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第3講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)梳理等式的性質(zhì),理解不等式的概念,掌握不等式的性質(zhì).比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小2022全國(guó)卷甲T12;2020全國(guó)卷ⅢT12本講很少單獨(dú)命題,常與其他知識(shí)綜合命題,命題熱點(diǎn)有比較大小,不等式性質(zhì)的應(yīng)用等,主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).題型以選擇題和填空題為主,難度中等,預(yù)計(jì)2025年高考命題點(diǎn)變化不大,復(fù)習(xí)備考時(shí)要掌握等式與不等式的性質(zhì),并能充分運(yùn)用.不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用2020新高考卷ⅠT11;2019全國(guó)卷ⅡT6學(xué)生用書(shū)P0081.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法關(guān)系方法作差法作商法a>ba-b>0ab>1(a,b>0)或ab①<1(a,b<a=ba-b=0ab=1(b≠0a<ba-b<0ab<1(a,b>0)或ab②>1(a,b<2.等式的性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性如果a=b,那么b=a傳遞性如果a=b,b=c,那么a=c可加(減)性如果a=b,那么a±c=b±c可乘性如果a=b,那么ac=bc可除性如果a=b,c≠0,那么ac=3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱(chēng)性a>b?③b<a傳遞性a>b,b>c?④a>c可加性a>b?a+c>b+c可乘性a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?⑤ac<bc同向可加性a>b,c>d?⑥a+c>b+d同向同正可乘性a>b>0,c>d>0?⑦ac>bd同正可乘方性a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2)常用結(jié)論1.a>b>0?a>b.2.(1)a>b,ab>0?1a<1b;(2)a>b>0,d>c>0?ac3.a>b>0,m>0?ba<b+ma+1.已知t=2a+2b,s=a2+2b+1,則(C)A.t>s B.t≥s C.t≤s D.t<s解析因?yàn)閠-s=(2a+2b)-(a2+2b+1)=-(a-1)2≤0,所以t≤s.故選C.2.[易錯(cuò)題]設(shè)a,b∈[0,+∞),A=a+b,B=a+b,則A,B的大小關(guān)系是(BA.A≤B B.A≥B C.A<B D.A>B解析由題意得,A2-B2=2ab≥0,又A≥0,B≥0,故A≥B.3.[多選]下列說(shuō)法不正確的是(AD)A.一個(gè)不等式的兩邊同時(shí)加上或同時(shí)乘以同一個(gè)數(shù),不等號(hào)方向不變B.若a>b>0,c>d>0,則ad>C.若ab>0,a>b,則1a<D.若x>y,則x2>y24.[教材改編]已知2<a<3,-2<b<-1,則2a-b的取值范圍是(5,8).解析∵2<a<3,∴4<2a<6①.∵-2<b<-1,∴1<-b<2②.①+②得,5<2a-b<8.學(xué)生用書(shū)P009命題點(diǎn)1比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小例1(1)[2024湖北襄陽(yáng)宜城第一中學(xué)模擬]已知0<a<12,若A=1+a2,B=11-a,則A與B的大小關(guān)系是(A.A<B B.A>B C.A=B D.不確定解析A-B=1+a2-11-a=(1+a2)(1-a)-1-a>0,-a2+a-1=-(a-12)2-34<-34<0,所以A-B<0,即A<B(2)eπ·πe與ee·ππ的大小關(guān)系為eπ·πe<ee·ππ.解析eπ·πeee·ππ=eπ-eππ-e=(eπ)π-e,又0<eπ<1,0<π-e<1,所以(eπ)π-e<1,即eπ方法技巧比較數(shù)(式)大小的常用方法1.作差法:(1)作差;(2)變形;(3)定號(hào);(4)得出結(jié)論.2.作商法:(1)作商;(2)變形;(3)判斷商與1的大小關(guān)系;(4)得出結(jié)論.3.構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.訓(xùn)練1(1)若a>b>1,P=aeb,Q=bea,則P,Q的大小關(guān)系是(C)A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.不能確定解析P,Q作商可得PQ=aeb令f(x)=exx,則f'(x)=當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,因?yàn)閍>b>1,所以ebb<又ebb>0,ea所以PQ=ebbeaa<(2)[多選/2023江蘇省南京市調(diào)研]已知a>b>0,則(AC)A.1b>B.a-1b>b-C.a3-b3>2(a2b-ab2)D.a+1-b+1>a解析對(duì)于A,因?yàn)楹瘮?shù)y=1x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,a>b>0,所以1b>1a,故對(duì)于B,解法一由a-1b>b-1a,得a-b+1a-1b>0,即(a-b)(1-1因?yàn)閍>b>0,所以a-b>0,ab>0,所以1-1ab>0所以ab>1,而該式不一定成立,所以不等式a-1b>b-1a不一定成立,故B解法二當(dāng)a=12,b=13時(shí),a-1b=-52,b-1a=-53,則a-1b<對(duì)于C,由a3-b3>2(a2b-ab2),得(a-b)(a2-ab+b2)>0,因?yàn)閍-b>0,所以a2+b2-ab>0,即(a-b)2+ab>0,該不等式恒成立,故C正確.