人教A版普通高中數(shù)學一輪復習第七章學科特色微專題構(gòu)造法求數(shù)列的通項學案

微專題構(gòu)造法求數(shù)列的通項求數(shù)列的通項公式，除了我們已經(jīng)學習的方法以外，根據(jù)所給遞推公式的特點，還可以通過構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，利用等差或等比數(shù)列的通項公式求得原數(shù)列的通項公式，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想的靈活應(yīng)用．類型一形如an＋1＝can＋d(c≠0，其中a1≠0)型【例1】在數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋1＝3an＋2，則通項an＝．2·3n-1－1解析：因為an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)．又a1＝1，所以a1＋1＝2，故數(shù)列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，所以an＋1＝2·3n-1，所以an＝2·3n-1－1.(1)若c＝1，數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(2)若d＝0，數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(3)若c≠1且d≠0，數(shù)列{an}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法如下：設(shè)an＋1＋λ＝c(an＋λ)，得an＋1＝can＋(c－1)λ，與題設(shè)an＋1＝can＋d比較系數(shù)得λ＝dc?1(c≠1)，所以an＋dc?1＝can?1+dc?1(n≥2)，即an+dc?1構(gòu)成以a1＋dc?1類型二形如an＋1＝pan＋q·pn+1(p≠0，1，q≠0)型【例2】已知正項數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＋1＝2an＋2n+1，則an＝()A．n·2n-1 B．(n＋1)·2nC．n·2n+1 D．(n－1)·2nB解析：因為an＋1＝2an＋2n+1，所以an+12n+1＝an2n＋1，即an+12n+1－an2n＝1.又a121＝42＝2，所以數(shù)列an2【例3】已知在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，則數(shù)列{an}的通項an＝()A．－3×2n-1 B．3×2n-1C．5n＋3×2n-1 D．5n－3×2n-1D解析：在遞推公式an＋1＝2an＋3×5n的兩邊同時除以5n+1，得an+15n+1＝25×an5n＋35．令bn＝an5n，則bn＋1＝25bn＋35，所以bn＋1－1＝25(bn－1)．又b1－1＝25－1＝－35，所以數(shù)列{bn－1}是首項為－35，公比為25的等比數(shù)列，所以bn－1＝?35×25n-1，則bn＝1－35×an＋1＝pan＋q·pn+1(p≠0，1，q≠0)型的求解方法是兩端同時除以pn+1，即得an+1pn+1－anp類型三相鄰項的差為特殊數(shù)列(形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型)【例4】在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝23an＋1＋13an，求數(shù)列{a解：由an＋2＝23an＋1＋13a得an＋2－an＋1＝－13(an＋1－an又a2－a1＝1，所以數(shù)列{an＋1－an}是首項為1，公比為－13的等比數(shù)列，即an＋1－an＝?13所以a2－a1＝1，a3－a2＝－13a4－a3＝19，…，an－an－1＝?13n-2(將上面的式子相加可得an－1＝1＋?13＋19＋…＋?13n從而可求得an＝2＋?13＋19＋…＋?13n故有an＝74＋94×?13n又a1＝1滿足上式，所以an＝74＋94×?an＋1＝pan＋qan－1可化為an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的兩根．類型四倒數(shù)為特殊數(shù)列(形如an＋1＝pa【例5】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan解：因為an＋1＝2anan所以an≠0，則1an+1＝1an＋12，即1又a1＝1，則1a