高中數(shù)學(xué)選擇性必修二課件：4 3 1 第2課時 等比數(shù)列的應(yīng)用及性質(zhì)(人教A版)

第四章

4.3.1等比數(shù)列的概念第2課時等比數(shù)列的應(yīng)用及性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.理解復(fù)利計算方法，能解決存款利息的有關(guān)計算方法.2.通過建立數(shù)列模型并應(yīng)用數(shù)列模型解決生活中的實際問題.3.理解等比數(shù)列的常用性質(zhì).4.掌握等比數(shù)列的判斷及證明方法.內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE知識點一實際應(yīng)用題常見的數(shù)列模型1.儲蓄的復(fù)利公式：本金為a元，每期利率為r，存期為n期，則本利和y＝a(1＋r)n.2.總產(chǎn)值模型：基數(shù)為N，平均增長率為p，期數(shù)為n，則總產(chǎn)值y＝N(1＋p)n.知識點二等比數(shù)列的常用性質(zhì)設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則：(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則

.(2)若m，p，n成等差數(shù)列，則

成等比數(shù)列.(3)在等比數(shù)列{an}中，連續(xù)取相鄰k項的和(或積)構(gòu)成公比為qk(或)的等比數(shù)列.ak·al＝am·anam，ap，anpq1.某細菌培養(yǎng)過程中，每15分鐘分裂1次，經(jīng)過2小時，這種細菌由1個繁殖成A.64 B.128 C.256 D.255解析某細菌培養(yǎng)過程中，每15分鐘分裂1次，經(jīng)過2小時，共分裂8次，所以經(jīng)過2小時，這種細菌由1個繁殖成28＝256.√預(yù)習(xí)小測自我檢驗YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN2.已知{an}，{bn}都是等比數(shù)列，那么A.{an＋bn}，{anbn}都一定是等比數(shù)列B.{an＋bn}一定是等比數(shù)列，但{anbn}不一定是等比數(shù)列C.{an＋bn}不一定是等比數(shù)列，但{anbn}一定是等比數(shù)列D.{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比數(shù)列解析當(dāng)兩個數(shù)列都是等比數(shù)列時，這兩個數(shù)列的和不一定是等比數(shù)列，比如取兩個數(shù)列是互為相反數(shù)的數(shù)列，兩者的和就不是等比數(shù)列.兩個等比數(shù)列的積一定是等比數(shù)列.√2.已知{an}，{bn}都是等比數(shù)列，那么A.{an＋bn}，{anbn}都一定是等比數(shù)列B.{an＋bn}一定是等比數(shù)列，但{anbn}不一定是等比數(shù)列C.{an＋bn}不一定是等比數(shù)列，但{anbn}一定是等比數(shù)列D.{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比數(shù)列解析當(dāng)兩個數(shù)列都是等比數(shù)列時，這兩個數(shù)列的和不一定是等比數(shù)列，比如取兩個數(shù)列是互為相反數(shù)的數(shù)列，兩者的和就不是等比數(shù)列.兩個等比數(shù)列的積一定是等比數(shù)列.√3.某儲蓄所計劃從2018年底起，力爭做到每年的吸蓄量比前一年增加8%，則到2021年底該儲蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加A.24% B.32%

C.1.083－1 D.1.084－1解析設(shè)2018年儲蓄量為a

，根據(jù)等比數(shù)列通項公式得2019年儲蓄量為a(1＋0.08)＝1.08a，2020年儲蓄量為a(1＋0.08)(1＋0.08)＝1.082a，2021年儲蓄量為a(1＋0.08)(1＋0.08)(1＋0.08)＝1.083a，所以2021年底該儲蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加了√＝1.083－1.4.已知等比數(shù)列{an}共有10項，其中奇數(shù)項之積為2，偶數(shù)項之積為64，則其公比是解析奇數(shù)項之積為2，偶數(shù)項之積為64，得a1a3a5a7a9＝2，√2題型探究PARTTWO一、數(shù)列的實際應(yīng)用例1

某人買了一輛價值13.5萬元的新車，專家預(yù)測這種車每年按10%的速度貶值.(1)用一個式子表示n(n∈N*)年后這輛車的價值；解從第一年起，每年車的價值(萬元)依次設(shè)為：a1，a2，a3，…，an，由題意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比數(shù)列的定義，知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.∴n年后車的價值為an＋1＝(13.5×0.9n)萬元.解從第一年起，每年車的價值(萬元)依次設(shè)為：a1，a2，a3，…，an，由題意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比數(shù)列的定義，知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.∴n年后車的價值為an＋1＝(13.5×0.9n)萬元.(2)如果他打算用滿4年時賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？解由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(萬元)，∴用滿4年時賣掉這輛車，大概能得到8.9萬元.反思感悟等比數(shù)列實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是：建立數(shù)學(xué)模型即將實際問題轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的問題，解數(shù)學(xué)模型即解等比數(shù)列問題.跟蹤訓(xùn)練1

有純酒精a(a>1)升，從中取出1升，再用水加滿，然后再取出1升，再用水加滿，如此反復(fù)進行，則第九次和第十次共取出純酒精_____________升.則第九次和第十次共取出純酒精數(shù)量為二、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用例2

