
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
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文檔簡介
7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列第一課時(shí)離散型隨機(jī)變量課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過具體實(shí)例,了解離散型隨機(jī)變量的概念.2.了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.通過研究離散型隨機(jī)變量的概念,提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究在奧運(yùn)射擊運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員射擊一次,可能出現(xiàn)命中0環(huán),命中1環(huán),……,命中10環(huán)等結(jié)果,若用X來表示他一次射擊所命中的環(huán)數(shù),則X即為隨機(jī)變量.問題上述情景中,隨機(jī)變量X的取值情況如何?提示隨機(jī)變量X的結(jié)果可由0,1,……,10共11個(gè)數(shù)來表示.1.隨機(jī)變量隨機(jī)變量是將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化,變量的取值對(duì)應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件.定義:一般地,對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω,都有______的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng),我們稱X為隨機(jī)變量.唯一2.離散型隨機(jī)變量
可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量,我們稱為離散型隨機(jī)變量,通常用__________字母表示隨機(jī)變量,用__________字母表示隨機(jī)變量的取值.3.隨機(jī)變量和函數(shù)的關(guān)系
隨機(jī)變量的定義與函數(shù)的定義類似,這里的樣本點(diǎn)ω相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量,而樣本空間Ω相當(dāng)于函數(shù)的定義域,不同之處在于Ω不一定是數(shù)集.小寫英文大寫英文拓展深化[微判斷]1.隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè),也可以是無限可列個(gè).
(
)2.離散型隨機(jī)變量的取值是任意的實(shí)數(shù).
(
)
提示取值是有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量才是離散型隨機(jī)變量.3.離散型隨機(jī)變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值.
(
)
提示離散型隨機(jī)變量一定是某個(gè)區(qū)間內(nèi)有限個(gè)或可以一一列舉的值.×√×[微訓(xùn)練]1.袋中有大小相同的紅球6個(gè),白球5個(gè),從袋中無放回地條件下每次任意取出一個(gè)球,直到取出的球是白色為止,所需要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量X,則X的可能取值為(
) A.1,2,…,6 B.1,2,…,7 C.1,2,…,11 D.1,2,3,…解析可能第一次就取到白球,也可能把6個(gè)紅球都取完后,才取得白球,故X的可能取值為1,2,3,4,5,6,7.答案B2.在考試中,需回答三個(gè)問題,考試規(guī)則規(guī)定:每題回答正確得100分,回答不正確得-100分,則這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分X的所有可能取值是__________.
解析當(dāng)答對(duì)3道題時(shí),X=300;當(dāng)答對(duì)2道題時(shí),X=100;當(dāng)答對(duì)1道題時(shí),X=-100;當(dāng)答對(duì)0道題時(shí),X=-300.
答案300,100,-100,-300[微思考]1.隨機(jī)變量是自變量嗎?
提示
不是.它是隨試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的,不是主動(dòng)變化的.2.離散型隨機(jī)變量的取值必須是有限個(gè)嗎?
提示
不一定.離散型隨機(jī)變量的取值可以一一列舉出來,所取值可以是有限個(gè),也可以是無限個(gè).[微思考]1.隨機(jī)變量是自變量嗎?
提示
不是.它是隨試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的,不是主動(dòng)變化的.2.離散型隨機(jī)變量的取值必須是有限個(gè)嗎?
