2025高考備考數(shù)學(xué)知識點第3講　圓的方程

第3講圓的方程課標要求命題點五年考情命題分析預(yù)測1.探索并掌握圓的標準方程與一般方程.2.能用圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題.求圓的方程2022全國卷乙T14；2022全國卷甲T14；2021全國卷甲T20本講命題重點為求圓的方程，與圓有關(guān)的軌跡問題、最值問題，題型既有小題也有大題，難度中等偏易.在2025年高考的復(fù)習(xí)備考中要重點掌握圓的方程的求解方法、圓的幾何性質(zhì)以及一些隱形圓的命題.與圓有關(guān)的軌跡問題與圓有關(guān)的最值問題2023全國卷乙T11；2023全國卷乙T12；2021新高考卷ⅠT11學(xué)生用書P1741.圓的定義與方程規(guī)律總結(jié)（1）在圓的一般方程中：當D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一個點（－D2，－E2）；當D2＋E2－4F＜0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（2）以A（x1，y1），B（x2，y2）為直徑端點的圓的方程為（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0.2.點與圓的位置關(guān)系圓的標準方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），圓心C的坐標為（a，b），半徑為r，設(shè)M的坐標為（x0，y0）.常用結(jié)論向量法判斷點與圓的位置關(guān)系若點P是以AB為直徑的圓O所在平面內(nèi)的一點，則PA·PB＞0?點P在圓O外；PA·PB＝0?點P在圓O上；PA·PB＜0?點P在圓O內(nèi).1.[2022北京高考]若直線2x＋y－1＝0是圓（x－a）2＋y2＝1的一條對稱軸，則a＝（A）A.12 B.－12 C.1 D.解析由題意知，圓心坐標為（a，0），且圓心在直線2x＋y－1＝0上，所以2a－1＝0，得a＝12.故選2.[2021上海高考]已知圓x2＋y2－2x－4y＝0，則該圓的圓心坐標為（1，2）.解析解法一易知D＝－2，E＝－4，則－D2＝1，－E2＝2，故圓心坐標為（1，2解法二將圓的一般方程化為標準方程得（x－1）2＋（y－2）2＝5，則圓心坐標為（1，2）.3.[易錯題]半徑為3，圓心的橫、縱坐標相等且與兩條坐標軸都相切的圓的方程為（x－3）2＋（y－3）2＝9或（x＋3）2＋（y＋3）2＝9.解析由題意知圓心坐標為（3，3）或（－3，－3），故所求圓的方程為x－324.若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是（－∞，1）.解析解法一方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化為（x＋a）2＋（y＋a）2＝1－a，若它表示圓，則需滿足1－a＞0，故a＜1.解法二要使方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則需滿足（2a）2＋（2a）2－4（2a2＋a－1）＞0，解得a＜1.5.若點（1，1）在圓x2＋y2＋x＋ay＋1＝0外，則實數(shù)a的取值范圍為（－4，－3）∪（3，＋∞）.解析由題可知12＋a2－4×1＞0，解得a＞3或a＜－3.又點（1，1）在圓外，所以12+12+1+a+1>0，解得a＞－4.故實數(shù)a的取值范圍為（－學(xué)生用書P175命題點1求圓的方程例1（1）[2022全國卷乙]過四點（0，0），（4，0），（－1，1），（4，2）中的三點的一個圓的方程為x2＋y2－4x－6y＝0（答案不唯一）.解析設(shè)A（0，0），B（4，0），C（－1，1），M（4，2），圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.