高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：2 5 2 圓與圓的位置關(guān)系(人教版)

2.5.2圓與圓的位置關(guān)系第二章

§2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.了解圓與圓的位置關(guān)系.2.掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系的判斷方法.3.能用圓與圓的位置關(guān)系解決一些簡(jiǎn)單問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)日食是一種天文現(xiàn)象，在民間稱此現(xiàn)象為天狗食日.日食只在月球與太陽呈現(xiàn)合的狀態(tài)時(shí)發(fā)生。日食分為日偏食、日全食、日環(huán)食、全環(huán)食.我們將月亮與太陽抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過程中位置關(guān)系是怎樣的？導(dǎo)語前面我們運(yùn)用直線的方程、圓的方程研究了直線與圓的位置關(guān)系，現(xiàn)在我們類比上述研究方法，運(yùn)用圓的方程，通過定量計(jì)算研究圓與圓的位置關(guān)系.隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、兩圓位置關(guān)系的判斷二、相交弦及圓系方程問題三、圓與圓的綜合性問題內(nèi)容索引一、兩圓位置關(guān)系的判斷1.代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：方程組解的個(gè)數(shù)2組1組0組兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

個(gè)

個(gè)

個(gè)兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含2102.幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長(zhǎng)為d，則兩圓的位置關(guān)系如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示

d與r1，r2的關(guān)系d

r1＋r2d

r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d

|r1－r2|d

|r1－r2|>＝＝<注意點(diǎn)：(1)利用代數(shù)法判斷兩圓位置關(guān)系時(shí)，當(dāng)方程無解或一解時(shí)，無法判斷兩圓的位置關(guān)系.(2)在判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)，優(yōu)先使用幾何法.注意點(diǎn)：(1)利用代數(shù)法判斷兩圓位置關(guān)系時(shí)，當(dāng)方程無解或一解時(shí)，無法判斷兩圓的位置關(guān)系.(2)在判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)，優(yōu)先使用幾何法.例1

已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).試求a為何值時(shí)，兩圓C1，C2的位置關(guān)系為：(1)相切；解圓C1，C2的方程，經(jīng)配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圓心C1(a，1)，C2(2a，1)，半徑r1＝4，r2＝1.當(dāng)|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5時(shí)，兩圓外切；當(dāng)|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3時(shí)，兩圓內(nèi)切.(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含.解當(dāng)3<|C1C2|<5，即3<a<5時(shí)，兩圓相交.解當(dāng)|C1C2|>5，即a>5時(shí)，兩圓外離.解當(dāng)|C1C2|<3，即0<a<3時(shí)，兩圓內(nèi)含.反思感悟判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對(duì)值，半徑之和進(jìn)行比較，進(jìn)而判斷出兩圓的位置關(guān)系，這是在解析幾何中主要使用的方法.(2)代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)進(jìn)而判斷兩圓的位置關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練1

(1)圓C1：x2＋y2－4x＋3＝0與圓C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)a的值是A.4 B.6 C.16 D.36√解析圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝1，∵兩圓有三條公切線，∴兩圓外切，解析到點(diǎn)A(－1,2)的距離為3的直線是以A為圓心，3為半徑的圓的切線；同理，到點(diǎn)B的距離為1的直線是以B為圓心，半徑為1的圓的切線，(2)到點(diǎn)A(－1,2)，B(3，－1)的距離分別為3和1的直線有___條.4半徑之和為3＋1＝4，因?yàn)?>4，所以圓A和圓B外離，因此它們的公切線有4條.解析到點(diǎn)A(－1,2)的距離為3的直線是以A為圓心，3為半徑的圓的切線；同理，到點(diǎn)B的距離為1的直線是以B為圓心，半徑為1的圓的切線，(2)到點(diǎn)A(－1,2)，B(3，－1)的距離分別為3和1的直線有___條.4半徑之和為3＋1＝4，因?yàn)?>4，所以圓A和圓B外離，因此它們的公切線有4條.二、相交弦及圓系方程問題例2

已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長(zhǎng)；解設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，①－②，得x－y＋4＝0.∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程，∴x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程.(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.得兩圓的交點(diǎn)A(－1,3)，B(－6，－2).設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，因圓心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4.即x2＋y2－x＋7y－32＝0.方法二設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，解得λ＝－7.故所求圓的方程為x2＋y2－x＋7y－32＝0.反思感悟(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長(zhǎng)的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng).②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解.(3)已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).跟蹤訓(xùn)練2

