矩陣分析 課件 3.4 酉相似下的標(biāo)準(zhǔn)形和正規(guī)矩陣_第1頁
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文檔簡介

3.1酉相似下的標(biāo)準(zhǔn)形和正規(guī)矩陣1、酉相似下的標(biāo)準(zhǔn)形定理3.15若是一個(gè)

n維的單位向量，為第一個(gè)列向量的酉矩陣

Q.定理3.16（Schur）任意方陣可酉相似于一個(gè)上三角矩陣

U

，即存在

n階酉矩陣

Q，使得則存在一個(gè)以2、正規(guī)矩陣定義3.11設(shè)，若

A滿足，則稱

A為正規(guī)矩陣。酉矩陣、正交矩陣、Hermite矩陣（滿足實(shí)對(duì)稱矩陣、反Hermite矩陣（滿足實(shí)反對(duì)稱矩陣、對(duì)角矩陣等都是正規(guī)矩陣。定理3.17

設(shè)，則

A酉相似于對(duì)角矩陣的充分必要條件反Hermite矩陣、實(shí)反對(duì)稱矩陣均可以酉相似于對(duì)角矩陣。的矩陣）、的矩陣）、是

A為正規(guī)矩陣。該定理表明：酉矩陣、正交矩陣、Hermite矩陣、實(shí)對(duì)稱矩陣、推論1

設(shè)

A是

n階正規(guī)矩陣，是

A的全部特征值，則(1)A是Hermite矩陣的充分必要條件是

A的每個(gè)特征值為實(shí)數(shù)；(2)A是反Hermite矩陣的充分必要條件是

A的每個(gè)特征值(3)A是酉矩陣的充分必要條件是

A的每個(gè)特征值的模為1;(4)是特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，則是對(duì)應(yīng)的特征向量仍為為0或純虛數(shù)；的特征值，推論2

Hermite矩陣相互正交。的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量定義3.12設(shè)是Hermite矩陣，如果對(duì)任意都有則

A稱為Hermite正定矩陣（半正定矩陣）。定理3.18設(shè)是Hermite矩陣，則下列條件等價(jià)：（1）A是Hermite正定矩陣；（2）A的特征值全為正實(shí)數(shù)；（3）存在矩陣，使得推論Hermite正定矩陣的行列式大于零。定理3.19設(shè)是Hermite矩陣，則下列條件等價(jià)：（1）A是Hermite半正定矩陣；（2）A的特征值全為非負(fù)實(shí)數(shù)；（3）存在矩陣，使得定理3.20設(shè)，則（1）和的特征值為非負(fù)實(shí)數(shù)；（2）和的非零特征值相同；（3）定理3.21設(shè)是Hermite矩陣，則

A為Hermite正定矩陣的充分必要條件是

A的

n個(gè)順序主子式全為正。本節(jié)

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