四川省廣元市川師大萬(wàn)達(dá)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月月考 數(shù)學(xué)試題【含答案】

四川省廣元市川師大萬(wàn)達(dá)中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期末模擬考試高2023級(jí)數(shù)學(xué)試題（滿分：150分時(shí)間：120分鐘）一?選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目的要求1．已知，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．3．一個(gè)水平放置的平面圖形按斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖如圖所示.知，則平面圖形的面積為（

）A．3 B．6 C． D．4．將10個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：，若該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22，則（

）A．19 B．20 C．21 D．225．某一時(shí)段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)?滲透?流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：）.24小時(shí)降雨量的等級(jí)劃分如下：24小時(shí)降雨量（精確到）降雨等級(jí)小雨中雨大雨暴雨在一次降雨過(guò)程中，用一個(gè)側(cè)棱的三棱柱容器收集的24小時(shí)的雨水如圖所示，當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)，水面恰好過(guò)的中點(diǎn).則這24小時(shí)的降雨量的等級(jí)是（

）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨6．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)是奇函數(shù)D．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為7．如圖，圓錐的底面直徑和高均為，過(guò)上一點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，我們稱該圓柱為圓錐的內(nèi)接圓柱.則該圓錐的內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值為（

）A． B． C． D．8．在中，，點(diǎn)滿足，且，則（

）A． B． C． D．二?多選題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知是兩條不同的直線，是平面，若，則的關(guān)系可能為（

