2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市江陰某中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市江陰高級中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)

試卷

1.直線百x-y+a=0（aeR）的傾斜角為（）

A.30°B,60°C.150。D.120°

2.雙曲線胃-4=1缶>0）的一個焦點到漸近線的距離為（）

A.-B.：C.2D.4

a2

3.若橢圓C：各，=l（a>b>0）滿足2b=a+c,則該橢圓的離心率e=（）

A漁B四C?？谏M

D

a.5-4J552

4,若橢圓\+學(xué)=1（771>71>0）和雙曲線最一，=1（￡1>/?>0）有相同的焦點尸1、尸2,2是

兩條曲線的一個交點，則|P0|?的值是（）

21c22

m-a--m-a

A.2(mD.ym—\[a

5.如圖，在平行六面體中，M為AC與8。的交點，若|必名|=|&Di|=

|羽|=2,NA4iOi=90。，NA&Bi==60。，貝力麗|的值為（）

4Bi

A.1B.V3C.2D,2^3

6.《九章算術(shù)》是古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，書中記載了一種名為

“芻薨”的五面體（如圖），其中四邊形ABCO為矩形，EF//AB,若AB=3EF,△ADE和△BCF

都是正三角形，且4D=2EF,則異面直線與BF所成角的大小為（）

A九

A-2B/c-

3

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的一般方程為/+y2-6x-8y+24=0,點4,B是圓

C上不同兩點，|4B|='，點M為AB的中點，則|0"|的取值范圍為（）

A.[4,f]D.[5,軟

B?借用C.[4,6]

8.橢圓W+^=l（a>b>0）上一點A關(guān)于原點的對稱點為B,F為其右焦點，若AF1BF,

設(shè)NABF=a,且a6［羽，于，則該橢圓離心率的取值范圍為（）

A.［y,l］B.仔凈C.畔,1）D.停，爭

9.已知直線/經(jīng)過點P（3,l）,且被兩條平行直線x+y+l=0和％：x+y+6=0截得的

線段長為5,則直線/的方程為（）

A.x=2B.尤=3C.y=1D.y=2

10.設(shè)mGR,過定點A的動直線，*x+my=0,和過定點B的動直線mx-y-m+3=0

交于點P,圓C：（%-2/+（y_4）2=3,則下列說法正確的有（）

A.直線％過定點（L3）B.直線，2與圓C相交最短弦長為2

C.動點尸的曲線與圓C相交D.|P4|+|PB|最大值為5

11.如圖，在正方體4BCD-4/GD1中，點尸在線段BiC上運動，則（）

5_____________￡i

A.直線BO】_L平面

B.三棱錐「一公的。的體積為定值

C.異面直線AP與aD所成角的取值范用是［45。,90。］

D.直線GP與平面4?。所成角的正弦值的最大值為苧

12.己知橢圓C：，+'=l（a>b>0）的左，右兩焦點分別是&,F2,其中a6=2c.直線/：

丫=上0+0伏€/?）與橢圓交于4,B兩點.則下列說法中正確的有（）

A.AABFz的周長為4a

B.若AB的中點為M,則

C.若麗?麗=3c2,則橢圓的離心率的取值范圍是［叫1］

D.若AB的最小值為3c,則橢圓的離心率e=1

13.若橢圓史+4=1的離心率為則實數(shù)，〃的值等于____.

mLL

14.已知向量記=(1,1,一1)和直線/平行，點4(2,0,2)在直線/上，則點P(-4,0,2)到直線/的距

離.

15.已知點4(一2,-2),B(4,2),點P在圓/+y2=4上運動,則|P已產(chǎn)+仍砰的最小值是

16.已知P為|x|+|y|=山上的點，過點P作圓O：/+丫2=1的切線，切點為加、%,若使

得4MPN=90。的點尸有8個，則m的取值范圍是.

17.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)經(jīng)過點(2,3),且與橢圓9/+4y2=36有共同的焦點；

(2)經(jīng)過P(-2V5,1),Q(遮，一2)兩點.

18.已知一個動點M在圓/+y2=16上運動，它與定點Q(8,0)所連線段的中點為P.

(1)求點P的軌跡方程；

(2)若點P的軌跡的切線在兩坐標(biāo)軸上有相等的截距，求此切線方程.

