江蘇省南通市2023-2024學年高二下學期6月期末數(shù)學試題【含答案】

2024年南通市高二學年度質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效．3．本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知隨機變量，且，則（

）A．0.02 B．0.03 C．0.07 D．0.082．已知一個圓錐底面半徑為，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的母線長為（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．4 D．64．電視臺有6個不同的節(jié)目準備當天播出，每半天播出3個節(jié)目，其中某電視劇和某專題報道必須在上午播出，則不同播出方案的種數(shù)為（

）A．24 B．36 C．72 D．1445．函數(shù)，的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B． C． D．6．在三棱錐中，已知，是線段的中點，則（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，若，，，都有，則實數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．8．甲箱中有2個紅球和2個黑球，乙箱中有1個紅球和3個黑球．先從甲箱中等可能地取出2個球放入乙箱，再從乙箱中等可能地取出1個球，記事件“從甲箱中取出的球恰有個紅球”為，“從乙箱中取出的球是黑球”為，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．若，則（

）A． B．C． D．10．在空間中，，是不重合的直線，，是不重合的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則11．已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．曲線恒過定點B．若，則的極小值為0C．若，則D．若，則的最大值大于三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．某小吃店的日盈利（單位：百元）與當天平均氣溫（單位：℃）之間有如下數(shù)據(jù)：012百元54221由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程中．試預測當天平均氣溫為時，小吃店的日盈利約為百元．13．設隨機變量，且，則；若，則的方差為．14．已知六棱錐的底面是邊長為1正六邊形，且頂點均在同一球面上，若該棱錐體積的最大值為，則其外接球的表面積為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖，在直三棱柱中，，．(1)求證：平面；(2)求直線與所成角的余弦值．16．為調(diào)查喜歡山地自行車項目是否和性別有關(guān)，某自行車店隨機發(fā)放了30份問卷，并全部收回，經(jīng)統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表：男性女性喜歡124不喜歡68(1)能否有的把握認為喜歡山地自行車項目和性別有關(guān)?(2)在上述喜歡山地自行車項目的受訪者中隨機抽取3人，記其中男性的人數(shù)為，求的分布列．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82817．已知函數(shù)，，，(1)設曲線在處的切線為，若與曲線相切，求；(2)設函數(shù)，討論的單調(diào)性．18．如圖，在四棱錐中，平面，，，，．點在棱上且與，不重合，平面交棱于點．(1)求證：；(2)若為棱的中點，求二面角的正弦值；(3)記點，到平面的距離分別為，，求的最小值．19．箱子中有大小和質(zhì)地相同的紅球、白球和黑球共個，其中紅球的個數(shù)為，現(xiàn)從箱子中不放回地隨機摸球，每次摸出一個球，并依次編號為1，2，3，……，，直到箱子中的球被摸完為止．(1)求2號球為紅球的概率（用與表示）；(2)若，，記隨機變量為最后一個紅球被摸出時的編號，求；(3)若箱子中白球、黑球的個數(shù)分別為，，求紅球先于白球和黑球被摸完（紅球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）的概率．1．B【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可.【詳解】由于隨機變量，且，所以,故選：B2．D【分析】運用弧長等于圓錐底面周長，扇形半徑為母線長，聯(lián)立方程，解出即可．【詳解】設圓錐母線長為l,扇形半徑為R,則,，解得l=10.故選：D.3．C【分析】利用導數(shù)的定義和求導公式進行求解.【詳解】由題意，因為，所以，即.故選：C.4．D【分析】先把某電視劇和某專題報道排在上午，再結(jié)合全排列計算即可.【詳解】因為某電視劇和某專題報道必須在上午播出，所以種排法,其他4個節(jié)目有種排法，所以不同播出方案的種數(shù)為.故選：D.5．A【分析】先求導函數(shù)，再令導函數(shù)大于等于0，即可求出單調(diào)增區(qū)間.【詳解】因為，所以,即，.單調(diào)增區(qū)間為.故選：A.6．D【分析】連接,利用空間向量的基本定理求解即可.【詳解】連接，因為是線段的中點，所以因為，所以所以故選：D7．B【分析】先化簡不等式得出函數(shù)單調(diào)性，再把單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為導數(shù)恒為正即可求出參數(shù)最值.【詳解】假設,又因為,可得,設,,單調(diào)遞增，,恒成立,所以,即可得.故選：B.8．D【分析】根據(jù)題意，先求出，，，判斷A，由條件概率公式和全概率公式依次判斷B、C、D選項即可.【詳解】根據(jù)題意，甲箱中有2個紅球和2個黑球，則，，，故A不正確；乙箱中有1個紅球和3個黑球，則，，，故B不正確；則有，故C正確；則，故D正確；故選：D9．ACD【分析】應用賦值法判斷A,C,D選項，根據(jù)二項式展開式判斷B選項.【詳解】令,可得,A選項正確；令,可得,令,可得，兩式相加可得,C選項正確；是的各項系數(shù)和，所以，D選項正確；的展開式的系數(shù)是,B選項錯誤.故選：ACD.10．BD【分析】運用線面平行垂直的性質(zhì)和判定逐個分析即可.