對(duì)于D,由a+1-b+1>a-b,得a+1-a>b+1-b,即所以b+1+b>a+1+a,該不等式不成立,故D綜上所述,選AC.命題點(diǎn)2不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1不等式的性質(zhì)例2(1)[全國(guó)卷Ⅱ]若a>b,則(C)A.ln(a-b)>0 B.3a<3bC.a3-b3>0 D.|a|>|b|解析解法一由函數(shù)y=lnx的圖象(圖略)知,當(dāng)0<a-b<1時(shí),ln(a-b)<0,故A不正確;因?yàn)楹瘮?shù)y=3x在R上單調(diào)遞增,所以當(dāng)a>b時(shí),3a>3b,故B不正確;因?yàn)楹瘮?shù)y=x3在R上單調(diào)遞增,所以當(dāng)a>b時(shí),a3>b3,即a3-b3>0,故C正確;當(dāng)b<a<0時(shí),|a|<|b|,故D不正確.故選C.解法二當(dāng)a=0.3,b=-0.4時(shí),ln(a-b)<0,3a>3b,|a|<|b|,故排除A,B,D.故選C.(2)[多選/2023湖南省邵陽(yáng)二中模擬]如果a,b,c滿足c<b<a,且ac<0,那么下列結(jié)論一定正確的是(ACD)A.ab>ac B.cb2<ab2C.c(b-a)>0 D.ac(a-c)<0解析由c<b<a,且ac<0,得a>0,c<0.對(duì)于A,由c<b,a>0得ac<ab,故A正確.對(duì)于B,取c=-1,b=0,a=1,顯然B不一定正確.對(duì)于C,b-a<0,c<0,故c(b-a)>0,故C正確.對(duì)于D,ac<0,a-c>0,故ac(a-c)<0,故D正確.故選ACD.方法技巧判斷不等式是否成立的常用方法(1)利用不等式的性質(zhì)驗(yàn)證,應(yīng)用時(shí)注意前提條件;(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng),進(jìn)而得出正確選項(xiàng);(3)根據(jù)式子特點(diǎn),構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.角度2不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3(1)已知a>b>c,2a+b+c=0,則ca的取值范圍是(AA.(-3,-1) B.(-1,-13C.(-2,-1) D.(-1,-12解析因?yàn)閍>b>c,2a+b+c=0,所以a>0,c<0,b=-2a-c.因?yàn)閍>b>c,所以-2a-c<a,即3a>-c,解得ca>-3,將b=-2a-c代入b>c中,得-2a-c>c,即a<-c,得ca<-1,所以-3<ca<-(2)[2024湖北孝感部分學(xué)校模擬]已知實(shí)數(shù)a,b滿足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,則3a-2b的取值范圍為[-4,11].解析設(shè)3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,則m+n=3,m-n=-2,解得m=12,n=52,所以3a-2b=12(a+b)+52(a-b).又-32≤12(a+b)≤方法技巧利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍,解決的方法是先利用待定系數(shù)法建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系,再利用不等式的性質(zhì)求解.訓(xùn)練2(1)[2024吉林長(zhǎng)春東北師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬]設(shè)a≥b≥c,且1是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)實(shí)根,則ca的取值范圍是(AA.[-2,-12B.(-2,-12C.(-∞,-2)∪(-12,+∞D(zhuǎn).(-∞,-2]∪[-12,+∞解析因?yàn)?是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)實(shí)根,所以a+b+c=0,則b=-a-c,又a≥b≥c,所以a≥-a-c≥c,則2又a≥b≥c,所以3a≥a+b+c=0,又a≠0,所以a>0,則不等式組等價(jià)于2≥-ca,-1≥2ca,即(2)[多選/2024山東省鄄城縣第一中學(xué)模擬]已知a,b,c∈R,則下列命題為真命題的是(ABC)A.若bc2<ac2,則b<aB.若a3>b3且ab<0,則1a>C.若a>b>c>0,則ab>D.若c>b>a>0,則ac-解析選項(xiàng)A,若bc2<ac2成立,則c≠0,所以c2>0,故選項(xiàng)A正確;選項(xiàng)B,由a3>b3得a>b,又ab<0,所以a>0>b,所以1a>0>1b,故選項(xiàng)選項(xiàng)C,因?yàn)閍>b>c>0,所以ac>bc,所以ac+ab>bc+ab,因?yàn)?b(b+c)>0,所以?xún)蛇呁?b選項(xiàng)D,易知a-b<0,c-a>0,c-b>0,所以ac-a-bc-b=c(a-b故選ABC.1.