統(tǒng)計學教程：第8章 方差分析

《統(tǒng)計學教程》第8章方差分析

2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》第8章方差分析8.1方差分析的一般問題

8.1.1方差分析的基本原理

8.1.2方差分析的基本假定8.2單因素方差分析

8.2.1單因素方差分析的步驟

8.2.2方差分析表

8.2.3方差分析中的多重比較8.3雙因素方差分析

8.3.1無交互作用的雙因素方差分析

8.3.2有交互作用的雙因素方差分析

第8章方差分析

8.1方差分析的一般問題《統(tǒng)計學教程》2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

第8章方差分析

8.1方差分析的一般問題8.1.1方差分析的基本原理方差分析可以用來分析和判斷多個樣本的特征數(shù)值之間有無顯著差異。以均值為例，當多個樣本為來自某一受控因素不同水平的觀察數(shù)值時，若該多個樣本的各自均值之間不存在顯著差異，即表明這一受控因素的不同水平對變動的影響是不顯著的，屬于隨機因素引起的隨機變動；反之，若該多個樣本的各自均值之間存在著顯著差異，即表明這一受控因素的不同水平對變動的影響是顯著的，屬于受控因素引起系統(tǒng)性的變動。

因素（Factor）是指方差分析所要檢驗的對象，也稱為因子。水平（Level）是指方差分析因素的具體表現(xiàn)，也稱為處理（Treatment）。觀察值（ObservationalValue）是指在具體的因素水平下的樣本數(shù)據(jù)。2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.1方差分析的一般問題

例8.1某企業(yè)為了分析研究成品車間的產(chǎn)品質(zhì)量控制問題，對該車間的5個班組的產(chǎn)品優(yōu)等品率進行了一次抽查，在每個班組獨立地抽取了5個優(yōu)等品率數(shù)據(jù)構成了隨機樣本。表8.1某企業(yè)成品車間5個班組優(yōu)等品率抽查情況%

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8.1方差分析的一般問題

因此，方差分析是依據(jù)具體的因素水平下的觀察值，對因素進行顯著性假設檢驗的方法和過程。2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.1方差分析的一般問題

在方差分析中，各樣本觀察值之間的差異稱之為總差異，用總離差平方和來表示?？傠x差平方和（SumofSquares）是每一觀察值與其總均值的離差的平方的總和。根據(jù)因素的不同水平，方差分析將觀察值之間的差異以及總離差平方和分解為兩部分。一部分是同一水平下觀察值之間的差異，稱之為組內(nèi)離差，通常用組內(nèi)離差平方和來度量（SumofSquaresWithinGroups）；另一部分是不同水平觀察值之間的差異，稱之為組間離差，通常用組間離差平方和（SumofSquaresBetweenGroups）來度量，例如表8.1中5個班組觀察值均值之間的差異，就是組內(nèi)離差，采用每一班組觀察值的樣本均值與總均值之間離差的平方和來度量。方差分析是將具體的因素水平下觀察值的差異分解為不受因素水平影響的組內(nèi)離差，和受到因素水平影響的組間離差，并通過顯著性假設檢驗，來判斷所研究的因素是否具有顯著的系統(tǒng)性變動特征的方法和過程。2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.1方差分析的一般問題8.1.2方差分析的基本假定方差分析基本假定的一般性的表述為，設因素A有個k水平，在每個具體水平下，總體分布為。注意這里個總體方差均相等，并且在每個水平下抽取一個樣本，所取得的個樣本相互獨立。顯然，以上表述規(guī)定了方差分析的3項基本假定。

1．每個總體均服從正態(tài)分布。對應于具體因素的每一個水平，其觀測值都是來自正態(tài)總體。

2．每個總體具有同等方差，即方差齊性要求。對應于具體因素的每一個水平，其觀測值都是來自具有同等的方差的正態(tài)總體。

3．觀測值都是相互獨立的。每一觀測值都是來自具有同等方差的正態(tài)總體的獨自同分布樣本。第8章方差分析

8.2單因素方差分析《統(tǒng)計學教程》2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.2單因素方差分析8.2.1單因素方差分析的步驟1．提出假設方差分析的第一步就是建立假設。按照具體的水平，針對所檢驗的對象提出原假設和備擇假設，當因素有個k水平時，需要提出如下假設。