若圓過A，B，C三點，則分別將三點的坐標代入，可得F=0，16+4D＋F=0，2－D＋E＋F=0，解得D＝－4，E＝－6，F(xiàn)=0，易得D同理，得過A，B，M三點的圓的方程為x2＋y2－4x－2y＝0；過A，C，M三點的圓的方程為x2＋y2－83x－143y＝過B，C，M三點的圓的方程為x2＋y2－165x－2y－165（2）[2022全國卷甲]設(shè)點M在直線2x＋y－1＝0上，點（3，0）和（0，1）均在☉M上，則☉M的方程為（x－1）2＋（y＋1）2＝5.解析解法一（待定系數(shù)法）設(shè)☉M的方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2，則2a＋b－1=0，（3－a）2＋b2＝r2，解法二（幾何法）設(shè)A（3，0），B（0，1），☉M的半徑為r，則kAB＝1－00－3＝－13，AB的中點坐標為（32，12），∴AB的垂直平分線方程為y－12＝3（x－32），即3x－y－4＝0.聯(lián)立得3x－y－4=0，2x＋y－1=0，解得M（1，－1），∴r2＝｜MA｜2＝（3－1）2＋[0－（－1方法技巧求圓的方程的兩種方法幾何法根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程.待定系數(shù)法①若已知條件與圓心、半徑有關(guān)，或與切線、弦長、弧長、圓心角、距離等有關(guān)，則選擇圓的標準方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），根據(jù)條件列出方程組，求出a，b，r的值.②選擇圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），根據(jù)條件列出方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值.訓(xùn)練1（1）已知m為實數(shù)，方程（m＋2）x2＋m2y2＋8x＋4y＋5m＝0表示圓，則實數(shù)m的值為－1.解析∵（m＋2）x2＋m2y2＋8x＋4y＋5m＝0表示圓，∴m＋2＝m2，∴m＝－1或m＝2.（二次項系數(shù)相等）當m＝－1時，原方程為x2＋y2＋8x＋4y－5＝0，（二次項系數(shù)化為1后再使用公式）即（x＋4）2＋（y＋2）2＝25.當m＝2時，原方程可化為x2＋y2＋2x＋y＋52＝0即（x＋1）2＋（y＋12）2＝－54，不是圓的方程，∴m＝2不合題意.綜上，m的值為（2）[2023鄭州市一測]經(jīng)過點P（1，1）以及圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0交點的圓的方程為x2＋y2＋x－y－2＝0.解析解法一聯(lián)立得x2＋y2－4=0，x2＋y2－4x+4y－12=0，解得x＝－2，y=0或x=0，y=2，不妨設(shè)A?2，0,B0,2,過A，B，P三點的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E解法二聯(lián)立得x2＋y2－4=0，x2＋y2－4x+4y－12=0，解得x＝－2，y=0或x=0，y=2，不妨設(shè)A（－2，0），B（0，2），如圖，在平面直角坐標系中作出A，B，P三點，并連接AB，AP，BP，顯然△ABP是以AP為斜邊的直角三角形，且AP為所求圓的直徑，記所求圓的圓心為E，半徑為R，則E為AP的中點，且E（－12，12），R＝解法三設(shè)過圓x2＋y2－4＝0和圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的交點的圓的方程為x2+y2?4x+4y?12+λx2+y2?4=0，因為此圓經(jīng)過點P（1，1），所以有1+1?4+4?12+λ1+1?4=0，解得λ＝－5，即所求圓的方程為x2命題點2與圓有關(guān)的軌跡問題例2（1）若Rt△ABC的斜邊的兩端點A，B的坐標分別為（－3，0）和（7，0），則直角頂點C的軌跡方程為（C）A.x2＋y2＝25（y≠0） B.x2＋y2＝25C.（x－2）2＋y2＝25（y≠0） D.（x－2）2＋y2＝25解析解法一（定義法）線段AB的中點為D（2，0），因為△ABC為直角三角形，C為直角頂點，所以｜CD｜＝｜AD｜＝｜DB｜，所以點C在以D為圓心，｜AD｜＝5為半徑的圓上，所以點C的軌跡方程為（x－2）2＋y2＝25（y≠0）.