提示
不一定.離散型隨機(jī)變量的取值可以一一列舉出來,所取值可以是有限個(gè),也可以是無限個(gè).題型一隨機(jī)變量的概念【例1】判斷下列各個(gè)量是否為隨機(jī)變量,并說明理由. (1)從10張已編好號(hào)碼的卡片(從1號(hào)到10號(hào))中任取一張,被抽出卡片的號(hào)數(shù); (2)拋兩枚骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和; (3)體積為8cm3的正方體的棱長.解(1)被抽取卡片的號(hào)數(shù)可能是1,2,…,10,出現(xiàn)哪種結(jié)果是隨機(jī)的,是隨機(jī)變量.(2)拋兩枚骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和可能為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,共11種情況,出現(xiàn)哪種情況都是隨機(jī)的,因此是隨機(jī)變量.(3)正方體的棱長為定值,不是隨機(jī)變量.規(guī)律方法解答此類題目的關(guān)鍵在于分析變量是否滿足隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,即隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的數(shù),但這些數(shù)是預(yù)先知道所有可能取的值,而不知道在一次試驗(yàn)中哪一個(gè)結(jié)果發(fā)生,隨機(jī)變量取哪一個(gè)值.【訓(xùn)練1】
指出下列哪些是隨機(jī)變量,哪些不是隨機(jī)變量,并說明理由. (1)某人射擊一次命中的環(huán)數(shù); (2)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù); (3)某個(gè)人的屬相隨年齡的變化.
解(1)某人射擊一次,可能命中的所有環(huán)數(shù)是0,1,…,10,而且出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的,因此命中的環(huán)數(shù)是隨機(jī)變量. (2)擲一枚骰子,出現(xiàn)的結(jié)果是1點(diǎn),2點(diǎn),3點(diǎn),4點(diǎn),5點(diǎn),6點(diǎn)中的一個(gè),且出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的,因此出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是隨機(jī)變量. (3)一個(gè)人的屬相在他出生時(shí)就確定了,不隨年齡的變化而變化,因此屬相不是隨機(jī)變量.題型二離散型隨機(jī)變量的判斷【例2】指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量,并說明理由. (1)湖南矮寨大橋橋面一側(cè)每隔30米有一路燈,將所有路燈進(jìn)行編號(hào),其中某一路燈的編號(hào)X; (2)在一次數(shù)學(xué)競賽中,設(shè)一、二、三等獎(jiǎng),小明同學(xué)參加競賽獲得的獎(jiǎng)次X; (3)丁俊暉在2017年世錦賽中每局所得的分?jǐn)?shù).解(1)橋面上的路燈是可數(shù)的,編號(hào)X可以一一列出,
是離散型隨機(jī)變量.(2)小明獲獎(jiǎng)等次X可以一一列出,是離散型隨機(jī)變量.(3)每局所得的分?jǐn)?shù)X可以一一列舉出來,是離散型隨機(jī)變量.題型二離散型隨機(jī)變量的判斷【例2】指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量,并說明理由. (1)湖南矮寨大橋橋面一側(cè)每隔30米有一路燈,將所有路燈進(jìn)行編號(hào),其中某一路燈的編號(hào)X; (2)在一次數(shù)學(xué)競賽中,設(shè)一、二、三等獎(jiǎng),小明同學(xué)參加競賽獲得的獎(jiǎng)次X; (3)丁俊暉在2017年世錦賽中每局所得的分?jǐn)?shù).解(1)橋面上的路燈是可數(shù)的,編號(hào)X可以一一列出,
是離散型隨機(jī)變量.(2)小明獲獎(jiǎng)等次X可以一一列出,是離散型隨機(jī)變量.(3)每局所得的分?jǐn)?shù)X可以一一列舉出來,是離散型隨機(jī)變量.規(guī)律方法判斷離散型隨機(jī)變量的方法(1)明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果.(2)將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化.(3)確定試驗(yàn)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可以一一列出,如能一一列出,則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量,否則不是.【訓(xùn)練2】下列隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)是(