已知{an}為等比數(shù)列.解在等比數(shù)列{an}中，(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；即(a6＋a8)2＝49，∵an>0，∴a6＋a8＝7.(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.解由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.反思感悟利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題(1)基本思路：充分發(fā)揮項的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用，分析等比數(shù)列項與項之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題.(2)優(yōu)缺點：簡便快捷，但是適用面窄，有一定的思維含量.跟蹤訓(xùn)練2

(1)公比為

的等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且a3a11＝16，則log2a16等于A.4 B.5 C.6 D.7√又因為an>0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，即log2a16＝5.(2)已知在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6＝_____.解析方法一因為{an}是等比數(shù)列，所以a2＝所以a8＝三、等比數(shù)列的判定與證明例3

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值；解因為Sn＝2an＋n－4，所以當(dāng)n＝1時，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.(2)若bn＝an－1，試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.證明因為Sn＝2an＋n－4，所以當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1＋n－1－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以數(shù)列{bn}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.反思感悟判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法(2)通項公式法：若數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(3)等比中項法：若

＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(4)構(gòu)造法：在條件中出現(xiàn)an＋1＝kan＋b關(guān)系時，往往構(gòu)造數(shù)列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)與an＋1＝kan＋b對照，求出x即可.跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知各項均不為0的數(shù)列{an}中，a1，a2，a3成等差數(shù)列，a2，a3，a4成等比數(shù)列，a3，a4，a5的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：a1，a3，a5成等比數(shù)列.證明由已知，有2a2＝a1＋a3，

①即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3).又a1，a3，a5均不為0，∴a1，a3，a5成等比數(shù)列.解依題意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，3隨堂演練PARTTHREE1.在等比數(shù)列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，則公比q等于√又因為a1<0，a2>0，所以q<0.12345123452.在等比數(shù)列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，則

的值為A.4 B.2 C.－2 D.－4√3.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，則a1·a15的值為A.100 B.－100C.10000 D.－1000012345√12345A.－3 B.－1 C.1 D.9√√即a1q2＝3a1＋2a1q，∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.解得q＝3或q＝－1.5.某工廠2020年1月的生產(chǎn)總值為a萬元，計劃從2020年2月起，每月生產(chǎn)總值比上一個月增長m%，那么到2021年8月底該廠的生產(chǎn)總值為____________萬元.12345a(1＋m%)1912345解析設(shè)從2020年1月開始，第n個月該廠的生產(chǎn)總值是an萬元，則an＋1＝an＋anm%，∴數(shù)列{an}是首項a1＝a，公比q＝1＋m%的等比數(shù)列.∴an＝a(1＋m%)n－1.∴2021年8月底該廠的生產(chǎn)總值為a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(萬元).1.知識清單：(1)等比數(shù)列的實際應(yīng)用.(2)等比數(shù)列的常用性質(zhì).(3)等比數(shù)列的判定和證明.2.方法歸納：方程和函數(shù)思想.3.常見誤區(qū)：不注重運用性質(zhì)，使解題過程煩瑣或者性質(zhì)運用不正確而出錯.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時對點練PARTFOUR基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√2.在等比數(shù)列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，則a5等于A.2 B.－2 C.±2 D.412345678910111213141516√解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，∴a3＝1，a7＝4，∴a5＝2.解析因為a4a8＝a5a7＝3a7且a7≠0，所以a5＝3，3.設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a4a8＝3a7，則log3(a1a2·…·a9)等于A.38 B.39 C.9 D.712345678910111213141516√√解析因為a2＋a4＋a6＋a8＝q(a1＋a3＋a5＋a7)，123456789101112131415165.(多選)設(shè){an}是等比數(shù)列，有下列四個命題，其中正確的是√12345678910111213141516√√123456789101112131415166.已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝3，a10＝384，則該數(shù)列的通項公式an＝________.123456789101112131415163×2n－3解析由已知得a10＝a3·q7＝3·q7＝384，所以q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a3·qn－3＝3×2n－3.7.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a3＋a5＝π，則a4(a2＋2a4＋a6)＝___.解析因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a3＋a5＝π，所以a4(a2＋2a4＋a6)π212345678910111213141516＝(a3＋a5)2＝π2.123456789101112131415162且數(shù)列{nan＋1}是等比數(shù)列，2a2＋1＝3＋1＝4,3a3＋1＝7＋1＝8，所以數(shù)列{nan＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以nan＋1＝2n，123456789101112131415169.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值.解∵{an}為等比數(shù)列，∴a1·a9＝a3·a7＝64.又∵a3＋a7＝20，∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.123456789101112131415161234567891011121314151610.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；解∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.12345678910111213141516(2)若數(shù)列{an}的前三項和為168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中項.12345678910111213141516解設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a2－a5＝42，∴q≠1.∴a5，a7的等比中項為±3.11.設(shè){an}是首項為a1，公差為－1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和.若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1等于綜合運用√12345678910111213141516解析因為{an}是首項為a1，公差為－1的等差數(shù)列，12345678910111213141516代入可得(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，12.等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，前n項的積為Tn，若T13＝4T9，則a8a15等于A.±2 B.±4 C.2 D.412345678910111213141516√解析∵T13＝4T9，∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.又∵{an}為遞減數(shù)列，∴q>0，∴a8a15＝2.123456789101112131415161234567891011121314151613.在等比數(shù)列{an}中，若a7＝－2，則此數(shù)列的前13項之積等于_____.解析由于{an}是等比數(shù)列，－213而a7＝－2.∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.12345678910111213141516102412345678910111213141516所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝所以當(dāng)n＝4或n＝5時，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值為210＝1