高考數(shù)學(xué)大題精做專題06解析幾何中的定點(diǎn)、定值問題(第五篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題06解析幾何中的定點(diǎn)、定值問題類型對(duì)應(yīng)典例向量之積為定值典例1斜率為定值典例2斜率之和為定值典例3斜率之積為定值典例4坐標(biāo)為定值典例5面積為定值典例6直線恒過定點(diǎn)典例7圓恒過定點(diǎn)典例8【典例1】【四川省內(nèi)江市2019屆高三第三次模擬】已知橢圓：的離心率為，直線與圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，證明：為定值.【典例2】【北京市人大附中2019屆高三高考信息卷】已知橢圓離心率等于，、是橢圓上的兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足，試問直線的斜率是否為定值？如果為定值，請(qǐng)求出此定值；如果不是定值，請(qǐng)說明理由.【典例3】【陜西省咸陽市2020屆高三模擬檢測(cè)】已知點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若線段QN的垂直平分線MQ于點(diǎn)P.(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程(II)若A是軌跡E的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)D（-3，8）的直線l與軌跡E交于B，C兩點(diǎn)，求證：直線AB、AC的斜率之和為定值.【典例4】【河北省保定市2019屆高三4月第一次模擬】已知橢圓C:x2a2+y2（1）求橢圓C的方程；（2）已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，線段MN中點(diǎn)為P，問kMN?k【典例5】【江西省吉安市2019屆高三下學(xué)期第一次模擬】已知橢圓與圓：有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)、、分別是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)、左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)，三角形面積的最大值是．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在橢圓第一象限部分上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作圓的切線，過點(diǎn)作的垂線，求證：，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為定值．【典例6】【湖南省郴州市2019屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)】已知橢圓的離心率，且橢圓過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，判斷四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.【典例7】【北京市大興區(qū)2019屆高三4月一?！恳阎獧E圓的離心率為，M是橢圓C的上頂點(diǎn)，，F(xiàn)2是橢圓C的焦點(diǎn)，的周長(zhǎng)是6．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過動(dòng)點(diǎn)P（1，t）作直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|PA|=|PB|，過P作直線l，使l與直線AB垂直，證明：直線l恒過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)．【典例8】【2020屆吉林省遼源市田家炳高級(jí)中學(xué)友好學(xué)校第六十八屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考】已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于、兩點(diǎn)，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說明理由.【針對(duì)訓(xùn)練】1.【2020屆福建省福鼎一中高三第二次質(zhì)檢】過點(diǎn)的橢圓的離心率為，橢圓與軸交于兩點(diǎn)、，過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)點(diǎn)異于點(diǎn)時(shí)，求證：為定值.2.【河北省示范性高中2019屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，橢圓經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與橢圓交于兩個(gè)相異點(diǎn)，證明：面積為定值.3.【山東省泰安市2020屆模擬】圓O：x2+y2＝9上的動(dòng)點(diǎn)P在x軸、y軸上的射影分別是P1，P2，點(diǎn)M滿足．（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）點(diǎn)A（0，1），B（0，﹣3），過點(diǎn)B的直線與軌跡C交于點(diǎn)S，N，且直線AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求證：kAS?kAN為常數(shù)．4.【2020湖北省武漢市模擬】如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓（）的焦距等于其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，為橢圓的上、下頂點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于異于的兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值3．5．【山東省聊城市2019屆高三二?！恳阎詸E圓：的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形恰好是面積為4的正方形.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓交于異于橢圓頂點(diǎn)的，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，直線和直線的斜率之積為1，直線與軸交于點(diǎn).若直線，的斜率分別為，，試判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.6.【安徽省淮北市、宿州市2019屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】已知橢圓，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（直線不與軸垂直），已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．7.