第8章 第8課時　拋物線-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪復習（解析版）

拋物線[考試要求]1．掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程.2．掌握拋物線的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).3．了解拋物線的簡單應用.4．理解數(shù)形結合的思想．1．拋物線的概念把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．2．拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0，0)對稱軸y＝0x＝0焦點FpF?F0F0離心率e＝1準線方程x＝－px＝py＝－py＝p范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R[常用結論]1．與焦點弦有關的常用結論如圖，傾斜角為α的直線AB與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)．則有(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p(2)焦點弦長：|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α(3)通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p；(4)焦半徑：|AF|＝p1?cosαF特別地1AF+1(5)以弦AB為直徑的圓與準線相切；(6)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；(7)過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準線上；(8)焦點弦端點與頂點構成的三角形面積：S△AOB＝p22sinα＝12|OF|·|y12．若A，B為拋物線y2＝2px(p＞0)上異于原點O的兩點，則OA⊥OB是直線AB過定點(2p，0)的充要條件．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線． ()(2)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切． ()(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是a4，0，準線方程是x＝－a(4)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材經典衍生1．(人教A版選擇性必修第一冊P133練習T2改編)拋物線y＝14x2A．y＝－1 B．y＝－2C．x＝－1 D．x＝－2A[∵y＝14x2，∴x2＝4y，∴準線方程為y＝－1．2．(人教A版選擇性必修第一冊P133練習T3改編)若拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是()A．1716 B．15C．78 B[M到準線的距離等于M到焦點的距離，又準線方程為y＝－116，設M(x，y)，則y＋116＝1，∴y＝3．(人教A版選擇性必修第一冊P135例4改編)過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于()A．9 B．8C．7 D．6B[拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準線方程為x＝－1．根據題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．]4．(人教A版選擇性必修第一冊P134例3改編)已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標軸，并且經過點P(－2，－4)，則該拋物線的標準方程為________．y2＝－8x或x2＝－y[設拋物線方程為y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．將P(－2，－4)代入，分別得方程為y2＝－8x或x2＝－y.]考點一拋物線的定義及應用動點軌跡的判定[典例1](1)在平面直角坐標系Oxy中，動點P(x，y)到直線x＝1的距離比它到定點(－2，0)的距離小1，則P的軌跡方程為()A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝－4x D．y2＝－8x(2)動圓與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直線x＝1相切，則動圓圓心的軌跡是()A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線(1)D(2)D[(1)由題意知動點P(x，y)到直線x＝2的距離與定點(－2，0)的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以(－2，0)為焦點，x＝2為準線的拋物線，所以p＝4，軌跡方程為y2＝－8x.