橢圓中6種?？蓟A(chǔ)題型

第19講橢圓中6種?？蓟A(chǔ)題型

【考點分析】

考點一：橢圓的通徑

過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為生.

考點二：橢圓中有關(guān)三角形的周長問題

如圖一所示：公尸士尼的周長為2a+2c

如圖一所示：A4BC的周長為4。

考點三：橢圓上一點的有關(guān)最值

①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點.

②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點.

距離的最大值為a+c,距離的最小值為

考點四：橢圓的離心率

rM2_^212

橢圓的離心率e=—（0<e<1）,e2———-=1--

aa"a"a"

考點五：橢圓焦點三角形的面積為S=b2-tan0（0為焦距對應(yīng)的張角）

2

考點六：中點弦問題（點差法）

中點弦問題：若橢圓與直線/交于4?兩點，例為他中點，且砥B與心”斜率存在時，則原屋K,w=-4；

=--

（焦點在x軸上時），當(dāng)焦點在y軸上時，kAB-KOMp

若43過橢圓的中心，P為橢圓上異于"任意一點，kpzKpB=-Z（焦點在x軸上時），當(dāng)焦點在》軸

上時，即小長?8=_爐

【題型目錄】

題型一：橢圓的定義有關(guān)題型

題型二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

題型三：橢圓的離心率

題型四：橢圓中焦點三角形面積

題型五：橢圓中中點弦問題

題型六：橢圓中的最值問題

【典型例題】

題型一：橢圓的定義有關(guān)題型

【例1】已知AABC的周長為10,且頂點B(-2,0),C(2,0),則頂點A的軌跡方程是()

C.5+：=1(k0)D.[+5=1(k0)

6446

【答案】A

【解析】?二△ABC的周長為10,頂點8(-2,0),C(2,0),

.?.忸C|=4,卜同+“|=10-4=6>4,

.??點A到兩個定點的距離之和等于定值，

:,點、A的軌跡是橢圓，a=3,c=2,?,?加=”4=5，

乂因為三點構(gòu)成三角形，

???橢圓的方程是二+$=1()，/0).

故選：A.

【例2】如果點M(x,y)在運動過程中，總滿足關(guān)系式+(),+3)2+Jx：+(y-3)2=4百,則點M的軌跡

是().

A.不存在B.橢圓C.線段D.雙曲線

【答案】B

【解析】#+(),+3)2+也2+(y—3)2=4G表示平面山點加(x,N)到點(。,-3),(0,3)的距離之和為46,而

3-(-3)=6<4>/3,所以點〃的軌跡是橢圓，故選：B

【例3】設(shè)小工分別為橢圓9+y2=i的左、右焦點，點P在橢圓上，且|尸耳+戶用=26，則/耳尸6=

（）

K兀八冗TC

A.-B.-C.—D.—

6432

【答案】D

【解析】川麗+麗月2叫=26，所以同=6=|。用=|%，所以4桃=90。

【例4】小鳥是橢圓。：:+5=1的左、右焦點，點尸在橢圓。上，1^1=6,過6作N/田鳥的

角平分線的垂線，垂足為M，則1。例1的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】如圖，直線兄〃與直線尸工相交于點N,由于PM是/4P居的平分線，且耳N,

所以三角形耳印是等腰三角形，所以尸耳=9，點M為尸力中點，因為。為耳巴的中點，

所以O(shè)M是三角形EgN的中位線，所以|0M=g|8N|,其中優(yōu)可=戶用一忸用=2歸用—24=2歸制—6,

因|P耳|=6,所以|取7|=6,所以|°卜=3,所以選C

【例5】已知橢圓C:《+￡=l,點M與C的焦點不重合，若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A,B,線

2516

段MN的中點在C上，則|AN|+|BN|=（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】C

【解析】設(shè)MN的中點為G,橢圓的左右焦點分別為《，鳥，則G為MN的中點，片為的中點，所以

|AN=2|G用，同理忸N=2|G勾，所以|AN|+忸N|=2《G制+|Gq）=4〃=20

［例6］方程N+正=2表示焦點在x軸上的橢圓的一個充分但不必要條件是)

A.k>0B.l<k<2C.k>lD.0<后<1

【答案】B

22

X'

二+匕I表示焦點在x軸上的橢圓，則有:0<|<2,

【解析】方程（+由2=2可變形為：

k

解得k＞l.易知當(dāng)1＜女＜2時，k＞l.當(dāng)k＞l時未必有1〈人＜2,所以1＜攵＜2是k＞l的充分但不必要

條件.故選B.

