廣東省深圳市外國語學校2024屆高三教學情況測試（一） 數(shù)學試題

深圳市外國語學校高2024屆高三教學情況測試（一）數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.本卷滿分150分，考試時間120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A． B． C． D．2．已知集合，，則集合的元素個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．設(shè)，是非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)在的圖象大致為（

）A．B．C．D．5．天文學上用絕對星等衡量天體的發(fā)光強度，用目視星等衡量觀測者看到的天體亮度.可用（其中為常數(shù)）近似表示絕對星等M，目視星等m和觀測距離d之間的關(guān)系.若1號天體的絕對星等為0.54，目視星等為0.04，2號天體的絕對星等為，目視星等為，則觀測者與1號天體和2號天體的距離的比值約為（

）A． B． C． D．6．在平面直角坐標系中，記直線與直線在第一象限所形成的夾角為，則（

）A． B． C． D．7．如圖，水平地面上有一正六邊形地塊，設(shè)計師規(guī)劃在正六邊形的頂點處矗立六根與地面垂直的柱子，用以固定一塊平板式太陽能電池板.若其中三根柱子，，的高度依次為，則另外三根柱子的高度之和為（

）A．47m B．48m C．49m D．50m8．已知點A，B，C都在雙曲線：上，且點A，B關(guān)于原點對稱，.過A作垂直于x軸的直線分別交，于點M，N.若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù)B．的值域為C．的最小正周期為D．的圖象關(guān)于直線對稱10．已知是等比數(shù)列的前n項和，若存在，，，使得，則（

）A．B．是數(shù)列的公比C．數(shù)列可能為等比數(shù)列D．數(shù)列不可能為常數(shù)列11．乒乓球（tabletennis），被稱為中國的“國球”，是一種世界流行的球類體育項目，是推動外交的體育項目，被譽為“小球推動大球”．某次比賽采用五局三勝制，當參賽甲、乙兩位中有一位贏得三局比賽時，就由該選手晉級而比賽結(jié)束．每局比賽皆須分出勝負，且每局比賽的勝負不受之前已賽結(jié)果影響．假設(shè)甲在任一局贏球的概率為，實際比賽局數(shù)的期望值記為，下列說法正確的是（

）A．三局就結(jié)束比賽的概率為 B．的常數(shù)項為3C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．的二項展開式中的常數(shù)項為．13．設(shè)為互不相等的正實數(shù)，隨機變量和的分布列如下表，若記，分別為的方差，則．（填>，<，=）14．定義在上的函數(shù)滿足，，若，則，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（13分）在軸截面為正方形的圓柱中，分別為弧，弧的中點，且在平面的兩側(cè)．(1)求證：四邊形是矩形；(2)求二面角的余弦值．16．（15分）在中，已知A是鈍角，，.(1)求的值；(2)若，求的面積.17．（15分）在平面直角坐標系中，已知點在拋物線上，圓(1)若，為圓上的動點，求線段長度的最小值；(2)若點的縱坐標為4，過的直線與圓相切，分別交拋物線于（異于點），求證：直線過定點．18．（17分）已知函數(shù)，其中.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)當且時，判斷與的大小，并說明理由.19．（17分）給定正整數(shù)，已知項數(shù)為且無重復項的數(shù)對序列：滿足如下三個性質(zhì)：①，且；②；③與不同時在數(shù)對序列中.(1)當，時，寫出所有滿足的數(shù)對序列；(2)當時，證明：；(3)當為奇數(shù)時，記的最大值為，求.

深圳市外國語學校高2024屆高三教學情況測試（一）數(shù)學試題參考答案1．D【分析】根據(jù)模長公式以及復數(shù)除法，結(jié)合共軛復數(shù)的定義，可得答案.【詳解】由題可得，所以，故復數(shù)的虛部為.故選：D.2．C【分析】根據(jù)集合交集的基本運算求解即可.【詳解】,因為，所以，所以集合中有3個元素.故選：C3．A【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義，結(jié)合，利用充分、必要條件的定義，結(jié)合不等式性質(zhì)進行分析判定.【詳解】若成立，則，所以充分性成立，若成立，即,等價于（因為），當，時，滿足則，但，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A4．D【詳解】試題分析：函數(shù)|在[–2,2]上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，因為，所以排除選項；當時，有一零點，設(shè)為，當時，為減函數(shù)，當時，為增函數(shù)．故選：D.