圓心在直線x－y－4＝0上，且經(jīng)過圓x2＋y2－4x－6＝0與圓x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)的圓的方程為__________________________________________.(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0)所以圓x2＋y2－4x－6＝0與圓x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)分別為A(－1，－1)，B(3,3)，連接AB，則線段AB的垂直平分線的方程為y－1＝－(x－1).所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝16.方法二同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)，設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝16.方法三設(shè)所求圓的方程為x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，其中λ≠－1，所以所求圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－6＝0.三、圓與圓的綜合性問題解設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由題知所求圓與圓x2＋y2－2x＝0外切，延伸探究將本例變?yōu)椤扒笈c圓x2＋y2－2x＝0外切，圓心在x軸上，且過點(diǎn)(3，－

)的圓的方程”，如何求？解因?yàn)閳A心在x軸上，所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，0)，設(shè)半徑為r，則所求圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2，所以圓的方程為(x－4)2＋y2＝4.反思感悟通過直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，利用方程思想，解決求圓的方程問題.跟蹤訓(xùn)練3

圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心為O2(2,1).(1)若圓O2與圓O1外切，求圓O2的方程；解因?yàn)閳AO1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，所以圓心坐標(biāo)為O1(0，－1)，半徑為2.又因?yàn)閳AO2的圓心O2(2,1)，此時(shí)，圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.此時(shí)，圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝20.綜上，圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.1.知識(shí)清單：(1)兩圓的位置關(guān)系.(2)兩圓的公共弦.(3)圓系方程.(4)圓與圓的綜合性問題.2.方法歸納：幾何法、代數(shù)法.3.常見誤區(qū)：將兩圓內(nèi)切和外切相混.課堂小結(jié)隨堂演練1.圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是A.外離 B.相交C.外切 D.內(nèi)切√1234解析把圓O1和圓O2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓O1：(x－1)2＋y2＝1，圓O2：x2＋(y－2)2＝4，2.(多選)圓C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9與圓C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，則m的值為A.2 B.－5 C.－2 D.5√1234√解析圓C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圓心為(－2，m)，半徑為3，圓C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圓心為(m，－1)，半徑為2.即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.3.已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是________________________________________.1234(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36解析設(shè)圓C的半徑為r，當(dāng)圓C與圓O外切時(shí)，r＋1＝5，解得r＝4；當(dāng)圓C與圓O內(nèi)切時(shí)，r－1＝5，解得r＝6，則圓C的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.解析將兩圓的方程相減，11234所以a＝1.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1.圓C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0與圓C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置關(guān)系為A.相交 B.外切

C.內(nèi)切 D.外離√解析由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，則d＝|C1C2|＝2，所以d＝|r1－r2|，所以兩圓內(nèi)切.基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415162.圓x2＋y2－2x－5＝0與圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交點(diǎn)為A，B，則線段AB的垂直平分線的方程是A.x＋y－1＝0 B.2x－y＋1＝0C.x－2y＋1＝0 D.x－y＋1＝0√解析圓x2＋y2－2x－5＝0的圓心為M(1,0)，圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圓心為N(－1,2)，兩圓的相交弦AB的垂直平分線即為直線MN，123456789101112131415163.圓(x－4)2＋y2＝9和圓x2＋(y－3)2＝4的公切線有A.1條 B.2條C.3條 D.4條√解析圓(x－4)2＋y2＝9的圓心為(4,0)，半徑為3，圓x2＋(y－3)2＝4的圓心為(0,3)，半徑為2.123456789101112131415164.已知圓C：x2＋y2－2x＋m＝0與圓(x＋3)2＋(y＋3)2＝36內(nèi)切，則實(shí)數(shù)m的值為A.0 B.－120C.0或－120 D.5√123456789101112131415165.圓C1：(x－1)2＋y2＝4與圓C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直線為l，則直線l被圓O：x2＋y2＝4截得的弦長(zhǎng)為√解析