22

【例7】點月，尸2為橢圓C：3+方=1的兩個焦點，點P為橢圓C內(nèi)部的動點，則△P45周長的取值范

圍為（）

A.(2,6)B.[4,6)

C.(4,6)D.[4,8)

【答案】C

【解析】由橢圓C：】，得:a=2,c=\,

當(dāng)點P在橢圓上時,△「耳巴周長最大，為2a+2c=6,

當(dāng)點P在x軸上時,去最小值，為4c=4,

又因點戶為橢圓C內(nèi)部的動點,

所以AP與心周長的取值范圍為（4,6）.

故選：C.

【例8】橢圓匕+亡=

1的左、右焦點分別為石，F(xiàn),點P在橢圓上，如果尸耳的中點在y軸上，那么|「耳|

932

是|尸名|的（)

A.7倍B.6倍C.5倍D.4倍

【答案】C

A23

【解析】由題意知：PF2LFiF2,所以|P用=一=§=1,因歸周+|尸周=2a=6,所以|尸耳=5,所

|p用

以^~4=5

1^1

【題型專練】

I.已知△ABC的周長為20,且頂點B(0,-4),C(0,4),則頂點A的軌跡方程是()

o222

廠上?

A.--------1--------1(x#0)B.-%------J1-------1(X#))

36202036

C.—+^-=1(x#0)D.—+—=1(x加)

620206

【答案】B

【解析】：△ABC的周長為20,頂點8(0,-4),C(0,4),

.?.BC=8,AB+4C=20-8=12,

：12>8.?.點A到兩個定點的距離之和等于定值，.?.點A的軌跡是橢圓，

Va=6,。=4?'?按=20,

22

.??橢圓的方程是工+±=l(xw0)故選B.

2036'7

22

2.焦點在x軸上的橢圓二+匕=1焦距為8,兩個焦點為6，F(xiàn),,弦48過點￡,則A4B用的周長為()

a'25

A.20B.28C.2\/41D.4741

【答案】D

【解析】由題意知。2=25，因為/=〃+/,所以/=25+16,解得。=歷，所以AA8F2的周長

為4a=4歷，故選：D

22

3.(2021新高考1卷)已知耳，工是橢圓C：土+3=1的兩個焦點，點〃在。上，則園￡卜阿閭的

最大值為()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】因+阿閭=2a=6N2jMF[.,所以|"耳卜|"閭49

4.已知橢圓片+片=1的左、右焦點分別為與心，點”在橢圓上，若1"片1=4,則/月時名=()

92

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓方程求得閨用=2g，由橢圓的定義，得|崢|+|叫|=2a=6,求得|M￡|=4,所以■閭=2,

在△耳M巴中，再由余弦定理列出方程，求得cosN^M心=-g,即可求解.

【詳解】

解：由題意，橢圓方程—+-1,可得°=3,b=-$/2,c=y/a2—h2=幣＞

所以焦點￡（-夜,0）,月（戶,0），

又由橢圓的定義，可得|M制+阿閭=2a=6,因為|〃用=4,所以|M段=2,

在△耳加工中，由余弦定理可得舊聞2TM國2+眼圖2-2眼間四周cosN隼明，

22

所以（2近）2=4+2-2X4X2COSZF}MF2,解得cosNf；帆=-g,

又由N耳用入€（0,180）,所以Nf；M6=120.

故選:C.

5.設(shè)耳，尸2為橢圓片+片=1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段尸片的中點在y軸上，則罌的值為（）

94IWI

5424

A.—B.-C.-D.-

13579

【答案】C

【解析】

【分析】

由中位線定理以及橢圓方程得出|尸用=。，再由桶圓的定義得出歸用，再求需的值.