解法二（直接法）線段AB的中點坐標為（2，0），因為△ABC為直角三角形，C為直角頂點，所以點C到點（2，0）的距離為12｜AB｜＝5，所以點C（x，y）滿足（x－2）2＋y2＝5（y≠0），即（x－2）2＋y（2）已知線段AB的端點B的坐標為（8，6），端點A在圓C：x2＋y2＋4x＝0上運動，則線段AB的中點P的軌跡方程為（x－3）2＋（y－3）2＝1.解析設(shè)點P的坐標為（x，y），點A的坐標為（x0，y0），由于點B的坐標為（8，6），且P為線段AB的中點，∴x＝x0+82，y＝y(tǒng)0+62，于是有x0＝2x－8，y∵點A在圓C上運動，∴點A的坐標滿足方程x2＋y2＋4x＝0，即x02＋y02＋4x∴（2x－8）2＋（2y－6）2＋4（2x－8）＝0，化簡整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，即（x－3）2＋（y－3）2＝1.方法技巧求與圓有關(guān)的軌跡問題的幾種方法1.直接法：當題目條件中含有與該點有關(guān)的等式時，可設(shè)出該點的坐標，用坐標表示等式，直接求解軌跡方程.2.定義法：當題目條件符合圓的定義時，可直接利用定義確定其圓心和半徑，寫出圓的方程.3.相關(guān)點代入法：當題目條件中已知某動點的軌跡方程，而要求的點與該動點有關(guān)時，常找出要求的點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式求軌跡方程.訓(xùn)練2已知定點M（1，0），N（2，0），動點P滿足｜PN｜＝2｜PM｜.（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）已知點B（6，0），點A在軌跡C上運動，求線段AB上靠近點B的三等分點Q的軌跡方程.解析（1）設(shè)動點P的坐標為（x，y），因為M（1，0），N（2，0），且｜PN｜＝2｜PM｜，所以（x－2）2整理得x2＋y2＝2，所以動點P的軌跡C的方程為x2＋y2＝2.（2）設(shè)點Q的坐標為（x，y），點A的坐標為（xA，yA），因為Q是線段AB上靠近點B的三等分點，所以AQ＝2QB，即（x－xA，y－yA）＝2（6－x，－y），解得x又點A在軌跡C上運動，由（1）有（3x－12）2＋（3y）2＝2，化簡得（x－4）2＋y2＝29即點Q的軌跡方程為（x－4）2＋y2＝29命題點3與圓有關(guān)的最值問題角度1幾何法求最值例3（1）[多選/2021新高考卷Ⅰ]已知點P在圓（x－5）2＋（y－5）2＝16上，點A（4，0），B（0，2），則（ACD）A.點P到直線AB的距離小于10B.點P到直線AB的距離大于2C.當∠PBA最小時，｜PB｜＝32D.當∠PBA最大時，｜PB｜＝32解析設(shè)圓（x－5）2＋（y－5）2＝16的圓心為M（5，5），由題易知直線AB的方程為x4+y2＝1，即x＋2y－4＝0，則圓心M到直線AB的距離d＝｜5+2×5－4｜5＝115＞4，所以直線AB與圓M相離，所以點P到直線AB的距離的最大值為4＋d＝4＋115，4易知點P到直線AB的距離的最小值為d－4＝115－4，115－4＜1255－4＝1，故過點B作圓M的兩條切線，切點分別為N，Q，如圖所示，連接MB，MN，MQ，則當∠PBA最小時，點P與N重合，｜PB｜＝｜MB｜2－｜MN｜2＝52＋（5－2）2－42＝32，當∠PBA最大時，點P（2）已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.①則yx的最大值和最小值分別為3和－3②則y－x的最大值和最小值分別為－2＋6和－2－6；③則x2＋y2的最大值和最小值分別為7＋43和7－43.解析①（斜率型）原方程可化為（x－2）2＋y2＝3，表示以（2，0）為圓心，3為半徑的圓，yx的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)yx＝k，即y＝當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時｜2k－0｜k2+1所以yx的最大值為3，最小值為－3②解法一（截距型）y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當直線y＝x＋b與圓相切時，b取得最大值或最小值，此時｜2－0+b｜2＝3，解得b＝所以y－x的最大值為－2＋6，最小值為－2－6.