【河北省唐山市2019屆高三下學(xué)期第一次模擬】設(shè)橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，其離心率為，過的直線與C交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，證明：當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，點(diǎn)在以為直徑的圓上．8.【內(nèi)蒙古2019年呼和浩特市高三年級(jí)第二次質(zhì)量普查調(diào)研】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與的焦點(diǎn)重合且點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)（l）求橢圓方程；（2）過點(diǎn)任作兩條與橢圓相交且關(guān)于對(duì)稱的直線，與橢圓分別交于、兩點(diǎn)，求證：直線的斜率是定值備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題06解析幾何中的定點(diǎn)、定值問題類型對(duì)應(yīng)典例向量之積為定值典例1斜率為定值典例2斜率之和為定值典例3斜率之積為定值典例4坐標(biāo)為定值典例5面積為定值典例6直線恒過定點(diǎn)典例7圓恒過定點(diǎn)典例8【典例1】【四川省內(nèi)江市2019屆高三第三次模擬】已知橢圓：的離心率為，直線與圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，證明：為定值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意布列關(guān)于a，b的方程組，即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)的方程：.聯(lián)立方程可得，利用韋達(dá)定理表示，即可得到結(jié)果.【詳解】解：（1）∵橢圓的離心率為，∴,∵直線與圓相切，∴，∴，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)，，當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)的方程：.由得，，∴，，.當(dāng)直線與軸重合時(shí)，.∴故為定值.【典例2】【北京市人大附中2019屆高三高考信息卷】已知橢圓離心率等于，、是橢圓上的兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足，試問直線的斜率是否為定值？如果為定值，請(qǐng)求出此定值；如果不是定值，請(qǐng)說明理由.【思路引導(dǎo)】（1）由題意列式關(guān)于a，b，c的方程組，求解可得a，b的值，則橢圓C的方程可求；（2）設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為﹣k，PA的直線方程為y﹣3＝k（x﹣2）將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得x1+2，同理PB的直線方程為y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得x2+2，從而得出AB的斜率為定值．【詳解】解：（1）由題意可得，解得a＝4，b，c＝2．∴橢圓C的方程為；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)∠APQ＝∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為﹣k，直線PA的直線方程為y﹣3＝k（x﹣2），聯(lián)立，得（3+4k2）x2+8k（3﹣2k）x+4（3﹣2k）2﹣48＝0．∴．同理直線PB的直線方程為y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得．∴，，，∴AB的斜率為定值．【典例3】【陜西省咸陽市2020屆高三模擬檢測(cè)】已知點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若線段QN的垂直平分線MQ于點(diǎn)P.(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程(II)若A是軌跡E的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)D（-3，8）的直線l與軌跡E交于B，C兩點(diǎn)，求證：直線AB、AC的斜率之和為定值.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）線段的垂直平分線交于點(diǎn)P，所以，則為定值，所以P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，結(jié)合題中數(shù)據(jù)求出橢圓方程即可；（Ⅱ）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理，寫出化簡(jiǎn)可得定值.【詳解】解：（Ⅰ）由題可知，線段的垂直平分線交于點(diǎn)P，所以，則，所以P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)該橢圓方程為，則，所以，可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，過點(diǎn)D的直線斜率存在且不為0，故可設(shè)l的方程為，，由得，而由于直線過點(diǎn)，所以，所以（即為定值）【典例4】【河北省保定市2019屆高三4月第一次模擬】已知橢圓C:x2a2+y2（1）求橢圓C的方程；（2）已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，線段MN中點(diǎn)為P，問kMN?k【思路引導(dǎo)】（1）由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到橢圓半焦距，再由離心率求得a，由b=a2?（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為y=kx+m，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得P的坐標(biāo)，再由斜率公式求得OP的斜率，可得kMN【詳解】解：（1）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為1,0，∴橢圓C的半焦距為又橢圓的離心率e=ca=12，∴橢圓C的方程為x（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為y=kx+m，聯(lián)立y=kx+m3x2Δ>0即只需m2設(shè)Mx1,則x1+∴P?4km3+4k∴【典例5】【江西省吉安市2019屆高三下學(xué)期第一次模擬】已知橢圓與圓：有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)、、分別是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)、左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)，三角形面積的最大值是．