人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)61課時(shí)練習(xí)含答案

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(六十一)1．為響應(yīng)國(guó)家“節(jié)約糧食”的號(hào)召，某同學(xué)決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為今日伙食，并在用餐時(shí)積極踐行“光盤行動(dòng)”，則不同的選取方法有()A．48種 B．36種C．24種 D．12種B解析：由題意可知，分三步完成：第一步，從2種主食中任選1種有2種選法；第二步，從3種素菜中任選1種有3種選法；第三步，從6種葷菜中任選1種有6種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有2×3×6＝36(種)不同的選取方法．故選B.2．(數(shù)學(xué)與文化)如圖，古代中國(guó)的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出形狀相同的兩個(gè)陰陽(yáng)魚，陽(yáng)魚的頭部有個(gè)陰眼，陰魚的頭部有個(gè)陽(yáng)眼，表示萬(wàn)物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽(yáng)，陽(yáng)中有陰，陰陽(yáng)相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律．由八卦模型圖可抽象得到正八邊形，從該正八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)中任意選出4個(gè)構(gòu)成四邊形，其中梯形的個(gè)數(shù)為()A．8 B．16C．24 D．32C解析：梯形的上、下底平行且不相等，如圖．若以AB為底邊，則可構(gòu)成2個(gè)梯形，根據(jù)對(duì)稱性可知此類梯形有16個(gè)；若以AC為底邊，則可構(gòu)成1個(gè)梯形，此類梯形共有8個(gè)．所以梯形的個(gè)數(shù)為16＋8＝24.故選C.3．(2024·聊城模擬)新高考數(shù)學(xué)中的不定項(xiàng)選擇題有4個(gè)不同選項(xiàng)，其錯(cuò)誤選項(xiàng)可能有0個(gè)、1個(gè)或2個(gè)，這種題型很好地凸顯了“強(qiáng)調(diào)在深刻理解基礎(chǔ)之上的融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生掌握原理、內(nèi)化方法、舉一反三”的教考銜接要求．若某道數(shù)學(xué)不定項(xiàng)選擇題存在錯(cuò)誤選項(xiàng)，且錯(cuò)誤選項(xiàng)不能相鄰，則符合要求的4個(gè)不同選項(xiàng)的排列方式共有()A．24種 B．36種C．48種 D．60種B解析：當(dāng)錯(cuò)誤選項(xiàng)恰有1個(gè)時(shí)，4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行排列有A44＝24(種)排列方式；當(dāng)錯(cuò)誤選項(xiàng)恰有2個(gè)時(shí)，先排2個(gè)正確選項(xiàng)，再將2個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)插入到3個(gè)空位中，有4．(多選題)已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從M，N這兩個(gè)集合中各選一個(gè)元素分別記作a，b，則下列說(shuō)法正確的有()A．baB．baC．(a，b)表示x軸上方不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6D．(a，b)表示y軸右側(cè)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6BC解析：對(duì)于A，若a，b均為正，共有2×2＝4(個(gè))，若a，b均為負(fù)，共有1×2＝2(個(gè))，但63＝-4-2，所以共有5個(gè)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若ba為正，顯然均比1大，所以只需ba為負(fù)即可，共有2×2＋1×2＝6(個(gè))，所以B正確；對(duì)于C，要使(a，b)表示x軸上方的點(diǎn)，只需b為正即可，共有3×2＝6(個(gè))，所以C正確；對(duì)于D，要使(a，b)表示y軸右側(cè)的點(diǎn)，只需5．下列各式中正確的個(gè)數(shù)為()①Cnm＝Anmm！；②Anm＝nAn-1m-1；③CnA．1 B．2C．3 D．4D解析：對(duì)于①，因?yàn)镃nm＝AnmA對(duì)于②，Anm＝n(n－1)(n－2)…(nAn-1m-1＝(n－1)(n－2)…(n－所以Anm＝nA對(duì)于③，CnmCn＝m+1n-m，故③對(duì)于④，Cn+1m+1＝n+1！m+1！n-m！＝6．