解法二（換元法）圓的標準方程為（x－2）2＋y2＝3，所以設(shè)x－2＝3cosθ，y＝3sin則y－x＝3sinθ－3cosθ－2＝6sin（θ－π4）－2，當θ＝3π4時，y－x取最大值6－2；當θ＝7π4時，y－x③解法一（距離型）x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，最大值和最小值在過原點與圓心的直線與圓的兩個交點處取得.又圓心到原點的距離為（2－0所以x2＋y2的最大值是（2＋3）2＝7＋43，x2＋y2的最小值是（2－3）2＝7－43.解法二由②中解法二可知，x2＋y2＝（2＋3cosθ）2＋（3sinθ）2＝7＋43cosθ，從而得x2＋y2的最大值和最小值分別為7＋43，7－43.角度2代數(shù)法求最值例4（1）[2023全國卷乙]已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則x－y的最大值是（C）A.1＋322 B.4 C.1＋32解析將方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化為（x－2）2＋（y－1）2＝9，其表示圓心為（2，1），半徑為3的圓.設(shè)z＝x－y，數(shù)形結(jié)合知，只有當直線x－y－z＝0與圓相切時，z才能取到最大值，此時｜2－1－z｜2＝3，解得z＝1±32，故z＝x－y（2）[2023全國卷乙]已知☉O的半徑為1，直線PA與☉O相切于點A，直線PB與☉O交于B，C兩點，D為BC的中點，若｜PO｜＝2，則PA·PD的最大值為（A）A.1+22 B.1+222 C.1＋2解析解法一連接OA，由題可知｜OA｜＝1，OA⊥PA，因為｜OP｜＝2，所以在Rt△PAO中，由勾股定理可得｜PA｜＝1，則∠POA＝π4.設(shè)直線OP繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ后與直線PD重合，則－π4＜θ＜π4，∠APD＝π4＋θ，且｜PD｜＝2cosθ，所以PA·PD=｜PA｜｜PD｜·cos（π4＋θ）＝2cosθcos（π4＋θ）＝12＋22cos（2θ＋π4）≤12＋22，（利用結(jié)論cosαcosβ＝12[cos（故選A.解法二以圓心O為坐標原點建立平面直角坐標系，則圓O：x2＋y2＝1，令點P（2，0），因為｜OA｜＝1，且OA⊥PA，所以∠POA＝π4，不妨令A(yù)（22，22）.設(shè)直線PD的方程為y＝k（x－2），B（x1，y1），C（x2，y2），由y＝k（x－2),x2＋y2=1，得（k2＋1）x2－22k2x＋2k2－1＝0，由Δ＝8k4－4（k2＋1）（2k2－1）＝4－4k2＞0，解得－1＜k＜1，則x1＋x2＝22k2k2+1，y1＋y2＝k（x1＋x2－22）＝－22kk2+1，所以D（2k2k2+1，－2kk2+1），于是PA＝（－22，22），PD＝（－2k2+1，－方法技巧與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及求解策略1.利用幾何法求最值（1）借助兩點之間線段最短或垂線段最短求最值，往往會涉及折線段的距離和問題.（2）利用常見代數(shù)式的幾何意義求最值，如斜率（μ＝y(tǒng)－bx－a），兩點之間的距離或其平方（m＝（x－a）2＋（y－b）2），點到直線的距離（d＝1A2＋B2｜2.利用代數(shù)法求最值通常會利用已知條件通過換元（如利用sin2α＋cos2α＝1），消元，整體代入等構(gòu)造函數(shù)或利用不等式求最值.注意到圓上一點的最值問題通常轉(zhuǎn)化為到圓心的最值問題.訓(xùn)練3（1）[2024安徽太和中學(xué)模擬]已知點P（t，t－1），t∈R，O是坐標原點，Q是圓C：（x－3）2＋（y＋1）2＝1上的動點，則｜PQ｜－｜PO｜的最大值為（C）A.2 B.52 C.3 解析易得點P在直線l：x－y－1＝0上.