[命題點(diǎn)1/多選/2024黑龍江哈爾濱模擬]已知偶函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,且f(-1)=0.若a=f(20.7),b=f(0.5-0.9),c=f(log0.70.9),則(ACD)A.b2>a2 B.1a<1c C.cb>ca D.b解析因?yàn)榕己瘮?shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,且f(-1)=0,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=0.又log0.71=0<log0.70.9<log0.70.7=1=20<20.7<20.9=0.5-0.9,所以c<0<a<b.對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)閏<0<a<b,所以b2-a2>0,即b2>a2,故A選項(xiàng)正確;對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)閏<0<a<b,所以1c<0<1a,故對(duì)于C選項(xiàng),因?yàn)閏<0<a<b,所以1b<1a,所以cb>c對(duì)于D選項(xiàng),因?yàn)閏<0<a<b,所以b>a>a+c,故D選項(xiàng)正確.故選ACD.2.[命題點(diǎn)2/多選/2023長(zhǎng)沙調(diào)研]若1a<1b<0,則下列不等式中正確的是(ACA.1a+b<1ab B.|a|C.a-1a>b-1b D.lna2>ln解析由1a<1b<0,可知b<aA中,因?yàn)閍+b<0,ab>0,所以1a+b<0,1ab>0,故有1aB中,因?yàn)閎<a<0,所以-b>-a>0.故-b>|a|,即|a|+b<0,故B錯(cuò)誤;C中,因?yàn)閎<a<0,1a<1b<0,所以-1a>-1b>0,a-1a>bD中,由b<a<0,y=x2在(-∞,0)上單調(diào)遞減,可得b2>a2>0,而y=lnx在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以lnb2>lna2,故D錯(cuò)誤.學(xué)生用書(shū)·練習(xí)幫P2611.[2024四川廣安模擬]已知P=a2+3,Q=4a-1,則P,Q的大小關(guān)系是(A)A.P≥Q B.P>QC.P≤Q D.P<Q解析P=a2+3,Q=4a-1,P-Q=a2+3-4a+1=(a-2)2≥0,故P≥Q,故選A.2.[2022上海高考]已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足:a>b>c>d,則下列選項(xiàng)中正確的是(B)A.a+d>b+c B.a+c>b+dC.ad>bc D.ac>bd解析對(duì)于選項(xiàng)A,如取a=4,b=3,c=2,d=-4,此時(shí)a+d<b+c,故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,a+c>b+c>b+d,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,D,如取a=4,b=-1,c=-2,d=-3,此時(shí)ad<bc,ac<bd,故C,D錯(cuò)誤.故選B.3.[2024陜西西安模擬]若a<b<0<c<d,則(C)A.ac<ad B.a-c>b-dC.ca>db D.a解析對(duì)于A,因?yàn)閍<0,c<d,所以ac>ad,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于B,取a=-4,b=-1,c=1,d=2,則a-c=-5,b-d=-3,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于C,ca-db=bc-adab>ac-adab>對(duì)于D,取a=-2,b=-1,c=1,d=2,則a+cb=1,b+dc=14.已知0<a<b<1,設(shè)m=blna,n=alnb,p=ln(lnalnb),則m,n,p的大小關(guān)系為(A.m<n<p B.n<m<pC.p<m<n D.p<n<m解析由0<a<b<1,得ba>1,且lna<lnb<0,即有l(wèi)nalnb>1,因此,ln(lnalnb)>0,即p>0,由m<0,n<0,mn=blnaalnb=ba·lnalnb5.[2024山東煙臺(tái)模擬]已知x>y>z,x+y+z=0,則下列不等式成立的是(B)A.xy>yz B.xy>xzC.xz>yz D.x|y|>|y|z解析因?yàn)閤>y>z,x+y+z=0,所以x>0,z<0,y的符號(hào)無(wú)法確定.對(duì)于A,由題意得x>z,若y<0,則xy<0<yz,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)閥>z,x>0,所以xy>xz,故B正確;對(duì)于C,因?yàn)閤>y,z<0,所以xz<yz,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)|y|=0時(shí),x|y|=|y|z,故D錯(cuò)誤.故選B.6.[2024廣西柳州模擬]一般認(rèn)為,民用住宅的窗戶(hù)面積必須小于地板面積,但窗戶(hù)面積與地板面積的比應(yīng)該不小于10%,而且這個(gè)比值越大,采光效果越好.