故選D.(2)設動圓的圓心為點C，半徑為r，則點C到定圓A：(x＋2)2＋y2＝1的圓心的距離等于r＋1．又動圓的圓心到直線x＝1的距離等于r，所以動圓的圓心到直線x＝2的距離為r＋1．根據拋物線的定義知，動圓圓心的軌跡為拋物線．故選D.]拋物線上的點到定點的距離及最值[典例2](1)(2023·北京高考)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點M在C上，若M到直線x＝－3的距離為5，則|MF|＝()A．7 B．6C．5 D．4(2)已知點M(20，40)不在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，拋物線C的焦點為F.若對于拋物線上的一點P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于________．(1)D(2)42或22[(1)如圖所示，因為點M到直線x＝－3的距離|MR|＝5，所以點M到直線x＝－2的距離|MN|＝4.又拋物線上點M到準線x＝－2的距離和到焦點F的距離相等，故|MF|＝|MN|＝4.故選D.(2)當點M(20，40)位于拋物線內時，如圖1，過點P作拋物線準線的垂線，垂足為D，則|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.當點M，P，D三點共線時，|PM|＋|PF|的值最?。勺钚≈禐?1，得20＋p2＝41，解得p＝4當點M(20，40)位于拋物線外時，如圖2，當點P，M，F(xiàn)三點共線時，|PM|＋|PF|的值最?。勺钚≈禐?1，得402解得p＝22或p＝58.當p＝58時，y2＝116x，點M(20，40)在拋物線內，故舍去．綜上，p＝42或p＝22.]拋物線定義的應用規(guī)律[跟進訓練]1．(1)(2024·廣東珠海模擬)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，準線l與坐標軸交于點N，M是拋物線上一點，若|FN|＝|FM|，則△FMN的面積為()A．4 B．23C．22 D．2(2)已知P為拋物線y2＝4x上的一個動點，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上的一個動點，那么點P到點Q的距離與點P到拋物線準線的距離之和的最小值是________．(1)D(2)17－1[(1)由x2＝4y，得p＝2，則|FN|＝|FM|＝2，根據拋物線的定義知|MF|＝y(tǒng)M＋p2＝y(tǒng)M解得yM＝1，代入x2＝4y，得xM＝±2，所以△FMN的面積為12×2×2＝2.故(2)由題可知，拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1，焦點坐標為F(1，0)，圓x2＋(y－4)2＝1的圓心坐標為E(0，4)，半徑為R＝1，設點P到拋物線準線的距離為|PP′|，則|PP′|＝|PF|，故|PP′|＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|，所以當動點Q，P位于線段EF上時，點P到點Q的距離與點P到拋物線準線的距離之和最小，此時|PP′|＋|PQ|＝|EF|－R＝17－1．]【教師備選資源】(2024·浙江金麗衢十二校模擬)已知直線l1：3x－4y－6＝0和直線l2：y＝－2，則拋物線x2＝4y上一動點P到直線l1、直線l2的距離之和的最小值是()A．2 B．3C．115 D．B[拋物線x2＝4y的焦點F(0，1)，準線l：y＝－1，設動點P到直線l，l1，l2的距離分別為d，d1，d2，點F到直線l1的距離為d3＝3×0?4×1?63則d2＝d＋1＝|PF|＋1，可得d1＋d2＝d1＋|PF|＋1≥d3＋1＝3，當且僅當點P在點F到直線l1的垂線上且P在F與l1之間時，等號成立，動點P到直線l1、直線l2的距離之和的最小值是3.故選B.]考點二拋物線的標準方程與幾何性質[典例3](1)(多選)過點(1，－2)的拋物線的標準方程可能是()A．y2＝4x B．y2＝－4xC．x2＝－12y D．x2＝1(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準線方程為________．(1)AC(2)x＝－32[(1)點(1，－2)滿足y2＝4x，x2＝－12所以過點(1，－2)的拋物線的標準方程可能是y2＝4x，x2＝－12y(2)法一(解直角三角形法)：由題易得|OF|＝p2，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以OFPF＝PFFQ，即p2p＝p6，解得p＝3，所以法二(應用射影定理法)：由題易得|OF|＝p2，|PF|＝p，PF2＝|OF|·|FQ|，即p2＝p2×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C1．求拋物線的標準方程的方法(1)定義法．