人教版高中數(shù)學(xué)全冊教案-08-圓錐曲線方程-12

拋物線的幾何性質(zhì)

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì)，并能從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)這些性質(zhì).

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)拋物線的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能

力.

（三）學(xué)科滲透點(diǎn)

使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標(biāo)系中曲線方程

的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決拋物線中的弦、最值等問題.

二、教材分析

1.重點(diǎn)：拋物線的兒何性質(zhì)及初步運(yùn)用.

（解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)得出.）

2.難點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用.

（解決辦法：通過兒個(gè)典型例題的講解，使學(xué)生掌握兒何性質(zhì)的應(yīng)用.）

3.疑點(diǎn)：拋物線的焦半徑和焦點(diǎn)弦長公式.

（解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生證明并加以記憶.）

三、活動設(shè)計(jì)

提問、填表、講解、演板、口答.

四、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)

1.拋物線的定義是什么？

請一同學(xué)回答.應(yīng)為：“平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線1的距離相等的點(diǎn)的

軌跡叫做拋物線.”

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

再請一同學(xué)回答.應(yīng)為：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),

x2=2py(p>0)和x2=-2py(p>0).

下面我們類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)出發(fā)來

研究它的幾何性質(zhì).

(二)兒何性質(zhì)

怎樣由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定它的幾何性質(zhì)？以y2=2px(p>0)為例，用小黑板給

出下表，請學(xué)生對比、研究和填寫.

MB川?MMM

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(t>0>b>Q

XWr11

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41<7<byea

關(guān)于關(guān)于*候

軒dMM

關(guān)于flUg關(guān)

(?iORft?09

9,19

Q0>-mp>b)

o<a-S<i

a■I

無r-土標(biāo)無

填寫完畢后，再向?qū)W生提出問題：和橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)相比，拋物線的幾何性

質(zhì)有什么特點(diǎn)？

學(xué)生和教師共同小結(jié):

⑴拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但是沒有漸近線.

⑵拋物線只有一條對稱軸，這條對稱軸垂直于拋物線的準(zhǔn)線或與頂點(diǎn)和焦點(diǎn)

的連線重合，拋物線沒有中心.

⑶拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，它是焦點(diǎn)和焦點(diǎn)在準(zhǔn)線上射影的中點(diǎn).

(4)拋物線的離心率要聯(lián)系橢圓、雙曲線的第二定義，并和拋物線的定義作比

較.其結(jié)果是應(yīng)規(guī)定拋物線的離心率為L注意：這樣不僅引入了拋物線離心率

的概念，而且把圓錐曲線作為點(diǎn)的軌跡統(tǒng)一起來了.

(三)應(yīng)用舉例

為了加深對拋物線的幾何性質(zhì)的認(rèn)識，掌握描點(diǎn)法畫圖的基本方法，給出如下例1.

例1已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)

I+-)

①，:可利-(a-by=4ab.

尸ML》

x=asec3

@a可#W00=1.

解：因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)

螞“-2所以可設(shè)它的標(biāo)度方程為/=2p?.

因?yàn)辄c(diǎn)才蛾線上所以(<2際,=2p?2.SPp=2.因lit新院方

程是y2=4x.

后一部分由學(xué)生演板，檢查一下學(xué)生對用描點(diǎn)法畫圖的基本方法掌握情況.

(D柳特改^?知=土m，=

第一象限內(nèi)的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得：

X01234■■■

y022*354■■■

⑵描點(diǎn)作圖

描點(diǎn)畫出拋物線在第一象限內(nèi)的一部分，再利用對稱性，就可以畫出拋物線的另一部

分(如圖2-33).

例2已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M(-3,m)

到焦點(diǎn)的距離等于5,求拋物線的方程和m的值.

解法一：由焦半徑關(guān)系，設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p>0),則準(zhǔn)線方

程匕吟.

因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)M(-3,m)到焦點(diǎn)的距離IMF|與到準(zhǔn)線的距離

為1明液線的垂用相明所以|MF]=|MKb印5+31號由此

得P=4.

因此，所求拋物線方程為y2=-8x.

又點(diǎn)M(-3,m)在此拋物線上,故成=-8(-3).

.*.m=2&或m=-2-J6.

解法二：由題設(shè)列兩個(gè)方程，可求得p和m.由學(xué)生演板.由題意

如鶴線的方程為了'=令4>>0),見憔點(diǎn)是Q).因點(diǎn)"-3,m)

在拋物線上且IMF|=5,故

解跟｛二同二擊

因此，Itm線方程為/=&.值為2#或-2#.

本例小結(jié)：

⑴解法一運(yùn)用了拋物線的重要性質(zhì)：拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離(即此點(diǎn)

的焦半徑)等于此點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.可得焦半徑公式：設(shè)P(xo,

兀詢做修，=2—點(diǎn)畤,孫甘/驛網(wǎng)褊,刪明=31

這個(gè)性質(zhì)在解決許多有關(guān)焦點(diǎn)的弦的問題中經(jīng)常用到，因此必須熟練掌握.

⑵由焦半徑不難得出焦點(diǎn)弦長公式：設(shè)AB是過拋物線焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)

弦)，若A(xl,yl)、B(X2,y2)則有|AB|=xl+x2+p.特別地：當(dāng)AB_Lx軸,拋物

線的通徑IAB|=2p(詳見課本習(xí)題).

例3過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的一條直線與這拋物線相交于A、B

兩點(diǎn)，且A(xl,yl)、B(x2,y2)(圖2-34).

求證：力力■>'，3,

證明：

,「儂0).

4

⑴當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)AB方程為:

廣(一鄉(xiāng)廿Q)

由JS2)楙ky3-2py-kp,-0.

ya-2pK

此方程的兩根yl、y2分別是A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則有yiy2=-p2.

⑵當(dāng)ABJLSM時(shí),因?yàn)橹本€AB的方程為*=品所以Fi=p.外=1>

或yl=-p,y2=p,故yly2=-p2.

綜合上述有yiy2=-p2

又???A(xl,yl)、B(x2,y2)是拋物線上的兩點(diǎn)，

*,-7?_2[?pB.y?-Zpij.

從喃*網(wǎng)啜虛■挈■.%

P’

本例小結(jié)：

⑴涉及直線與圓錐曲線相交時(shí)，常把直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變

量，得到關(guān)于另一?變量的一元二次方程，然后用韋達(dá)定理求解，這是解決這類問

題的一種常用方法.

⑵本例命題1是課本習(xí)題中結(jié)論，要求學(xué)生記憶.

(四)練習(xí)

1.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(xl,yl)、B(x2,y2)兩點(diǎn)，

若xl+x2=6,求IABI的值.

由學(xué)生練習(xí)后口答.由焦半徑公式得：|AB|=xl+x2+p=8

2.證明：與拋物線的軸平行的直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn).

請一同學(xué)演板，其他同學(xué)練習(xí)，教師巡視.證明：可設(shè)拋物線方程

W-3mzMttb.：2P:

y?b

”b.

故拋物線y2=2px與平行于其軸的直線只有一個(gè)交點(diǎn).

(五)全課小結(jié)

1.拋物線的兒何性質(zhì)；

2.拋物線的應(yīng)用.

五、布置作業(yè)

1.在拋物線y2=12x上，求和焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo).

2.有一正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2px上