若同時(shí)增加相同的窗戶(hù)面積和地板面積,公寓的采光效果(B)A.變壞了 B.變好了C.不變 D.無(wú)法判斷解析設(shè)a和b分別表示公寓原來(lái)的窗戶(hù)面積和地板面積,m表示窗戶(hù)和地板所增加的面積(面積單位都相同),由題意得0<a<b,m>0,則a+mb+m-a因?yàn)閎>0,m>0,所以b(b+m)>0,又因?yàn)閍<b,則b-a>0,所以a+mb+m-ab>所以同時(shí)增加相同的窗戶(hù)面積和地板面積,公寓的采光效果變好了.故選B.7.[多選]若a>0>b>-a,c<d<0,則下列結(jié)論正確的是(BCD)A.ad>bc B.ad+bcC.a-c>b-d D.a(d-c)>b(d-c)解析因?yàn)閍>0>b,c<d<0,所以ad<0,bc>0,所以ad<bc,故A錯(cuò)誤;因?yàn)?>b>-a,所以a>-b>0,因?yàn)閏<d<0,所以-c>-d>0,所以a(-c)>(-b)·(-d),所以ac+bd<0,又cd>0,所以ac+bdcd=ad+bc<0,故B正確;因?yàn)閏<d,所以-c>-d,因?yàn)閍>b,所以a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d,故C正確;因?yàn)閍>0>b,d-c>0,所以a(d-c)>b(d-8.[多選]若a>0,b>0,則使a>b成立的充要條件是(ABD)A.a2>b2 B.a2b>ab2C.ba>b+1a+1 D.a+1解析對(duì)于A,因?yàn)閍>0,b>0,所以a>b?a2>b2,A選項(xiàng)符合題意;對(duì)于B,因?yàn)閍>0,b>0,所以a2b>ab2?ab(a-b)>0?a>b,B選項(xiàng)符合題意;對(duì)于C,當(dāng)a>b>0時(shí),ba-b+1a+1=b(a+1)-a(b+1對(duì)于D,當(dāng)a>b>0時(shí),1b>1a>0,所以a+1b>b+1a,反之,由a>0,b>0,a+1b>b+1a,可得a+1bb+1a>1,即a(ab+19.[多選/2024安徽模擬]已知2<x<3,-2<y<1,則下列選項(xiàng)正確的是(CD)A.-23<yx<12 B.2<xyC.-6<xy<3 D.3<2x-y<8解析對(duì)于A,2<x<3,13<1x<12,當(dāng)y=0時(shí),yx=0;當(dāng)0<y<1時(shí),0<yx<12;當(dāng)-2<y<0時(shí),0<-y<2,0<-yx<1,-1<yx<0.所以-1<yx<12,A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B,-2<y<1,當(dāng)y=0時(shí),xy2=0,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C,當(dāng)y=0時(shí),xy=0;當(dāng)0<y<1時(shí),0<xy<3;當(dāng)-2<y<0時(shí),0<-y<2,0<-xy<6,-6<xy<0.所以-6<xy<3,C選項(xiàng)正確.對(duì)于D,由2<x<3,得4<2x<6,由-2<y<1,得-1<-y<2,所以3<210.[2024安徽省淮南市模擬]已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,則4a-2b的取值范圍是[5,10].解析令4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b,則m+n=4,n-m=-2,解得n=1,m=3.因?yàn)?≤a-b≤2,2≤a+b≤4,所以5≤3(a-b)+(11.若a=ln33,b=ln44,c=ln55,則(A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c解析解法一易知a,b,c都是正數(shù),ba=3ln44ln3=log8164<1,所以a>b;bclog6251024>1,所以b>c,即c<b<a.故選B.解法二構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnxx,則f'(x)=1-lnxx2,由f'(x)>0,得f'(x)<0,得x>e,所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(3)>f(4)>f(5),即a>b>c.故選B.12.[2024河南鄭州模擬]某品牌手機(jī)為了打開(kāi)市場(chǎng),促進(jìn)銷(xiāo)售,準(zhǔn)備對(duì)其特定型號(hào)的產(chǎn)品降價(jià),有四種降價(jià)方案:①先降價(jià)a%,再降價(jià)b%;②先降價(jià)a+b2%,再降價(jià)a%;③先降價(jià)a+b2%,再降價(jià)a+b2%;④一次性降價(jià)(a+b)%.其中aA.① B.② C.③ D.④解析設(shè)原價(jià)為1,對(duì)于①,降價(jià)后的價(jià)格為(1-a%)(1-b%),對(duì)于②,降價(jià)后的價(jià)格為(1-a+b2%)(1-對(duì)于③,降價(jià)后的價(jià)格為(1-a+b2%對(duì)于④,降價(jià)后的價(jià)格為1-(a+b)%.(1-a%)(1-b%)=1-(a+b)%+a%b%>1-(a+b)%,所以①>④.因?yàn)閍>b,所以(1-a+b2%)2-(1-a%)(1-b%)=(a%+b%2)2-a
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