滬科版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)23-2解直角三角形及其應(yīng)用第四課時(shí)坡度問題及其他應(yīng)用課件

第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其應(yīng)用第四課時(shí)坡度問題及其他應(yīng)用1.(2024安徽六安霍邱期末)如圖,河堤橫斷面迎水坡AB的坡

比i=1∶

,則∠BAC等于

(

)A.60°

B.55°

C.45°

D.30°

基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)4坡度問題D解析∵河堤橫斷面迎水坡AB的坡比i=1∶

,∴tan∠BAC=

=

=

,∴∠BAC=30°.故選D.2.(2024安徽合肥蜀山期末)在坡度i=1∶2.4的山坡上種樹,要

求相鄰兩棵樹之間的水平距離是6米,則斜坡上相鄰兩棵樹

之間的坡面距離是

(

)A.6米

B.6.5米C.13米

D.14.4米B解析∵山坡的坡度i=1∶2.4,相鄰兩棵樹之間的水平距離

是6米,∴鉛直高度為6÷2.4=

(米),由勾股定理得,相鄰兩棵樹之間的坡面距離為

=

=6.5(米),故選B.3.(2023廣東深圳中考)爬坡時(shí)坡面與水平面夾角為α,則每爬

1m耗能(1.025-cosα)J,若某人爬了1000m,該坡坡角為30°,

則他耗能(參考數(shù)據(jù):

≈1.732,

≈1.414)(M9123005)(

)A.58J

B.159JC.1025J

D.1732JB解析某人爬了1000m,該坡坡角為30°,則他耗能1000×(1.0

25-cos30°)=1000×

≈159(J),故選B.4.如圖,一輛貨車車廂底板離地面的高度為1.5米,為了方便卸

貨,需要用一塊木板搭成一個(gè)斜面,要使斜面與水平地面的夾

角不大于30°,則這塊木板的長(zhǎng)度至少為

米.3解析如圖,AC長(zhǎng)為車廂底板離地面的高度,即AC=1.5米,AB

是所求木板的長(zhǎng)度,因?yàn)樵谥苯侨切蜛BC中,∠B=30°,所以

AB=

=2×1.5=3(米).∴要使斜面與水平地面的夾角不大于30°,則這塊木板的長(zhǎng)度至少為3米.

5.如圖,若一個(gè)小球由桌面上的B處沿著斜坡向上前進(jìn)了10

cm到達(dá)A處,此時(shí)小球距離桌面的高度為5cm,則這個(gè)斜坡的

坡度為

.

1∶解析在Rt△ABC中,AB=10cm,AC=5cm,則BC=

=

=5

cm,∴斜坡的坡度i=AC∶BC=5∶5

=1∶

.6.(安徽景點(diǎn)·渡江戰(zhàn)役紀(jì)念館)渡江戰(zhàn)役紀(jì)念館是安徽省的

國家二級(jí)博物館,實(shí)物圖如圖1,示意圖如圖2.某學(xué)校數(shù)學(xué)興

趣小組通過測(cè)量得知,紀(jì)念館外輪廓斜坡AB的坡度i=1∶

,BC=50m,∠ACB=135°,求館頂A離地面BC的距離.(結(jié)果精確

到0.1m,參考數(shù)據(jù):

≈1.41,

≈1.73)(M9123005)

圖1

圖2解析如圖,過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.∵∠ACB=135°,∴∠ACD=45°,∴△ADC為等腰直角三角形.

設(shè)AD=xm,則CD=xm,∴BD=(50+x)m,∵斜坡AB的坡度i=1∶

,∴x∶(50+x)=1∶

,整理得(

-1)x=50,解得x=25(

+1)≈68.3.答:館頂A離地面BC的距離約為68.3m.

7.(教材變式·P129T1)(2023湖北仙桃中考)為了防洪需要,某

地決定新建一座攔水壩,如圖,攔水壩的橫斷面為梯形ABCD,

斜面坡度i=3∶4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比.

