福建省泉州市2023-2024學年高一下學期7月期末教學質量監(jiān)測數學試題

2023-2024學年度下學期泉州市高中教學質量監(jiān)測高一數學2024.07本試卷共19題，滿分150分，共8頁?？荚囉脮r120分鐘。注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2，考生作答時，將答案答在答題卡上。請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。在草稿紙、試題卷上答題無效。3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚。4．保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數滿足（i為虛數單位），則（）A． B． C． D．52．從甲、乙、丙三所學校中隨機抽取210名學生，接受省級高中體育與健康教育質量監(jiān)測．已知甲、乙、丙三所學校的學生人數分別為400，700，1000，若按各校人數分層抽樣，則從甲學校中應抽取的學生人數為（）A．40 B．50 C．60 D．703．單位向量滿足，則和的夾角為（）A． B． C． D．4．在中，，則（）A． B． C． D．5．如圖是一個鮮花包裝盒，形狀近似于高為12cm的正四棱臺，其兩個底面邊長分別為8cm和10cm．若忽略材料厚度，則該包裝盒的容積為（）A． B． C． D．6．已知數據的均值為3，方差為1，則數據的均值和方差分別為（）A．9，5 B．6，5 C．9，4 D．6，47．已知直線，平面，則的充分條件可以是（）A． B．C． D．8．《周易·系辭》曰：易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦．如圖1是八卦模型圖，圖2是根據八卦圖抽象而得的正八邊形與其內部的圓，其中，圓的直徑為為正八邊形的中心，為正八邊形邊上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對得部分分。9．已知為復數，則下列命題正礎的是（）A．若，則 B．C．若，則 D．10．第75屆聯合國大會上，我國向世界鄭重承諾力爭在2030年前實現碳達峰，努力爭取在2060年前實現碳中和.2021年全國兩會的政府工作報告明確提出要扎實做好碳達峰、碳中和的各項工作，大力發(fā)展新能源．常見的新能源主要有潮汐能、風能、太陽能和地熱能等．下圖為2015年與2020年我國新增電力裝機結構對比，則（）A．2015年我國新增電力裝機中，火電裝機占比最大B．2020年我國新增電力裝機中，風電裝機數多于火電裝機數C．2020年我國水電新增裝機數少于2015年D．2020年我國新增電力裝機結構中，新能源裝機占比大于2015年11．正方體中，分別為的中點，為側面內一點，則（）A．存在點，使得平面B．線段上不存在點，使與所成角為30°C．當平面時，的最大值為D．當點為側面中心時，平面截正方體所得的截面為五邊形三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，若，則______．13．已知中，，向量在向量上的投影向量為，則______．14．已知圓錐的頂點和底面圓周都在球的球面上，且母線長為2，為其底面圓周上的兩點，若面積的最大值為，則球的表面積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）如圖，的內角所對的邊分別為為外一點，，．（1）求；（2）若，求的面積．16．（15分）盒子中有4個大小質地完全相同的小球，分別標有數字1，2，3，4，從盒子中有放回地隨機兩次摸出小球，每次摸出一個小球．（1）求兩次摸到的小球數字之和為偶數的概率；（2）設事件“兩次摸到的小球數字之和是質數”，事件“第1次摸到的小球數字為奇數”，事件“第2次摸到的小球數字為奇數”，求．17．（15分）如圖，在三棱柱中，平面平面，，．（1）求三棱柱的體積；（2）求證：．18．（17分“泉州：宋元中國的世界海洋商貿中心"于2021年7月25日成功列入《世界遺產名錄》，成為中國第56處世界遺產，泉州在持續(xù)做好世界遺產保護的同時，積極推動文化和旅游的深度融合，在2024年“五一”假期期間，為了解全國各地游客對泉州某景點的滿意度，景區(qū)在該景點向游客做隨機問卷調查，收集了1000份問卷，并統計每份問卷的得分（百分制），繪制了如下頻率分布直方圖：（1）求a；（2）估計該滿意度得分的第一四分位數和總體平均數；（3）已知填寫問卷的游客中，兒童、中青年人、老年人的比例為1∶7∶2，其中兒童游客滿意度得分的平均數為86，方差為45.15；老年人游客滿意度得分的平均數為96，方差為10.55．請結合頻率分布直方圖，估計中青年游客對該景點滿意度得分的平均數和方差．19．（17分）一般地，任何一個復數都可以表示成的形式，叫做復數的三角表示式，簡稱三角形式．（1）寫出復數的三角形式；（2）閱讀材料：數學家布魯克·泰勒提出利用多項式函數曲線來逼近任意一個原函數曲線的泰勒公式，在近似計算、函數擬合和計算機科學上有著舉足輕重的作用．如下列常見函數的階泰勒展開式為：，，，其中，讀作的階乘．數學家萊昂哈德·歐拉在泰勒公式的靈感下，把自然對數的底數e，虛數單位i，三角函數聯系在一起創(chuàng)造了歐拉公式：，該公式將指數函數的定義域擴大到復數集，在復變函數論里面占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋．數學家棣莫弗發(fā)現，則．特別地，如果，那么，這個結論叫做棣莫弗定理，該定理為概率論的發(fā)展做出重要的貢獻．（?。