【詳解】

由橢圓的定義可知，閥|+歸聞=2a=6,由中位線定理可知，尸"桃，將片石代入卷+卜1中，

解得尸土：即附百，|尸娟=6一鴻，故簿瀉

故選：C

6.已知曲線=1

A.若m>〃>（）,則c是橢圓，其焦點在y軸上

B.若加>〃>o,則c是橢圓，其焦點在x軸上

C.若m=^>0,則C是圓，其半徑為薪

D.若m=0,〃>0,則C是兩條直線

【答案】AD

22

工+工—111

【解析】山題意得：11一，所以當(dāng)相>〃>o,則o<一<—,所以表示焦點在y軸上的橢圓，所

mn

mn

以A對，8錯，當(dāng)機(jī)=〃>0時，曲線C為?？+/=].,所以表示圓，半徑為J=,當(dāng)〃7=0,”>0時，

n7n

11

曲線C為>72=—，所以y=±-尸，所以表示兩條直線，故選：AD

n7n

7.已知橢圓片+片=1的左焦點為尸，點尸在橢圓上且在x軸的上方，若線段尸尸的中點在以原點。為圓心,

95

|。尸|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是（）

A.石B.2非C.V15D.-V15

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)線段尸尸2的中點為M，連接尸耳、MF,,利用圓的幾何性質(zhì)可得出4求得|PK同耳段=2c=2,

利用橢圓的定義可求得|尸名|,可判斷出用的形狀，即可得解.

【詳解】

在橢圓?+《=1中，a=2,b=y/3,c=4ar^=l'

設(shè)線段尸外的中點為加，連接2片、M"，則"名為圓O的一條宜徑，則耳"，尸死，

p

因為“為P5的中點,則|「制=|耳聞=2c=2,則忸閭=2a-|P4|=2,

所以，與耳為等邊三角形，由圖可知，直線P6的傾斜角力

故選：C.

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若AA8C的頂點A(0-2)和C(0,2),頂點8在橢圓-^-+—=1±,則膽牡薯

128smB

的值是()

A.73B.2C.2百D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

由題設(shè)易知AC為橢圓的兩個焦點，結(jié)合橢圓定義及焦點三角形性質(zhì)有|AB|+|CB|=2a,14cl=2c,最后

應(yīng)用正弦定理的邊角關(guān)系即可求目標(biāo)式的值.

【詳解】

由題設(shè)知：AC為橢圓的兩個焦點，而8在橢圓上，

所以|AB|+|C3|=2a=4石,\AC\=2c=4,

由正弦定理邊角關(guān)系知：sinA:—+psinC|AB|+|CB|6/r?

sinB\AC\

故選：A

22

9.已知％B是橢圓C：]+?=1的兩個焦點，點加在C上，則|阿卜|帆|的最大值為()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】由題，。2=9,〃=4,則制+|“回=2。=6,

所以陽/訃|姐|4周=9（當(dāng)且僅當(dāng)=|叫1=3時，等號成立）.故選：C.

10.已知橢圓三+$=1的左、右焦點分別為「、尸?，點P在橢圓上且在x軸的下方，若線段尸鳥的中點在

43

以原點。為圓心，。名為半徑的圓上，則直線P8的傾斜角為（）

A..B.三C.土D.絲

6433

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)線段P瑪?shù)闹悬c為M,連接尸耳、“耳，利用圓的幾何性質(zhì)可得出用尸鳥，求得|P耳|=|耳閭=2c=2,

利用橢圓的定義可求得|叫|,可判斷出耳馬的形狀，即可得解.

【詳解】

22

在林網(wǎng)F——=1中，a=2,b=>/3,c=\la2-b2=1，

43

設(shè)線段尸鳥的中點為連接PK、MK，則百工為圓。的一條直徑，則月名，

因為M為P瑪?shù)闹悬c,則|P周=恒閭=20=2,則|P聞=2a-|尸制=2,

所以，為等邊三角形，由圖可知，直線產(chǎn)工的傾斜角為

故選：C.

H.已知A為橢圓巨葛=1上一點，尸為橢圓一焦點，AF的中點為P,。為坐標(biāo)原點，若四=2則|叫=

（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】B

【解析】不妨設(shè)橢圓《+4=1左焦點為F，右焦點為E，

2516

因為AE的中點為P,E尸的中點為。，所以|4目=2|。日=4,

又由|A￡|+|AF|=2a=10,可得|AF|=10-4=6.故選：B.

