高中數(shù)學選擇性必修二課件：5 2 3 簡單復合函數(shù)的導數(shù)(人教A版)

5.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)第五章§5.2導數(shù)的運算1.進一步運用導數(shù)公式和導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù).2.了解復合函數(shù)的概念，掌握復合函數(shù)的求導法則.學習目標同學們，大家有沒有過網(wǎng)購的經(jīng)歷？大家一定有過這樣的感受，即便你知道你買的什么東西，但當你拆開包裝袋的時候，一樣能給你帶來無限的期盼與喜悅，猶如“撥開云霧見天日，守得云開見月明”，在我們數(shù)學上，也有一樣讓我們期盼的例子，那就是我們今天要學習的復合函數(shù).導語隨堂演練課時對點練一、復合函數(shù)概念的理解二、求復合函數(shù)的導數(shù)三、復合函數(shù)的導數(shù)的應用內(nèi)容索引一、復合函數(shù)概念的理解問題1函數(shù)y＝ln(2x－1)是如何構(gòu)成的？提示y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占據(jù)”了對數(shù)函數(shù)y＝lnx中x的位置，f(x)＝lnx，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，這里有代入、代換的思想，則函數(shù)y＝ln(2x－1)是由內(nèi)層函數(shù)為冪函數(shù)的線性組合和外層函數(shù)為對數(shù)函數(shù)復合而成，是復合函數(shù)，而函數(shù)y＝(2x－1)lnx不是復合函數(shù)，它只是兩個函數(shù)相乘的關(guān)系，沒有代入、代換的意思.知識梳理復合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數(shù)，記作y＝

.注意點：內(nèi)、外層函數(shù)通常為基本初等函數(shù).f(g(x))例1

(多選)下列哪些函數(shù)是復合函數(shù)A.y＝xlnx B.y＝(3x＋6)2C.y＝esinx D.y＝√√√解析A不是復合函數(shù)；BCD都是復合函數(shù).反思感悟若f(x)與g(x)均為基本初等函數(shù)，則函數(shù)y＝f(g(x))或函數(shù)y＝g(f(x))均為復合函數(shù).反思感悟若f(x)與g(x)均為基本初等函數(shù)，則函數(shù)y＝f(g(x))或函數(shù)y＝g(f(x))均為復合函數(shù).√√√二、求復合函數(shù)的導數(shù)問題2

如何求函數(shù)y＝sin2x的導數(shù)？提示y＝2sinxcosx，由兩個函數(shù)相乘的求導法則可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x；從整體上來看，外層函數(shù)是基本初等函數(shù)y＝sinu，它的導數(shù)y′＝cosu，內(nèi)層函數(shù)是冪函數(shù)的線性組合u＝2x，它的導數(shù)是u′＝2，發(fā)現(xiàn)y′x＝y(tǒng)′u·u′x.知識梳理復合函數(shù)的求導法則一般地，對于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為y′x＝

，即y對x的導數(shù)等于

.注意點：(1)中間變量的選擇應是基本初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)；(2)求導由外向內(nèi)，并保持對外層函數(shù)求導時，內(nèi)層不變的原則；(3)求每層函數(shù)的導數(shù)時，注意分清是對哪個變量求導.y′u·u′xy對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積例2

求下列函數(shù)的導數(shù)：所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.例2

求下列函數(shù)的導數(shù)：所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.(2)y＝cos(x2)；解令u＝x2，則y＝cosu，所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝－sinu·2x＝－2xsin(x2).(3)y＝log2(2x＋1)；解設y＝log2u，u＝2x＋1，(4)y＝e3x＋2.解設y＝eu，u＝3x＋2，則y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.反思感悟(1)求復合函數(shù)的導數(shù)的步驟(2)求復合函數(shù)的導數(shù)的注意點：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導時分清是對哪個變量求導；③計算結(jié)果盡量簡潔.跟蹤訓練2

求下列函數(shù)的導數(shù)：解y＝

，設y＝

，u＝1－2x，則y′x＝＝

·(－2)＝

.(2)y＝5log2(1－x)；解函數(shù)y＝5log2(1－x)可看作函數(shù)y＝5log2u和u＝1－x的復合函數(shù)，所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′三、復合函數(shù)的導數(shù)的應用例3

某港口在一天24小時內(nèi)潮水的高度近似滿足關(guān)系式s(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數(shù)在t＝18時的導數(shù)，并解釋它的實際意義.將t＝18代入s′(t)，反思感悟?qū)秃虾瘮?shù)的求導與導數(shù)的實際意義結(jié)合，函數(shù)在某點處的導數(shù)反映了函數(shù)在該點的瞬時變化率，體現(xiàn)導數(shù)揭示物體在某時刻的變化狀況.跟蹤訓練3