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在橢圓第一象限部分上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作圓的切線，過點(diǎn)作的垂線，求證：，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為定值．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)橢圓與圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，以及橢圓和圓的對(duì)稱性，三角形面積的最大值是，可以求出的值，得到橢圓的方程．（2）設(shè)出坐標(biāo)，根據(jù)面積相等及勾股定理得到之間的等量關(guān)系，得到點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系，再由，將點(diǎn)坐標(biāo)用點(diǎn)坐標(biāo)表示出來，即可證明點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為定值．【詳解】（1）依題意，解得，所以橢圓的方程是．（2）設(shè)點(diǎn)，，則，設(shè)直線與圓的切點(diǎn)為，由幾何知識(shí)得到：，，所以?=，即+=，又因?yàn)?，所以，代入上式得：，所以，即為定值．【典?】【湖南省郴州市2019屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)】已知橢圓的離心率，且橢圓過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，判斷四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程組求解橢圓的方程；（2）寫出四邊形的面積表達(dá)式，結(jié)合表達(dá)式的特征進(jìn)行判斷.【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率，所以，即.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以.由，解得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為或，此時(shí)四邊形的面積為.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程是，聯(lián)立方程組，消去，得，，，，.，點(diǎn)到直線的距離是.由，得，.因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以有，整理得.由題意，四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為.由，得，故四邊形的面積是定值，其定值為.【典例7】【北京市大興區(qū)2019屆高三4月一模】已知橢圓的離心率為，M是橢圓C的上頂點(diǎn)，，F(xiàn)2是橢圓C的焦點(diǎn)，的周長(zhǎng)是6．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過動(dòng)點(diǎn)P（1，t）作直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|PA|=|PB|，過P作直線l，使l與直線AB垂直，證明：直線l恒過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由題得到關(guān)于a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）當(dāng)直線AB斜率存在，設(shè)AB的直線方程為，進(jìn)一步求出直線的方程為，所以直線恒過定點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線為軸，也過.綜上所述直線恒過點(diǎn).【詳解】解：（Ⅰ）由于是橢圓的上頂點(diǎn)，由題意得，又橢圓離心率為，即，解得，，又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）當(dāng)直線AB斜率存在，設(shè)AB的直線方程為，聯(lián)立，得，由題意，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)．即，得，①又，l的斜率為，直線的方程為②把①代入②可得：所以直線恒過定點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線為軸，也過.綜上所述直線恒過點(diǎn).【典例8】【2020屆吉林省遼源市田家炳高級(jí)中學(xué)友好學(xué)校第六十八屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考】已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于、兩點(diǎn)，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說明理由.【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的頂點(diǎn)公式求解即可.(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,列出韋達(dá)定理,并根據(jù)直線與圓相切得出的關(guān)系式,代入證明即可.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率,所以,即.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),所以,所以.所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)橹本€的斜率存在且不為零.故設(shè)直線的方程為.由消去,得,所以設(shè),則.所以.所以.①因?yàn)橹本€和圓相切,所以圓心到直線的距離,整理,得,②將②代入①,得,顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)綜上可知,以為直徑的圓過定點(diǎn).【針對(duì)訓(xùn)練】1.【2020屆福建省福鼎一中高三第二次質(zhì)檢】過點(diǎn)的橢圓的離心率為，橢圓與軸交于兩點(diǎn)、，過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)點(diǎn)異于點(diǎn)時(shí)，求證：為定值.【思路引導(dǎo)】（1）先求出橢圓方程，當(dāng)直線過橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，寫出直線的方程，并和橢圓聯(lián)立方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求得線段的長(zhǎng)；（2）設(shè)出直線的方程，并和橢圓聯(lián)立方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線與直線的方程，并解此方程組，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由已知得，得，橢圓的方程為，橢圓的右焦點(diǎn)為，此時(shí)直線的方程為，由，解得，；（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)與題意不符，所以直線與軸不垂直，即直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為代入橢圓的方程，化簡(jiǎn)得，解得，代入直線的方程，得，所以，的坐標(biāo)為，又直線的方程為，直線方程為，聯(lián)立解得，即，而的坐標(biāo)為，，即為定值.2.