預(yù)備知識(shí)07 基本不等式（解析版）-2024-2025初升高銜接資料（新高一暑假學(xué)習(xí)提升）

專(zhuān)題07預(yù)備知識(shí)七：基本不等式1、學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等2、基本不等式的推導(dǎo)與證明過(guò)程，提升邏輯推理的思維能力3、基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，理解積定與和定問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一：基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類(lèi)陷阱）基本不等式:,,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．如果，有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）特別的，如果,用分別代替,代入，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“”號(hào)成立.知識(shí)點(diǎn)二：利用基本不等式求最值①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和有最小值；②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，積有最大值；知識(shí)點(diǎn)三：基本不等式鏈（其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）知識(shí)點(diǎn)四：三個(gè)正數(shù)的基本不等式如果，，，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)一：對(duì)基本不等式的理解典型例題例題1．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷正誤（正確的填“正確”，錯(cuò)誤的填“錯(cuò)誤”）（1）兩個(gè)不等式與成立的條件是相同的.()（2）當(dāng)時(shí)，.()（3）當(dāng)時(shí)，.()（4）函數(shù)的最小值是2.()【答案】錯(cuò)誤正確正確錯(cuò)誤【分析】根據(jù)基本不等式的概念和定義一一判定即可.【詳解】對(duì)于（1），不等式成立的條件是；不等式成立的條件是，錯(cuò)誤；對(duì)于（2），是基本不等式的變形公式，正確；對(duì)于（3），是基本不等式的變形公式，正確；對(duì)于（4），當(dāng)時(shí)，是負(fù)數(shù)，錯(cuò)誤；故答案為：（1）錯(cuò)誤

（2）正確

（3）正確

（4）錯(cuò)誤.例題2．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列不等式的推導(dǎo)過(guò)程正確的是．①若，則；②若，則；③若，則.【答案】②【分析】根據(jù)基本不等式成立的條件進(jìn)行判斷即可.【詳解】①中忽視了基本不等式等號(hào)成立的條件，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，故①錯(cuò)誤；②因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故②正確；③中忽視了利用基本不等式時(shí)每一項(xiàng)必須為正數(shù)這一條件，當(dāng)時(shí)，，故③錯(cuò)誤．故答案為：②.精練1．（多選）（23-24高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的有（

）A．不等式恒成立B．存在實(shí)數(shù),使得不等式成立C．若,,則D．若,且,則【答案】BCD【分析】根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”判斷ABC的正誤,用“1”的代換判斷D的正誤.【詳解】解:不等式只有在a,b都為非負(fù)數(shù)的時(shí)候才恒成立,故A錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,故B正確;若,則由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號(hào)成立,故C正確;因?yàn)?,且,所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào),即時(shí)取等號(hào);故D正確.故選:BCD.2．（23-24高一上·上海松江·期末）“”是“”的條件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【分析】利用充分不必要判斷即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以充分性成立，由，所以，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故答案為：充分不必要對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)二：利用基本不等式求最值角度1：和為定值求積的最值典型例題例題1．（23-24高一上·湖南婁底·期末）若，，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】直接由基本不等式即可求解.【詳解】由題意，解得，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).故選：B.例題2．（2024高二下·湖南株洲·學(xué)業(yè)考試）已知，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．3【答案】D【分析】利用基本不等式直接求出最大值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為3.故選：D例題3．（23-24高三上·四川雅安·期中）已知，，則“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由均值不等式判斷充分條件，再舉出反例得到不是必要條件即可.【詳解】因?yàn)?，解得，所以是充分條件；當(dāng)時(shí)滿足，此時(shí)，所以不是必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：B精練1．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知正數(shù)，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式直接計(jì)算即可.【詳解】由題意得，，則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：C2．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，則xy的最大值是（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】由于，，，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：B3．（23-24高一上·貴州六盤(pán)水·期末）已知，則的最大值為．【答案】【分析】由基本不等式求積的最大值.【詳解】，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為.故答案為：角度2：積為定值求和的最值典型例題例題1．（23-24高二下·福建三明·階段練習(xí)）若，則的最小值是（

）A． B． C．4 D．2【答案】C【分析】利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選：C例題2．（2024·甘肅定西·一模）的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式即可得解.【詳解】由題意知，所以，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.例題3．（23-24高一上·上?！て谀┖瘮?shù)（）的最小值是.【答案】【分析】借助基本不等式即可得.【詳解】由，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.精練1．（23-24高一上·重慶·期末）函數(shù)的最小值是（