不全相等原假設表示在不同的下的各個總體均值相等，即不同的水平對總體均值沒有顯著影響；備擇假設表示在不同的下的各個總體均值不全相等，至少有一個總體均值與其它總體均值不等，即該因素的不同的水平對總體均值存在顯著影響。2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.2單因素方差分析2．計算均值（1）水平均值水平均值（LevelMean）是指根據(jù)具體水平下的觀察值的均值。一般將第項水平的水平均值記為，有計算公式為

（8.1）（2）總均值總均值（TotalMean）是指全部觀察值的均值，也為水平均值的均值?？偩狄话阌洖?，有

（8.2）2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.2單因素方差分析

按照式（8.1），由表8.1的數(shù)據(jù)可以計算出例8.1中各組的水平均值。表8.2某企業(yè)成品車間5個班組優(yōu)等品率水平均值%

按照式（8.2），由表8.2的數(shù)據(jù)可以計算出例8.1的中該企業(yè)成品車間5個班組優(yōu)等品率的總均值為86.04%。2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.2單因素方差分析3．計算離差平方和（1）總離差平方和總離差平方和（SumofSquaresforTotal,SST）是指全部觀察值與總均值的離差的平方和，反映了全部觀察值離散程度的總規(guī)模。有

（8.3）按照式（8.3），由表8.2的數(shù)據(jù)可以計算出例8.1的總離差平方和SST為286.96。2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.2單因素方差分析（2）水平項差平方和水平項離差平方和（SumofSquaresforFactorA,SSA）是指各項水平的水平均值與總均值的離差的平方和，反映了各項水平代表性數(shù)值——各項水平均值之間離散程度的規(guī)模。有

（8.4）

按照式（8.4），由表8.2的數(shù)據(jù)可以計算出例8.1的水平項離差平方和SSA為183.76。2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.2單因素方差分析（3）誤差項離差平方和誤差項離差平方和（SumofSquaresforError，SSE）是指各項水平的觀察值與其水平均值的離差的平方和之和，反映了各項水平內(nèi)部觀察值離散程度的總和。有

（8.5）按照式（8.5），由表8.2的數(shù)據(jù)可以計算出例8.1的誤差項離差平方和SSE為103.20。2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.2單因素方差分析（4）離差平方和之間的關系從方差分析的角度，在三項離差平方和中，總離差平方和SST所度量的離散程度包括了全部觀察值的所有變異；水平項離差平方和SSA是對各項水平之間的差異程度進行度量的測度，即包括了隨機離差，又包括了系統(tǒng)離差；誤差項離差平方和SSE反映的是各個水平內(nèi)部的離散程度，僅僅包括隨機離差。這三項離差平方和存在著水平項離差平方和SSA與誤差項離差平方和SSE之和等于總離差平方和SST的數(shù)量對等關系。即

（8.6）因此，可以通過比較水平項離差平方和SSA與誤差項離差平方和SSE數(shù)值，對所設定的因素的不同水平對總體均值沒有顯著影響的原假設進行檢驗，最終作出接受還是拒絕原假設的判斷。2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.2單因素方差分析4．計算均方均方（MeanSquare）是指離差平方除以其自由度的商。計算均方的關鍵是正確地確定各離差平方的自由度。（1）SSA的均方MSA

