《通信原理與通信技術(shù)》課件第8章

第8章差錯(cuò)控制編碼

8.1差錯(cuò)控制編碼的概念

8.2差錯(cuò)控制方式

8.3差錯(cuò)控制編碼分類

8.4檢錯(cuò)和糾錯(cuò)原理

8.5幾種常用的檢錯(cuò)碼

8.6線性分組碼

8.7循環(huán)碼

8.8小資料——香農(nóng)

8.1差錯(cuò)控制編碼的基本概念

對(duì)于模擬信號(hào)而言，信號(hào)波形會(huì)發(fā)生畸變，引起信號(hào)失真（即信息失真），并且信號(hào)一旦失真就很難糾正過來。因此，在模擬系統(tǒng)中只能采取各種抗干擾、防干擾措施盡量將干擾降到最低程度以保證通信質(zhì)量。而在數(shù)字系統(tǒng)中，盡管干擾同樣會(huì)使信號(hào)產(chǎn)生變形，但一定程度的信號(hào)畸變不會(huì)影響對(duì)數(shù)字信息的接收，因?yàn)槲覀冎魂P(guān)心數(shù)字信號(hào)的電平狀態(tài)（是高電平還是低電平，或者是正電平還是負(fù)電平），而不太在乎其波形的失真。也就是說，數(shù)字系統(tǒng)對(duì)干擾或信道特性不良的寬容度比模擬系統(tǒng)的大（這就是數(shù)字通信比模擬通信抗干擾能力強(qiáng)的原因之一）。但是，當(dāng)干擾超過系統(tǒng)的限度時(shí)，就會(huì)使數(shù)字信號(hào)產(chǎn)生誤碼，從而引起信息傳輸錯(cuò)誤。數(shù)字通信系統(tǒng)除了可以采取與模擬系統(tǒng)同樣的措施以降低干擾和信道不良對(duì)信號(hào)造成的影響之外，還可以通過對(duì)所傳數(shù)字信息進(jìn)行特殊處理（即差錯(cuò)控制編碼）對(duì)誤碼進(jìn)行檢錯(cuò)和糾錯(cuò)，以進(jìn)一步將誤碼率降低，從而滿足通信要求。因此，數(shù)字通信系統(tǒng)可以從硬件上的抗干擾措施和軟件上的信道編碼兩個(gè)方面對(duì)信息傳輸中出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行控制和糾正。

圖8－1兩種通信系統(tǒng)干擾示意圖

在圖1-3中，我們看到數(shù)字通信系統(tǒng)有信源編/譯碼和信道編/譯碼兩對(duì)功能模塊。因?yàn)樾旁摧敵鍪菙y帶模擬消息的模擬信號(hào)，所以，信源編碼模塊的主要任務(wù)是把模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)（比如采用PCM實(shí)現(xiàn)A/D轉(zhuǎn)換，形成原始編碼）。若信源輸出為離散消息（則圖1-3也可以看做是一個(gè)數(shù)據(jù)通信系統(tǒng)的示意圖），信源編碼模塊的主要任務(wù)則是把這些離散消息變成數(shù)字代碼（數(shù)據(jù)），并盡量減少編碼多余度（原始碼元個(gè)數(shù)），從而提高編碼效率并降低碼元速率。比如，消息“真”和“假”可以用符號(hào)“T”和“F”表示，那么信源編碼就是將消息符號(hào)“T”和“F”變換成“0”和“1”、“00”和“11”或其他碼字，顯然，“0”和“1”的編碼效率最高?？梢姡旁淳幋a就是把信源的消息符號(hào)變換成數(shù)據(jù)的過程。信源編碼的主要目的是提高通信的有效性，信源譯碼模塊則完成信源編碼的逆向過程。