12.已知橢圓C：5+1=1的左右焦點分別是耳，耳，過工的直線與橢圓C交于48兩點，且|"；|+|班|=8,

則回=()

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

22

【解析】山橢圓C:二+匯=1知：。=3,

94

由橢圓的定義得:\AFt\+\AF2\=2a=6,\BFl\+\BF2\=2a=6,

所以|前|+|即|+|AB|=4a=12,

又因為|A用+忸制=8,

所以|AB卜4,

故選：A

題型二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【例1】已知橢圓E：^+^=\(a>b>0)右焦點為(0,0),其上下頂點分別為C,,C2,點71(1,0),HQ±AC2,

則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

3443

22

C.x2+^-=lD.—+/=1

33

【答案】D

【分析】由橢圓的幾何性質(zhì)可知上下頂點坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積可得從，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意可知，G(o，?，c2(o,-b).

所以AC,=(-1,h),AC2=(-1,-Z?),

又AG_LAG，所以ACJ4C2=1—從=0,可得從=i

在橢圓中，c=垃,又〃=^+。2,所以/=3

即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為J+y2=i.

3

故選：D.

2o

【例2】已知橢圓C：￡+￡=1（“>6>0）,橢圓C的一頂點為A,兩個焦點為6,K，△A6K的面積為G，

焦距為2,過耳，且垂直于4尼的直線與橢圓C交于￡>,E兩點，則MOE的周長是（）

A.4&B.8C.2MD.16

【答案】B

v-22

【分析】先根據(jù)馬的面積為G，焦距為2,求得橢圓方程為三+二v=1,然后根據(jù)已知條件及等邊三

43

角形的性質(zhì)，再利用等腰三角形的三線合一定理及橢圓的定義，結(jié)合三角形的周長公式即可求解.

【詳解】因為八4片鳥的面積為百，焦距為2,所以c=l,b=退，

所以=故橢圓方程為?+?=1，

假設(shè)A為橢圓C的上頂點，因為兩個焦點為月，心，

所以|A耳|=,閭=。=2,內(nèi)閭=2c=2,故|的卜|伍|=|百磯

所以△AG&為等邊三角形，又因為過耳，且垂直于的直線與橢圓C交于。，E兩點，

所以|4）卜閶，|A￡|=|%],

由橢圓的定義可知：。閭+|。6|=2?=2X2=4,

\EF2\+\EFt\=2a=2x2=4,

所以VAT>￡的周長為

|陰+|陰+|￡）同=|四+|明+|岡+|明=4?=4*2=8,

故選：B.

【例3】如圖，已知橢圓C的中心為原點O,尸（-260）為橢圓C的左焦點,P為橢圓C上一點，滿足|。巴=|。用,

且|PF|=4,則橢圓C的方程為（）

22

C.三+匕=1

D'

25545253010

【答案】D

【分析】設(shè)橢圓的右焦點為尸，連接尸尸',由|OP=|OW=|O尸1可得"J_Pk，可求得仍k1=8,由橢圓的

定義可求得“=6,利用〃,b,c之間的關(guān)系可求得加，即可得到答案

【詳解】如圖，設(shè)橢圓的右焦點為F’,則尸'（2石,0）,連接尸尸,

因為|0「|=|0尸1=|0尸所以M'PF,

所以|=加-1PF『=7(4>/5)2-42=8,

山橢圓的定義可得2a=1PFI+\PF'\=12,貝lja=6,

又因為c=|OF|=2>/5，所以b?=a2-c2=62—(2>/5)2=16,

【例4】阿基米德（公元前287年一公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼

近法''得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在

y軸上，且橢圓C的離心率為手，面積為12萬，則橢圓C的方程為（）

y2X2?>)y2X2

A.廠---1-?--=11B.匕+二=1C,工+工=1D.匕+二二1

1889818884

【答案】C

【分析】利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】可設(shè)橢圓C的方程為5+

=l(<z>Z?>0),

c\J5

€——=--

a3/=18

由題意可得：al7ii=l2Tt,解得:從=8,

b2=a2-c2c2=10

所以橢圓C的方程為=1

818

故選：C

22

【例5】過橢圓C：*■+方=l（a＞方＞0）右焦點尸的直線/：x-y-2=0交C于A,8兩點，尸為AB的中

點,且OP的斜率為則橢圓C的方程為（)

2222

A.二+二=1B.—I—=1

8495

x2/

C.D.-------1-------:

73106

【答案】A

【分析】由，與x軸交點橫坐標(biāo)可得半焦距c,設(shè)出點A,B坐標(biāo)，利用點差法求出，/力2的關(guān)系即可計算作

答.