圓C：（x－3）2＋（y＋1）2＝1的圓心為C（3，－1），半徑r＝1，而點Q在圓C上，則｜PQ｜max＝｜PC｜＋r，因此（｜PQ｜－｜PO｜）max＝r＋（｜PC｜－｜PO｜）max.設(shè)點C關(guān)于直線l的對稱點為C'（a，b），則｜PC｜＝｜PC'｜，且有b+1a－3＝－1，a+32－b－12－1=0，解得a=0，b=2，即C'（0，2），因此PC?PO=PC'?PO≤（2）[2023四省聯(lián)考]若P，Q分別是拋物線x2＝y(tǒng)與圓（x－3）2＋y2＝1上的點，則｜PQ｜的最小值為5－1.解析由題意，知圓的圓心為C（3，0），半徑為1.設(shè)P（x0，x02），如圖，易知｜PQ｜min＝｜CP｜min－1，｜CP｜2＝（x0－3）2＋（x02－0）2＝x04＋x02－6x0＋9.設(shè)fx=x4+x2?6x+9，則f'x=4x3+2x?6=2x－12x2+2x+3.因為2x2＋2x＋3＝2（x＋12）2＋52＞0恒成立，所以當x＜1時，f'x<0，函數(shù)f（x）在（－∞，1）上單調(diào)遞減，當x1.[命題點1]寫出一個截兩坐標軸所得的弦長相等且半徑為1的圓的標準方程：x?12解析因為圓截兩坐標軸所得的弦長相等，所以可設(shè)圓心坐標為（m，m），由圓的半徑為1，可得｜m｜＜1，所以可取m＝12，此時圓的標準方程為（x－12）2＋（y－12）2.[向量法判斷點與圓的位置關(guān)系/2024北京市陳經(jīng)綸中學(xué)模擬]已知A，B（異于坐標原點）是圓（x－2）2＋（y－1）2＝5與坐標軸的兩個交點，則下列點中，在圓內(nèi)的是（D）A.M（0，0） B.N（4，32C.P（2，1－5） D.Q（1，22）解析不妨設(shè)A（0，2），B（4，0），則kAB＝－12，直線AB的方程為y＝－12x＋2，顯然圓心（2，1）在直線AB上，即弦AB對于A，MA·MB＝（0，2）·（4，0）＝0，所以點M在圓上；對于B，NA·NB＝（－4，2－322）·（0，－322）＝－32＋92對于C，PA·PB＝（－2，1＋5）·（2，－1＋5）＝0，所以點P在圓上；對于D，QA·QB＝（－1，2－22）·（3，－22）＝5－42＜0，所以點Q在圓內(nèi).故選D.3.[命題點2，3/2023吉林省通化市模擬]已知直線l1：mx－y－3m＋1＝0與直線l2:x+my?3m?1=0相交于點P，線段AB是圓C：（x＋1）2＋（y＋1）2＝4的一條動弦，且｜AB｜＝23，則｜PA解析易知直線l1恒過點M（3，1），直線l2恒過點N（1，3），且l1⊥l2，所以點P在以MN的中點Q（2，2）為圓心，12｜MN｜＝2為半徑的圓上，所以點P的軌跡方程為（x－2）2＋（y－2）2＝如圖，取AB的中點D，連接PD，CD，CB，則｜PA＋PB｜＝2｜PD｜.因為圓C圓心為（－1，－1），半徑為2，｜AB｜＝23，所以在Rt△BCD中，易得｜CD｜＝1，所以點D在以C（－1，－1）為圓心，1為半徑的圓上，所以點D的軌跡方程為x+12+y+12=1，結(jié)合圖象可知，當P，Q，C，D共線且C，Q在線段PD上時，｜PD｜取得最大值，所以｜PD｜max＝（2+1）2＋（2+1）2＋1＋2＝42＋1，所以｜PA＋PB｜的最大值為82＋2.（也可利用｜PA＋PB｜＝2｜PD｜＝2｜PQ＋QC＋4.[命題點3/2023綿陽市二診]已知☉C：（x－1）2＋（y－1）2＝3，點A為直線l：y＝－1上的動點，過點A作直線與☉C相切于點P，若Q（－2，0），則｜AP｜＋｜AQ｜的最小值為 （C）A.3＋1 B.23 C.13 D.4解析設(shè)A（x，－1），則｜AQ｜＝（x+2）2+1，由題意知，☉C：x－12+y?12=3的圓心C（1，1），半徑r＝3，連接CA，CP，∵直線AP與☉C相切于點P，∴｜AP｜＝｜CA｜2記M（1，0），則｜AP｜＋｜AQ｜可表示點A（x，－1）到點M（1，0）的距離與點Ax,?1到點Q（－2，0）的距離之和.易得Q（－2，0）關(guān)于直線l：y＝－1的對稱點為Q'（－2，－2），連接AQ'，MQ'，AM，則AP+AQ=AM+AQ=AM+學(xué)生用書·練習(xí)幫P3501.