(2)待定系數(shù)法：當焦點位置不確定時，為避免過多的討論，通常依據焦點所在的位置，將拋物線的標準方程設為y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．2．拋物線性質的應用要樹立兩個意識(1)轉化意識：“見準線想焦點，見焦點想準線”．(2)圖形意識：借助平面圖形的性質簡化運算．[跟進訓練]2．(1)(2023·湖北武漢二模)設拋物線y2＝6x的焦點為F，準線為l，P是拋物線上位于第一象限內的一點，過P作l的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為120°，則|PF|＝()A．3 B．6C．9 D．12(2)如圖所示，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，則拋物線的方程為()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x(3)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上一點，若|PF|＝4，則△POF的面積為________．(1)B(2)B(3)3[(1)設準線l與x軸交于點H(圖略)，依題意∠QFH＝60°，|HF|＝3，|QH|＝33，|QF|＝6，又|PF|＝|QP|，∠PQF＝60°，則△PQF為等邊三角形，|PF|＝6.故選B.(2)如圖，分別過點A，B作準線的垂線，交準線于點E，D，設準線與x軸交于點G，設|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，則在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，從而得a＝43.∵AE∥FG，∴FGAE＝CFAC，即p4＝48，p＝2，∴拋物線的方程為(3)法一(通性通法)：由y2＝4x可得拋物線的焦點F(1，0)，準線方程為x＝－1，如圖，過點P作準線x＝－1的垂線，垂足為點M，根據拋物線的定義可知|PM|＝|PF|＝4,設P(x，y)，則x－(－1)＝4，解得x＝3，將x＝3代入y2＝4x，可得y＝±23，所以△POF的面積為12|y|·|OF|＝12×23×1＝法二(巧用結論)：設∠PFx＝θ，則|PF|＝p1?cosθ＝21?cosθ＝4，∴cos設P(x，y)，則|y|＝|PF|sinθ＝4×32＝23∴S△POF＝12×|OF|×|y|＝12×1×23＝【教師備選資源】(2023·廣東佛山二模)已知方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F.現(xiàn)有四位同學對該方程進行判斷，提出了四個命題：甲：可以是圓的方程；乙：可以是拋物線的方程；丙：可以是橢圓的標準方程；?。嚎梢允请p曲線的標準方程．其中真命題有()A．1個B．2個C．3個D．4個C[因為方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F，所以當A＝B＝1≥C＝D＝E＝0≥F＝－1時，方程為x2＋y2－1＝0，即x2＋y2＝1是圓的方程，故方程可以是圓的方程；當A＝1≥B＝C＝D＝0≥E＝－1≥F＝－2時，方程為x2－y－2＝0，即y＝x2－2是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程；當A＝2≥B＝1≥C＝D＝E＝0≥F＝－1時，方程為2x2＋y2－1＝0，即y2＋x2若方程為雙曲線的標準方程，則有AB＜0，C＝D＝E＝0，F(xiàn)＜0，這與A≥B≥C≥D≥E≥F矛盾，故方程不可以是雙曲線的標準方程．所以真命題有3個．故選C.]考點三直線與拋物線的位置關系[典例4](1)(多選)(2023·新高考Ⅱ卷)設O為坐標原點，直線y＝－3(x－1)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則()A．p＝2B．|MN|＝8C．以MN為直徑的圓與l相切D．△OMN為等腰三角形(2)拋物線E：y2＝2x上存在兩點關于直線y＝k(x－2)對稱，則k的取值范圍是________．(1)AC(2)(－2，2)[(1)由題意，易知直線y＝－3(因為直線經過拋物線C的焦點，所以易知焦點坐標為(1，0)，所以p2＝1，即p不妨設M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2，聯(lián)立方程y=?3x?1，y2=4x，消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝13，x2＝3．由拋物線的定義得，|MN|＝x1＋xl的方程為x＝－1，以MN為直徑的圓的圓心坐標為53，?233，半徑r＝12|MN|＝8由兩點間距離公式可得|OM|＝133，|ON|＝21，又|MN|＝16(2)當k＝0時，顯然成立．