已知斜坡CD長(zhǎng)度為20米,∠C=18°,求斜坡AB的長(zhǎng).(結(jié)果精確

到0.1米)(參考數(shù)據(jù):sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.3

2)(M9123005)

解析如圖,過點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,由題意得,AF⊥BC,DE=AF,∵斜面AB的坡度i=3∶4,∴

=

.設(shè)AF=3x米,則BF=4x米,在Rt△ABF中,AB=

=

=5x(米),在Rt△DEC中,∠C=18°,CD=20米,∴DE=CD·sin18°≈20×0.31=6.2

(米),∴AF=DE=6.2米,∴3x=6.2,解得x=

.∴AB=5x≈10.3(米),∴斜坡AB的長(zhǎng)約為10.3米.方法歸納用“分割法”求解堤壩問題解決堤壩問題常用的方法是分割法,通過添加輔助線,將四邊

形分成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形,進(jìn)而利用坡度的知識(shí)解

決.知識(shí)點(diǎn)5解直角三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用8.(2024安徽合肥肥西期末)某景點(diǎn)想修建如圖所示的簡(jiǎn)易遮

陽棚.點(diǎn)D,A,E在同一水平線上,測(cè)得∠DAC=79°,∠BCA=109°,AC=2米,AN=1.35米,求遮陽棚最高點(diǎn)B到地面的距離BN的

長(zhǎng).(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin79°≈0.98,cos79°≈0.19,

tan79°≈5.14,

≈1.73)(M9123005)解析過點(diǎn)C作CF⊥BN于F,CM⊥DE于M,如圖,∵∠CFN=∠FNM=∠CMN=90°,∴四邊形CMNF是矩形,∴CM=NF,CF=MN,∠MCF=90°.在Rt△ACM中,AM=AC·cos∠DAC=AC·cos79°≈2×0.19=0.38

米,CM=AC·sin79°≈2×0.98=1.96米,∴MN=CF=AN+AM=1.35+0.38=1.73米.∵∠DAC=79°,CF∥

MN,∴∠ACF=79°,∴∠BCF=109°-79°=30°,∴BF=CF·tan30°=1.73×

≈1.00米,∴BN=NF+BF=1.96+1.00=2.96≈3.0米.

9.(一題多解)(2021安徽中考)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,學(xué)習(xí)制作

機(jī)械零件.零件的截面如圖中陰影部分所示,已知四邊形

AEFD為矩形,點(diǎn)B、C分別在EF、DF上,∠ABC=90°,∠BAD=

53°,AB=10cm,BC=6cm.求零件的截面面積.參考數(shù)據(jù):sin53°

≈0.80,cos53°≈0.60.(M9123005)

解析解法一:∵四邊形AEFD為矩形,∴AD∥EF,∠E=∠F=90°,∴∠BAD=∠EBA=53°.在Rt△ABE中,∠E=90°,AB=10cm,∠EBA=53°,∴sin∠EBA=

≈0.80,cos∠EBA=

≈0.60,∴AE≈8cm,BE≈6cm.∵∠ABC=90°,∴∠FBC=90°-∠EBA=37°,∴∠BCF=90°-∠FBC=53°.在Rt△BCF中,∠F=90°,BC=6cm,∴sin∠BCF=

≈0.80,cos∠BCF=

≈0.60,∴BF≈4.8cm,FC≈3.6cm,∴EF=6+4.8=10.8cm,∴

=AE·EF=8×10.8=86.4(cm2),S△ABE=

AE·BE=

×8×6=24(cm2),S△BCF=

BF·CF=

×4.8×3.6=8.64(cm2),∴零件的截面面積=

-S△ABE-S△BCF=86.4-24-8.64=53.76(cm2).解法二:如圖,延長(zhǎng)AB交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,∵∠M=∠M,∠MBC=∠ADM=90°,∴△MBC∽△MDA,∴∠BCM=∠BAD=53°,∴cos53°=

≈0.6,∴CM≈10cm.∴BM=

=8cm,∴AM=AB+BM=18cm.∵在Rt△ADM中,AD=AM·cos∠MAD≈10.8cm,DM=AM·sin∠MAD≈14.4cm,∴零件的截面面積=S△ADM-S△BCM

=

AD·DM-

BC·BM=53.76(cm2).10.(2023湖北十堰中考,7,?)如圖所示,有一天橋高AB為5米,BC是通向天橋的斜坡,∠ACB=45°,市政部門啟動(dòng)“陡改

緩”工程,決定將斜坡的底端C延伸到D處,使∠BDA=30°,則

CD的長(zhǎng)度約為(參考數(shù)據(jù):

≈1.414,

≈1.732)(M9123005)(

)A.1.59米

B.2.07米

C.3.55米

D.3.66米D能力提升全練解析在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=45°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴AC=AB=5米,在Rt△ABD中,∠BAD