5．B【分析】根據(jù)條件、指對數(shù)的運算分別求出觀測者與1號天體和2號天體的距離即可.【詳解】設(shè)觀測者與1號天體和2號天體的距離分別為，因為1號天體的絕對星等為0.54，目視星等為0.04，所以，解得，因為2號天體的絕對星等為，目視星等為，所以，解得，所以，故選：B6．C【分析】先由正切的兩角差公式求夾角的正弦值，代入即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，有所以，，，則.故選：C7．A【分析】根據(jù)梯形中位線求得，進而求得正確答案.【詳解】依題意可知六點共面，設(shè)正六邊形的中心為，連接，平面且平面，依題意可知相交于，連接交于，連接交于，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知四邊形是菱形，所以相互平分，則相互平分，根據(jù)梯形中位線有，即，在梯形中，是的中點，則是的中點，所以，同理可得，所以.故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：研究空間圖形的結(jié)構(gòu)，關(guān)鍵點在于利用空間平行、垂直、中點等知識.在本題中，柱子與地面垂直，柱子之間相互平行.柱子之間高度不相同，則構(gòu)成了梯形，則可考慮利用中位線來對問題進行求解.8．B【分析】設(shè)，由且軸得，注意到，也就是，而，，即，由此結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)，由且軸，所以，所以，從而，即，設(shè)點，且它在雙曲線上，，即，其中，，從而，.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是得到，，，由此即可順利得解.9．ACD【分析】A.結(jié)合正弦函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；B.令，轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)求解判斷；C.結(jié)合誘導公式，利用周期函數(shù)的定義判斷；D.結(jié)合誘導公式，利用函數(shù)的對稱性判斷.【詳解】解：因為的定義域為，關(guān)于原點對稱，又，故是奇函數(shù)，故A正確；令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)得，故B錯誤；因為，所以的最小正周期為，故C正確；因為，所以的圖象關(guān)于點直線對稱，故D正確；故選：ACD10．ABD【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比為，分和兩種情形，分別表示出，并與比較對照，分別用和表示出，然后逐一分析判斷各選項即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，此時是關(guān)于的一次函數(shù)，數(shù)列為常數(shù)列，而不是關(guān)于的一次函數(shù)，所以，數(shù)列不可能為常數(shù)列，故D正確；因為，所以，又，所以，故B正確；，故A正確；因為，也均不為0，所以不可能為一常數(shù)，即數(shù)列不可能為等比數(shù)列，故C錯誤.故選：ABD11．ABD【分析】設(shè)實際比賽局數(shù)為，先計算出可能取值的概率，即可判斷A選項；進而求出期望值，即可判斷BCD選項.【詳解】設(shè)實際比賽局數(shù)為，則，，，因此三局就結(jié)束比賽的概率為，則A正確；則，由，則常數(shù)項為3，則B正確；由，則D正確；由，，所以，令，則；令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，所以關(guān)于對稱，且越極端，越可能快結(jié)束，有，得，則C不正確.故選：ABD.12．15【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，結(jié)合題意，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因為的通項公式，令，故可得，則二項展開式的常數(shù)項為.故答案為：15．13．>【解析】根據(jù)方差計算公式，計算出的表達式，由此利用差比較法，比較出兩者的大小關(guān)系.【詳解】，故.，.要比較的大小，只需比較與，兩者作差并化簡得①，由于為互不相等的正實數(shù)，故，也即，也即.故答案為：【點睛】本小題主要考查隨機變量期望和方差的計算，考查差比較法比較大小，考查運算求解能力，屬于難題.14．0-100【分析】根據(jù)得到，，從而得到，即的一個正周期為4，故，用賦值法得到，求出，再求出關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，結(jié)合，求出，，結(jié)合函數(shù)的正周期，求出的值.