由圓C1與圓C2的方程相減得l：2x－3y＋2＝0.123456789101112131415166.(多選)下列圓中與圓C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是A.(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝9C.(x－2)2＋(y－2)2＝25 D.(x－2)2＋(y＋2)2＝49√12345678910111213141516√√解析由圓C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圓心C的坐標(biāo)為(－1,2)，半徑r＝2.A項(xiàng)，圓心C1(－2，－2)，半徑r1＝3.12345678910111213141516∴兩圓相交；B項(xiàng)，圓心C2(2，－2)，半徑r2＝3，∵|C2C|＝5＝r＋r2，∴兩圓外切，滿足條件；C項(xiàng)，圓心C3(2,2)，半徑r3＝5，∵|C3C|＝3＝r3－r，∴兩圓內(nèi)切；D項(xiàng)，圓心C4(2，－2)，半徑r4＝7，∵|C4C|＝5＝r4－r，∴兩圓內(nèi)切.7.已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，則實(shí)數(shù)a，b的關(guān)系是____________.4a2＋b2＝1解析圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2a)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為(－2a，0)，半徑長(zhǎng)為2.圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－b)2＝1.圓心坐標(biāo)為(0，b)，半徑長(zhǎng)為1.由于兩圓只有一條公切線，所以兩圓相內(nèi)切，12345678910111213141516整理得4a2＋b2＝1.8.經(jīng)過直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝2的交點(diǎn)，且過點(diǎn)(1,2)的圓的方程為______________________.123456789101112131415169.已知兩圓C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直線l：x＋2y＝0.(1)當(dāng)圓C1與圓C2相交且公共弦長(zhǎng)為4時(shí)，求r的值；解由圓C1：x2＋y2＝4，知圓心C1(0,0)，半徑r1＝2，又由圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，兩式相減可得公共弦所在的直線方程為2x＋4y－9＋r2＝0.因?yàn)閳AC1與圓C2相交且公共弦長(zhǎng)為4，此時(shí)相交弦過圓心C1(0,0)，即r2＝9(r>0)，解得r＝3.12345678910111213141516(2)當(dāng)r＝1時(shí)，求經(jīng)過圓C1與圓C2的交點(diǎn)且和直線l相切的圓的方程.解設(shè)過圓C1與圓C2的圓系方程為(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)·y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，12345678910111213141516故所求圓的方程為x2＋y2－x－2y＝0.10.已知圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.(1)若直線l1過定點(diǎn)A(1,1)，且與圓C相切，求l1的方程；12345678910111213141516解圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝4，所以圓C的圓心為(3,4)，半徑為2.①若直線l1的斜率不存在，即直線為x＝1，符合題意.②若直線l1的斜率存在，設(shè)直線l1的方程為y－1＝k(x－1).即kx－y－k＋1＝0.由題意知，圓心(3,4)到已知直線l1的距離等于半徑2，12345678910111213141516綜上，所求l1的方程為x＝1和5x－12y＋7＝0.(2)若圓D的半徑為3，圓心在直線l2：x－y＋2＝0上，且與圓C外切，求圓D的方程.12345678910111213141516解依題意，設(shè)D(a，a＋2).又已知圓C的圓心為(3,4)，半徑為2，由兩圓外切，可知|CD|＝5，解得a＝－1或a＝6.∴D(－1,1)或D(6,8)，∴所求圓D的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.11.設(shè)兩圓C1，C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點(diǎn)(4,1)，則兩圓圓心的距離|C1C2|為√12345678910111213141516綜合運(yùn)用解析∵兩圓與兩坐標(biāo)軸都相切，且都經(jīng)過點(diǎn)(4,1)，∴兩圓圓心均在第一象限且都在直線y＝x上.設(shè)兩圓的圓心分別為(a，a)，(b，b)，則有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b為方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的兩個(gè)根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，1234567891011121314151612.(多選)圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交點(diǎn)為A，B，則有A.公共弦AB所在直線的方程為x－y＝0B.線段AB中垂線的方程為x＋y－1＝0C.公共弦AB的長(zhǎng)為D.P為圓O1上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為√12345678910111213141516√√解析對(duì)于A，由圓O1：x2＋y2－2x＝0與圓O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交點(diǎn)為A，B，兩式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直線方程為x－y＝0，故A正確；對(duì)于B，圓O1：x2＋y2－2x＝0的圓心為(1,0)，又kAB＝1，則線段AB中垂線的斜率為－1，即線段AB中垂線的方程為y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正確；1234567891011121314151612345678910111213141516解析由題知，直線AB為2x＋y＋8－a＝0，當(dāng)∠PAB＝90°或∠PBA＝90°時(shí)，設(shè)C1到AB的距離為d，因?yàn)椤鰽BP為等腰直角三角形，13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1:x2

＋y2＝8與圓C2:x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A，B兩點(diǎn).若圓C1上存在點(diǎn)P，使得△ABP為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)a的值組成的集合為____________________.12345678910111213141516當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，AB經(jīng)過圓心C1，則8－a＝0，即a＝8.14.過兩圓x2＋y2－2y－4＝0與x2＋y2－4x＋2y＝0的交點(diǎn)，且圓心在直線l：2x＋4y－1＝0上的圓的方程是____________________.解析設(shè)圓的方程為x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，則(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，12345678910111213141516x2＋y2－3x＋y－1＝0所以所求圓的方程為x2＋y2－3x＋y－1＝0.15