) ①擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù); ②投籃一次的結(jié)果; ③某同學(xué)在12:00至12:30到校的時(shí)間; ④從含有50件合格品、10件次品的產(chǎn)品中任取3件,其中合格品的件數(shù). A.1 B.2 C.3 D.4解析①中骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6,可以一一列舉出來.②中投籃一次有兩種情況,若用1表示投中,0表示不中,則也可以一一列舉出來.④中所取3件產(chǎn)品的合格品數(shù)可能為0,1,2,3,共4種情況,可以一一列舉出來.③中學(xué)生到校時(shí)間可以是12:00到12:30中的任意時(shí)刻,不能一一列舉出來,因此③不是離散型隨機(jī)變量,故只有①②④滿足.答案C題型三用隨機(jī)變量表示事件的結(jié)果【例3】寫出下列隨機(jī)變量可能取的值,
并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果. (1)袋中有大小相同的紅球10個(gè),
白球5個(gè),
從袋中每次任取1個(gè)球,
取后不放回,
直到取出的球是白球?yàn)橹梗?/p>
所需要的取球次數(shù). (2)從分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張,
所取卡片上的數(shù)字之和.解(1)設(shè)所需的取球次數(shù)為X,則X=1,2,3,4,…,10,11,X=i表示前(i-1)次取到的均是紅球,
第i次取到白球,
這里i=1,2,3,4,…,11.(2)設(shè)所取卡片上的數(shù)字之和為X,則X=3,4,5,…,11.X=3,表示“取出標(biāo)有1,2的兩張卡片”;X=4,表示“取出標(biāo)有1,3的兩張卡片”;X=5,表示“取出標(biāo)有2,3或1,4的兩張卡片”;X=6,表示“取出標(biāo)有2,4或1,5的兩張卡片”;X=7,表示“取出標(biāo)有3,4或2,5或1,6的兩張卡片”;X=8,表示“取出標(biāo)有2,6或3,5的兩張卡片”;X=9,表示“取出標(biāo)有3,6或4,5的兩張卡片”;X=10,表示“取出標(biāo)有4,6的兩張卡片”;X=11,表示“取出標(biāo)有5,6的兩張卡片”.【遷移1】
(變條件)若本例(2)中條件不變,
所取卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量Y,請(qǐng)問Y有哪些取值?
其中Y=4表示什么含義?
解Y的所有可能取值有:1,2,3,4,5. Y=4表示“取出標(biāo)有1,5或2,6的兩張卡片”.【遷移2】
(變條件,
變問法)甲、乙兩隊(duì)員進(jìn)行乒乓球單打比賽,規(guī)定采用“七局四勝制”,用X表示需要比賽的局?jǐn)?shù),寫出X所有可能的取值,并寫出表示的試驗(yàn)結(jié)果.
解根據(jù)題意可知X的可能取值為4,5,6,7. X=4表示共打了4局,甲、乙兩人有1人連勝4局. X=5表示在前4局中有1人輸了一局,最后一局此人勝出. X=6表示在前5局中有1人輸了2局,最后一局此人勝出. X=7表示在前6局中,兩人打平,后一局有1人勝出.規(guī)律方法解答用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果問題的關(guān)鍵點(diǎn)和注意點(diǎn)(1)關(guān)鍵點(diǎn):解決此類問題的關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的所有可能取值,以及取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的意義,即一個(gè)隨機(jī)變量的取值對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.(2)注意點(diǎn):解答過程中不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果.【訓(xùn)練3】
(多空題)一個(gè)木箱中裝有6個(gè)大小相同的籃球,編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,現(xiàn)隨機(jī)抽取3個(gè)籃球,以X表示取出的籃球的最大號(hào)碼,則X所有可能的取值為__________,其中X=4表示的試驗(yàn)結(jié)果有__________種.一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).2.所謂的隨機(jī)變量就是試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,隨機(jī)變量是將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化,變量的取值對(duì)應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件.3.寫隨機(jī)變量表示的結(jié)果,要看三個(gè)特征:(1)可用數(shù)來表示;(2)試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值;(3)在試驗(yàn)之前不能確定取值.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.下列敘述中,是離散型隨機(jī)變量的為(
