上海市閔行區(qū)教育學(xué)院2024屆高考 數(shù)學(xué)三模試卷【含答案】

2024屆上海閔教院高考三模考試數(shù)學(xué)試卷0514一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分．滿(mǎn)分54分）1．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則.2．若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為．3．二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)為．4．已知兩個(gè)正數(shù)，的幾何平均值為1，則的最小值為．5．已知隨機(jī)變量，且，則.6．4名志愿者全部分到3所學(xué)校支教，要求每所學(xué)校至少有1名志愿者，則不同的分法共有種.7．現(xiàn)有一個(gè)底面半徑為、高為的圓柱形鐵料，若將其熔鑄成一個(gè)球形實(shí)心工件，則該工件的表面積為（損耗忽略不計(jì)）．8．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則．9．方程的解集為．10．對(duì)24小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度進(jìn)行如下定義：0~1010~2525~5050~100①小雨②中雨③大雨④暴雨小明用了一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，則這一天的雨水屬于等級(jí)．（只填入雨水等級(jí)所對(duì)應(yīng)的序號(hào)）11．已知若向量在向量方向上的數(shù)量投影為，則實(shí)數(shù)．12．若?是雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左右兩支分別交于，兩點(diǎn).若為等邊三角形，則雙曲線(xiàn)的離心率為.二、單選題（本大題共4題，滿(mǎn)分20分）13．已知：，：，則是的（

）A．必要非充分條件 B．充分非必要條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件14．某社區(qū)通過(guò)公益講座宣傳交通法規(guī).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位居民，分別在講座前、后各回答一份交通法規(guī)知識(shí)問(wèn)卷，滿(mǎn)分為100分.他們得分的莖葉圖如圖所示（“葉”是個(gè)位數(shù)字），則下列選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤的是（

）A．講座后的答卷得分整體上高于講座前的得分B．講座前的答卷得分分布較講座后分散C．講座后答卷得分的第80百分位數(shù)為95D．講座前答卷得分的極差大于講座后得分的極差15．對(duì)于函數(shù)，給出下列結(jié)論：（1）函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；（2）函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?；?）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像；（4）曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率為1.則所有正確的結(jié)論是（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）16．設(shè)P為曲線(xiàn)C:上的任意一點(diǎn)，記P到C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d．若關(guān)于點(diǎn)集和，給出如下結(jié)論：①任意，中總有2個(gè)元素；②存在，使得．其中正確的是（

）A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分76分）17．在中，角A、B、C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知，.(1)若，求；(2)若，求的面積.18．如圖，已知頂點(diǎn)為的圓錐其底面圓的半徑為8，點(diǎn)為圓錐底面半圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)為母線(xiàn)的中點(diǎn).

