為，試求經(jīng)驗回歸方程．參考公式：，其中17．（15分)已知函數(shù)，（1)討論函數(shù)函數(shù)的的單調性；（2)若函數(shù)有極值點，（i)求實數(shù)a的取值范圍；（ii)判斷的零點個數(shù)．18．（17分)甲和乙兩個箱子中各裝有N個大小、質地均相同的小球，并且各箱中是紅球，是白球．（1)當時，分別從甲、乙兩箱中各依次隨機地摸出3個球作為樣本，設從甲箱中采用不放回摸球得到的樣本中紅球的個數(shù)為X，從乙箱中采用有放回摸球得到的樣本中紅球的個數(shù)為Y，求，，，；（2)當時，采用不放回摸球從甲箱中隨機地摸出5個球作為樣本，設表示“第k次取出的是紅球”，比較與的大小；（3)由概率學知識可知，當總量N足夠多而抽出的個體足夠少時，超幾何分布近似為二項分布．現(xiàn)從甲箱中不放回地取3個小球，恰有2個紅球的概率記作；從乙箱中有放回地取3個小球，恰有2個紅球的概率記作．那么當N至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.003（即)的前提下認為超幾何分布近似為二項分布？（參考數(shù)據(jù)：)19．（17分)已知函數(shù)．（1)證明：恰有一個零點a，且；（2)我們曾學習過“二分法”求函數(shù)零點的近似值，另一種常用的求零點近似值的方法是“牛頓切線法"．任取，實施如下步驟：在點處作的切線，交x軸于點；在點處作的切線，交x軸于點；一直繼續(xù)下去，可以得到一個數(shù)列，它的各項是不同精確度的零點近似值．（i)設，求的解析式；（ii)證明：當，總有2023-2024學年第二學期高3二九縣（區(qū)、市)期末聯(lián)考高二年級（數(shù)學)評分細則一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求．題號12345678答案DCBABCBD二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．題號91011答案BDABCABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．第13題第-空2分，第二空3分．12．0． 13．16，16 14．215四、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（共5大題，13分+15分+15分+17分+17分，共77分)15．（1)解法1；隨機抽取1部手機，是甲品牌的概率0.5，抽取的兩部手機至少有一部是甲品牌的概率．解法2：隨機抽取1部手機，是甲品牌的概率為，抽取的兩部手機至少有一部是甲品牌的概率．（2)解：從該地區(qū)所有品牌手機中隨機抽取1部，記事件，，分別為“抽取的手機為甲品牌、乙品牌、其他品牌手機”記事件B為“抽取的手機價位不超過4000元”則，，，，，，所以．，該手機價位不超過4000元的概率為0.39．16．（1)優(yōu)等品非優(yōu)等品總計甲車間401050乙車間302050總計7030100設：車間與優(yōu)等品無關．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能在犯錯誤的概率不超過0.05的情況下，認為兩車間的優(yōu)等品有差異．（2)解：依題意得：，又因為，，故，所以經(jīng)驗回歸方程為17．（1)解：函數(shù)的定義域為，①當時，恒成立，在上單調遞減②當時，令，得（舍去)x+0-遞增極大值遞減的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為綜上所述：當時在定義域上單調遞減；當時的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．（2)解：（i)由（1)知（ii)由（1)知的極大值為當即時，，則無零點；當即時，，則有1個零點：當即時，，令，，，在上單調遞減，有2個零點；（注：當時的情況，沒有給出函數(shù)值為負值的2個特殊點，直接得出2個零點，給1分)綜上所述：當時，無零點；，當時，有1個零點；當時，有2個零點18．（1)對于有放回摸球，每次摸到紅球的概率為0.6，且每次試驗之間的結果是獨立的，則X服從超幾何分布，X的可能取值為1，2，3，則，或【】（2)解：，即采用不放回摸球，每次取到紅球的概率都為：又，則．（3)因為，，，即，即，即，由題意知，從而，化簡得，解法1：又，，令，則，所以當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，【此處證單調性另解：為對勾函數(shù)，，（當且僅當時取等)．所以在上單調遞減，在上單調遞增】所以在處取得最小值，從而在時單調遞增，當時，，又，，當時，符合題意考慮到，都是整數(shù)，則N一定是5的正整數(shù)倍，所以N至少為195時，在誤差不超過0.003（即)的前提下認為超幾何分布近似為二項分布．解法2：化簡得，或，N為整數(shù)，或，都是整數(shù)，則N一定是5的正整數(shù)倍，所以N至少為195時，在誤差不超過0.003（即)的前提下認為超幾何分布近似為二項分布．19．（1)，定義城為，所以，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調遞增，因為，，所以，存在唯一，使得，即：有唯一零點a，且；（2)（i)由（1)知，所以，曲線在處的切線斜率為，所以，曲線在處的切線方程為，即，令得，所以，