專題01 數(shù)與式-【初升高銜接】新高一數(shù)學暑假銜接講義（解析版）

第第頁專題01數(shù)與式【初高中知識點銜接】知識點初中高中數(shù)的擴充由整數(shù)到有理數(shù)、實數(shù)的擴展思想；掌握有理數(shù)的運算法則和運算性質(zhì)，懂得實數(shù)的基本運算和順序關系;初步形成數(shù)量觀念由實數(shù)擴充到復數(shù)的擴展思想；掌握復數(shù)的有關概念和用代數(shù)形式表示的復數(shù)的基本運算代數(shù)式掌握:(1)整式與多項式的因式分解；(2)分式，根式和指數(shù)的基本運算和變形在初中代數(shù)式基礎上，掌握集合區(qū)間的基本知識，掌握數(shù)列、數(shù)學歸納法的基本知識在本講中，我們主要鞏固初中所學的知識，在鞏固的基礎上進行初高中銜接.在初中，立方差與立方和公式是作為拓展內(nèi)容的,學生可以選擇性學習，也可以不學.但在高中，對立方差與立方和公式有著廣泛的應用，高中學生必須掌握，在本講的代數(shù)式部分著重補充了這幾個公式。注:立方和：；立方差：；【知識回顧與銜接】實數(shù)1、實數(shù)的分類2、絕對值3、數(shù)的開方4、指數(shù)是正整數(shù)，）；二、乘法公式與因式分解1、乘法公式:2、因式分解（1）步驟：1°提取公因式2°套公式3°十字相乘法4°分組分解5°查是否分解徹底（2）因式分解中常見的七個公式:①平方差：；②立方和：；③立方差：；④完全平方：；⑤三數(shù)和的平方：；⑥和立方：；⑦差立方：．以上公式必須熟記，牢牢掌握他們的特點，七個公式中公式①（即平方差公式）初高中應用的最多。3、十字相乘法定義及應用舉例十字相乘法的三個步驟：1°豎分二次項與常數(shù)項2°交叉相乘，積相加3°檢驗確定，橫寫因式三、分式、根式和指數(shù)1、分式的基本性質(zhì)：2、二次根式的性質(zhì)：①叫做二次根式②③④；⑤．⑥分母有理化：．⑦分子有理化：3、整數(shù)指數(shù)冪（ⅰ）正整數(shù)指數(shù)冪；（ⅱ）零指數(shù)冪；（ⅲ）負整數(shù)指數(shù)冪是正整數(shù)）．4、分數(shù)指數(shù)冪（?。┱謹?shù)指數(shù)冪是正整數(shù)，）；（ⅱ）負分數(shù)指數(shù)冪是正整數(shù)，）．5、整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)（?。┦钦麛?shù)）；（ⅱ）是整數(shù)）；（ⅲ）是整數(shù)）；（ⅳ）是整數(shù)）；6、分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)（?。┦怯欣頂?shù)）；（ⅱ）是有理數(shù)）；（ⅲ）是有理數(shù)）；【例題精講】1、若，則的值為（

）A．13 B．26 C．28 D．37【答案】A【分析】由條件可得，然后可得答案.【詳解】依題意得，則，故選：A2、當時，計算______.【答案】【分析】利用二次根式的性質(zhì)化簡，再利用絕對值的代數(shù)意義計算即可．【詳解】解：，所以，，，故答案為：3、用十字相乘法分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】由十字相乘法即得.【詳解】（1）=；（2）=；（3）=；（4）=．4、若，那么的值是_________．【答案】【分析】先求出，的值，再代入所求式子，將式子進行裂項，再相加求解即可.【詳解】因為，所以，，即，，所以.故答案為：.5、閱讀下列材料：我們知道，因此將的分子分母同時乘以“”，分母就變成了4，即，從而可以達到對根式化簡的目的．根據(jù)上述閱讀材料解決問題：若，則代數(shù)式的值是__________．【答案】2023【分析】根據(jù)分母有理化化簡，再由等式的恒等變形即可求解.【詳解】，∴原式故答案為：2023．6、求值：為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】每個因式用平方差公式分解,重新組合后累乘可得.【詳解】故選:A【點睛】本題需要分析數(shù)字特征，找出它們之間得內(nèi)在聯(lián)系，屬于中檔題.7、我國南宋數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式，其中為三角形的三條邊，為最長邊．若一個三角形的三邊長分別為2，3，4，則此三角形面積為______．【答案】【分析】將2，3，4代入題目所給公式即可，其中.【詳解】因為這個三角形的三邊長分別為2，3，4，其中最長邊為4，所以將此三角形三邊長度代入公式得：故答案為：．8、因式分解(1)(2)(3)(4)(5)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】由十字相乘法、提公因式法和公式法依次因式分解即可.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.9、回答下列問題.（1）正數(shù)，滿足，求的值.（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意解得，的關系，代入所求式子即可得結(jié)果.（2）利用偶次根式性質(zhì)先化簡所求的根式，再將代入計算.【詳解】（1）由可得，即，則或，由，為正數(shù)，可得，則.（2）.10、（1）證明：（其中n是正整數(shù)）；（2）證明：對任意大于1的正整數(shù)n，有．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】(1)根據(jù)分式的運算性質(zhì)證明；(2)由(1)的結(jié)論對不等式的左側(cè)化簡變形，即可證明.【詳解】（1）證明：

∴（其中n是正整數(shù)）成立．（2）證明：＝＝，又n≥1，且n是正整數(shù)，∵，∴．11、因式分解【答案】【分析】首先先分組，再進行因式分解.【詳解】【鞏固練習】1、若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)已知條件求得，從而求得.【詳解】依題意可知，所以.故選：D2、多項式因式分解的結(jié)果是（）.A． B．C． D．【答案】D【分析】提公因式再利用平方差公式即可得到答案.【詳解】故選：D.3、若是一個完全平方式，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由完全平方式的定義求解【詳解】因為為完全平方式，所以，得，故選：D4、已知，，那么的值為_________【答案】60【分析】直接由完全平方公式求解即可.【詳解】由可得，又，則.故答案為：60.5、__________.【答案】/【分析】利用指數(shù)的運算性質(zhì)化簡可得結(jié)果.【詳解】原式.故答案為：.6、分解因式（1）

（2）

（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）.【分析】（1）~（6）、（8）運用十字相乘法進行因式分解；（7）運用提公因式法和十字相乘法進行因式分解；（9）運用換元法、十字相乘法、公式法進行因式分解.【詳解】（1）；

（2）；

（3）（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）令，所以有【點睛】本題考查了用十字相乘法、換元法、公式法、提公因式法進行因式分解，考查了代數(shù)式恒等變形能力.7、已知.(1)求的值；(2)化簡并求值：.【答案】(1)3(2)，3【分析】（1）利用分母有理化化簡，再根據(jù)完全平方公式計算可得；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)及分式的性質(zhì)化簡，再代入計算可得；(1)解：，，將代入得；(2)解：，，，原式.8、=___________【答案】/0.9【分析】觀察每個分式可以發(fā)現(xiàn)每個分式可以寫出兩個分數(shù)相減的形式，從而可得出答案.【詳解】解：＝故答案為：.9、我國古代偉大的數(shù)學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若，則該矩形的面積為___________．【答案】12【解析】設小正方形的邊長為，在中由勾股定理得，則可求出面積.【詳解】設小正方形的邊長為，，，在中，，即，即，則該矩形的面積為.故答案為：12.10、（1）試證：(其中是正整數(shù))；（2）計算：；（3）證明：對任意大于的正整數(shù)，有.【答案】（1）證明見解析（2）