19.如圖，PA1￥?ABCD,四邊形ABC。是正方形，PA=AD=2,M,N分別是48,PC

的中點.

(1)求證：平面MND_L平面PCD；

(2)求點P到平面MND的距離.

20.如圖，在三棱錐4-BCD中，平面ABD1平面BCD,AB^AD,。為BO的中點.

(1)證明：04J.C0；

(2)若AOCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-BC-D的

大小為45。，求三棱錐力-BCO的體積.

21.已知點4(8,0),點8(4,0),動點M(x,y)滿足：\MA\=yl2\MB\.

(1)求點M的軌跡方程；

(2)過點E(l,0)的直線交圓于P、。兩點，交)，軸于尸點，若麗=心屈，F(xiàn)Q=A2QE,求證：

心+%2為定值.

22.已知雙曲線C:'一'=l(a>0,b>0)的實半軸長為I,且C上的任意一點M到C的兩條

漸近線的距離乘積為4

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設(shè)直線/過雙曲線C的右焦點F,與雙曲線C相交于P,Q兩點，問在x軸上是否存在定

點使得々PDQ的平分線與x軸或y軸垂直？若存在，求出定點。的坐標(biāo)；否則，說明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由題意，直線的斜率為：fc=V3,即直線傾斜角的正切值是6,

又傾斜角aG[0,兀),且tan60。=V3,

故直線的傾斜角為：60°,

故選：B.

先由直線的方程求出斜率，再根據(jù)傾斜角的正切值等于斜率，再結(jié)合傾斜角的范圍求出傾斜角.

本題考查由直線的方程求直線的斜率，直線的斜率和傾斜角的關(guān)系，應(yīng)注意直線傾斜角的范圍以

及特殊角的三角函數(shù)值的求法.

2.【答案】C

【解析】解：雙曲線的一個焦點(c,0),一條漸近線是2x-ay=0,

由點到直線距離公式，雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是：耳警1=2.

Va2+4

故選：C.

雙曲線的一個焦點(c,0),一條漸近線是ay=0,由點到直線距離公式可求出雙曲線的一個焦

點到一條漸近線的距離.

本題是簡單題型，解題時越是簡單題越要注意，避免出現(xiàn)會而不對的情況.

3.【答案】C

【解析】解：,；2b=a+c,

又???。2=扭+?2,

???4(a2—c2)=(a+c)2,

5e2+2e-3=0,解得e=|或e=一1(舍去).

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查橢圓的性質(zhì)，掌握離心率公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：由橢圓和雙曲線的定義

lUPFil-|PF2||=2a

】

所以|PF||-\PF2\=gl+|PF2l)：(|PFHPF2l)2=處/=m_a2

故選：A.

利用橢圓與雙曲線的定義，列出關(guān)于仍&|和|PFz|的關(guān)系，然后分析求解即可.

本題考查了楠圓與雙曲線的定義的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，空間向量的線性運算以及空間向量數(shù)量積定義的理解

與應(yīng)用，屬于中檔題.

利用空間向量的線性運算，得到瓦瓦=瓦豆+T瓦瓦，然后利用模的運算性質(zhì)結(jié)合數(shù)量積的

定義，列式求解即可.

【解答】

解：因為，271415=90。，NAA/i=4B1&D1=60。，且若=|而？|=2,

所以|布|=|說|=|配|=2,=Z71BC=120。，乙BBiJ=90°,

則瓦應(yīng)=踮+麗=O+=O+^(BA+BC')=B^B+^BA+^BC,

所以I兩|2=(B^B+^BA+^BCY

----?21---?21--->2----?---?----?---?1---?---?

=B1B+彳BA+4BC+B]B,BA+B】B,BC+38。,BA

111

=2^2^2^-t-2x2xcosZ.A^B^B+2x2cos/BBiG+3x2x2cosZ.ABC

111

=4+l+l+2x2x(——)+2x2x0+)x2x2x(——)

=3,

所以I瓦羽I的值為

故選：B.