【詳解】依題意，焦點尸（2,0）,即橢圓C的半焦距c=2,設(shè)AU,,%）,8?,%）,P（飛,％）,

%2工2+Q22_@2b2

則有./to兩式相減得:小+引（…2）+「5+必）（凹-必）=。，

而不+占=2%,兇+%=2%,且％=-；,即有-2/a-*2)+。2(%-%)=0,

X。N

又直線/的斜率*因此有02=劫2,而/_/=°2=4,解得/=8,"=4,經(jīng)驗證符合題意,

%一%

V22

所以橢圓C的方程為一+。K=1.

84

故選：A

22

【例6】已知"分別是橢咋+方叱。＞。）的左、右焦點，A,8分別為橢圓的上，下頂點，過橢圓

的右焦點K的直線交橢圓于C,。兩點，”CO的周長為8,且直線AC,8c的斜率之積為-!，則橢圓的

4

方程為（）

A.—+/=1B.—+^=1C.—+y2=1D.—+-^-=1

232443

【答案】C

【分析】由△耳8的周長為8,可得4a=8,解得。=2.設(shè)C（玉，y）,可得釬4（1-5）,由于直線AC,

BC的斜率之積為可得代入化簡可得〃.即可得出.

4百％4

【詳解】解：△FC。的周長為8,.?.4a=8,解得a=2.

設(shè)C(X|,?),則片=4(1-韻,

?.?直線AC,BC的斜率之積為.*4(才一/)+父=0,

4%玉4

化為4（），；-。2）+4（1-g）=（）,可得廿=1

二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+/=1.

4

故選：C

【例7】已知橢圓C的焦點為『TO）,K（1,0）,過尸2的直線與C交于4,8兩點.若|AF；|=3|KB|,51ABi=4|B用,

則C的方程為（）

，v-22

A.—+y2=lB.—+.v<-=1

232

x2v2x2v2

4354

【答案】A

【分析】由已知可設(shè)怩4=”，則|A瑪卜3〃,怛&=三AB|=5〃，得|AR=3〃，在△MB中求得cosAB=0,

從而可求解.

【詳解】如圖，由已知可設(shè)優(yōu)回=〃，則|A段=3〃,怛用=；|AB|=5〃，

由橢圓的定義有2〃=忸制+|%|=6〃,.“盟|=2-|你|=3〃.

在△人卒中，由余弦定理推論得黑酒J。.

所以N6A鳥=90°,則|A用，|A用;忻用2n9〃2+9]=4

得3n=^2，所以〃=>/2，乂c=1,得b=l

故C的方程為1+丁=1

22

I.已知匕、居是橢圓C：-+斗=1（。>6>0）的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，B在x軸上，ABAFO=（）

ab

且2A4=45+.若坐標(biāo)原點O到直線A8的距離為3,則橢圓。的方程為（）

2

A.—+y2=1

4.

C.二+工=1

169

【答案】D

【分析】根據(jù)題干條件得到ABLA%耳為8丹的中點，作出輔助線，利用相似得到|你|=4,即”=4,結(jié)

合直角三角形的性質(zhì)得到c=2,求出從，得到橢圓方程.

【詳解】因為AB-A^=0,所以A8LAB，

因為2AE=AB+AE，所以A耳-4?=46一46，即臺片;片6,

所以目為8名的中點，

BO3

又因為。耳=。瑪=。，所以*=彳，

Dr24

過點O作OMLAB于點M,則|OM|=3,

根據(jù)RtBOMRtBF2A,可得耦^=需=；，所以|A段=4,

因為A為上頂點，所以|A￡|=|4閭=4

根據(jù)雙曲線定義可知：|州|+|伍|=2a=8,所以。=4,

由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：山閭=|做|=4,即勿=4,

所以c=2,故/=。2一/=16—4=12,

2.已知橢圓C：E+￡=l（a>〃>0）,其左、右焦點分別為耳，心，離心率為:，點P為該橢圓上一點，且

a'b'2

滿足方，若的內(nèi)切圓的面積為兀，則該橢圓的方程為（）

A.工+其=1B,二+金=1C.E+F=1D.《+￡=]