當k≠0時，設兩對稱點為B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中點為M(x0，y0)，由y12＝2x1，y22＝2x2，兩式相減得(y1＋y2)·(y1－y2)＝2(x1－x2)，則直線BC的斜率kBC＝y(tǒng)1?y2x1?x2＝2y1+y2＝22y0＝1y0，由對稱性知kBC＝－1k，點M在直線y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(綜上，k的取值范圍為(－2，解決直線與拋物線位置關系問題的方法(1)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點．若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．(2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系，采用“設而不求”“整體代入”等解法．提醒：涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解．(3)重視在選擇、填空題中有關結論的靈活應用．[跟進訓練]3．(1)(2024·廣東深圳模擬)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，直線l：y＝k(x＋1)與C交于A，B兩點(A在B的左邊)，則4|AF|＋|BF|的最小值是()A．10 B．9C．8 D．5(2)(多選)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標原點，點A(1，1)在拋物線C：x2＝2py(p＞0)上，過點B(0，－1)的直線交C于P，Q兩點，則()A．C的準線為y＝－1B．直線AB與C相切C．|OP|·|OQ|＞|OA|2D．|BP|·|BQ|＞|BA|2(1)B(2)BCD[(1)由題知C的焦點F(1，0)，準線為x＝－1，如圖，作AM⊥準線，BN⊥準線，l：y＝k(x＋1)過定點(－1，0)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立y得k2(x2＋2x＋1)－4x＝0，即k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，∴x1x2＝k2k又∵|AF|＝|AM|＝x1＋1，|BF|＝|BN|＝x2＋1，∴4|AF|＋|BF|＝4x1＋4＋x2＋1＝4x1＋x2＋5≥24x1x當且僅當4x1＝x2時取等號．故選B.(2)將點A的坐標代入拋物線方程得1＝2p，所以拋物線方程為x2＝y(tǒng)，故準線方程為y＝－14kAB＝1??11?0＝2，所以直線AB的方程為y＝2聯(lián)立y=2x?1，x2=y，可得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，即直線AB設過B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個交點，所以直線l的斜率存在，設其方程為y＝kx－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立y=kx?1，x2=y，得所以Δ=所以k＞2或k＜－2，y1y2＝(x1x2)2＝1，又|OP|＝x12+y12＝y(tǒng)1所以|OP|·|OQ|＝y(tǒng)1y21+y11+y2因為|BP|＝1+k2|x1|，|BQ|＝1+k2所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2＞5，而|BA|2＝5，故D正確．故選BCD.]如圖，假設拋物線方程為x2＝2py(p＞0),過拋物線準線y＝－p2上一點P(x0，y0)向拋物線引兩條切線，切點分別記為A，B，其坐標為(x1，y1)，(x2，y2)，則以點P和兩切點A，B圍成的△PAB(1)拋物線在A處的切線方程：x1x＝p(y＋y1)，拋物線在B處的切線方程：x2x＝p(y＋y2)，直線AB的方程：x0x＝2py0+y2＝p(y0(2)直線AB過拋物線的焦點；(3)過F的直線與拋物線交于A，B兩點，以A，B分別為切點作兩條切線，則這兩條切線的交點P(x0，y0)的軌跡即為拋物線的準線；(4)PF⊥AB；(5)AP⊥PB；(6)直線AB的中點為M，則PM平行于拋物線的對稱軸．[典例1](多選)阿基米德是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家、天文學家，享有“數(shù)學之神”的稱號．若拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，則稱△PAB為“阿基米德三角形”．已知拋物線x2＝8y的焦點為F，過拋物線上兩點A，B的直線的方程為x－y＋2＝0，弦AB的中點為C，則關于“阿基米德三角形”PAB，下列結論正確的是()A．點P(3，－2) B．PC⊥x軸C．PA⊥PB D．