6.【答案】A

【解析】解：取。C上一點G,使GC=3GD,連接GF,GB,如圖:

因為四邊形ABC。為矩形，所以AB與CO平行且相等，

由題可知4B=3EF,且EF〃AB,所以EF與。G平行且相等,

所以四邊形OEFG為平行四邊形，所以DE//GF,

不妨令EF=1,則BC=GF=BF=2,AB=3,CG=2,

所以8G=VCG2+BC2=2V2,故BG2=GF2+BF2,

所以GF1BF,所以異面直線OE與8尸所成角的大小為最

故選：A.

取0c上一點G,使GC=3GD,連接GF,GB,可得到GF〃DE,進(jìn)而GF與B尸所成角即為所求,

再由余弦定理求解即可.

本題考查了空間中異面直線及其所成角，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：化圓C的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x—3)2+0-4)2=1,

=J1-(|)2=看,

可得點M的軌跡是以C為圓心，卷為半徑的圓，

44

5--<<5+--

由|0C|=,32+42=5,可得暫5-10Ml-5

故選：B.

化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心坐標(biāo)與半徑，再由弦長求得|CM|,進(jìn)一步可得|0M|的取值范圍.

本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了利用垂徑定理求弦長，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：:B和A關(guān)于原點對稱

???B也在橢圓上

設(shè)左焦點為F'

根據(jù)橢圓定義：\AF\+\AF'\=2a

又丫|BF|=\AF'\：.\AF\+\BF\=2a…①

。是心△ABF的斜邊中點，|AB|=2c

又|4尸|=2csina…②

|BF|=2ccosa…③

②③代入①2csina+2ccosa=2a

c1

:.~，，，

a~sina+cosa

即e=]二]

sina+cosax/2(sin(a+^)

ae最

71Tl

71

<sin(a+4)￡1

<e<f

故選：B.

設(shè)左焦點為尸根據(jù)橢圓定義：\AF\+\AF'\=2a,根據(jù)B和A關(guān)于原點對稱可知出用=|4尸'|,

推知|AF|+|B尸|=2a,又根據(jù)。是RtzMBF的斜邊中點可知=2c,在RtzMBF中用a和c

分別表示出用和|BF|代入|AF|+\BF\=2a中即可表示出押離心率e,進(jìn)而根據(jù)a的范圍確定e

的范圍.

本題主要考查了橢圓的性質(zhì).要特別利用好橢圓的定義.

9.【答案】BC

【解析】解：①當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=3,

此時/與直線k，%的交點分別為4(3,-4),8(3,-9),

截得的線段長依用=|—4+9|=5,符合題意，

②當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y-l=k(x-3),且設(shè)直線/與直線匕和L的交點分

別為A,B,

解方程組《lilial",解得做落祟),

解方程組解得B(翳,簾),

V\AB\=5,

3k-2_3k-7、2,4々+1譚1)2=52,解得k=0,

k+1k+1)(k+1

故所求直線/的方程為y=l,

綜上所述，所求直線I的方程為x=3或y=1.

故選：BC.

根據(jù)已知條件，分直線/的斜率存在，不存在兩種情況討論，即可求解.

本題主要考查直線的一般式方程與直線平行的關(guān)系，屬于中檔題.

10.【答案】AC

【解析】解：由直線上x+my=0,可得過定點4(0,0),

動直線Lmx-y-m+3=0=>m(x-1)-(y-3)=0,可得恒過定點所以4正確;

由圓的方程可得圓心C(2,4),半徑r=V3,

所以圓心C到直線G的距離d=丘噌一空」=7嗎，

所以弦長為2百不=?二2」3一編=2-斤耳三=2」2+fG（2企,2遮］，所以B不正

確；

因為兩條直線始終互相垂直，P是兩條直線的交點，所以P/11PB,可得P的軌跡為圓，且圓心

為A8的中點，咳,|）,半徑/=竿=孚，

圓心距為J（2-+4—,2=亨e（r-r',r+/）,所以兩圓相交，所以C正確；

因為兩條直線始終互相垂直，P是兩條直線的交點，所以P41PB,

可得|P4|2+\PB\2=\AB\2=12+32=10,

由均值不等式可得：吟段=膽耍!=后

BP|P4|+|PB|<2V5,所以。不正確;

故選：AC.