設(shè)a∈R，則“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圓”的（A）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析若方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圓，則有a2＋4－8＞0，解得a＞2或a＜－2，又“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不必要條件，所以“a＞2”是“方程x2+y2+ax2.[2024山西太原師范學(xué)院附屬中學(xué)模擬]圓心在x軸上，且過點（－1，－3）的圓與y軸相切，則該圓的方程是（C）A.x2＋y2＋10y＝0 B.x2＋y2－10y＝0C.x2＋y2＋10x＝0 D.x2＋y2－10x＝0解析因為圓心在x軸上，所以設(shè)圓心坐標為（t，0），又圓與y軸相切，所以｜t｜為半徑，則根據(jù)題意得，（－1－t）2＋（－3－0）2＝｜t｜，解得t＝－5，所以圓的圓心坐標為（－5，0），半徑為5，故該圓的方程是（x＋5）2＋y2＝25，展開得3.[北京高考]已知半徑為1的圓經(jīng)過點（3，4），則其圓心到原點的距離的最小值為（A）A.4 B.5 C.6 D.7解析設(shè)該圓的圓心為（a，b），則圓的方程為（x－a）2＋（y－b）2＝1，∵該圓過點（3，4），∴（3－a）2＋（4－b）2＝1，此式子表示點（a，b）在以（3，4）為圓心，1為半徑的圓上，則點（a，b）到原點的距離的最小值為32＋42－14.[2024廣東茂名檢測]已知圓C：（x－1）2＋（y－1）2＝1，M是圓上的動點，AM與圓相切，且｜AM｜＝2，則點A的軌跡方程是（B）A.y2＝4xB.x2＋y2－2x－2y－3＝0C.x2＋y2－2y－3＝0D.y2＝－4x解析因為圓C：（x－1）2＋（y－1）2＝1，所以圓心C（1，1），半徑r＝1.因為M是圓上的動點，所以｜MC｜＝1.又AM與圓相切，且｜AM｜＝2，所以｜AC｜＝｜MC｜2＋｜AM｜2＝5.設(shè)A（x，y），則（x－1）2＋（y－1）2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以點A的軌跡方程為x2＋y2－25.已知點P（x，y）為圓C：x2＋y2－4x＋3＝0上一點，C為圓心，則PC·PO（O為坐標原點）的取值范圍是（C）A.[－3，1] B.[－1，1] C.[－1，3] D.[1，3]解析將圓C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化為（x－2）2＋y2＝1，所以圓心C的坐標為（2，0），所以PC＝（2－x，－y），又PO＝（－x，－y），所以PC·PO＝x2＋y2－2x.因為x2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝4x－3，所以PC·PO＝4x－3－2x＝2x－3，因為x－22+y2=1，所以（x－2）2≤1，所以－1≤x－2≤1，即1≤x≤3.因此－1≤2x－3≤3，從而PC·PO的取值范圍為[6.[多選/2024山東濰坊調(diào)研]已知△ABC的三個頂點為A（－1，2），B（2，1），C（3，4），則下列關(guān)于△ABC的外接圓M的說法正確的是（ABD）A.圓M的圓心坐標為（1，3）B.圓M的半徑為5C.圓M關(guān)于直線x＋y＝0對稱D.點（2，3）在圓M內(nèi)解析設(shè)△ABC的外接圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），則1+4－D+2E＋F=0，4+1+2D＋E＋F=0，9+16+3D+4E＋F=0，解得D＝－2，E＝－6，F(xiàn)=5.所以△ABC的外接圓M的方程為x2+y2?2x?6y+5=0，即（x－1）2＋（y－3）2＝5，故圓M的圓心坐標為（1，3），圓M的半徑為5，故A，B正確.因為直線x＋y7.已知點P（2，1）在圓C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，點P關(guān)于直線x＋y－1＝0的對稱點也在圓C上，則圓C的半徑為2.解析由圓C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0得（x＋a2）2＋（y－1）2＝a24－b＋1，則C（－a2，1）.