）A．4 B．5 C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.則的最小值是.故選：D.2．（23-24高一上·廣東·期中）已知，則的最小值為（

）A．50 B．40 C．20 D．10【答案】C【分析】利用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為20．故選：C3．（23-24高一上·新疆·期末）的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】由已知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.角度3：常數(shù)代換法典型例題例題1．（2024高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若，，且，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】將展開(kāi)利用基本不等式求得最小值可得答案.【分析】因?yàn)榍?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為2.故選：A.例題2．（23-24高一上·貴州黔南·階段練習(xí)）已知且，則的最小值為（）A． B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為9.故選：C例題3．（23-24高二上·陜西西安·期中）已知且，則的最小值為（

）A． B．10 C．9 D．【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【詳解】由可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以的最小值為9，故選:C.精練1．（23-24高一上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）若，，則的最小值是（

）A．2 B．4 C．3 D．8【答案】B【分析】利用常數(shù)代換的思想和基本不等式即可求得.【詳解】因，，故由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.由解得：即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值為4.故選：B.2．（2024·四川南充·二模）已知x，y是實(shí)數(shù)，，且，則的最小值為【答案】1【分析】利用基本不等式"1"的妙用求最值可求答案.【詳解】因?yàn)?，且，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，所以，即的最小值為1.故答案為：13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，若，則的最小值為.【答案】/【分析】將所求的式子乘以“1”,然后利用基本不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：角度4：湊配法典型例題例題1．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】由可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選:D例題2．（23-24高一上·吉林·階段練習(xí)）已知，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值條件.【詳解】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故最小值為.故選：C例題3．（23-24高一上·陜西西安·期末）已知，則的最小值是.【答案】6【分析】直接利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值是6.故答案為：6.精練1．（23-24高一上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）若，則的最小值為（