【詳解】對于A,若，，則或者，故A錯誤；對于B,可以用法向量來思考.，所在的方向取，的法向量，法向量垂直可推出面面垂直.故B正確;對于C,若，，，則或者相交，故C錯誤；對于D，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因為，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因為平面，平面，則平面，因為平面，，則，又因為，則，故D正確．故選：BD.11．ACD【分析】對于A，求出即可；對于B，結(jié)合導數(shù)求出的極值即可；對于C，利用導數(shù)求出的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性比較和的大小即可；對于D，結(jié)合導數(shù)求出的最大值為，令，利用導數(shù)的最值即可.【詳解】對于A，令，可得，所以曲線恒過，故A正確；對于B，當時，，則，令，解得：，當時，，則在上單調(diào)遞增；當時，，則在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，故B不正確；對于C，，當，則，所以在上單調(diào)遞增，又，即，則，故C正確；對于D，當時，由，解得：，當時，，則在上單調(diào)遞增，當，，則在上單調(diào)遞減，所以，令，則，所以當時，，則在上單調(diào)遞增，所以，即的最大值大于，而，故，即，所以D正確；故選:ACD12．6【分析】求出樣本中心點，代入得到值，再令即可.【詳解】由已知數(shù)據(jù)，，因為，則，代入，則，則，令，則.故答案為：613．##【分析】(1)用二項分布的概率公式可解；(2)用二項分布的方差結(jié)論即可解決.【詳解】(1),則，則，解得(2)，由(1)得，則．，則故答案為：；．14．【分析】根據(jù)幾何知識可知，當六棱錐為正六棱錐時，體積最大，即可求出棱錐的高，進而得到外接球的半徑，得出球的表面積．【詳解】根據(jù)幾何知識可知，當六棱錐為正六棱錐時，體積最大，因為底面正六邊形的邊長為，所以底面外接圓的半徑為，六棱錐的底面積，設六棱錐的高為，所以，即，解得．設外接球的半徑為，可得，，解得．故球的表面積為．故答案為：．15．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證明，再根據(jù)線面垂直判定定理證明線面垂直即可；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【詳解】（1）由題意以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，則，所以，所以，所以，即，又因為平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，，所以，記直線與所成角為，則，故直線與所成角的余弦值為.16．(1)沒有的把握認為喜歡山地自行車項目和性別有關(guān)(2)的分布列見解析【分析】（1）根據(jù)獨立性檢驗計算判斷結(jié)論；（2）根據(jù)題意求出離散型隨機變量可能取值以及對應的概率，列出分布列.【詳解】（1）由題可得，所以沒有的把握認為喜歡山地自行車項目和性別有關(guān)；（2）由題可得男性的人數(shù)可能取值為：0，1，2，3，，，,所以的分布列為：012317．(1)(2)答案見解析【分析】（1）求出曲線在處的切線為，與聯(lián)立方程組，由解得；（2）先求的定義域，求導數(shù)，對進行分類討論，求解即可.【詳解】（1），，且，所以曲線在處的切線為，則，得，因為與相切，所以，得（舍），或；（2）的定義域為，，因為，令，得或，當時，，所以當和時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，則函數(shù)單調(diào)遞減增，當時，，所以當和時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，則函數(shù)單調(diào)遞減增，當時，，當時取等號，函數(shù)在上單調(diào)遞增，綜上所述，時，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，時，的單調(diào)增區(qū)間為，沒有減區(qū)間，時，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先證平面，在根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得.（2）先證，，兩兩垂直，再以為原點，建立空間直角坐標系，求平面和平面的法向量，用向量法求二面角的三角函數(shù)值.（3）設，求平面的法向量，利用點到平面的距離的向量求法表示出，再結(jié)合不等式求它的最小值.【詳解】（1）因為，平面，平面，所以平面.又平面，平面平面.所以.（2）如圖：取中點，連接.因為平面，平面，所以.在四邊形中，，且，所以四邊形為矩形.所以平面.又在和中，，，.所以（）.所以，.故，，兩兩垂直，所以以為原點，建立如圖空間直角坐標系.當為中點時，，，，，.所以，，.設平面的法向量為，則，取.設平面的法向量為，則，取.所以.所以二面角的正弦值為：.（3）設，（），則，，.設平面的法向量為，則，取.則到平面的距離為：，到平面的距離為：，所以設，則那么（當且僅當即時取“”）所以.【點睛】結(jié)論點睛：點為平面外一點，點為平面內(nèi)一點，平面的法向量為，則點到平面的距離為：.19．(1)(2)(3)【分析】（1）設事件：第號球為紅球，利用全概率公式求；（2）根據(jù)題意，先得出的可能取值為：，結(jié)合題意，求出對應的概率，進而可得出分布列，再由期望的計算公式，即可求出結(jié)果；（3）將箱子中紅球、白球、黑球的個數(shù)分別為，，，按照比例轉(zhuǎn)化為，紅球1個、白球1個、黑球2個進行考察再進行全排列，利用概率公式求解答案.【詳解】（1）設事件：第號球為紅球，則；（2）根據(jù)題意，隨機變量的取值為，從袋中個紅球和個其他顏色球中，將紅球全部摸出，共有種情況；則，，，，，，，所以的分布列為：因此其數(shù)學期望為：；（3）根據(jù)題目本題主要關(guān)注的問題是最后一球是什么顏色的球.問題1：如果最后一球為紅球，即紅球摸完時，白球、黑求已經(jīng)全部摸完，此時的概率為，同理可得，最后一球為白球的概率為，最后一球為黑球的的概率為，將箱子中紅球、白球、黑球的個數(shù)分別為，，，按照比例轉(zhuǎn)化為，紅球1個、白球1個、黑球2個進行考查.問題2：發(fā)現(xiàn)最后一球是紅的概率