129161224183224

【答案】A

7T

【分析】由離心率的值，可得a，c的關(guān)系，由三角形的內(nèi)切圓的面積，求出內(nèi)切圓的半徑，再由/月產(chǎn)8=三

及余弦定理可得歸用歸國的值，進(jìn)而求出△耳尸鳥的面積，再由5碼”=g（歸用+歸用+忻段）"，可得。的

值，進(jìn)而求出橢圓的方程.

【詳解】由離心率e=（，得￡=1，即c=[a.

2a22

因為△片尸鳥的內(nèi)切圓的面積為兀，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,所以兀產(chǎn)=兀，解得廠=1,

由橢圓的定義可知|P￡|+|P閭=為，

在△耳空中，N月產(chǎn)?=三，由余弦定理得|尸￡「+歸用、2|尸用忖/訃cos/月桃=|耳目,

即附f+|P閭'-I閡?閥|=|耳對，

.?.（附|+|峭）2-3|吶.|*=|耳閭2,

.?.3儼耳卜歸閭=4/-462=34,可得歸娟.歸閭=〃，

所以如咤*耳H*-si吟=手/,

113

而=^\PF\+\PF^+\FyF^-r=-（2a+2c）-r=a+c=-a,

所以可得且屋=2”，解得.=26，c=6,

42

由/=〃+/,得6=3,

所以該橢圓的方程為工+上=1.

129

故選：A.

3.已知橢圓的兩個焦點為甲-氐0),取石,0),M是橢圓上一點，若峙，|崎卜河閭=8,則該橢

圓的方程是()

22002，,>9

AA.—r+—y=1B0.—廠+—y-=i1c廠.廠—+—y~=1D門.—廠+廠—=1

72279449

【答案】C

【分析】首先設(shè)|5|=機(jī)，卜〃，再利用焦點三角形是直角三角形，列式求加+〃，即可求得。力的值.

【詳解】設(shè)|嫡|="，|峭卜明因為ME_LME，|岫卜|咋1=8,恒閭=26,所以加+“2=20,皿=8,

所以("?+〃)2="?2+〃2+2”?〃=36,所以%+〃=2a=6,所以。=3.因為c=&\所以==2.所

以橢圓的方程是《+反=1.

94

故選：C

4.已知耳(-1,0),鳥(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過心且垂直于x軸的直線交橢圓C于48兩點，|4?|=3,

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

20

A.x2+^―=1B.—+y2=1C.—+^-=1D=i

3343-f4

【答案】C

【分析】方法一：構(gòu)造一△4瑪耳并利用片+從=,2,從而求出刃匕,得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;方法二：若

22

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為「+2=1(。>6>0),則過焦點且垂直于X軸的直線與橢圓相交所得的線段為橢圓的通

ab

徑，其長為2生b2，并利用"+〃=。2,求由4力，從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

a

22

【詳解】方法一：由題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程之+2=l(a>b>0)連接M，如圖所示.

ab-

由題意，得M段=-AB|=1,WKI=2.在心耳中，|A￡|2=|A居|2+|丹瑪|2=?①.

22

又|A￡|=2a-1AA|=2a；3②.由①②，得a=2,所以廿=/-1=3,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y—+v^=1.

243

方法二：由題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為鳥+*=1（a>6>0）,則|AB|=^=3,即/=當(dāng)，又〃一/=1,

a-b-a2

所以〃=2或。=一］（舍去），所以4=4,從=3,

2

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+亡=1.

43

故選：C.

22

5.已知橢圓C：5+方=1（〃>6>0）的右焦點為（虛,0）,右頂點為A,0為坐標(biāo)原點，過OA的中點且與

坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C于M,N兩點，若四邊形OMAN是正方形，則C的方程為（）

22

A.—+/=1B.三+二=1C.—+^-=1D.—X+^y-=1

3537597

【答案】A

【分析】待定系數(shù)法去求橢圓C的方程

￡。

【詳解】由橢圓方程可知A（a,O）,由四邊形OMAN是正方形可知2,27

又點M在橢圓C上，則有（J）,,解得（=3,

—+￡=1從

ab

又橢圓c的右焦點為（3,0）,則c=JL

結(jié)合橢圓中"一片=。2,解得/=3,從=1,則橢圓C的方程為、■+>2=1.