【河北省示范性高中2019屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，橢圓經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與橢圓交于兩個(gè)相異點(diǎn)，證明：面積為定值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)橢圓的離心率和把過的點(diǎn)代入橢圓方程，根據(jù)得到的式子求出.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易得的面積，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為，與橢圓相切，得到和的關(guān)系，再由直線和橢圓聯(lián)立方程組，得到、，利用弦長(zhǎng)公式表示出，再得到和的關(guān)系，由到的距離，得到到的距離，從而計(jì)算出的面積.得到結(jié)論為定值.【詳解】（1）解：因?yàn)榈碾x心率為，所以，解得.①將點(diǎn)代入，整理得.②聯(lián)立①②，得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)為或，由對(duì)稱性不妨取，由（1）知橢圓的方程為，所以有.將代入橢圓的方程得，所以.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，將代入橢圓的方程得，由題意得，整理得.將代入橢圓的方程，得.設(shè)，，則，，所以.設(shè)，，，則可得，.因?yàn)椋?，解得（舍去），所以，從?又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，綜上，的面積為定值.3.【山東省泰安市2020屆模擬】圓O：x2+y2＝9上的動(dòng)點(diǎn)P在x軸、y軸上的射影分別是P1，P2，點(diǎn)M滿足．（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）點(diǎn)A（0，1），B（0，﹣3），過點(diǎn)B的直線與軌跡C交于點(diǎn)S，N，且直線AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求證：kAS?kAN為常數(shù)．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)，，，根據(jù)向量關(guān)系，用的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)后，將的坐標(biāo)代入圓的方程可得的軌跡方程；（2）設(shè)出直線的方程并代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及斜率公式得為常數(shù).【詳解】（1）設(shè)P（x0，y0），M（x，y），則＝（x0，0），＝（0，y0），由．得代入x02+y02＝9，所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為.（2）當(dāng)SN的斜率不存在時(shí)，AS，AN的斜率也不存在，故不適合題意；當(dāng)SN的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線SN的方程為y＝kx﹣3代入橢圓方程整理得（1+4k2）x2﹣24kx+32＝0，△＞0?k2＞2設(shè)S（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2＝，x1x2＝，則kAS?kAN＝＝，故kAS?kAN為常數(shù).4.【2020湖北省武漢市模擬】如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓（）的焦距等于其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，為橢圓的上、下頂點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于異于的兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值3．【思路引導(dǎo)】（1）由得，再根據(jù)焦距等于其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)可求，故可得橢圓的方程.（2）設(shè)直線方程為，，【詳解】解：（1）由題意可知：,，又，有，故橢圓的方程為：．（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，用的橫坐標(biāo)表示的縱坐標(biāo)，再聯(lián)立的方程和橢圓的方程，消去得，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)的縱坐標(biāo)后可得所求的定值.設(shè)（），聯(lián)立直線方程和橢圓方程得，消去得，,，且有，又，，由得，故，整理得到，故．故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3．5．【山東省聊城市2019屆高三二?！恳阎詸E圓：的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形恰好是面積為4的正方形.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓交于異于橢圓頂點(diǎn)的，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，直線和直線的斜率之積為1，直線與軸交于點(diǎn).若直線，的斜率分別為，，試判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.【思路引導(dǎo)】（1）由題意可得到，求解即可得出橢圓方程；（2）先設(shè)，，則，，根據(jù)，得到，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出，，進(jìn)而可求出的值，得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形恰好是面積為4的正方形，所以，解得.所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，，則，，因?yàn)?，所以，?lián)立，消，得，所以，，所以，直線的方程為：，令，由，得，所以，，所以.所以為定值0.6.【安徽省淮北市、宿州市2019屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】已知橢圓，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)