水平項離差平方和SSA的自由度為k-1，則有其均方MSA為

（8.7）按照式（8.7），可計算出例8.1的MSA為45.94。（2）SSE的均方MSE

誤差項離差平方和SSE的自由度為n-k，則有其均方MSE為

（8.8）按照式（8.8），可計算出例8.1的MSE為5.16。

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8.2單因素方差分析（3）SST的均方MST

總離差離差平方和SST的自由度為n-1，則有其均方MST為

（8.9）總離差平方和SST是由個觀察值計算的離差平方和，并含有1個線性約束條件，所以總離差平方和SST的自由度為n-1。顯然有水平項離差平方和SSA與誤差項離差平方和SSE兩者的自由度之和，等于總離差平方和SST的自由度，即n-1=(k-1)+(n-k)。2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.2單因素方差分析5．計算F檢驗統(tǒng)計量誤差項離差平方和SSE與總體方差之比服從自由度為的卡方分布，即

（8.10）水平項離差平方和SSA與總體方差之比服從自由度為的卡方分布，即

（8.11）有式（8.9）和式（8.10）的比值服從第一自由度為k-1，第二自由度為n-k的F分布，即

（8.12）由式（8.12），可計算出例8.1的檢驗統(tǒng)計量的數(shù)值為8.9031。2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.2單因素方差分析6．統(tǒng)計判斷在計算出F檢驗統(tǒng)計量的具體數(shù)值之后，將F檢驗統(tǒng)計值與給定的顯著性水平的F分布臨界數(shù)值相比較，作出接受還是拒絕原假設的統(tǒng)計判斷。若F檢驗統(tǒng)計值落在由F分布臨界數(shù)值界定的接受域內(nèi)，則接受原假設；反之，便拒絕原假設。

例8.1的檢驗統(tǒng)計值為8.9031，在顯著性水平為0.05時，有F檢驗臨界值為2.8661。顯然，F(xiàn)檢驗統(tǒng)計值8.9031大于F分布的臨界數(shù)值。因此，作出拒絕原假設的統(tǒng)計判斷，認為不同的班組是該企業(yè)成品車間產(chǎn)品質(zhì)量的顯著性影響因素。

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8.2單因素方差分析8.2.2方差分析表表8.3方差分析表表8.4Excel單因素方差分析表2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.2單因素方差分析8.2.3方差分析中的多重比較當方差分析得出拒絕原假設時，不能由此推斷該因素各水平兩兩之間都存在顯著差異。在方差分析中，將解決這類問題的方法稱為方差分析中的多重比較。多重比較方法（MultipleComparisonProcedures）是指通過不同水平均值之間的兩兩配對比較，來檢驗各個總體均值之間是否存在顯著差異的假設檢驗方法和過程。最小顯著性差異法是一種使用比較普遍的多重比較方法。最小顯著性差異法（LeastSignificantDifference,LSD）是指在方差分析中，采用T統(tǒng)計量對各水平是否存在顯著差異進行逐一兩兩配對比較的假設檢驗方法。2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.2單因素方差分析

在第7章中，討論了在兩個服從正態(tài)分布總體的方差和為未知且相等的場合，對總體均值假之差進行假設檢驗時，采用統(tǒng)計量來進行假設檢驗，可以在方差分析關于方差勻性（方差相等）的前提下，引申出對于多個個總體均值的統(tǒng)計量假設檢驗方法。有

（8.14）當各水平的觀測值個數(shù)相等時。則式（8.14）又可簡約地寫為

（8.15）2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.2單因素方差分析

例8.2采用例8.1中各組觀測值表8.1和表8.2中各組水平均值數(shù)據(jù)，采用最小顯著性差異法，檢驗各組總體均值之間的差異是否顯著。解要求檢驗各組總體均值之間的差異是否顯著，意味著需要進行5個水平的成對組合數(shù)進行假設檢驗，即進行10項假設檢驗?？梢詫⒋思僭O檢驗依次分為4組。在顯著性水平為0.05，自由度為20的雙側(cè)檢驗臨界值為2.08596。表8.5采用最小顯著性差異法計算的例8.1檢驗統(tǒng)計量第8章方差分析

8.3雙因素方差分析《統(tǒng)計學教程》2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.3雙因素方差分析