信道編碼的目的是提高通信過程的可靠性，其主要任務(wù)就是對(duì)信源編碼器輸出的數(shù)字基帶信號(hào)按一定的規(guī)律加入一些冗余碼元，使之?dāng)y帶檢、糾錯(cuò)信息，以便于收信端利用這些信息檢出或糾正通信過程中出現(xiàn)的錯(cuò)碼，從而提高信息傳輸?shù)目煽啃??？梢?，信道編碼就是使原來沒有規(guī)律性或規(guī)律性不強(qiáng)的原始數(shù)字信號(hào)變換成了具有規(guī)律性或規(guī)律性變強(qiáng)的數(shù)字信號(hào)，而信道譯碼則是利用這種規(guī)律性來鑒別信號(hào)是否發(fā)生錯(cuò)誤或進(jìn)而糾正錯(cuò)誤。香農(nóng)在1848年和1957年發(fā)表的《通信的數(shù)學(xué)理論》、《適用于有擾信道的編碼理論某些成果》兩篇論文中提出了關(guān)于有擾信道中信息傳輸?shù)闹匾碚摗戕r(nóng)第二定理。該定理指出：對(duì)于一個(gè)給定的有擾信道，若該信道容量為C，則只要信道中的信息傳輸速率R小于C，就一定存在一種編碼方式，使編碼后的誤碼率隨著碼長(zhǎng)n的增加按指數(shù)下降到任意小的值?；蛘哒f只要R<C，就存在傳輸速率為R的糾錯(cuò)碼。

該定理雖然沒有明確指出如何對(duì)數(shù)據(jù)信息進(jìn)行糾錯(cuò)編碼，也沒有給出這種具有糾錯(cuò)能力通信系統(tǒng)的具體實(shí)現(xiàn)方法，但它奠定了信道編碼的理論基礎(chǔ)，并為人們從理論上指出了信道編碼的努力方向。

綜上所述，信道編碼的基本思想就是在數(shù)字信號(hào)序列中加入一些冗余碼元。這些冗余碼元不含有通信信息，但與信號(hào)序列中的信息碼元有著某種制約關(guān)系，這種關(guān)系在一定程度上可以幫助人們發(fā)現(xiàn)或糾正在信息序列中出現(xiàn)的錯(cuò)誤（也就是誤碼），從而起到降低誤碼率、提高可靠性的作用。這些冗余碼元被稱為監(jiān)督（或校驗(yàn)）碼元。所謂信道編碼，就是尋找合適的方法將信息碼元和監(jiān)督碼元編排在一起的過程。

需要說明的是，一種比較流行的說法是“信道編碼就是差錯(cuò)控制編碼”。但在第6章中，我們知道基帶信號(hào)通常需要進(jìn)行碼型變換，使得數(shù)字信號(hào)與信道匹配，以利于在信道中傳輸，從而提高通信的可靠性。顯然，從目的上看，碼型變換和信道編碼是一致的，都是提高通信的可靠性；從通信流程上看，信道編碼和碼型變換緊密相連且都處在信號(hào)傳輸階段；另外，碼型變換實(shí)際上也是一種編碼。因此，我們認(rèn)為可以把碼型變換歸為信道編碼的一個(gè)分支，或者說，信道編碼應(yīng)該包含差錯(cuò)控制編碼和碼型變換兩部分內(nèi)容。差錯(cuò)控制編碼從解碼角度提高可靠性，而碼型變換從傳輸角度提高可靠性；差錯(cuò)控制編碼注重?cái)?shù)字信號(hào)的內(nèi)在規(guī)律性，而碼型變換強(qiáng)調(diào)數(shù)字信號(hào)的外在表現(xiàn)形式。這樣，圖1－3的系統(tǒng)功能才更加準(zhǔn)確和完善。至此，我們可以認(rèn)為：信道編碼是指對(duì)信源編碼器輸出的原始信息數(shù)據(jù)碼進(jìn)行差錯(cuò)控制編碼以及將其變換成適合信道傳輸?shù)拇a型的全過程。圖8-2信源編碼和信道編碼示意圖