(2024·本溪模擬)e作為數(shù)學(xué)常數(shù)，它的一個(gè)定義是e＝limx→＋1+1xx，其數(shù)值約為2.7182818284….某人在設(shè)置手機(jī)的數(shù)字密碼時(shí)，打算將e的前5位數(shù)字：2，7，1，8，2進(jìn)行某種排列得到密碼，如果要求兩個(gè)2不相鄰，那么此人可以設(shè)置的不同密碼有36解析：第一步：對(duì)除去2以外的3個(gè)數(shù)字進(jìn)行全排列，有A33＝6(種)方法；第二步：將兩個(gè)2選兩個(gè)空插進(jìn)去有C47．某社區(qū)將招募的5名志愿者分成兩組，分別擔(dān)任白天和夜間的網(wǎng)格員，要求每組至少兩人，則不同的分配方法種數(shù)為．20解析：由兩人擔(dān)任白天網(wǎng)格員有C52種分配方法，由三人擔(dān)任白天網(wǎng)格員有C58．有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門學(xué)科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔(dān)任語(yǔ)文課代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；(4)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表．解：(1)先選后排，可以是2女3男，也可以是1女4男，先選有(C32C53+C(2)除去該女生后，先選后排，則符合條件的選法數(shù)為C7(3)先選后排，但先安排該男生，則符合條件的選法數(shù)為C7(4)先從除去該男生該女生的6人中選3人有C63種情況，再安排該男生有C31種情況，選出的3人全排列有9．甲、乙、丙三位教師指導(dǎo)五名學(xué)生a，b，c，d，e參加全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，每位教師至少指導(dǎo)一名學(xué)生．(1)若每位教師至多指導(dǎo)兩名學(xué)生，求共有多少種分配方案；(2)若教師甲只指導(dǎo)其中一名學(xué)生，求共有多少種分配方案．解：(1)根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行分析：①將五名學(xué)生分成三組，人數(shù)分別為2，2，1，有C5②將分好的三組全排列，安排給三位教師，有A3所以共有15×6＝90(種)分配方案．(2)根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行分析：①?gòu)奈迕麑W(xué)生任選一名學(xué)生分配給甲教師指導(dǎo)，有5種情況；②剩下四名學(xué)生分成兩組，安排給其余兩位教師指導(dǎo)，有C4所以共有5×14＝70(種)分配方案．10．(新情境)魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯理工大學(xué)建筑學(xué)院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具．魔方擁有競(jìng)速、盲擰、單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會(huì)舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一．已知經(jīng)典三階魔方(如圖)自由轉(zhuǎn)動(dòng)之后的色塊組合約有4.3×1019種，現(xiàn)將下圖已還原的魔方按5步打亂，且每一步互相獨(dú)立，則打亂方式有()A．A185種C．185種 D．195種C解析：若以紅色的一面為正面，分成三行三列，每一行可以左右旋轉(zhuǎn)，每一列可以上下旋轉(zhuǎn)，此時(shí)有3×2＋3×2＝12(種)旋轉(zhuǎn)方式；接著側(cè)面(以綠色一面為例)，每一列都可以上下旋轉(zhuǎn)，此時(shí)有3×2＝6(種)旋轉(zhuǎn)方式，故每一次旋轉(zhuǎn)魔方，共有12＋6＝18(種)旋轉(zhuǎn)方式．所以按5步打亂，且每一步互相獨(dú)立，則共有185種打亂方式．故選C.11．(2024·日照模擬)某人從一層到二層需跨10級(jí)臺(tái)階，他一步可能跨1級(jí)臺(tái)階，稱為一階步，也可能跨2級(jí)臺(tái)階，稱為二階步，最多能跨3級(jí)臺(tái)階，稱為三階步，從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有()A．10種 B．9種C．8種 D．12種A解析：按題意要求，不難驗(yàn)證這6步中不可能沒(méi)有三階步，也不可能有多于1個(gè)的三階步，因此，只能是1個(gè)三階步，2個(gè)二階步，3個(gè)一階步．為形象起見(jiàn)，以白、黑、紅三種顏色的球來(lái)記錄從一層到二層跨越10級(jí)臺(tái)階的過(guò)程：白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步，該過(guò)程可表示為3個(gè)白球、2個(gè)黑球、1個(gè)紅球的一種同色球不相鄰的排列．下面分三種情形討論：(1)若第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側(cè)，此時(shí)，共有4個(gè)黑、白球之間的空位放置紅球，所以此種情況共有4種不同的排列．