）A．-2 B．0 C．1 D．【答案】B【分析】變形后由基本不等式求出最值.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B2．（23-24高一下·湖南株洲·階段練習(xí)）已知，則的最小值為．【答案】4【分析】利用基本不等式即可求值.【詳解】因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：43．（23-24高一上·北京·期中）已知，則當(dāng)時(shí)，取最小值為．【答案】514【分析】利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取最小值為.故答案為：；.角度5：二次與二次（或一次）商式典型例題例題1．（23-24高一上·云南楚雄·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】A【分析】由基本不等式求解，【詳解】因?yàn)樗裕?當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立故最小值為，故選：A例題2．（23-24高二上·云南昆明·期末）函數(shù)的值域是.【答案】【解析】將化簡(jiǎn)可得，然后討論和時(shí)，利用基本不等式求最值即可求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以函數(shù)的值域是，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：形如二次比一次的形式的函數(shù)，先對(duì)其化簡(jiǎn)整理，使之具備使用基本不等式的條件，再利用基本不等式求最值，可得值域.例題3．（23-24高三上·福建泉州·期中）函數(shù)在上的最大值為．【答案】【分析】令，則，則，利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故的最大值為．故答案為：精練1．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，則的最小值為．【答案】1【解析】將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)后，利用基本不等式求得函數(shù)的最小值.【詳解】．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故答案為：1【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的最大值為.【答案】/【分析】首先化簡(jiǎn)可得，由則可以利用基本不等式求最值即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以≤，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.故答案為：.3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的最小值為．【答案】【分析】將函數(shù)化為，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.【詳解】由，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以原函數(shù)的最小值為.故答案為：對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)三：基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用典型例題例題1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，華為在官方網(wǎng)站發(fā)布了Mate60系列手機(jī)，全系搭載麒麟芯片強(qiáng)勢(shì)回歸，5G技術(shù)更是遙遙領(lǐng)先，正所謂“輕舟已過(guò)萬(wàn)重山”.發(fā)布后的第一周銷(xiāo)量約達(dá)80萬(wàn)臺(tái)，第二周的增長(zhǎng)率為a，第三周的增長(zhǎng)率為b，這兩周的平均增長(zhǎng)率為x（a，b，x均大于零），則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，列出等式，再利用基本不等式求解判斷即可.【詳解】依題意，，而，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.故選：B例題2．（22-23高一上·廣東廣州·期中）港珠澳大橋通車(chē)后，經(jīng)常往來(lái)于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行．由于燃油的價(jià)格有升也有降，現(xiàn)劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次均加升的燃油；第二種方案，每次加元的燃油．(1)分別用表示劉先生先后兩次加油時(shí)燃油的價(jià)格，請(qǐng)你計(jì)算出每種加油方案的均價(jià)；(2)選擇哪種加油方案比較經(jīng)濟(jì)劃算？請(qǐng)你給出證明．【答案】(1)第一種方案的均價(jià)為；第二種方案的均價(jià)為；(2)第二種加油方案比較經(jīng)濟(jì)劃算，詳見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意即得；（2）利用基本不等式即得.【詳解】（1）由題可得第一種方案的均價(jià)為，第二種方案的均價(jià)為；（2）因?yàn)?，，所以，，所以，即第二種加油方案比較經(jīng)濟(jì)劃算.例題3．（21-22高一上·吉林白山·期末）某工廠分批生產(chǎn)某產(chǎn)品，生產(chǎn)每批產(chǎn)品的費(fèi)用包括前期的準(zhǔn)備費(fèi)用?生產(chǎn)過(guò)程中的成本費(fèi)用以及生產(chǎn)完成后產(chǎn)品的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用.已知生產(chǎn)每批產(chǎn)品前期的準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，成本費(fèi)用與產(chǎn)品數(shù)量成正比，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用與產(chǎn)品數(shù)量的平方成正比.記生產(chǎn)件產(chǎn)品的總費(fèi)用為y元.當(dāng)時(shí)，成本費(fèi)用為3000元，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為450元.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)試問(wèn)當(dāng)每批產(chǎn)品生產(chǎn)多少件時(shí)平均費(fèi)用最少？平均費(fèi)用最少是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)每批產(chǎn)品生產(chǎn)80件時(shí)，平均費(fèi)用最少，且平均費(fèi)用最少為70元【分析】（1）根據(jù)已知設(shè)成本費(fèi)用為，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為元，則，，當(dāng)時(shí)，，，代入即可求得解析式.（2）平均費(fèi)用為，利用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)成本費(fèi)用為，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為元，則，，當(dāng)時(shí)，，，可得，，故.（2）平均費(fèi)用，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故當(dāng)每批產(chǎn)品生產(chǎn)80件時(shí)，平均費(fèi)用最少，且平均費(fèi)用最少為70元.精練1．（23-24高一上·河北·階段練習(xí)）一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱(chēng)黃金.一位顧客到店里購(gòu)買(mǎi)10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤(pán)中，取出一些黃金放在天平右盤(pán)中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤(pán)中，再取出一些黃金放在天平左盤(pán)中使天平平衡；最后將兩次稱(chēng)得的黃金交給顧客.你認(rèn)為顧客購(gòu)得的黃金10g.（填“大于”“小于”“等于”“不確定”）附：依據(jù)力矩平衡原理，天平平衡時(shí)有，其中，分別為左右盤(pán)中物體質(zhì)量，，分別為左右橫梁臂長(zhǎng).【答案】大于【分析】根據(jù)力矩平衡原理，列出等量關(guān)系，即可由基本不等式求解.【詳解】由于天平兩臂不等長(zhǎng)，可設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為，則，再設(shè)先稱(chēng)得黃金為，后稱(chēng)得黃金為，則，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，但，等號(hào)不成立，即．因此，顧客購(gòu)得的黃金大于．故答案為：大于2．（22-23高二上·廣西南寧·開(kāi)學(xué)考試）一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存貨物，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離x（單位：）成反比，每月庫(kù)存貨物費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與x成正比；若在距離車(chē)站處建倉(cāng)庫(kù)，則和分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車(chē)站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最??？并求出該值．【答案】5km；最小費(fèi)用為8萬(wàn)元【分析】先設(shè)出，代入自變量及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，求出，從而得到兩項(xiàng)費(fèi)用之和，利用基本不等式求出最小值.【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴兩項(xiàng)費(fèi)用之和為．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．即應(yīng)將這家倉(cāng)庫(kù)建在距離車(chē)站處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，且最小費(fèi)用為8萬(wàn)元．3．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計(jì)生產(chǎn)一種長(zhǎng)方形薄板，其周長(zhǎng)為4米，這種薄板須沿其對(duì)角線折疊后使用．如圖所示，為長(zhǎng)方形薄板，沿折疊后，交于點(diǎn).當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)最節(jié)能．（1）設(shè)米，用表示圖中的長(zhǎng)度，并寫(xiě)出的取值范圍；（2）若要求最節(jié)能，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長(zhǎng)和寬？【答案】（1）；（2）長(zhǎng)為米，寬為米.【分析】（1）根據(jù)可得，由勾股定理可得的關(guān)系，再根據(jù)可得的取值范圍；（2）設(shè)的面積為，計(jì)算可得，利用基本不等式可得何時(shí)取最大值.【詳解】解：（1）由題意，.因，故.設(shè)，則.因，故.由，得，化簡(jiǎn)得.（2）設(shè)的面積為，，當(dāng)且僅當(dāng))時(shí)，取得最大值．答：當(dāng)薄板長(zhǎng)為米，寬為米時(shí)，節(jié)能效果最好．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，本題中注意折疊前后各幾何量之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值時(shí)注意“一正、二定、三相等”.對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)四：與基本不等式有關(guān)的恒成立問(wèn)題典型例題例題1．（23-24高一上·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）“對(duì)所有，不等式恒成立”的充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式恒成立和構(gòu)造基本不等式可確定，即可求解.【詳解】由不等式恒成立，得恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以不等式恒成立，則，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，故選:D.例題2．（多選）（23-24高一下·湖南株洲·開(kāi)學(xué)考試）若對(duì)于任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用基本不等式求出的最大值，結(jié)合選項(xiàng)可得【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，由任意，恒成立，