├锰├照归_式求的近似值（精確到0.001）；（ⅱ）設，求集合的元素個數．2023-2024學年度下學期泉州市高中教學質量監(jiān)測高一數學參考答案及評分細則2024.07一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．【命題意圖】本小題主要考查復數的概念、四則運算等基礎知識：考查運算求解能力、推理論證能力；考查化歸與轉化思想；體現基礎性，導向對數學運算等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】解法一：設，由，得，解得，所以．解法二：由，得，所以．解法三：由，得，所以．解法四：由，得，所以，故選C．2．【命題意圖】本小題主要考查抽樣方法，分層抽樣等基礎知識；考查運算求解，推理論證等能力，體現基礎性、應用性，導向對發(fā)展數學運算、數據分析等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】由分層抽樣，從甲學校中應抽取的人數為人．故選A．3．【命題意圖】本小題主要考查向量的數量積等基礎知識，考查運算求解等能力，考查化歸與轉化等思想，體現基礎性，導向對發(fā)展數學運算等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】由兩邊平方可得，整理得，所以的夾角為60°．故選B．【附：本題也可通過考察平幾圖形，快速得解】4．【命題意圖】本小題主要考查向量的加法、減法和數乘等基礎知識，考查運算求解等能力，考查數形結合和化歸與轉化等思想，體現基礎性，導向對發(fā)展數學運算等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】如圖．故選D．5．【命題意圖】本小題主要考查棱臺的體積公式，考查運算求解能力、空間想象能力；考查數形結合思想、函數與方程思想；考查數學抽象、數學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)，體現基礎性、應用性．【試題解析】解法一：根據四棱臺的體積公式．解法二：若公式記不住，也可考慮補臺為錐的辦法快速求解根據三角形相似可知，則，即，所以故選B．6．【命題意圖】本小題主要考查數據的數字特征中均值和方差的性質，考查運算求解的能力；考查轉化與化歸思想；考查數學運算和邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現基礎性．【試題解析】設數據的均值為，方差為，則，由得的均值為：；的方差為：另解（高二學習的公式）：由均值，方差，可知．故選C．7．【命題意圖】本小題主要考查空間線線、線面和面面關系等基礎知識；考查空間想象、邏輯推理能力等；考查數形結合、化歸與轉化思想等；體現基礎性，導向發(fā)展直觀想象等核心素養(yǎng)的命題立意．【試題解析】對于A，記直線平面，直線平面；但直線與直線為異面直線，故A錯誤；對于B，平面平面，直線平面，直線平面；但直線與直線為異面直線，故B錯誤；對于D，平面平面，直線平面，直線平面，但直線與直線為異面直線，故D錯誤．對于C，，作平面，使得，則，作平面，使得，則，所以，所以且，所以，所以，故C正確；故選C．8．【命題意圖】本小題主要考查向量的數量積、余弦定理等基礎知識，考查推理論證、運算求解等能力，考查數形結合、化歸與轉化等思想，體現綜合性、應用性，導向對發(fā)展數學直觀、數學運算等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】如圖，過點作交于，則由正八邊行的對稱性可知為的最小值，則，，所以最小值為，的長度解法提供以下三種解法：解法一：延長交于，連結由正八邊形的對稱性顯然有，且易得為等腰直角三角形．依題可知，所以．，所以所以最小值為解法二：在中，，設，由余弦定理得，解得，所求最小值為．解法三：由（或解得）由，解得，所求最小值為．故選B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對得部分分。9．【命題意圖】本小題主要考查復數的概念、四則運算等基礎知識：考查邏輯推理、運算求解等能力；考查化歸與轉化、函數與方程等思想；體現基礎性和應用型；導向對數學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】設復數，對于A，若，則，所以，所以，故A正確；對于B，令，則，故B錯誤；對于C，令，此時滿足，但，故C錯誤；對于D，解法一：，解法二：假設復數為三角形式，再根據復數的乘法法則，易證明（過程略），故D正確．故選AD．10．【命題意圖】查扇形統計圖的基礎知識：考查數學問題與統計圖表的閱讀理解能力，數據處理、運算求解能力；體現基礎性，導向對數據分析等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】對于A，2015年我國新增電力裝機中火電裝機占比50.65%，顯然占比最大，故A正確；對于B，2020年我國新增電力裝機中風電裝機占比37.55%，火電裝機占比29.53%，所以新增電力裝機中風電裝機數大于火電裝機數，故B正確；對于C，雖然相對于2015年，2020年我國核電新增裝機占比減少，但由于總裝機數不確定，所以不能得出核電裝機數減少的結論，故C錯誤；對于D，2015年我國新增電力裝機中火電裝機占比50.65%，所以新能源裝機占比不超過50%，但2020年我國風電和太陽能新增裝機占比和為62.8%大于50%，所以2020年我國新增電力裝機結構中清潔能源占比增加，故D正確．故選ABD．11．