由直線%的方程可得直線恒過的定點的坐標(biāo)，求出圓C到直線。的距離，由弦長，圓心到直線的

距離及圓的半徑的關(guān)系可得弦長的表達(dá)式，再由函數(shù)的單調(diào)性可得弦長的范圍，由題意可得點尸

的軌跡為圓，Q圓心的坐標(biāo)及半徑，求出兩圓的圓心距，可得與兩圓的半徑的關(guān)系，由均值不等

式可得1""1<J|P川2；IPB|2=店,可判斷所給命題的真假.

本題考查求直線恒過定點的方法，直線與圓相交的弦長的求法，均值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查命題真假的判斷，空間圖形中直線與直線、平面的位置關(guān)系，異面直線的判斷，基本知

識與定理的靈活運用，屬于較難題.

在A中，推導(dǎo)出&的1DG工BDi，從而直線B/_L平面力】GD；

在8中，由&C〃平面&G。，得到P到平面4G。的距離為定值，再由△&G。的面積是定值，

從而三棱錐P-aGD的體積為定值；

在C中，異面直線4P與4O所成角即直線AP與當(dāng)（7成角，通過分析，即可知異面直線AP與4O

所成角的取值范用；

在。中，以。為原點，為x軸，OC為），軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法

能求出直線GP與平面&GD所成角的正弦值的最大值為苧.

【解答】

解：在A中,,:41clJ-B】Di，4，BB］,B1D1A=B1,,BB1u平面88］。］,

???A?_L平面BBS???A?1BDi，同理，DCr1BD>

???A1GCDC1=G，&G，DC1u4GD,??.直線BD1J■平面4C1。，故A正確；

在5中，????必/BiC,&Du平面—GD,BiCC平面4C1D,

AB1C〃平面4G。，

???點P在線段B】C上運動，:P到平面&G。的距離為定值，

又△&C1。的面積是定值，二三棱錐P—&C1。的體積為定值，故B正確；

在C中，異面直線AP與所成角即直線AP與aC成角，

為等邊三角形，

當(dāng)尸為BiC的中點時，APLBiC；

當(dāng)戶與點Bi或C重合時，直線4尸與直線BiC的夾角為60°.

則其成角的取值范用是［60。,90。］,故C錯誤；

在。中，以。為原點，D4為x軸，0c為y軸，DDi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體48。。-&8道1。1中棱長為1,P(a,l,a),

則。(0,0,0),4i(l,0,0),G(0,1,1),

西=(1,0,1),西=(0,1,1),C^P=(a,0,a-l),

設(shè)平面占6。的法向量元=(x,y,z),

n-ZM；=x+z=0

取x=l,得元

,n-DC1=y+z=0

二直線CP與平面&Ci。所成角的正弦值為：

|市園_1_1

KF卜同Ja2+(a-l)2-V3V3-j2(a-|)2+2,

二當(dāng)a=M寸，直線CiP與平面&Ci。所成角的正弦值的最大值為印故。正確.

故答案選：ABD.

12.【答案】AC

【解析】解：l^ABF2=AFr+BFr+AF2+BF2=4a,A正確;

設(shè)fi(x2,y2),M(空，空)，

看右k卜oM-.一五力+丫石2，

作差得：+曄=0,所以賓=一4,

bxj-%2Q，

則有koMk=3二方=-$8錯誤；

AF；?AF；=xf+yf—c2=xf+a2—2c2G[a2—2c2,a2—c2],

則有Q2—2C2工3c24a2—c2,可得？C正確；

易知AB的最小值為通徑生，則有空=3c,即2a2一3四一2c2=0,

aa

解得a=2c,所以e=￡=J,。錯誤.

a2

故選：AC.

求出三角形的周長判斷A；直線的斜率關(guān)系,判斷B；求解離心率的范圍判斷C；利用48的最小

值求解離心率，判斷D.

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

13.【答案】g或|

【解析】解：設(shè)橢圓的長半軸和短半軸長分別為a,b,

1

橢畤+白1的離心率瓊可得展=

4-

22

當(dāng)m>2時，a=m,Z?=2,則^—=Am=-；

m43

當(dāng)0<?n<2時，a2=2,b2=m,則乙:=；,?,?力=。，

242

則實數(shù)，〃的值為我|.

