隱函數(shù)的求導公式

關(guān)于隱函數(shù)的求導公式顯函數(shù)隱函數(shù)顯化問題：1.滿足什么條件，方程能夠確定函數(shù)？2.對于不能或難以顯化的隱函數(shù)如何求偏導？第2頁,共23頁，星期六，2024年，5月一、一個方程的情形隱函數(shù)存在定理1在點的某一鄰域內(nèi)具有設函數(shù)連續(xù)的偏導數(shù)，

且能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)

則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒，它滿足條件，并有

隱函數(shù)的求導公式第3頁,共23頁，星期六，2024年，5月定理證明略.推導求導公式：兩邊對x求導在的某鄰域內(nèi)則復合函數(shù)第4頁,共23頁，星期六，2024年，5月例1驗證方程在點的某解令則連續(xù),鄰域內(nèi)能唯一確定一個可導,且時的隱函數(shù)并求這函數(shù)的一階和二的值.階導數(shù)在第5頁,共23頁，星期六，2024年，5月注：在點(1,0)的鄰域內(nèi)方程不能唯一確定一個可導函數(shù).依定理知方程的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個可導的函數(shù)在點第6頁,共23頁，星期六，2024年，5月一階導數(shù)：第7頁,共23頁，星期六，2024年，5月例2

設方程確定一個隱函數(shù)解令由隱函數(shù)求導公式,得

則求方程兩邊對x求導，另解解出注意到第8頁,共23頁，星期六，2024年，5月隱函數(shù)存在定理2

的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù)，設函數(shù)在點鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)則方程在點的某偏導數(shù)的函數(shù),它滿足條件并有且第9頁,共23頁，星期六，2024年，5月兩邊對x求偏導同樣可得則推導求偏導公式：隱函數(shù)的求導公式第10頁,共23頁，星期六，2024年，5月解令則例3

第11頁,共23頁，星期六，2024年，5月具有連續(xù)偏導數(shù)，求偏導數(shù).例4解則第12頁,共23頁，星期六，2024年，5月解例5兩邊全微分：第13頁,共23頁，星期六，2024年，5月二、方程組的情形隱函數(shù)存在定理3設在點的某一鄰域內(nèi)有對各個變量的偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比式）連續(xù)偏導數(shù),且在點不為零，第14頁,共23頁，星期六，2024年，5月則方程組在點唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的它們滿足條件并有的某一鄰域內(nèi)恒能函數(shù)第15頁,共23頁，星期六，2024年，5月第16頁,共23頁，星期六，2024年，5月解1直接代入公式；解2運用公式推導的方法，將所給方程的兩邊對x求導并移項,得例6第17頁,共23頁，星期六，2024年，5月將所給方程的兩邊對求導，用同樣方法得在的條件下，解方程組，得第18頁,共23頁，星期六，2024年，5月（分以下幾種情況）隱函數(shù)的求導法則小結(jié)第19頁,共23頁，星期六，2024年，5月第20頁,共23頁，星期六，2024年，5月思考題已知，其中為可微函數(shù)，求第21頁,共23頁，星期六，2024年，5