(1)若母線(xiàn)長(zhǎng)為10，求圓錐的體積；(2)若異面直線(xiàn)與所成角大小為，求、兩點(diǎn)間的距離.19．2021年國(guó)慶期間，某縣書(shū)畫(huà)協(xié)會(huì)在縣宣傳部門(mén)的領(lǐng)導(dǎo)下組織了慶國(guó)慶書(shū)畫(huà)展，參展的200幅書(shū)畫(huà)作品反映了該縣人民在黨的領(lǐng)導(dǎo)下進(jìn)行國(guó)家建設(shè)中的艱苦卓絕，這些書(shū)畫(huà)作品的作者的年齡都在之間，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，作出如圖所示的頻率分布直方圖：(1)求這200位作者年齡的平均數(shù)和方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)縣委宣傳部從年齡在和的作者中，按照分層抽樣的方法，抽出6人參加縣委組織的表彰大會(huì)，現(xiàn)要從6人中選出3人作為代表發(fā)言，設(shè)這3位發(fā)言者的年齡落在區(qū)間的人數(shù)是X，求變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．設(shè)橢圓，的離心率是短軸長(zhǎng)的倍，直線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，是上異于、的一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若直線(xiàn)過(guò)的右焦點(diǎn)，且，，求的值；(3)設(shè)直線(xiàn)的方程為，且，求的取值范圍.21．已知函數(shù).（其中為常數(shù)）(1)若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(3)當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.1．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求得，可得，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算即得答案.【詳解】由可得，故，故答案為：2．【分析】根據(jù)題意，代入求得，結(jié)合拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：將代入拋物線(xiàn)方程，可得，即，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為．故答案為：.3．5【分析】將化為，利用二項(xiàng)式系數(shù)結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算，求得答案.【詳解】因?yàn)椋收归_(kāi)式中的系數(shù)為，故答案為：54．【分析】由幾何平均值的定義得到，利用基本不等式求解即可.【詳解】由題意得，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：25．12【分析】利用二項(xiàng)分布方差和期望的公式求解即可.【詳解】隨機(jī)變量，，，則.故答案為：126．36【分析】先選兩名志愿者看成一個(gè)整體，再與剩余志愿者一起排列，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解.【詳解】先選兩名志愿者看成一個(gè)整體，共有種，再與剩余志愿者一起排列，共有種，所以不同的分法共有種.故答案為：36.7．【分析】根據(jù)圓柱的體積等于球的體積求出球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得解.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得，所以該工件的表面積為.故答案為：.8．0.94【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可求出指定區(qū)間的概率.【詳解】由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性得.故答案為：0.94.9．【分析】依題意得到，解得即可.【詳解】因?yàn)?則，解得，所以方程的解集為.故答案為：10．中雨【分析】由圓錐的體積公式，求出雨水的體積，再除以圓的面積，即可求解.【詳解】設(shè)圓錐形容器中積水水面半徑為，則，解得，所以積水厚度為，所以.所以一天的雨水屬于中雨.故答案為：中雨.11．3【分析】根據(jù)數(shù)量投影公式，代入求值.【詳解】由條件可知，向量在向量方向上的數(shù)量投影為，解得：.故答案為：312．【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等邊三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，結(jié)合雙曲線(xiàn)離心率公式即可算出雙曲線(xiàn)C的離心率.【詳解】因?yàn)椤鰽BF2為等邊三角形，可知，A為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，，B為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，則，即，∴由，則，已知，在△F1AF2中應(yīng)用余弦定理得：，得c2=7a2，則e2＝7?e＝故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線(xiàn)的離心率，常常不能經(jīng)過(guò)條件直接得到a，c的值，這時(shí)可將或視為一個(gè)整體，把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的方程，從而得到離心率的值.13．B【分析】根據(jù)充分不必要條件和分式不等式解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，解得或，根?jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”得出是充分不必要條件，故選：B14．C【分析】根據(jù)莖葉圖即可判斷AB；再根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算公式即可判斷C；根據(jù)極差的定義即可判斷D.【詳解】有莖葉圖可知講座后的答卷得分整體上高于講座前的得分，故A正確；講座前的答卷得分主要分布在之間，而講座后主要分布在之間，則講座前的答卷得分分布較講座后分散，故B正確；講座后答卷得分依次為，因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)與第個(gè)數(shù)的平均數(shù)，為，故C錯(cuò)誤；講座前答卷得分的極差為，講座后得分的極差為，所以講座前答卷得分的極差大于講座后得分的極差，故D正確.故選：C.15．C【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得，計(jì)算當(dāng)時(shí)，的值，由此判斷命題（1），計(jì)算時(shí)，的范圍，利用正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的值域，判斷命題（2），根據(jù)圖象平移結(jié)論判斷命題（3），利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)的斜率，判斷命題（4）.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以不是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，（1）錯(cuò)誤；由可得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?）正確；函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，（3）錯(cuò)誤；由可得，所以，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率為1，（4）正確；所以正確的命題有（2）（4），故選：C.16．B【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，的圓心，證明當(dāng)點(diǎn)在原點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)的軌跡圓外，即可得出結(jié)論.【詳解】曲線(xiàn)C:的焦點(diǎn)，則，由得，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，的圓心，當(dāng)點(diǎn)在原點(diǎn)處時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，則存在，使得兩圓相離，即，故①錯(cuò)誤，②正確.故選：B.17．(1)(2)【分析】(1)根據(jù)正弦定理求邊長(zhǎng)后再應(yīng)用余弦定理求解即可.(2)先求出角，再求出邊長(zhǎng)，最后應(yīng)用面積公式求解可得.【詳解】（1）由,應(yīng)用正弦定理得,,即得.（2）因?yàn)閯t,又由正弦定理得.18．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出圓錐的高，再利用錐體的體積公式計(jì)算作答.（2）取的中點(diǎn)，作出異面直線(xiàn)與所成角，再利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解作答.【詳解】（1）圓錐的底面圓半徑為8，母線(xiàn)長(zhǎng)為10，而，則，解得，所以圓錐的體積為.（2）取的中點(diǎn)，連接,，

由弧為圓錐底面的半圓弧知圓錐底面圓心在上且為中點(diǎn)，為母線(xiàn)的中點(diǎn)，則與所成角為或其補(bǔ)角，由平面，得平面，平面，則，于是有，由是半圓弧的中點(diǎn)可得，則，所以.19．(1)，(2)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，利用平均數(shù)和方差的公式代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)分層抽樣的原理，可知這6人中年齡在內(nèi)有2人，在內(nèi)有4人，利用古典概型的概率公式代入計(jì)算，列出分布列求出數(shù)學(xué)期望即可．【詳解】（1）這200位作者年齡的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為，.（2）根據(jù)分層抽樣的原理，可知這6人中年齡在內(nèi)有2人，在內(nèi)有4人，故X可能的取值為0，1，2，，，，所以X的分布列為：X012P所以X的數(shù)學(xué)期望為.20．(1)(2)(3)【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息以及，，之間的關(guān)系列出等式，進(jìn)而可得橢圓的方程；（2）設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，利用向量的運(yùn)算以及橢圓的定義和對(duì)稱(chēng)性推出，再代入三角形面積公式中即可求解；（3）設(shè)出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的運(yùn)算得到，，將直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到和，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中得到，此時(shí)滿(mǎn)足，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式和換元法進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）由的離心率是短軸的長(zhǎng)的倍，得，即，又，則，故橢圓的方程為.（2）設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又，則，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得，，且三角形與三角形全等，則，又，化簡(jiǎn)整理得，，則.（3）設(shè)，，，又，則，，由得，，，由韋達(dá)定理得，，，又，則，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，化簡(jiǎn)整理得，，此時(shí)，，則，令，即，則，則的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查直線(xiàn)與橢圓得位置關(guān)系及弦長(zhǎng)范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是向量坐標(biāo)化得C坐標(biāo)并代入橢圓方程得m,k的等量關(guān)系.21．(1)(2)(3)只有1個(gè)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，得到且，進(jìn)而求得切線(xiàn)方程；（2）求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可求解；（3）當(dāng)時(shí)，求得在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，可得，可得，所以且，所以切線(xiàn)方程為，即，即曲線(xiàn)所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.（2）解：由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，又由，令，解得，，?dāng)時(shí)，與在區(qū)間的情況如下表：極小值↗所以函數(shù)的極小值為，也是函數(shù)的最小值，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（3）解：當(dāng)時(shí)，，令，解得（舍去）所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)