雙因素方差分析（Two-WayAnalysisofVariance）是指所要檢驗的對象為兩個的情況下的方差分析。根據(jù)因素之間的效應是否獨立，可以將雙因素方差分析分為兩種類型。一種是假定A因素與B因素之間是相互獨立，無交互作用的雙因素方差分析；另一種是假定A因素與B因素之間是有交互作用的雙因素方差分析。

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8.3雙因素方差分析8.3.1無交互作用的雙因素方差分析無交互作用的雙因素方差分析也被稱為無重復雙因素方差分析。所謂無交互作用強調(diào)的是A因素與B因素之間相互獨立的特征；所謂無重復強調(diào)的是由A因素與B因素交互構成的任一組合，僅包含一項觀測值，不能進行重復觀測的這一特征。在不能進行重復觀測的場合，也就不能分析因素與因素之間的交互作用。1．數(shù)據(jù)結(jié)構在無交互作用的雙因素方差分析中，一般將一個因素安排在數(shù)據(jù)表的“行（Row）”的位置上，例如表8.6中的因素，稱之為行因素，并用序號1到s表示；將另一個因素安排在數(shù)據(jù)表的“列（Column）”的位置上，例如表8.6中的因素，稱之為列因素，并用序號1到k表示。行因素和列因素的每一個水平都可以構成一項觀察值，一共有項觀察值，通過觀察值來反映這兩個因素對的共同影響。雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構如表8.6所示。2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.3雙因素方差分析表8.6雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.3雙因素方差分析2.分析步驟（1）提出假設在雙因素方差分析中，需要對兩個因素分別提出假設。對排列在行上的因素提出假設，為

不全相等同時對排列在列上的因素提出假設，為

不全相等2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.3雙因素方差分析（2）構造檢驗統(tǒng)計量仍然從總離差平方和SST出發(fā)，有

（8.20）式（8.20）中等號右邊第一項為列因素（ColumnFactor）的水平均值與總均值的離差平方和，記為SSC。有

（8.21）其自由度為k-1，則SSC的均方為MSC。有

（8.22）2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.3雙因素方差分析

第二項為行因素（RowFactor）的水平均值與總均值的離差平方和。記為SSR。有

（8.23）其自由度為s-1，則SSR的均方為MSR。有

（8.24）第三項是除掉列因素和行因素之外的剩余因素影響形成的離差平方和。記為SSE。有

（8.25）其自由度為(s-1)(k-1)，則SSE的均方為MSE。有

（8.26）2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

第8章方差分析

8.3雙因素方差分析

由以上三項均方MSC、MSR和MSE,可以構成兩項檢驗統(tǒng)計量。其中，檢驗列因素是否具有顯著性影響的檢驗統(tǒng)計量為

（8.27）檢驗行因素是否具有顯著性影響的檢驗統(tǒng)計量為

（8.28）在無交互作用的雙因素方差分析中，有總離差平方和SST的自由度仍為n-1。同時，水平項離差平方SSA和、誤差項離差平方和SSE，與剩余因素影響離差平方和SSE三者的自由度之和，應等于總離差平方和SST的自由度，在這里有n=ks。2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.3雙因素方差分析（3）統(tǒng)計判斷將由式（8.27）和式（8.28）計算出來的兩項F檢驗統(tǒng)計值，分別與給定的顯著性水平的F分布的臨界數(shù)值相比較，作出接受還是拒絕原假設的統(tǒng)計判斷。若檢驗統(tǒng)計值樓在落在由F分布的臨界數(shù)值界定的接受域內(nèi)，則接受原假設；反之，則拒絕原假設。

