人教版(新教材)高中數(shù)學(xué)必修1(第一冊(cè))學(xué)案：4. 4 .1 對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

4.4對(duì)數(shù)函數(shù)

4.4.1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念2會(huì)求簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域.3.了解對(duì)數(shù)函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)

際中的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

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知識(shí)點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=logQX(〃>0,且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中％是自變量，函數(shù)的定義域是

+8)

Y

思考函數(shù)y=logG,y=log2］是對(duì)數(shù)函數(shù)嗎？

X

『答案』y=log7ix是對(duì)數(shù)函數(shù)，y=log2］不是對(duì)數(shù)函數(shù).

■思考辨析判斷正誤

1.由y=\ogaX9得x=*所以x>0.(V)

2.y=log2%2是對(duì)數(shù)函數(shù).(X)

3.若對(duì)數(shù)函數(shù)y=logd,則〃>0.(V)

4.函數(shù)y=loga(x—1)的定義域?yàn)?0,+°°).(X)

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

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一、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用

例1(1)下列給出的函數(shù)：

?y=log5x+l；

?y=\ogax\a>0,且aWl)；③y=log(有_口尤；

④y=log3永?y=\og^3(x>Q,且xWl)；

⑥y=log2x.其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的為()

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A.③④⑤B.②④⑥C.①③⑤⑥D(zhuǎn).③⑥

(2)已知對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)M(8,3),則后)=.

『答案』(1)D(2)-1

『解析』(1)①中對(duì)數(shù)式后面加1,所以不是對(duì)數(shù)函數(shù)；②中真數(shù)不是自變量x,所以不是

對(duì)數(shù)函數(shù)；③和⑥符合對(duì)數(shù)函數(shù)概念的三個(gè)特征，是對(duì)數(shù)函數(shù)；④不是對(duì)數(shù)函數(shù)；⑤中底數(shù)

是自變量x,而非常數(shù)所以不是對(duì)數(shù)函數(shù)，故③⑥正確.

(2)設(shè)於)=logRa>0,且aWl),由圖象過點(diǎn)M(8,3),則有3=log“8,解得。=2.所以對(duì)數(shù)函

數(shù)的『解析』式為式x)=log*,所以yQ)=log2：=—1.

反思感悟判斷一個(gè)函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)的方法

對(duì)數(shù)函數(shù)必須是形如y=log°x(a>0,且aWl)的形式，即必須滿足以下條件：

⑴對(duì)數(shù)式系數(shù)為1.

⑵底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù).

(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.

跟蹤訓(xùn)練1⑴下列函數(shù)表達(dá)式中，是對(duì)數(shù)函數(shù)的有()

①y=logt2；②y=logaX(aGR)；③y=log5；④y=lnx；@y=logr(x+2)；@y=log2(x+1).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

『答案』B

(2)若對(duì)數(shù)函數(shù)式x)的圖象過點(diǎn)(4,-2),則近8)=.

『答案』-3

二、與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域

例2求下列函數(shù)的定義域.

(l)y=logfl(3-x)+loga(3+x)；

v

(2)y=log2(16-4)；

(3)y=logi-x5.

考點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

題點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

[3—x>0,

解⑴由一c得一3<x<3,

〔3+x>0,

???函數(shù)的定義域是(一3,3).

(2)由16—4*>0,得不<16=42,

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得尤<2,

函數(shù)y=log2(16一平)的定義域?yàn)?一8,2).

f1—x>0,

(3)依題意知，)得x<l且xWO,

[1一xWl,

...定義域?yàn)?一8,O)U(O,1).

反思感悟求含對(duì)數(shù)式的函數(shù)定義域關(guān)鍵是真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不為1.如需對(duì)函數(shù)式

變形，需注意真數(shù)、底數(shù)的取值范圍是否改變.

跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的定義域.

dr-4

⑴尸%+3)；

(2)y=^^^+ln(x+1).

考點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

題點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

X2—4^0,

解⑴要使函數(shù)有意義，需卜+3>0,

、x+3Wl,

"尤W—2或九22,

即<x>一3,即一3<x<—2或％N2,

2,

故所求函數(shù)的定義域?yàn)?一3,-2)U『2,+8).

2—x>0,

⑵要使函數(shù)有意義，需,c

Lx+i>o,

[x<2,

即")—1<JC<2.

[x>—1,

故所求函數(shù)的定義域?yàn)?一1,2).

三、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

例3大西洋鞋魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鞋魚的游速可以表示為函

數(shù)。=；log3端，單位是m/s,。是表示魚的耗氧量的單位數(shù).

(1)當(dāng)一條鞋魚的耗氧量是900個(gè)單位時(shí)，它的游速是多少？

(2)某條鞋魚想把游速提高lm/s,那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來(lái)的多少倍？

解(1)由O=5og3*可知，

當(dāng)0=900時(shí)，v=^log3Y^=|log39=1(m/s).

所以當(dāng)一條鞋魚的耗氧量是900個(gè)單位時(shí)，它的游速是lm/s.

(2)設(shè)色圭魚原來(lái)的游速、耗氧量為611,提速后的游速、耗氧量為。2,仇.

由02—01=1,Kp110g3^-110g3^=1,

吟》

所以耗氧量的單位數(shù)為原來(lái)的9倍.

反思感悟?qū)?shù)函數(shù)應(yīng)用題的解題思路

⑴依題意，找出或建立數(shù)學(xué)模型.

⑵依實(shí)際情況確定『解析』式中的參數(shù).

(3)依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問題.

(4)得出結(jié)論.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

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1.下列函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)的是()

A.y=logax+l(a>0且aWl)

B.y=loga(2x)(cz>0且aW1)

C.y=log(a-i)x(a>l且aW2)

D.y=21ogM(a>0且aWl)

考點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

題點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

『答案』C

2.函數(shù)y=log2(x—2)的定義域是()

A.(0,+°°)B.(1,+°0)

C.(2,+°°)D.『4,+°0)

考點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

題點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

『答案』C

3.函數(shù)人。=玲3—尤+lg(x+l)的定義域?yàn)?)

A.r-1,3)B.(-1,3)C.(一L3』D.『一1,3』

『答案』C

4.對(duì)數(shù)函數(shù)式x)過點(diǎn)(9,2),則6)=.

『答案』-1

『解析』設(shè)八工)=logaX(a>0且aWl),loga9=2,

??.〃2=9,.??4=3(舍〃=—3),

????X)=10g3X,??,娟=10g3]=—l.

5.函數(shù)?x)=logd+〃2