【詳解】由可得：，即，將替換為得：，兩式相減得：，即的一個正周期為4，因為，所以，又中令得：，所以，中令得：，故，故；由知：關(guān)于對稱，因為的最小正周期為4，所以，故，即關(guān)于對稱，因為，所以，，由知：，所以，則，因為的最小正周期為4，所以.故答案為：0，-100【點睛】設(shè)函數(shù)，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對稱，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點對稱，又關(guān)于點對稱，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于點對稱，則函數(shù)的周期為；（9）若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，則的周期為2a；（10）若函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，則的周期為4a．15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)幾何位置關(guān)系，先證明四邊形是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理即可證明；（2）利用幾何法找到二面角，用余弦定理求解即可.【詳解】（1）證明：設(shè)軸截面正方形邊長為，取弧另一側(cè)的中點，則與垂直平分，且，所以四邊形為正方形，，因為為弧中點，所以，四邊形為矩形，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，因為，，所以，所以，所以四邊形為矩形；（2）解：由（1）知，，，，所以所以，斜邊上的高，作交于點，連接，因為，，，所以，則，所以即為二面角的平面角，，，在中，由余弦定理得，二面角的余弦值為.16．(1)2(2)【分析】（1）由，得到，再與聯(lián)立求解；（2）BC邊上的高AD，易得，，再結(jié)合（1）的結(jié)論得到；再由，結(jié)合（1）的結(jié)論得到，進而求得AD，再由.【詳解】（1）解；因為，所以，則，又因為，可得，，所以；（2）如圖，作BC邊上的高AD，則，，又，所以；因為，A是鈍角，所以，則，即：，又，所以，又因為C為銳角，，所以，則，所以的面積為.17．(1)1(2)證明見解析【分析】(1)轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到圓心距離減去半徑的最小值；(2)根據(jù)直線圓的位置關(guān)系、與拋物線的位置關(guān)系建立方程，進而求直線恒過定點.【詳解】（1）設(shè)，則，當，Q為線段與圓的交點時，（2）題意可知，過P點直線與圓相切，則，即，①設(shè)直線為：，則與拋物線C的交點方程可化為：，令，則：，②題意有，①②方程同解，故有，即：，所以直線為：，即，由，解得，直線恒過．18．(1)(2)增區(qū)間，減區(qū)間(3)，理由詳見解析【分析】（1）利用導數(shù)，結(jié)合切點和斜率求得切線方程.（2）利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（3）構(gòu)造函數(shù)，利用多次求導的方法判斷出的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出兩者的大小關(guān)系.【詳解】（1）時，，，，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）的定義域為，，所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的增區(qū)間，減區(qū)間；（3）當且時，，證明如下：令，則，設(shè)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.當時，，即，當時，，即，綜上所述，當且時，.【點睛】求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定的定義域；（2）計算導數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個區(qū)間，考查這若干個區(qū)間內(nèi)的符號，進而確定的單調(diào)區(qū)間.19．(1)或(2)證明詳見解析(3)【分析】（1）利用列舉法求得正確答案.（2）利用組合數(shù)公式求得的一個大致范圍，然后根據(jù)序列滿足的性質(zhì)證得.（3）先證明，然后利用累加法求得.【詳解】（1）依題意，當，時有：或.（2）當時，因為與不同時在數(shù)對序列中，所以，所以每個數(shù)至多出現(xiàn)次，又因為，所以只有對應(yīng)的數(shù)可以出現(xiàn)次，所以.（3）當為奇數(shù)時，先證明.因為與不同時在數(shù)對序列中，所以，當時，構(gòu)造恰有項，且首項的第個分量與末項的第個分量都為.對奇數(shù)，如果和可以構(gòu)造一個恰有項的序列，且首項的第個分量與末項的第個分量都為，那么多奇數(shù)而言，可按如下