PF⊥ABBCD[由x2=8y，y=x+2，消去y可得x令A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝8，x1x2＝－16，∵y＝x28，∴y′＝x4，kPA∴PA：y＝x14x?x1+x12聯(lián)立y=x1即P(4，－2)，A錯誤；xC＝x1+x22＝4，kPF＝?2?24?0＝－1，kAB＝1，kPF·kAB＝－1，∴PF⊥AB，D正確；kPA·kPB＝x1x216＝－1，∴[典例2](2021·全國乙卷)已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點為F，且F與圓M：x2＋(y＋4)2＝1上點的距離的最小值為4.(1)求p的值；(2)若點P在圓M上，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點，求△PAB面積的最大值．[解](1)由題意知M(0，－4)，F(xiàn)0，p2，圓M的半徑r＝1，所以|MF|－r＝4，即p2(2)由(1)知，拋物線方程為x2＝4y，由題意可知直線AB的斜率存在，設Ax1，x124，Bx2，x聯(lián)立y=kx+b，x2=4y，消去y得x2則Δ＝16k2＋16b＞0，(※)x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以|AB|＝1+k2|x1－x2|＝1+k因為x2＝4y，即y＝x24，所以y′＝x2，則拋物線在點A處的切線斜率為x12，在點A處的切線方程為y?x124＝x1同理得拋物線在點B處的切線方程為y＝x2聯(lián)立y=x1即P(2k，－b)．因為點P在圓M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，①且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，即－12≤k≤12，3≤b≤5，滿足(設點P到直線AB的距離為d，則d＝2k所以S△PAB＝12|AB|·d＝4k由①得，k2＝1?4?b24令t＝k2＋b，則t＝?b2+12b?154，且3因為t＝?b2+12b?154在[3，5]上單調遞增，所以當b＝5時，t取得最大值，tmax＝5，此時k＝0，所以△課時分層作業(yè)(五十八)拋物線(一)一、單項選擇題1．(2024·廣東中山模擬)拋物線y＝－12x2A．(－1，0) B．?C．(0，－1) D．0D[拋物線的標準方程為x2＝－2y，所以焦點坐標為0，2．(2024·新疆模擬)已知拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則拋物線的標準方程為()A．y2＝x B．y2＝2xC．y2＝4x D．y2＝8xC[根據題意，拋物線y2＝2px(p＞0)的準線方程為x＝－p2，與y軸平行，若拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則該拋物線上任意一點到準線的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，故p2＝1，解得p＝2，故拋物線的標準方程為y2＝43．(2023·江西南昌一模)“米”是象形字．數(shù)學探究課上，某同學用拋物線C1：y2＝－2px(p＞0)和C2：y2＝2px(p＞0)構造了一個類似“米”字形的圖案，如圖所示，若拋物線C1，C2的焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在拋物線C1上，過點P作x軸的平行線交拋物線C2于點Q，若|PF1|＝2|PQ|＝4，則p＝()A．2 B．3C．4 D．6D[因為2|PQ|＝4，即|PQ|＝2，由拋物線的對稱性知xP＝－1，由拋物線定義可知，|PF1|＝p2－xP，即4＝p2－(－1)，解得p＝4．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作直線l，交拋物線于A，B兩點，若|FA|＝3|FB|，則直線l的傾斜角等于()A．30°或150° B．45°或135°C．60°或120° D．與p值有關C[如圖所示，拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線方程為x＝－p2，分別過A，B作準線的垂線，垂足為A′，B′，直線l交準線于點C，作BM⊥AA′，垂足為M則AA'＝AF，BB'＝BF，又|FA|＝3|FB|，所以所以∠ABM＝30°，即直線l的傾斜角等于∠AFx＝60°，同理可得直線l的傾斜角為鈍角時即為120°，故選C.]5．已知點P為拋物線x2＝4y上任意一點，點A是圓x2＋(y－6)2＝5上任意一點，則|PA|的最小值為()A．5 B．25C．35 D．6－5A[圓x2＋(y－6)2＝5的圓心為C(0，6)，半徑r＝5.設Px0，x024，則|PC|2當x02＝16時，|PC|2有最小值20，數(shù)形結合可知PAmin＝|PC|min－5＝26．如圖所示，點F是拋物線y2＝8x的焦點，點A，B分別在拋物線y2＝8x及圓(x－2)2＋y2＝16的實線部分上運動，且AB總是平行于x軸，則△FAB的周長的取值范圍是()A．(6，10) B．(8，12)C．[6，8] D．