) A.將一枚均勻硬幣擲五次,出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和 B.某人早晨在車站等出租車的時(shí)間 C.連續(xù)不斷地射擊,首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù) D.袋中有2個(gè)黑球6個(gè)紅球,任取2個(gè),取得一個(gè)紅球的可能性
解析選項(xiàng)A,擲硬幣不是正面向上就是反面向上,次數(shù)之和為5,是常量;選項(xiàng)B,是隨機(jī)變量,但不能一一列出,不是離散型隨機(jī)變量;選項(xiàng)D,事件發(fā)生的可能性不是隨機(jī)變量.故選C.答案C2.?dāng)S均勻硬幣一次,隨機(jī)變量為(
) A.?dāng)S硬幣的次數(shù) B.出現(xiàn)正面向上的次數(shù) C.出現(xiàn)正面向上的次數(shù)或反面向上的次數(shù) D.出現(xiàn)正面向上的次數(shù)與反面向上的次數(shù)之和解析擲一枚硬幣,可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面向上或反面向上,以一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)如正面向上的次數(shù)來描述這一隨機(jī)試驗(yàn),那么正面向上的次數(shù)就是隨機(jī)變量,設(shè)為X,X的取值是0,1.A項(xiàng)中擲硬幣的次數(shù)就是1,不是隨機(jī)變量;C項(xiàng)中的標(biāo)準(zhǔn)模糊不清;D項(xiàng)中,出現(xiàn)正面向上的次數(shù)和反面向上的次數(shù)的和必是1,對(duì)應(yīng)的是必然事件,試驗(yàn)前便知是必然出現(xiàn)的結(jié)果,所以不是隨機(jī)變量.故選B.答案B3.10件產(chǎn)品中有3件次品,從中任取2件,可作為隨機(jī)變量的是(
) A.取到產(chǎn)品的件數(shù) B.取到正品的概率 C.取到次品的件數(shù)
D.取到次品的概率
解析對(duì)于A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量不是變量,B、D也是一個(gè)定值,而C中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2,是隨機(jī)變量.
答案C4.拋擲2枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和記為X,那么“X=4”表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是(
) A.2枚都是4點(diǎn) B.1枚是1點(diǎn),另1枚是3點(diǎn)或者1枚是3點(diǎn),另1枚是1點(diǎn) C.2枚都是2點(diǎn) D.1枚是1點(diǎn),另1枚是3點(diǎn),或者2枚都是2點(diǎn),或者1枚是3點(diǎn),另一枚是1點(diǎn)解析拋擲2枚骰子,設(shè)其中1枚是x點(diǎn),另1枚是y點(diǎn),其中x,y=1,2,…,6.而X=x+y,5.下列隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是__________(填序號(hào)). ①廣州白云機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的旅客數(shù)量X; ②廣州某水文站觀察到一天中珠江的水位X; ③深圳歡樂谷一日接待游客的數(shù)量X; ④虎門大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X.
解析①③④中的隨機(jī)變量X的所有取值,我們都可以按照一定的次序一一列出,因此它們是離散型隨機(jī)變量;②中的隨機(jī)變量X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,但無法按一定的次序一一列出,故不是離散型隨機(jī)變量,故填②.
答案②備用工具&資料解析拋擲2枚骰子,設(shè)其中1枚是x點(diǎn),另1枚是y點(diǎn),其中x,y=1,2,…,6.而X=x+y,3.10件產(chǎn)品中有3件次品,從中任取2件,可作為隨機(jī)變量的是(
) A.取到產(chǎn)品的件數(shù) B.取到正品的概率 C.取到次品的件數(shù)
D.取到次品的概率
解析對(duì)于A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量不是變量,B、D也是一個(gè)定值,而C中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2,是隨機(jī)變量.
答案C題型二離散型隨機(jī)變量的判斷【例2】指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量,并說明理由. (1)湖南矮寨大橋橋面一側(cè)每隔30米有一路燈,將所有路燈進(jìn)行編號(hào),其中某一路燈的編號(hào)X; (2)在一次數(shù)學(xué)競賽中,設(shè)一、二、三等獎(jiǎng),小明同學(xué)參加競賽獲得的獎(jiǎng)次X; (3)丁俊暉
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