青島版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(一)與全等三角形相關(guān)的四大模型課件

專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練(一)與全等三角形相關(guān)的四大模型類型一一線三等角模型1.(2024湖南株洲二中期中)如圖,D、E、F分別為△ABC的邊

AC、AB、BC上的點(diǎn),∠A=∠1=∠C,DE=DF,下面的結(jié)論一

定成立的是

()

A.AE=FC

B.AE=DEC.AE+FC=AC

D.AD+FC=ABC解析因?yàn)椤螩DE=∠1+∠CDF=∠A+∠AED,∠A=∠1,所以

∠CDF=∠AED.在△ADE和△CFD中,

所以△ADE≌△CFD(AAS),所以AE=CD,AD=CF,所以AE+FC=

CD+AD=AC,故選C.2.(2023浙江杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中)如圖,在△ABC中,∠BAC=

90°,AB=AC,AE是經(jīng)過點(diǎn)A的一條直線,且B,C在AE的兩側(cè),BD

⊥AE于D,CE⊥AE于E,CE=2,BD=6,則DE的長(zhǎng)為

()

A.2B.3C.5D.4D解析因?yàn)锽D⊥AE,CE⊥AE,所以∠ADB=∠CEA=90°,所以

∠BAD=90°-∠ABD,因?yàn)椤螧AC=90°,所以∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAD=90°-∠CAE,所以∠ABD=∠CAE.又∠ADB=∠CEA,AB=CA,所以△ABD≌△CAE,所以BD=AE,AD=CE.所以DE=AE-AD=BD-CE=6-2=4.故選D.3.課間,小明拿著老師的等腰直角三角尺玩,不小心三角尺掉

到兩堆磚塊之間,如圖所示,AD⊥DE,BE⊥DE.(1)求證:△ADC≌△CEB.(2)已知DE=35cm,請(qǐng)你幫小明求出一塊磚的厚度a(每塊磚的

厚度相同).

解析(1)證明:由題意得AC=BC,∠ACB=90°,∵AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∵∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC.在△ADC和△CEB中,

∴△ADC≌△CEB(AAS).(2)∵一塊磚的厚度為a,∴AD=4a,BE=3a,由(1)得△ADC≌△CEB,∴DC=BE=3a,AD=CE=4a,∴DE=DC+CE=3a+4a=7a=35cm,∴a=5cm.答:一塊磚的厚度為5cm.類型二手拉手模型4.(2024湖南株洲二中期中)已知:如圖,在△ABC、△ADE中,

∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,點(diǎn)C、D、E在同一直線

上,連接BD.(1)求證:△BAD≌△CAE.(2)請(qǐng)判斷BD、CE有何數(shù)量、位置關(guān)系,并證明.解析(1)證明:因?yàn)椤螧AC=∠DAE=90°,所以∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,所以∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,

所以△BAD≌△CAE(SAS).(2)BD=CE,BD⊥CE,證明如下:由(1)知△BAD≌△CAE,所以BD=CE,∠ABD=∠ACE.因?yàn)椤螧AC=90°,AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=45°,所以∠ABD+∠DBC=45°,所以∠ACE+∠DBC=45°,所以∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°,所以∠BDC=90°,即BD⊥CE.類型三半角模型5.在四邊形ABDC中,∠B=∠C=90°,DB=DC,∠BDC=120°,以D

為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角,角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn),

連接EF,探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證

明.

解析結(jié)論:EF=BE+CF.證明如下:如圖,延長(zhǎng)AB到M,使BM=CF,

因?yàn)椤螦BD=90°,所以∠MBD=90°,因?yàn)椤螩=90°,所以∠MBD=∠C.在△BDM與△CDF中,

所以△BDM≌△CDF(SAS),所以DM=DF,∠BDM=∠CDF,所以∠EDM=∠EDB+∠BDM=∠EDB+∠CDF=∠CDB-∠

EDF=120°-60°=60°,所以∠EDM=∠EDF.在△DEM與△DEF中,

所以△DEM≌△DEF(SAS),所以EF=EM,因?yàn)镋M=BE+BM=BE+CF,所以EF=BE+CF.類型四對(duì)角互補(bǔ)模型6.(1)問題情境:如圖1,∠AOB=90°,OC平分∠AOB,把三角尺

的直角頂點(diǎn)放在OC的任意一點(diǎn)P上,并使三角尺的兩條直角

邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)E、F,PF與PE相等嗎?請(qǐng)你給出

證明.(2)變式拓展:如圖2,已知∠AOB=120°,OC平分∠AOB,P是OC

上一點(diǎn),∠EPF=60°,PE與OA相交于點(diǎn)E,PF與射線OB的反向

延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,PE與PF還相等嗎?為什么?圖1

圖2解析(1)相等.證明:過點(diǎn)P作PM⊥OB于M,PN⊥OA于N,如圖,

所以∠PMO=∠PMF=∠PNO=90°.因?yàn)镺C平分∠AOB,所以∠POM=∠PON.在△POM和△PON中,

所以△POM≌△PON(AAS),所以PM=PN.因?yàn)椤螾MO=∠PNO=∠MON=90°,所以∠MPN=360°-3×90°=90°,因?yàn)椤螹PN=∠EPF=90°,所以∠MPF=∠NPE.在△PMF和△PNE中,

所以△PMF≌△PNE(ASA),所以PF=PE.(2)相等.理由如下:如圖,過點(diǎn)P作PM⊥OB于M,PN⊥OA于N,∴∠PMF=∠PNE=∠PNO=90°.同(1)可得△POM≌△PON(AAS),所以PM=PN.因?yàn)椤螾MO