(2)若第1球不是白球，①若第1球?yàn)榧t球，則余下5球只有1種可能的排列；②若第1球?yàn)楹谇?，則余下5球因紅、黑球的位置不同有2種不同的排列，此種情形共有3種不同排列．(3)第6球不是白球，同(2)，共有3種不同的排列．綜上，按題意要求從一層到二層共有4＋3＋3＝10(種)可能的不同走法．故選A.12．(多選題)現(xiàn)有3名男生和4名女生，在下列不同條件下進(jìn)行排列，則()A．排成前后兩排，前排3人后排4人的排法共有5400種B．全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾的排法共有3600種C．全體排成一排，女生必須站在一起的排法共有576種D．全體排成一排，男生互不相鄰的排法共有1440種BCD解析：對(duì)于A，將7名學(xué)生排成前后兩排，前排3人后排4人的排法，有C7對(duì)于B，甲不站排頭也不站排尾，有5個(gè)位置可選擇，將剩下的6人全排列，有A66種排法，則有對(duì)于C，將4名女生看成一個(gè)整體，有A44種排法，將這個(gè)整體與3名男生全排列，有A4對(duì)于D，先排4名女生，有A44種排法，排好后有5個(gè)空位，在5個(gè)人空位中任選3個(gè)，安排3名男生，有A513．甲、乙、丙等七人相約到電影院看電影，恰好買到了七張連號(hào)的電影票．若甲、乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同坐法的種數(shù)為．192解析：由題知，丙坐在正中間(4號(hào)位)，甲、乙兩人只能坐12或23或56或67號(hào)位，有4種情況，且甲、乙的順序有A22種情況，剩下的4個(gè)位置其余4人坐，有A414．(數(shù)學(xué)與文化)七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶．如圖是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括五個(gè)等腰直角三角形、一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形．若用4種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨(dú)一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有種．72解析：將七巧板的七個(gè)板塊標(biāo)號(hào)，如圖．由題意，一共4種顏色，板塊A需單獨(dú)一色，剩下6個(gè)板塊中每2個(gè)板塊涂同一種顏色．又板塊B，C，D兩兩有公共邊不能同色，故板塊A，B，C，D必定涂不同顏色．①當(dāng)板塊E與板塊C同色時(shí)，則板塊F，G與板塊B，D或板塊D，B分別同色，共2種情況；②當(dāng)板塊E與板塊B同色時(shí)，則板塊F只能與D同色，板塊G只能與C同色，共1種情況．又板塊A，B，C，D顏色可全排列，故不同的涂色方案共有2+1×15．(1)將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子．把球全部放入盒內(nèi)，共有多少種放法？(2)將編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)小球放入編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，若有且只有1個(gè)盒子的編號(hào)與放入小球的編號(hào)相同，有多少種不同的放法？(3)將11個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子中．若要求每個(gè)盒子至少放1個(gè)小球，有多少種不同的放法？解：(1)滿足條件的放法可分為4步，第一步放1號(hào)球，第二步放2號(hào)球，第三步放3號(hào)球，第四步放4號(hào)球，每步都有3種放法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得滿足條件的放法有3×3×3×3＝81(種)．(2)滿足條件的放法可分為三步，第一步，從五個(gè)球中任選一個(gè)球x將其放在與其編號(hào)相同的盒子中，有5種放法；第二步，從余下的四個(gè)球中任選一個(gè)球y，放入編號(hào)為z(z≠y)的盒子中，有3種放法；第三步，將編號(hào)為z的小球放入余下的某一盒子中，有3種放法；第四步，將余下的兩個(gè)小球按要求放入余下的盒子中，有1種放法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得共有5×3×3×1＝45(種)放法．(3)將11個(gè)相同的小球排成一排，在排列的兩端各放置1塊隔板，在小球之間的10個(gè)空隙中選擇4個(gè)空隙插入隔板，即可將11個(gè)小球分為5段，依次將各段小球放入5個(gè)盒子中，可得滿足要求的放法，故滿足要求的放法有C1016．已知從1，3，5，7，9中任取兩個(gè)數(shù)，從0，2，4，6，8中任取兩個(gè)數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)