已知某質(zhì)點的位移s與位移時間t滿足s＝tet－1，則質(zhì)點在t＝1時的瞬時速度為________.2解析s′＝(t＋1)et－1，當t＝1時，s′(1)＝2.1.知識清單：(1)復合函數(shù)的概念.(2)復合函數(shù)的求導法則.(3)復合函數(shù)的導數(shù)的應用.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：求復合函數(shù)的導數(shù)時不能正確分解函數(shù)；求導時不能分清是對哪個變量求導；計算結(jié)果復雜化.課堂小結(jié)隨堂演練12341.(多選)函數(shù)y＝(x2－1)n的復合過程正確的是A.y＝un，u＝x2－1 B.y＝(u－1)n，u＝x2C.y＝tn，t＝(x2－1)n D.t＝x2－1,y＝tn√√12342.函數(shù)y＝(2021－8x)3的導數(shù)y′等于A.3(2021－8x)2 B.－24xC.－24(2021－8x)2 D.24(2021－8x)2√解析y′＝3(2021－8x)2×(2021－8x)′＝3(2021－8x)2×(－8)＝－24(2021－8x)2.1234√12344.設曲線y＝eax在點(0,1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝_____.2解析易知y′＝aeax，y′|x＝0＝ae0＝a，課時對點練基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√√√12345678910111213141516解析A不是復合函數(shù)，B，C，D均是復合函數(shù)，D由y＝u4，u＝2x＋3復合而成.12345678910111213141516√12345678910111213141516√解析∵y＝xln(2x＋5)，123456789101112131415164.函數(shù)y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，則a等于A.1 B.2 C.3 D.4√解析y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，則y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(負舍).123456789101112131415165.曲線y＝2xex－2在點(2,4)處切線的斜率等于A.2e B.e C.6 D.2√解析∵y＝2xex－2，∴y′＝2ex－2＋2xex－2，∴k＝y(tǒng)′|x＝2＝2e0＋4e0＝6，故選C.12345678910111213141516√√√12345678910111213141516對于B，y＝sinx2，則y′＝2xcosx2，故正確；對于C，y＝cos5x，則y′＝－5sin5x，故錯誤；123456789101112131415167.質(zhì)點M按規(guī)律s(t)＝(2t＋1)2

做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，則質(zhì)點M在t＝2時的瞬時速度為______m/s.20解析∵s(t)＝(2t＋1)2，∴s′(t)＝2(2t＋1)×2＝8t＋4，則質(zhì)點在t＝2時的瞬時速度為s′(2)＝8×2＋4＝20(m/s).123456789101112131415168.已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為_____.2解析設直線y＝x＋1切曲線y＝ln(x＋a)于點(x0，y0)，則y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.123456789101112131415169.求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝ln(ex＋x2)；解令u＝ex＋x2，則y＝lnu.12345678910111213141516(2)y＝102x＋3；解令u＝2x＋3，則y＝10u，∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝10u·ln10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln10.(3)y＝sin4x＋cos4x.∴y′＝－sin4x.12345678910111213141516解設y＝

，u＝1－x2，則y′x＝＝

·(－2x)＝

.12345678910111213141516(5)y＝sin2xcos3x；解∵y＝sin2xcos3x，∴y′＝(sin2x)′cos3x＋sin2x(cos3x)′＝2cos2xcos3x－3sin2xsin3x.(6)y＝x3ecosx.解y′＝(x3)′ecosx＋x3(ecosx)′＝3x2ecosx＋x3ecosx·(cosx)′＝3x2ecosx－x3ecosxsinx.1234567891011121314151610.曲線y＝esinx在點(0,1)處的切線與直線l平行，且與l的距離為

，求直線l的方程.12345678910111213141516解∵y＝esinx，∴y′＝esinxcosx，∴y′|x＝0＝1.∴曲線y＝esinx在點(0,1)處的切線方程為y－1＝x，即x－y＋1＝0.又直線l與x－y＋1＝0平行，故直線l可設為x－y＋m＝0(m≠1).∴直線l的方程為x－y－1＝0或x－y＋3＝0.123456789101112131415綜合運用16√12345678910111213141516解析依題意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.所以曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在平面直角坐標系中作出直線y＝－2x＋2，y＝0與y＝x的圖象，如圖所示.直線y＝－2x＋2與x軸的交點坐標是(1,0)，12345678910111213141516所以結(jié)合圖象可得，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析設曲線y＝ln(2x－1)在點(x0，y0)處的切線與直線2x－y＋3＝0平行.解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切點坐標為(1,0).12345678910111213141516√√12345678910111213141516所以y′∈[－1,0)，所以tanα∈[－1,0).12345678910111213141516拓廣探究1234567891011121314151615.設函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導，其導函數(shù)為f′(x)，且f(lnx)＝2x－lnx，則f′(1)＝________.2e－1解析因為f(lnx)＝2x－lnx，令t＝lnx，則x＝et，所以f(t)＝2et－t，即f(x)＝2ex－x，所以f′(x)＝2ex－1，因此f′(1)＝2e－1.12345678910111213141516解∵f(x)＝eπxsinπx，∴f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcosπx＝πeπx(sinπx＋cosπx).12345678910111213141516解設切點坐標為P(x0，y0)，由題意可知

＝0.解得x0＝0，此時y0＝1.即切點坐標為P(0,1)，切線方程為y－1＝0.備用工具&資料12345678910111213141516解∵f(x)＝eπxsinπx，∴f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcosπx＝πeπx(sinπx＋cosπx).123456789101112