[8，12]B[拋物線y2＝8x的準線方程l：x＝－2，焦點F(2，0)，由拋物線的定義可得|AF|＝xA＋2，圓(x－2)2＋y2＝16的圓心(2，0)，半徑R＝4，所以△FAB的周長為|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，聯(lián)立y2=8x，x2+y2?4x?12=0，消去y即交點的橫坐標為2，所以xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12)，所以△FAB的周長的取值范圍是(8，12)．故選B.]7．(2024·河北張家口模擬)設拋物線E：y2＝8x的焦點為F，過點M(4，0)的直線與E相交于A，B兩點，與E的準線相交于點C，點B在線段AC上，|BF|＝3，則△BCF與△ACF的面積之比S△BCFA．14 B．1C．16 D．C[如圖，過點B作BD垂直準線x＝－2于點D，則由拋物線定義可知：|BF|＝|BD|＝3，設直線AB的方程為x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，yC)，不妨設m＞0，則y1＞0，y2＜0，所以x2＋2＝3，解得x2＝1，則y22＝8x2＝8，解得y2＝－22，則B(1，－2所以－22m＋4＝1，解得m＝32則直線AB的方程為x＝324所以當x＝－2時，即324解得yC＝－42，則C(－2，－42)，聯(lián)立x=324y+4，y2=8x，消去x得y2所以y1＝82，其中S△BCFS△ACF＝BCAC＝y(tǒng)2故選C.]8．已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為()A．16 B．14C．12 D．10A[由題意知，拋物線C：y2＝4x的焦點為F(1，0)，l1，l2的斜率存在且不為0．不妨設直線l1的斜率為k，則直線l2的斜率為－1k，故l1：y＝k(x－1),l2：y＝－1k(由y2=4x，y=kx?1，消去y得k2x2－(2k2＋4)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝2k2+4由拋物線定義可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋4k同理得|DE|＝4＋4k2，所以|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋4k2≥8＋216當且僅當1k2＝k2，即故|AB|＋|DE|的最小值為16．]二、多項選擇題9．(2024·黑龍江大慶模擬)已知拋物線y＝2x2的焦點為F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是拋物線上兩點，則下列結論正確的是()A．點F的坐標為1B．若直線MN過點F，則x1x2＝－1C．若MF＝λNF，則|MN|的最小值為1D．若|MF|＋|NF|＝32，則線段MN的中點P到x軸的距離為BCD[拋物線y＝2x2，即x2＝12y由拋物線方程知其焦點在y軸上，焦點為F0，依題意，直線MN斜率存在，設其方程為y＝kx＋18由x2=12y，y=kx+18，消去所以x1x2＝－116，x1＋x2＝12若MF＝λNF，則直線MN過焦點，所以|MN|＝|MF|＋|NF|＝y(tǒng)1＋18＋y2＋18＝kx1＋18＋kx2＋18+14所以當k＝0時|MN|min＝12所以|MN|的最小值為拋物線的通徑長12因為|MF|＋|NF|＝y(tǒng)1＋18＋y2＋18＝32，所以y1＋y2＝54，即P點縱坐標為所以P到x軸的距離為5810．(2024·廣東揭陽模擬)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l繞點P(－2，1)旋轉，點Q為C上的動點(O為坐標原點)，則()A．以Q為圓心，|QF|為半徑的圓與直線x＝－1相切B．若直線l與拋物線有且只有一個公共點，則這樣的直線l有兩條C．線段PF的垂直平分線方程為3x－y＋2＝0D．過點F的直線交C于A，B兩點，若|AB|＝4，則這樣的直線有2條AC[由拋物線C：y2＝4x可知，C的焦點為F(1，0)，準線方程為x＝－1.由拋物線的定義可知以Q為圓心，|QF|為半徑的圓與直線x＝－1相切，A正確；當過點P(－2，1)的直線l的斜率不存在時，直線l與拋物線無公共點；當直線l的斜率存在時，設斜率為k，則過點P(－2，1)的直線方程為l：y＝k(x＋2)＋1，當k＝0時，直線l：y＝1與拋物線有且只有一個公共點，當k≠0時，聯(lián)立y=kx+2+1，y2=4x，整理可得k2x2＋(4k2＋2k－4)所以Δ＝(4k2＋2k－4)2－4k2(4k2＋4k＋1)＝0，化簡得2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝12所以此時直線l與拋物線有且只有一個公共點的直線有3條，B錯誤；線段PF的中點為?12，12，又kPF＝1?0?2?1＝－13，所以線段PF的中垂線方程為y－1因為|AB|＝4＝2p，此時線段AB為拋物線的通徑，所以這樣的直線只有一條，D錯誤．故選AC.]11．已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點坐標為F，過點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，點2，A．