故答案為：等%.

分類討論，確定a2,b2,利用橢圓的離心率公式，即可求出機的值.

本題考查了楠圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】2V6

【解析】解：???4(202),P(-4,0,2),

.-.AP=(-6,0,0),

又向量記=(1,1,一1)和直線/平行，

???元與而夾角的余弦值為襦V3

~39

則記與而夾角的正弦值為J1-(1)2=冬

.?.點P(-4,0,2)到直線/的距離為爭而I=2痣

故答案為：2遍.

由已知求得存的坐標(biāo)，再求出記與前夾角的正弦值，進(jìn)一步可得點P(-4,0,2)到直線/的距離.

本題考查空間中點到直線的距離運算，考查空間向量的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】28

【解析】解：,??點P在圓/+y2=4上，.?.設(shè)p(2cos8,2sin。)，

又4(-2,-2),5(4,2),

???|PX|2+\PB\2=(2cos0+2)2+(2sin0+2)2+(2cos0—4)2+(2sin0-2)2

=4cos2。+8cos。+4+4sin20+8sin0+4+4cos2?！?6cos。+16+4sin20—8sin。+4

=36—8cos。.

.?.當(dāng)cos。=lH'j',\PA\2+|PB『的最小值是28.

故答案為：28.

由題意設(shè)P(2cos0,2sin。)，再由兩點間的距離公式寫出|P*2+伊⑶產(chǎn)的表達(dá)式，整理后結(jié)合三角

函數(shù)求最值.

本題考查圓的參數(shù)方程，訓(xùn)練了利用三角函數(shù)求最值，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】(方,2)

如圖，設(shè)尸在直線x+y=^上，作直線PA,P8與圓/+y2=1相切，切點為A,B,故041PA,

PB10B,

結(jié)合ZMPN=90。，所以四邊形。APB是正方形，所以|0P|=/,

故P點在以(0,0)為圓心，半徑為魚的圓/=2上，由已知：

只需直線x+y-m=0與/+y2=2在第一象限相交即可(介于圖中兩平行直線之間)，如圖(右

當(dāng)直線％+y—m=0過M(0,夜)時:解得m=魚；

當(dāng)直線x+y-m=0與圓相切于點N時，由粵=&得m=2.

故機的取值范圍是(VI2).

故答案為：(應(yīng),2).

因為|無|+\y\=m、圓0：/+V=1的圖形都是關(guān)于坐標(biāo)軸、原點對稱的，所以只需研究x+y=

m(m>0)在第一象限的直線上有兩個點P滿足題意即可.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，以及學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力.屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)橢圓9/+4y2=36,即3+9=1,

所以。2=9,b2-4,故c=遮，

焦點為(0,遙),(0,-花),

所求橢圓經(jīng)過點(2,3),且與橢圓9/+4y2=36有共同的焦點,

設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程5+力

l(a>h>0),

a2-b2=5

所以9

3+芻=1

解得=15,b2=10,

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為各1;

(2)設(shè)所求橢圓的方程+T1y2=1(7n>0,n>0),

將P(-2百,1),Q(6,—2)代入上式得CC4r二

(1

解得｛m=產(chǎn)不，

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為各(=1.

【解析】(1)由條件可設(shè)所求橢圓方程為真+5=

l(a>b>0),利用已知條件求出a2,b2,即可

得解.

(2)設(shè)橢圓方程為7n%2+j2y2=1(7n>0,n>0),代入4,8點坐標(biāo)，求得"3”，即可得答案.

本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),Q(8,0),

根據(jù)動點M在圓/+y2=16上運動，它與定點Q(8,0)所連線段的中點為P,

=2x—8

解得

Jo=2y

由瑤+羽=16,得(2%-8)2+(2y)2=16,

二點P的軌跡方程是(％-4)2+必=生

(2)當(dāng)切線在兩坐標(biāo)軸上截距均為0時，

設(shè)切線y=kx,由相切得*==2,

,,V3

k=±—,

所以切線方程為：y=±yx,

當(dāng)切線在兩坐標(biāo)軸上截距相等且不為0時，設(shè)切線x+y=a(a。0)

由相切有翳=2,.?.a=4±2&,切線方程為x+y=4±2企，

綜上：切線方程為y=±苧x或x+y=4±2夜.

