基于數(shù)學概念學習理論優(yōu)化高中概念教學

一、教材分析在函數(shù)性質的單元教學中，重點要學習函數(shù)的單調性和奇偶性。單調性是函數(shù)基本性質中的重要概念，它描述了函數(shù)值如何隨著自變量的變化而變化。函數(shù)的奇偶性是另一個基本的函數(shù)性質，與單調性不同，它不涉及函數(shù)的局部變化，而是關注函數(shù)的對稱性。函數(shù)的奇偶性可以通過數(shù)學符號和函數(shù)圖象來描述，它決定了函數(shù)圖象的對稱特征，并且在解決特定問題時非常有用?？偟膩碚f，單調性和奇偶性是函數(shù)的兩個基本性質，它不僅聯(lián)系著初高中數(shù)學的知識點，而且對培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和核心素養(yǎng)至關重要。二、學情分析在中學階段，學生已通過解析式、列表和繪圖等方法研究了函數(shù)性質，但沒有用符號語言進行規(guī)范描述。學生還需持續(xù)學習歸納函數(shù)的基本屬性，從宏觀角度對函數(shù)性質形成全面的認知。三、教學目標1.學會如何用數(shù)學語言表示函數(shù)的單調性；知道函數(shù)定義域內的特點區(qū)間是函數(shù)單調性成立的必備條件；掌握推導函數(shù)單調區(qū)間的具體方法，準確辨別增函數(shù)與減函數(shù)之間的區(qū)別。2.把握單調性的含義，并運用邏輯性的符號來進行函數(shù)單調性的論證；總結并熟練掌握證明函數(shù)單調性的流程。3.采用數(shù)形結合的方法，讓學生掌握用符號來定量描述函數(shù)奇偶性，并理解這是對函數(shù)定義域整體性質的描述；綜合考查函數(shù)圖象的整體形態(tài)。4.明確偶函數(shù)、奇函數(shù)、既奇又偶函數(shù)以及非奇非偶函數(shù)之間的區(qū)別。5.構建涵蓋函數(shù)奇偶性的知識體系，讓學生明確本階段教學的重要性，從而產(chǎn)生學習的內生動力。6.創(chuàng)設數(shù)學情境，用引導教學法教學生解決實際問題，以增強學生整體的數(shù)學素養(yǎng)。四、教學重難點1.函數(shù)單調性教學重點：掌握函數(shù)單調性的具體內容，能證明函數(shù)具有單調性。教學難點：用符號邏輯深入解釋函數(shù)單調性的概念，并用此概念進行邏輯推理，證明函數(shù)的單調性。2.函數(shù)奇偶性教學重點：掌握函數(shù)奇偶性的具體內容；學會證明函數(shù)奇偶性。教學難點：利用符號邏輯深入解釋函數(shù)奇偶性的概念，并用此概念進行邏輯推理，證明函數(shù)的奇偶性。五、教學課時兩課時六、教學過程第一課時函數(shù)的單調性（一）情境導入我們之前探討過函數(shù)的基本概念及其表達方式，現(xiàn)在我們將一同研究函數(shù)的特性，首先我們繪制三個函數(shù)的圖象：f（x）=x，g（x）=，h（x）=x2。師：觀察函數(shù)圖象，你發(fā)現(xiàn)了哪些特點？生1：函數(shù)f（x）是一條上升的直線，而函數(shù)g（x）是一條下降的直線，函數(shù)h（x）則先是下降后上升。師：在初中階段，對于上升和下降的趨勢，我們該如何表述呢？生2：當y隨著x的增加而增加時，我們稱之為上升；而當y隨著x的增加而減少時，我們稱之為下降。師：那么，如何描述函數(shù)f（x）中x的增加呢？生3：x的數(shù)值變大就是增加，x的數(shù)值變小就是減小。師：那么這個x數(shù)值增加到超過f（x）的定義域也可以嗎？沒有對比值也能比較出大小嗎？生4：不行，超出定義域范圍都不行。還需要一個對比值。師：所以誰來總結一下？生5：在函數(shù)f（x）的定義域內，對于任意的x1和x2，如果x1＜x2，那么f（x1）＜f（x2）。師：對于函數(shù)g（x）=的圖象，y是否隨著x的增加而減小，在不同區(qū)間上的單調性呢？生6：因為函數(shù)g（x）=的定義域是x≠0，圖象可以分為兩部分。在（-∞，0）上，y隨著x的增加而減??；在（0，+∞）上，y同樣隨著x的增加而減小。師：對于函數(shù)h（x），如何在區(qū)間（0，+∞）上描述y隨著x的增加而增加呢？生7：取任意的x1和x2屬于（0，+∞），我們有h（x1）=x12和h（x2）=x22。當x1＜x2時，我們可以看到h（x1）＜h（x2）。（設計意圖：首先通過直觀的幾何圖象讓學生感受函數(shù)的動態(tài)變化，然后用文字語言闡釋這些變化，最后再引入符號語言，讓學生在多種表達方式中深刻理解函數(shù)的本質，深化對函數(shù)單調性的理解，促進學生數(shù)學抽象思維的形成。最終，全面提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。）（二）抽象構建師：請用符號語言定義單調增函數(shù)。生8：如果函數(shù)f（x）的定義域為1，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），則稱函數(shù)f（x）為單調增函數(shù)，區(qū)間D為函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間。教師追問：任何區(qū)間內都是這樣嗎？這樣說準確嗎？學生補充：如果函數(shù)f（x）的定義域為1，且在區(qū)間D？