所以，符合條件有，，，故A、C、D對(duì)；，故B錯(cuò)；故選：ACD例題3．（23-24高一上·四川成都·階段練習(xí)）設(shè)，，若，且不等式恒成立，則的取值范圍是.【答案】【分析】首先根據(jù)已知條件得到，然后結(jié)合基本不等式即可求得最小值，再解關(guān)于的一元二次不等式即可求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以，解得.故答案為：精練1．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5}【答案】A【分析】利用基本不等式求出不等式x的最小值為4，轉(zhuǎn)化為4≥a2﹣3a，由此解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】解：∵x＞0，∴不等式x24，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)，表達(dá)式取得最小值為4，由關(guān)于x的不等式xa2﹣3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x＞0恒成立，可得4≥a2﹣3a，解得﹣1≤a≤4，故選：A．2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分離變量可得在時(shí)恒成立，然后利用均值不等式求最值即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于在時(shí)恒成立，即等價(jià)于；而因?yàn)?，?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最大值.故.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了分離變量最值法，重點(diǎn)考查了不等式恒成立問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.3．（23-24高二上·福建廈門(mén)·期中）若對(duì)有恒成立，則的取值范圍是【答案】【詳解】試題分析：因?yàn)?，而恒成立，則，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取得等號(hào)那么可知只要小于等于表達(dá)式的最小值8即可，故答案為考點(diǎn)：本試題主要考查了運(yùn)用均值不等式求解最值．點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是對(duì)于不等式的恒成立問(wèn)題，我們一般轉(zhuǎn)換為函數(shù)的最值來(lái)研究，從而得到參數(shù)a的范圍．一、單選題1．（22-23高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是.故選：C.2．（23-24高一上·山東青島·期末）已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意利用基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.3．（20-21高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）若，且，則的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】利用基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：A.4．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】由題意可得，根據(jù)“1”的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，可得，且，，可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為1.故選：B.5．（23-24高一上·陜西延安·階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式求解最值即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以不等式恒成立，故，故，故選：D6．（23-24高一下·四川眉山·開(kāi)學(xué)考試）阿基米德有這樣一句流傳很久的名言：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬起整個(gè)地球！”這句話說(shuō)的便是杠桿原理，即“動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂”．現(xiàn)有一商店使用兩臂不等長(zhǎng)的天平稱(chēng)黃金，一位顧客到店里購(gòu)買(mǎi)黃金，售貨員先將的砝碼放在天平左盤(pán)中，取出黃金放在天平右盤(pán)中使天平平衡；再將的砝碼放在天平右盤(pán)中，取黃金放在天平左盤(pán)中使天平平衡，最后將稱(chēng)得的黃金交給顧客，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．以上選項(xiàng)都有可能【答案】A【分析】設(shè)天平的左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為，再分別求出，，結(jié)合基本不等式判斷即可.【詳解】由于天平的兩臂不等長(zhǎng)，故可設(shè)天平的左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為，.由杠桿原理得，，解得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).又，故.故選：A7．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為（

）A． B．8 C． D．【答案】A【分析】由題意得，進(jìn)一步表示出，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