【命題意圖】本小題以正方體為載體，考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識；考查空間想象能力、推理論證能力等；導向對直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養(yǎng)的關注；體現基礎性與綜合性．【試題解析】設正方體的棱長為2對于A，若存在平面，因為平面，則平面平面，矛盾，故不存在點使平面，故A錯誤；對于B，因為，則是異面直線與所成角，因為平面平面，為直角三角形，，，則，所以不存在點使與所成角為，故B正確；對于C，取中點中點，則，平面平面，則平面，因為平面平面，則平面，，所以平面平面，因為四點共面，平面平面，所以平面時，平面，平面平面，在中，邊上的高滿足，則，，故C正確；對于D，過作交于，過作交于，且，延長相交于平面，為中點，且為中點，所以且，即三點共線且，連接并延長，與相交于點，與的延長線相交于點，，所以，連接與相交于點，所以，連接與相交于點，由對稱性可得，連接，則平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，故D正確．故選BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．【命題意圖】本小題主要考查向量的數量積、向量的坐標表示等基礎知識，考查運算求解等能力，考查化歸與轉化等思想，體現基礎性，導向對發(fā)展數學運算等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】由可知，則．故答案為．13．【命題意圖】本小題主要考查向量的投影向量等基礎知識，考查運算求解等能力，考查數形結合等思想，體現綜合性，導向對發(fā)展數學直觀等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】解法一：因為向量在向量上的投影向量為，則，即或．解法二：如圖作延長線于點，由題可知向量在向量上的投影向量為，即，因為，所以或故答案為（或）．14．【命題意圖】本小題主要考查球的表面積、三角形面積、圓錐的母線與軸截面等基礎知識，考查運算求解、數形結合的能力，體現綜合性，導向對發(fā)展直觀想象、數學運算等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】如圖所示，因為，所以當為軸截面時，最大，因為的面積最大值為，則，所以，即圓錐的軸截面為等邊三角形，解法一：因為圓錐的母線長為2，所以，因為，在直角中，，即，解得，解法二：因為為的外心，所以外接球直徑，即，所以外接球表面積．故答案為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．【命題意圖】本小題主要考查解三角形、正余弦定理等基礎知識，考查推理論證、運算求解等能力，考查數形結合和化歸與轉化等思想，體現綜合性與應用性，導向對發(fā)展直觀想象、邏輯推理及數學運算等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】解法一：（1）在中，由余弦定理得：，代入得，解得或（舍去），所以．（2）在中，由正弦定理得：可化為，所以，整理得，又因為，所以，所以為等腰直角三角形，則的面積為．解法二：（1）在中，由正弦定理得：，所以，即，所以，由勾股定理得，，所以．（2）在中，由余弦定理得：可化為，整理得，由勾股定理的逆定理得為等腰直角三角形，則的面積為．16．【命題意圖】本小題主要是對古典概型、有放回事件、事件的關系和運算等基礎知識的考查；考查了學生推理論證能力、運算求解能力、數學應用能力等；考查或然與必然基本思想、化歸與轉化思想方法，導向對教學對數學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的關注，體現基礎性、綜合性、應用性．【試題解析】（1）解法一：從盒中有放回依次隨機摸出兩個小球的樣本空間是，（也可以采用列表、樹狀圖等方法枚舉）所以，共有16個樣本點．記事件“兩次摸到的小球數字之和為偶數”，則，所以，共有8個樣本點．因為樣本空間的每個樣本點具有等可能性，所以，即兩次摸出的小球數字之和為偶數的概率為．解法二：記事件“兩次摸到的小球數字之和為偶數”．每一次從盒中摸出小球，小球的數字都有概率相同的4種可能，故有放回地摸兩次，兩次的小球數字相加情況共有種可能，1，2，3，4中共有2個偶數和2個奇數，事件發(fā)生有種可能（2次都摸到偶數和2次都摸到奇數），因為上述各種情況發(fā)生的可能性都相同，所以．（2）解法一：因為，則，，，所以，則，因為事件不會同時發(fā)生，所以兩兩互斥，所以，又因為，所以即可得．解法二：因為，，，，，可以得到，，，所以，共有8個樣本點，即．17．【命題意圖】本小題主要考查直線、平面間的平行、垂直等基礎知識：考查空間想象能力、推理論證及運算求解能力；考查數形結合思想、化歸與轉化思想等；體現基礎性、綜合性與應用性，導向對發(fā)展邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】解法一：（1）過點做，垂足為平面，因為平面平面，平面平面，所以平面，在中，，所以為直角三角形，在中，由，解得，所以；（2）在中，，即，在中，，因為平面平面，所以，在中，，則，所以，因為，所以．解法二：（1）同解法一；（2）在中，，即，在中，，，則，又因為平面平面，則，且平面，所以平面，平面，則，因為，所以．解法三：（1）取中點，連接，因為，所以，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，在中，，，所以為直角三角形，在中，，，所以．【以為底面，以為高，算錯扣2分】（2）在中，，