由點P關(guān)于直線x＋y－1＝0的對稱點也在圓C上，可知圓心C在直線x＋y－1＝0上，則－a2＋1－1＝0①.又點P在圓C上，則4＋1＋2a－2＋b＝0②.由①②得a＝0，b=?8.[2023河北唐山模擬]已知圓C與圓C1：（x－1）2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對稱，則圓C的標準方程為x2＋（y＋1）2＝1.解析由題意知，圓（x－1）2＋y2＝1的圓心為C1（1，0），半徑r1＝1.設(shè)圓心C1（1，0）關(guān)于直線y＝－x的對稱點為（a，b），則ba－1·（－1）＝－1，－a+12＝9.[2024衡水聯(lián)考]已知點A（0，2），點P在直線x＋y＋2＝0上，點Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則｜PA｜＋｜PQ｜的最小值是25.解析因為圓C：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圓心C（2，1），半徑r＝5.設(shè)點A（0，2）關(guān)于直線x＋y＋2＝0的對稱點為A'（m，n），所以m+02＋n+22+2=0，n－2m－0=1，解得m＝－4，n＝－2，故A'（－4，－2）.連接A'C交圓C10.[2024山東模擬]若P（x，y）是圓O：x2＋y2＝1上任意一點，則｜3x－4y＋8｜的取值范圍是[3，13].（用區(qū)間表示）解析令ω＝｜3x－4y＋8｜＝5×｜3x－4y+8｜5＝5d，其中d表示圓O：x2＋y2＝1上任意一點P（x，y）到直線l：3x－4y＋8＝0的距離.因為圓心O到直線l的距離為h＝832＋（－4）2=85，所以85－1≤d≤85＋1，即35≤d≤135，所以3≤11.已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q（－2，3）.（1）若P（a，a＋1）在圓C上，求線段PQ的長及直線PQ的斜率；（2）求｜MQ｜的最大值和最小值.解析（1）因為點P（a，a＋1）在圓C上，所以a2＋（a＋1）2－4a－14（a＋1）＋45＝0，即a2－8a＋16＝0，解得a＝4，所以P（4，5），所以｜PQ｜＝（－2－4）2＋（3－5（2）由x2＋y2－4x－14y＋45＝0得（x－2）2＋（y－7）2＝8，所以圓心C（2，7），半徑r＝22，所以｜CQ｜＝（2+2）2＋因為點Q在圓外，所以｜MQ｜max＝｜CQ｜＋r＝42＋22＝62，｜MQ｜min＝｜CQ｜－r＝42－22＝22.12.[2023江蘇南京模擬]在平面直角坐標系xOy中，已知點P（－3，0）在圓C：x2＋y2＋2mx－4y＋m2－12＝0內(nèi)，動直線AB過點P且交圓C于A，B兩點，若△ABC的面積的最大值為8，則實數(shù)m的取值范圍是（A）A.（3－23，1]∪[5，3＋23）B.[1，5]C.（3－23，3＋23）D.（－∞，3－23）∪（3＋23，＋∞）解析圓C：（x＋m）2＋（y－2）2＝16，圓心C（－m，2），半徑r＝4，因為點P－3，0在圓內(nèi)，所以｜PC｜＜r，即（－3+m）2+4＜4，解得3－23設(shè)∠ACB＝θ，則S△ABC＝12r2sinθ＝8sinθ，當△ABC的面積最大值為8時，sinθ＝1，∠ACB＝90°，此時△ABC是等腰直角三角形，則圓心C（－m，2）到直線AB的距離d＝rsin45°＝22，則有｜PC｜≥22，即（－3+m）2+4≥22，解得m≤1或m≥5.綜上，m∈（3－23，1]∪[5，313.[多選/2024河南鄭州聯(lián)考]已知實數(shù)x，y滿足曲線C的方程：x2＋y2－2x－2＝0，則下列說法正確的是（AB）A.曲線C圍成圖形的面積為3πB.y+1x+1的最大值為C.｜x－y＋3｜的最小值是22－3D.過點（0，2）作曲線C的切線，則切線方程為2x＋y－2＝0解析曲線C的方程：x2＋y2－2x－2＝0可化為（x－1）2＋y2＝3，表示以（1，0）為圓心，3為半徑的圓.A.曲線C圍成圖形的面積為πr2＝3π，故A正確；B.y+1x+1表示圓上的點P（x，y）與點Q（－1，－1則圓心到直線PQ：y＋1＝