哿1上，對于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），則稱函數(shù)f（x）為單調增函數(shù)，區(qū)間D為函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間。師：請用符號語言定義單調減函數(shù)。生9：如果函數(shù)f（x）的定義域為I，且在區(qū)間D？哿1上，對于任意x1，x2∈D，且x1＞x2，都有f（x1）＞f（x2）則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上為單調減函數(shù)，區(qū)間D為函數(shù)（f）x的單調減區(qū)間。師：函數(shù)g（x）=1的減區(qū)間（-∞，0）∪（0，+∞），那么g（x）=1在（-∞，0）∪（0，+∞）上是否為減函數(shù)？生10：不正確。因為g（x）=1是一個常數(shù)函數(shù)，它在任何區(qū)間上的導數(shù)都為0，所以它既不是單調增函數(shù)，也不是單調減函數(shù)。它在整個定義域上都是常數(shù)函數(shù)，不具有單調性。（設計意圖：讓學生在抽象與具體的交界處，把握函數(shù)單調性的精髓。通過引導他們用符號語言表達這一概念，激發(fā)學生從個別到一般、從具體到抽象的思考模式。）（三）隨堂小測師：請利用定義證明函數(shù)f（x）=的單調性，并指出它的單調區(qū)間。（設計意圖：運用“定義法”清晰展示了學生的邏輯思維過程，讓學生進一步感受數(shù)學學科的嚴謹性。）（四）總結分享師：通過學習，同學們有什么收獲？在今天的學術探索中，你汲取了哪些智慧的甘露？請慷慨地分享你的見解與領悟。第二課時函數(shù)的奇偶性（一）情境重構師：下列各圖形（見圖1）展現(xiàn)了哪些獨特的美？生1：軸對稱的美。師：回顧你所學的函數(shù)圖象，哪些是軸對稱的？生2：如f（x）=x2，g（x）=x2+1，h（x）=x等的函數(shù)圖象。（設計意圖：借助軸對稱圖形這種導入方式，自然地過渡到偶函數(shù)圖象的討論。這既符合學生的認知規(guī)律，又能有效地激發(fā)他們對函數(shù)圖象性質的探究興趣。）（二）分析與構建師：深入觀察函數(shù)f（x）=x2和g（x）=x的圖象，它們之間有什么共性？生3：這些圖象都展現(xiàn)出了關于y軸的對稱性。師：比較f（1）和f（-1），以及f（2）和f（-2），還有f（3）和f（-3）的數(shù)值，它們之間有何聯(lián)系？生4：無論自變量是正數(shù)還是其相反數(shù)，對應的函數(shù)值是相等的。師：思考上述觀察是否具有普遍性，即f（-x）是否總是等于f（x）。生5：通過分析，我們發(fā)現(xiàn)對于所有x值，f（-x）總是等于f（x），這表明函數(shù)f（x）是一個偶函數(shù)。師：基于以上發(fā)現(xiàn)，我們能否推斷出一般性的結論：即對于任意函數(shù)y=f（x），如果它的圖象關于y軸對稱，那么f（-x）必然等于f（x）嗎？生6：我覺得可以。教師小結：偶函數(shù)圖象的特性體現(xiàn)在它們關于y軸鏡像對稱。這種對稱性意味著圖象上的每個點都有一個在y軸另一側的對稱點?；谶@樣的圖象特征，我們可以正式提出偶函數(shù)的概念?？紤]一個定義在集合I上的函數(shù)f（x），我們稱f（x）為偶函數(shù)，當且僅當對于I中任意一個元素x，其相反數(shù)-x也屬于I，并且f（-x）的值等于f（x）的值。師：通過觀察函數(shù)f（x）=x和g（x）=的圖象，我們可以識別它們共享的顯著特征。它們分別具有哪些獨特的圖形屬性？（明確：這兩個函數(shù)的圖象都展現(xiàn)了關于原點的對稱性。）師：參照偶函數(shù)的研究方法，我們來計算f（1）和f（-1）、以及f（2）和f（-2）、還有f（3）和f（-3）的函數(shù)值，并探討它們之間的關系。（明確：當自變量互為相反數(shù)時，因變量的符號也會互為相反數(shù)。）師：現(xiàn)在我們來分析這些問題是否具有普遍性，f（-x）=-f（x）是否總是成立？生7：通過驗證，得出結論：f（-x）=-x確實等于-f（x），這一等式普遍成立。師：基于以上發(fā)現(xiàn)，我們能否推廣出一般性的結論，即對于任意函數(shù)y=f（x），如果它的圖象關于原點對稱，那么f（-x）必然等于-f（x）？生8：是的。對于任何關于原點對稱的函數(shù)圖象，都滿足f（-x）=-f（x）的性質，這也是奇函數(shù)的一個重要特征。（設計意圖：通過研究具體的函數(shù)和它們的圖象，識別并總結偶函數(shù)的一般特點。這個過程不僅鞏固了研究函數(shù)性質的方法，而且展現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學思想。隨后，采用類比教學加深了學生對函數(shù)奇偶性的理解，培養(yǎng)學生解決問題的能力及運用已有的知識去發(fā)現(xiàn)新知識的能力。）（三）深化理解師：深入理解偶函數(shù)和奇函數(shù)的概念，涉及函數(shù)f（x）的定義域I。在這個定義域中，對于任意的x值，都必須滿足-x也屬于I，這一條件說明了偶函數(shù)和奇函數(shù)的定義域具有什么共同特征。師：在函數(shù)單調性的學習中，我們了解到單調性關注的是函數(shù)的