p＝1B．當AB⊥y軸時，|AB|＝4C．1AFD．若AF＝2FB，則直線AB的斜率為±2BCD[將點2，12代入焦點F(0，1)，當AB⊥y軸時，點(－2，1)，點(2，1)在拋物線上，可得|AB|＝4，B正確；由題意知，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程x消去y后整理得x2－4kx－4＝0，可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，y1y2＝x12x2216＝1，|AF|＝y(tǒng)1有1AF+＝y(tǒng)1+yC正確；由(－x1，1－y1)＝2(x2，y2－1)，可得2x2＝－x1，由x得?x2=4k，?212．已知F為拋物線y2＝4x的焦點，點P在拋物線上，過點F的直線l與拋物線交于B，C兩點，O為坐標原點，拋物線的準線與x軸的交點為M，則下列說法正確的是()A．∠OMB的最大值為πB．若點A(4，2)，則|PA|＋|PF|的最小值為6C．無論過點F的直線l在什么位置，總有∠OMB＝∠OMCD．若點C在拋物線準線上的射影為D，則B，O，D三點共線ACD[設直線MB的方程為x＝－1＋my，與拋物線的方程y2＝4x聯(lián)立，可得y2－4my＋4＝0，當且僅當MB與拋物線相切時，∠OMB取得最大值．由Δ＝16m2－16＝0，即m＝±1，直線MB的斜率為±1，此時∠OMB取得最大值π4設點A在準線x＝－1上的射影為A′(－1，2)，設P到準線的距離為d，則|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥|AA′|＝5，當且僅當A，P，A′三點共線時等號成立，B錯誤；M(－1，0)，設直線BC的方程為x＝ny＋1，代入拋物線的方程y2＝4x，可得y2－4ny－4＝0，設By124，y1，Cy224，y2，可得y1＋y2＝4n，y1y2＝－4，則kMB＋kC正確；由C的分析可知D(－1，y2)，kOB＝y(tǒng)1y124＝4y1，kOD＝－y2，由于y1y2＝－4，則kOB＝kOD故選ACD.]三、填空題13．(2023·北京豐臺二模)在水平地面豎直定向爆破時，在爆破點炸開的每塊碎片的運動軌跡均可近似看作是拋物線的一部分．這些碎片能達到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線是拋物線的一部分(如圖中虛線所示)，稱該條拋物線為安全拋物線．若某次定向爆破中碎片達到的最大高度為40m，碎片距離爆炸中心的最遠水平距離為80m，則這次爆破中，安全拋物線的焦點到其準線的距離為________m.80[以拋物線最高點為坐標原點，平行于地面為x軸，建立平面直角坐標系，設拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，由題意得A(80，－40)，將其代入拋物線方程得6400＝80p，解得p＝80，故安全拋物線的焦點到其準線的距離為80m.]14．(2023·江蘇南通、泰州等八市二模)已知點P在拋物線C：y2＝2px(p＞0)上，過P作C的準線的垂線，垂足為H，點F為C的焦點．若∠HPF＝60°，點P的橫坐標為1，則p＝________．23[如圖所示，不妨設點P聯(lián)立y2=2px，x=1，可得x=1易知PH⊥y軸，則PH∥x軸，則∠xFP＝∠HPF＝60°，所以直線PF的傾斜角為60°，易知點Fp2所以kPF＝2p1?p2＝3，整理可得22p＝3(2－p)，且有2－p等式22p＝3(2－p)兩邊平方可得3p2－20p＋12＝0，即(3p－2)(p－6)＝0，解得p＝23(p15．設F為拋物線y2＝2x的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若F為△ABC的重心，則|FA|＋|FB|＋|FC|＝________．3[由題意可知，點F的坐標為12又F為△ABC的重心，故xA+x即xA＋xB＋xC＝32.又由拋物線的定義可知|FA|＋|FB|＋|FC|＝xA＋xB＋xC＋32＝3216．(2024·湖北七市(州)模擬)已知M(1，2)為拋物線C：y2＝2px(p＞0)上一點，過點T(0，1)的直線與拋物線C交于A，B兩點，且直線MA與MB的傾斜角互補，則|TA|·|TB|＝________．2[由點M(1，2)在拋物線C：y2＝2px上得：22＝2p，即p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x，由題意知，直線AB的斜率存在，且不為0.設直線AB的方程為y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直線MA與MB的傾斜角互補得kMA＋kMB＝0，即y1?2x1?1+y2?2x2聯(lián)立y=kx+1，y2=4x，得所以y1＋y2＝4k，y1y2＝4所以4k＝－4，即k＝－1，所以y1y2所以|TA|·|TB|＝x12+y1?12·x22+y2?12＝x四、解答題17．(2019·全國Ⅰ卷)已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F