2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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例8.3在一次職工收入水平調(diào)查中，采集了甲、乙、丙、丁四個城市的A、B、C、D、E五類職業(yè)月收入數(shù)據(jù)。采用無交互作用的雙因素方差分析方法判斷城市和職業(yè)類型這兩個因素對職工收入是否有顯著影響。解計算出各行各列的水平均值，和全部觀測值的總均值。表8.8職業(yè)月收入情況雙因素方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構表元8.3雙因素方差分析2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.3雙因素方差分析（1）提出原假設行因素（職業(yè)）列因素（城市）備擇假設可以省略，不用列出。（2）計算檢驗統(tǒng)計量按照有關公式，逐一計算出各項離差平方和、自由度、均方、檢驗值，并將這些數(shù)據(jù)依照計算的次序列在方差分析表中。表8.9職業(yè)月收入情況雙因素方差分析表2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.3雙因素方差分析8.3.2有交互作用的雙因素方差分析在雙因素方差分析中，若A、B兩個因素不相互獨立，因素之間的組合還會產(chǎn)生一種新的效應時，就需要采用有交互作用的雙因素方差分析方法，不僅分析A、B兩個因素本身各自的獨立的效應，還要對雙因素的組合所產(chǎn)生的交互作用進行顯著性檢驗。為了進行針對交互作用的顯著性檢驗，需要對、兩個因素的任一組合進行多次觀測，獲得多項觀測值。因此,有交互作用的雙因素方差分析也被稱為可重復雙因素方差分析,它強調(diào)了由、兩個因素構成的每一組合均包含有多項觀測值，即對其進行重復觀測的這一特征。在有交互作用的雙因素方差分析中，檢驗統(tǒng)計量的構造?？傠x差平方，仍記為SST。（8.29）2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.3雙因素方差分析

列因素（ColumnFactor）的水平均值與總均值的離差平方和，仍記為SSC。有

（8.30）其自由度仍為k-1，則SSC的均方為

（8.31）行因素（RowFactor）的水平均值與總均值的離差平方和。仍記為SSR。有

（8.32）其自由度仍為s-1，則SSR的均方為

（8.33）2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

第8章方差分析

8.3雙因素方差分析

列因素和行因素的交互作用的離差平方和。記為SSRC。有

（8.34）其自由度為(s-1)(k-1)，則有SSRC的均方為

（8.35）將除掉列因素和行因素，以及列因素和行因素的交互作用之外的剩余因素影響形成的離差平方和，記為SSE。有

（8.36）其自由度為ks(m-1)，則有SSE的均方為

（8.37）2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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由以上四項均方MSC、MSR、MSRC和MSE,可以構成三項檢驗統(tǒng)計量。其中，檢驗列因素是否具有顯著性影響的檢驗統(tǒng)計量為（8.38）檢驗行因素是否具有顯著性影響的檢驗統(tǒng)計量為（8.39）檢驗列因素和行因素的交互作用是否具有顯著性影響的檢驗統(tǒng)計量為（8.40）8.3雙因素方差分析2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.3雙因素方差分析

例8.4

某化工企業(yè)為了提高其產(chǎn)品收率，對生產(chǎn)工藝進行改造，在現(xiàn)有配方中投入了、兩種新原料，并對、兩種新原料都設定了高、中、低三個水平，對其水平的每一大搭配進行了3次測試，測試的數(shù)據(jù)如。試采用有交互作用的雙因素方差分析方法，判斷原料、原料，以及、兩種原料的交互作用對該化工產(chǎn)品的收率是否有顯著影響。表8.10兩種新原料對收率的影響情況%2024年7月9日/*《統(tǒng)計學》

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8.3雙因素方差分析表8.11職業(yè)月收入情況雙因素方差分析表表8.11中“F臨界值*”是在顯著性水平為0.05下，根據(jù)相關檢驗量的自由度確定假設檢驗的臨界值；“F臨界值**”是在顯著性水平為0.01下，根據(jù)相關檢驗量的自由度確定假設檢驗的臨界值?？梢哉J為原料A、原料B，以及A、B兩種原料的交互作用對該化工產(chǎn)品的收率均具有顯著影響。其中，A、B兩種原料的交互作用對該化工產(chǎn)品的收率的影響特別顯著，該企業(yè)在產(chǎn)生工藝改造時務必要注意