故選：A

6.已知橢圓C1+*=1（。>匕>0）的左焦點為尸，過點尸的直線x-y+亞=0與橢圓C相交于不同的兩點

48,若P為線段A3的中點，。為坐標(biāo)原點，直線OP的斜率為-g,

則橢圓。的方程為（）

A冗2x2y2

A.—+y=1DB.—+—=1

342

【答案】B

【分析】先求得焦點，也即求得J然后利用點差法求得斗，從而求得也即求得橢圓C的方程.

【詳解】直線x-y+及=0過點網(wǎng)-夜,。），所以c=VL

山￥+[='+4=1兩式相減并化簡得-與=絲心比也

ab-ab~a%+^-x2

b21,

?1,—r=—,a72=2b-9=/79"+c'?,

a22

所以〃=C=V2,4=2,

所以橢圓c的方程為《

故選：B

7.阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近”的方法得到橢圓的面積除以圓

22

周率乃C：'+?！鯩ig〉/,〉。）的左，右焦點分別是K，F(xiàn)2,P是c上一點，|P用=3歸用ZF'P&q,

C的面積為12萬，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】C

【分析】由|P6|=3儼閭，/大尸名=?根據(jù)橢圓的定義及余弦定理可得。，c的關(guān)系，根據(jù)"逼近法''求橢圓的

面積公式，及片=/+°2,即可求得的值，進(jìn)而可得C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】由橢圓的定義可知|「周+歸國=為，又歸用=3歸國，所以歸用=乎，|P￡|=；a.又2片/＞工=亭

忻閭2=附『+|叫/附卜|叫cosqPg,所以4/=獷+#_#,所以〃=三。，

〃=〃2_02=/c又橢圓的面積為12乃,所以卡C?*c乃=12兀，解得°2=7,/=16,b2=9.

故選：C.

22

8.已知橢圓C2■+2=1（。＞6＞0）的左、右焦點分別為B,尸2,左、右頂點分別為M,N,過尸2的直線

/交C于A,8兩點（異于M、N）,山的周長為46，且直線AM與AN的斜率之積為一|,則橢圓C的

標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

22，2

yx~0工，yi

AA.—H=1AB.—+-----1

3434

222

C.-+y2=lD.—+—=1

332

【答案】D

【分析】先利用周長為4a求得a值，得到M,N坐標(biāo)，再設(shè)點4%,%),利用直線AM與AN的斜率之積構(gòu)

建關(guān)系，結(jié)合4%,%)滿足已知方程，解得加=2,即得結(jié)果.

【詳解】由AAF店的周長為46，可知|A甲+|4瑪|+|防|+|Bg|=4a=46,解得a=百，則

M（-瓜0）,N（區(qū)0）,

設(shè)點A(%,%),由直線AM與AN的斜率之積為一。，可得一左后,一處方=-■!，即姬=一|'(/2—3)①.

3%+"工0—V333

又所以為2=〃(］一爭②，

由①②解得從=2,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+$=1.

32

故選：D.

9.已知橢圓C的焦點為片(-1,0),鳥(L0),過B的直線交于C與A,B,若|A&=2后可，|明=|明則

C的方程為()

A.—+/=1B.—+^=1C.—+^-=1D.—+^=1

2324398

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件利用橢圓定義及余弦定理列出方程求出從即可得解.

【詳解】依題意,設(shè)橢圓方程為（〃＞力＞）

鏟=10,

由橢圓定義知，忸制=2“-忸閭，因|A段=2后卻，|M|=忸娟，則3|8尼|=24-|8"|,解得|86|=9,

a

于是得忸用=1*|A用=a,|/國=a,顯然點4在y軸上，如圖,

在Rt。4居中，|。6|=1,cosZA/=；O=-,在AB4心中，1Kgb2,cosNB8片,

3iii

由余弦定理得=+K號-28名由KcosNBRG，BP(-?)2=(-a)2+4-2--a-2.(—),解得〃=3,

222a

b2=a2—