代入圓的方程推出結(jié)界

【解析】(1)設(shè)P(x,y)，M(x0,y0),Q(8,0),推出

(2)當(dāng)切線在兩坐標(biāo)軸上截距均為0時，設(shè)切線y=由相切得，絲L=2,推出切線方程,

當(dāng)切線在兩坐標(biāo)軸上截距相等且不為0時，設(shè)切線x+y=a(a豐0)由相切有需=2轉(zhuǎn)化求解切

線方程即可.

本題考查軌跡方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

19.【答案】(1)證明：PAL平面4BCD,AB1AD,：.AB.

A。、AP兩兩互相垂直，

如圖所示，分別以A3、AD.AP所在直線為x軸、)，軸和z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得4(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),

。(0,2,0),P(0,0,2),M(l,0,0),

.-.MN=(0,1,1),ND=(-1,1,-1),~PD=(0,2,-2),

設(shè)記=(x,y,z)是平面MN。的一個法向量，

(m■MN=y+z=0??

可得L—.'，取y=-l,得x=-2o,

1m-ND=—x+y—z=0

z=1,

???布=是平面MND的一個法向量，

同理可得記=(o,U)是平面PCD的一個法向量，

,?m-n=-2x0+(―1)xl+lxl=0,■??mLn,

即平面MND的法向量與平面PCD的法向量互相垂直,

所以平面MND1平面PCD；

(2)解：由(1)得記=(一2,-1,1)是平面MNZ)的一個法向量，

???PD=(0,2,-2),得麗?沆=0x(-2)+2x(-1)+(-2)x1=-4,

.??點P到平面MND的距離d=嚅?=再為=竽.

【解析】本題在四棱錐中證明面面垂直，著重考查了利用空間向量中點到平面的距離，屬于中檔

題.

(1)作出空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得而、ND,4的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的

方法算出平面MNQ、平面PC。的法向量分別為沅=(一2,-1,1)和元=(0,1,1),算出沅?元=0,

可得記1n,從而得出平面MN。1平面PCD-,

(2)由(1)中求出的平面MNO法向量沅=與向量而=(0,2,-2),利用點到平面的距離

公式加以計算即可得到點P到平面MND的距離.

20.【答案】解：(1)證明：因為=。為8。的

中點，所以A。1BD,

又平面平面8m平面48。n平面BCD=80,

AOu平面BCD,

所以4。1平面BCD,又CDu平面BCD,

所以4。1CD-,

(2)取。。的中點F,因為AOCC為正三角形，所以CF1

OD,

過O作OM〃CF與8c交于點M,則OM_L。。,

所以。M,OD,0A兩兩垂直，

以點。為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)M,OD,OA為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則8(0,-1,0),C(累,0),D(0,1,0),

設(shè)4(0,0,t),則以03凈,

因為0A1平面BCD,故平面BCD的一個法向量為a=(0,0,t),

設(shè)平面8CE的法向量為五=(x,y,z),

又團=(苧,|,0),而=(0,渭)，

'國J

y%+27=n°

所以由n-BC=0,得

n?BE=04,2tn

“+§z=°

令》=g，則y=-1,z=：,故元=(jV5,

因為二面角E-BC-。的大小為45。,

回的_2_V2

所以|cos<n,OA>|=同|函=小琴=彳

解得t=1,所以。A=1,

又SAOCD=gxlxlx苧=苧,所以SABCD=冬

故匕-BCD=1-S&BCD.04=gx苧X1=R.

【解析】（1）利用等腰三角形中線就是高，得到40LBD,然后利用面面垂直的性質(zhì)，得到A。，平

面8CD,再利用線面垂直的性質(zhì)，即可證明4。ICO；

（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)4（0,0,t）,利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角

公式求出r的值，然后利用錐體的體積公式求解即可.

本題考查了面面垂直和線面垂直的性質(zhì)，在求解有關(guān)空間角問題的時候，一般要建立合適的空間

直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題，屬于中檔題.

21.【答案】解：（1）因為|M4I???_8）2+y2=夜J（%_4）2+y2,

化簡整理得M+y2=32,

即點M的軌跡方程為/+八=