）A．平行 B．垂直 C．相交 D．異面10．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則角B．存在，使成立C．若，則為等腰或直角三角形D．若，則有兩解11．如圖，在正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面為垂足，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．三棱錐的體積為定值C．D．與所成的角為三?填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12．已知為共線向量，且，則.13．在中，分別為的中點(diǎn)，交于點(diǎn).若，，則.14．若一個(gè)圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為，則該圓錐的側(cè)面積為．四?解答題：本題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟.15．已知向量滿足，，且在上的投影向量為.(1)求及的值；(2)若，求的值.16．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且.(1)求及；(2)若點(diǎn)在邊上，且，求的面積.17．2023年起我國(guó)旅游按下重啟鍵，寒冬有盡，春日可期，先后出現(xiàn)了“淄博燒烤”，“爾濱與小土豆”，“天水麻辣燙”等現(xiàn)象級(jí)爆款，之后各地文旅各出奇招，衢州文旅也在各大平臺(tái)發(fā)布了衢州的宣傳片：孔子，金庸，擱袋餅紛紛出場(chǎng).現(xiàn)為進(jìn)一步發(fā)展衢州文旅，提升衢州經(jīng)濟(jì)，在5月份對(duì)來(lái)衢旅游的部分游客發(fā)起滿意度調(diào)查，從飲食、住宿，交通，服務(wù)等方面調(diào)查旅客滿意度，滿意度采用百分制，統(tǒng)計(jì)的綜合滿意度繪制成如下頻率分布直方圖，圖中.(1)求圖中的值并估計(jì)滿意度得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)若有超過(guò)的人滿意度在75分及以上，則認(rèn)為該月文旅成績(jī)合格.衢州市5月份文旅成績(jī)合格了嗎？(3)衢州文旅6月份繼續(xù)對(duì)來(lái)衢旅游的游客發(fā)起滿意度調(diào)查.現(xiàn)知6月1日-6月7日調(diào)查的4萬(wàn)份數(shù)據(jù)中其滿意度的平均值為80，方差為75；6月8日-6月14日調(diào)查的6萬(wàn)份數(shù)據(jù)中滿意度的平均值為90，方差為70.由這些數(shù)據(jù)計(jì)算6月1日—6月14日的總樣本的平均數(shù)與方差.18．在平行四邊形中，分別為的中點(diǎn)，將三角形沿翻折，使得二面角為直二面角后，得到四棱錐.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求與平面所成角的正弦值.19．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題，該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”.如圖1，三個(gè)內(nèi)角都小于的內(nèi)部有一點(diǎn)，連接，求的最小值.我們稱三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).要解決這個(gè)問(wèn)題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，就可求出這三條線段和的最小值.某數(shù)學(xué)研究小組先后嘗試了翻折?旋轉(zhuǎn)?平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問(wèn)題，具體的做法如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則的長(zhǎng)即為所求，此時(shí)與三個(gè)頂點(diǎn)連線恰好三等分費(fèi)馬點(diǎn)的周角.同時(shí)小組成員研究教材發(fā)現(xiàn)：已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到向量.(1)已知平面內(nèi)點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在中，，借助研究成果，直接寫(xiě)出的最小值；(3)已知點(diǎn)，求的費(fèi)馬點(diǎn)的坐標(biāo).1．D【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式即可代入求解.【詳解】，故選：D2．C【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的意義求解即得.【詳解】由，得，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C3．C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出梯形的原圖并確定對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)，計(jì)算即可.【詳解】畫(huà)出梯形的原圖，如圖所示：在直觀圖中，，得，則在原圖中，，，四邊形是直角梯形，所以.故選：C4．C【分析】由題意，結(jié)合百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】，又該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22，則，解得.故選：C5．D【分析】根據(jù)給定條件利用柱體體積公式求出水的實(shí)際體積，再由兩種情況的放置水的體積相同求解液面高度，即可與降雨量等級(jí)比較求解．【詳解】設(shè)的面積為，底面水平放置時(shí)，液面高為，側(cè)面水平放置時(shí)，水的體積為，當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水的體積為，于是，解得，所以當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為．故降雨量等級(jí)為暴雨，故選：D6．B【分析】根據(jù)伸縮平移變換可得函數(shù)的解析式，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)中圖像性質(zhì).【詳解】的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)，其最小正周期為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，得，在上單調(diào)遞減，B選項(xiàng)正確；，為偶函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，最大值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.7．C【分析】設(shè)，用的函數(shù)表達(dá)式表示出圓柱的側(cè)面積，再利用基本不等式即可求出最大值．【詳解】圓錐軸截面如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為，，由可知，，即，所以，故被挖去的圓柱的側(cè)面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)，被挖去的圓柱的側(cè)面積最大值為．故選：C8．A【分析】根據(jù)題意，在中取中點(diǎn)為，且點(diǎn)在直線上，由數(shù)量積運(yùn)算可得，從而得解.【詳解】因?yàn)?，易知為等腰直角三角形且，取中點(diǎn)為，則，又點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在直線上，所以，由，則，結(jié)合圖知，所以.故選：A9．ABD【分析】根據(jù)平行、垂直、相交和異面的性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖，在正方體中，若是平面，為，為，此時(shí)與平行，故A正確；在正方體中，若是平面，為，為，此時(shí)，故B正確；若，不可能與垂直和相交，故C錯(cuò)誤；在正方體中，若是平面，為，為，此時(shí)與異面，故D正確.故選：ABD.10．ACD【分析】利用正弦定理、二倍角公式、解三角形的知識(shí)進(jìn)行判斷.【詳解】選項(xiàng)A：由正弦定理得：又余弦定理得故又故故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B：因?yàn)樵谥校使蔬x項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，或即或故為等腰或直角三角形，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D：又則若，則有兩解正確，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11．ABC【分析】對(duì)于A，可證得平面，進(jìn)而有，所以在的中垂線上，可得，即可判斷；對(duì)于B，由，而三棱錐的體積為定值，所以三棱錐的體積為定值，即可判斷；對(duì)于C，可證得平面，則，即可判斷；對(duì)于D，在正方體中，由是正三角形，可得與所成的角為，即可判斷.【詳解】對(duì)于A，在正方體中，連接，交于點(diǎn)，連接，則，又平面，平面，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，又平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以在的中垂線上，所以，故A正確；對(duì)于B，在正方體中，平面，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離，即為正方體的棱長(zhǎng)，為定值，的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，又，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；對(duì)于C，連接，則，又在正方體中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故C正確；對(duì)于D，連接，在正方體中，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為與所成的角，又是正三角形，所以與所成的角為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．【分析】根據(jù)共線向量，求出【詳解】根據(jù)為共線向量，且,則，解得.故答案為：.13．##【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合模長(zhǎng)公式可得的長(zhǎng)度，即可根據(jù)余弦定理求解.【詳解】因?yàn)樵谥?，、分別為、的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則為的重心，所以，由平面向量數(shù)量積的定義可得，故，又,由余弦定理可得．故答案為：．14．【分析】作出截面圖形，由圓錐的側(cè)面積公式結(jié)合題意計(jì)算可得.【詳解】過(guò)圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，得及其內(nèi)切圓和外接圓，且兩圓同圓心，即的內(nèi)心與外心重合，所以為正三角形，由題意的半徑為，所以的邊長(zhǎng)為6，所以圓錐的底面半徑為3，所以圓錐的側(cè)面積．故答案為：.15．(1)，(2)【分析】（1）由投影向量的定義可求得，再由向量的夾角公式可求得；（2）由向量垂直建立方程，求解即可．【詳解】（1）因?yàn)?，，且在上的投影向量為，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以，即，得，解得?6．(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換即可得，繼而求解,由正弦定理邊角互化即可求解,（2）根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合模長(zhǎng)公式可得，即可由面積公式求解.【詳解】（1）由得：，，，，故，由于,所以，由正弦定理以及可得，所以，（2），，，，由于，，所以，解得或（舍去）所以17．(1)，79.5(2)合格(3)平均值為86，方差為96【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的特征求出a，進(jìn)而即可求出平均數(shù)；（2）先確定40%分位數(shù)的位置，再由頻率分布直方圖求出百分位數(shù)，即可下結(jié)論；（3）求出總樣本平均數(shù)，根據(jù)方差的定義，即可求出總樣本方差.【詳解】（1）由題意知，估計(jì)滿意度得分的平均值（2）超過(guò)60%的人滿意度在75分及以上，即為40%分位數(shù)大于等于75又由滿意度在的頻率為，滿意度在的頻率為知40%分位數(shù)位于由可以估計(jì)40%分位數(shù)為有超過(guò)60%的人滿意度在75分及以上，衢州市5月份文旅成績(jī)合格了（3）把6月1日—6月7日的樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為，把6月8日—6月14日的樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為，則總樣本平均數(shù)由方差的定義，總樣本方差為總樣本平均值為86，總樣本方差為9618．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）取中點(diǎn)，證明四邊形是平行四邊形，即可根據(jù)線線平行求證，（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)即可求解，（3）利用等體積法，求解點(diǎn)到平面的距離，即可求解.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接和，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，且,又，且,所以，且．所以四邊形是平行四邊形．所以．平面,平面故平面（2）由于在平行四邊形中，分別為的中點(diǎn)，所以，則，因此，又，故，由于二面角為直二面角，所以平面平面且兩平面的交線為，又平面，故平面，平面，故平面平面.（3）由于平面平面且兩平面的交線為，，平面，故平面,由（2）知平面,平面，故，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故，設(shè)與平面所成角為，則.19．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，代入公式可得，從而得解；（2）根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)后為等邊三角形，根據(jù)勾股定理可解；（3）根據(jù)題意，中，與關(guān)于軸對(duì)稱，所以旋轉(zhuǎn)后與關(guān)于軸對(duì)稱，由圖形的對(duì)稱性知費(fèi)馬點(diǎn)必在軸上，由三點(diǎn)共線