=90°,∠BDA=30°,∴∠ABD=60°,∴

=tan∠ABD=tan60°=

,∴AD=

AB,∴CD=AD-AC=

AB-AC≈1.732×5-5=3.66(米),∴CD的長(zhǎng)度約為3.66米,故選D.11.(2023廣西中考,17,?)如圖,焊接一個(gè)鋼架,包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱,則共需鋼材約

m(結(jié)果取整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan

37°≈0.75)(M9123005)21解析∵CA=CB,CD⊥AB,∴AD=BD=

AB.在Rt△ACD中,∠CAD=37°,CD=3m,∴AC=

≈

=5(m),AD=

≈

=4(m),∴CA=CB=5m,AB=2AD=8(m),∴共需鋼材約5+5+8+3=21(m).12.(情境題·現(xiàn)實(shí)生活)(2024安徽六安月考,18,?)張老師家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭(如圖①),完全開啟后,

把手AM與水平線的夾角為37°,此時(shí)把手端點(diǎn)A、出水口點(diǎn)B

和落水點(diǎn)C在同一直線上,洗手盆及水龍頭示意圖如圖②,其

相關(guān)數(shù)據(jù)為AM=10cm,MD=6cm,DE=22cm,EH=38cm,求EC

的長(zhǎng).

結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù):sin37°≈

,cos37°≈

,tan37°≈

,

≈1.73

(M9123005)

圖①

圖②解析過點(diǎn)A作AG⊥EH于G,過點(diǎn)M作MN⊥AG于N,如圖所

示,則四邊形MEGN為矩形,∴EG=MN,NG=ME=MD+DE=6+22=28(cm),在Rt△AMN中,sin∠AMN=

,cos∠AMN=

,∴AN=AM·sin37°≈10×

=6(cm),MN=AM·cos37°≈10×

=8(cm),∴EG=8cm,AG=AN+NG=6+28=34(cm),∵∠ACG=60°,

∴CG=

=

=

≈19.61(cm),∴EC=EG+CG=8+19.61≈27.6(cm).答:EC的長(zhǎng)約為27.6cm.

13.(2020四川瀘州中考,23,?)如圖,為了測(cè)量某條河的對(duì)岸邊上C,D兩點(diǎn)間的距離,在河的岸邊與CD平行的直線EF上

取兩點(diǎn)A,B,測(cè)得∠BAC=45°,∠ABC=37°,∠DBF=60°,量得AB

長(zhǎng)為70米.求C,D兩點(diǎn)間的距離.

參考數(shù)據(jù):sin37°≈

,cos37°≈

,tan37°≈

(M9123005)

解析如圖,過點(diǎn)C、D分別作CM⊥EF,DN⊥EF,垂足為M、

N,在Rt△AMC中,∵∠BAC=45°,∴AM=MC,在Rt△BMC中,∵∠ABC=37°,tan∠ABC=

,∴BM=

≈

CM,∵AB=AM+BM=CM+

CM=70米,∴CM=30米=DN,在Rt△BDN中,∵∠DBN=60°,∴BN=

=

=10

(米),∴CD=MN=MB+BN=

×30+10

=(40+10

)米.答:C,D兩點(diǎn)間的距離約為(40+10

)米.14.(2023遼寧中考,22,?)暑假期間,小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山,需要登頂600m高的山峰,由山底A處先步

行300m到達(dá)B處,再由B處乘坐登山纜車到達(dá)山頂D處.如圖,

已知點(diǎn)A,B,D,E,F在同一平面內(nèi),山坡AB的坡角為30°,纜車行

駛路線BD與水平面的夾角為53°(換乘登山纜車的時(shí)間忽略

不計(jì)).(M9123005)(1)求登山纜車上升的高度DE;(2)若步行速度為30m/min,登山纜車的速度為60m/min,求從

山底A處到達(dá)山頂D處大約需要多少分鐘(結(jié)果精確到0.1min).(參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)

解析

(1)如圖,過點(diǎn)B作BM⊥AF于點(diǎn)M,由題意可知,∠A=30°,∠DBE=53°,DF=600m,AB=300m,在Rt△ABM中,∠A=30°,AB=300m,∴BM=

AB=150m=EF,∴DE=DF-EF=600-150=450(m).答:登山纜車上升的高度DE為450m.(2)在Rt△BDE中,∠DBE=53°,DE=450m,∴BD=

≈

=562.5(m),∴需要的時(shí)間=

+

≈19.4(min).答:從山底A處到達(dá)山頂D處大約需要19.4分鐘.素養(yǎng)探究全練15.(推理能力)閱讀材料:如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,

∠B,∠