8.2差錯(cuò)控制方式

前向糾錯(cuò)（FEC）、檢錯(cuò)重發(fā)（ARQ）和混合糾錯(cuò)（HEC）是常用的三種差錯(cuò)控制方式。圖8-3是這三種方式構(gòu)成的差錯(cuò)控制系統(tǒng)示意圖。圖8－3常用三種差錯(cuò)控制系統(tǒng)原理框圖在前向糾錯(cuò)系統(tǒng)中，發(fā)送端將信息碼經(jīng)信道編碼后變成能夠糾正錯(cuò)誤的碼組，然后通過信道發(fā)送出去；接收端收到這些碼組后，根據(jù)與發(fā)送端約定好的編碼規(guī)則，通過譯碼能自動(dòng)發(fā)現(xiàn)并糾正因傳輸帶來的數(shù)據(jù)錯(cuò)誤。前向糾錯(cuò)方式只要求單向信道，因此特別適合于只能提供單向信道的場(chǎng)合，同時(shí)也適合一點(diǎn)發(fā)送多點(diǎn)接收的廣播方式。因?yàn)椴恍枰獙?duì)發(fā)送端反饋信息，所以接收信號(hào)的延時(shí)小、實(shí)時(shí)性好。這種糾錯(cuò)系統(tǒng)的缺點(diǎn)是設(shè)備復(fù)雜、成本高，且糾錯(cuò)能力愈強(qiáng)，編譯碼設(shè)備就愈復(fù)雜。

檢錯(cuò)重發(fā)系統(tǒng)的發(fā)送端將信息碼編成能夠檢錯(cuò)的碼組發(fā)送到信道，接收端收到一個(gè)碼組后進(jìn)行檢驗(yàn)，將檢驗(yàn)結(jié)果（有誤碼或者無誤碼）通過反向信道反饋給發(fā)送端作為對(duì)發(fā)送端的一個(gè)應(yīng)答信號(hào)。發(fā)送端根據(jù)收到的應(yīng)答信號(hào)做出是繼續(xù)發(fā)送新的數(shù)據(jù)還是把出錯(cuò)的數(shù)據(jù)重發(fā)的判斷。

檢錯(cuò)重發(fā)系統(tǒng)根據(jù)工作方式不同又可分為三種，即停發(fā)等候重發(fā)系統(tǒng)、返回重發(fā)系統(tǒng)和選擇重發(fā)系統(tǒng)，如圖8－4所示。在圖8－4（a）中，發(fā)送端在t=0時(shí)刻將碼組1發(fā)給接收端，然后停止發(fā)送，等待接收端的應(yīng)答信號(hào)。接收端收到該碼組并檢驗(yàn)后，將應(yīng)答信號(hào)ACK發(fā)回發(fā)送端，發(fā)送端確認(rèn)碼組1無錯(cuò)，就將碼組2發(fā)送出來；接收端對(duì)碼組2進(jìn)行檢驗(yàn)后通過應(yīng)答信號(hào)NAK告訴發(fā)送端有錯(cuò)誤，發(fā)送端將碼組2重新發(fā)送一次，接收端第二次收到碼組2經(jīng)檢驗(yàn)后無錯(cuò)，即可通過ACK信號(hào)告訴發(fā)送端無錯(cuò)，發(fā)送端接著發(fā)送碼組3……從上述過程中可見，發(fā)送端由于要等接收端的應(yīng)答信號(hào)，發(fā)送過程是間歇式的，因此數(shù)據(jù)傳輸效率不高。但由于該系統(tǒng)原理簡(jiǎn)單，因此在計(jì)算機(jī)通信中仍然得到應(yīng)用。

圖8－4檢錯(cuò)重發(fā)的三種工作方式返回重發(fā)系統(tǒng)的工作原理如圖8－3（b）所示。在這種系統(tǒng)中發(fā)送端不停頓地發(fā)送信息碼組，不再等候ACK信號(hào)，如果接收端發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并發(fā)回NAK信號(hào)，則發(fā)送端從下一個(gè)碼組開始重發(fā)前一段N個(gè)碼組。N的大小取決于信號(hào)傳輸和處理所造成的延時(shí)，也就是發(fā)送端從發(fā)錯(cuò)誤碼組開始，到收到NAK信號(hào)為止所發(fā)出的碼組個(gè)數(shù)，圖中N=5。接收端收到碼組2有錯(cuò)，發(fā)送端在碼組6后重發(fā)碼組2、3、4、5、6，接收端重新接收，發(fā)送端繼續(xù)發(fā)后續(xù)碼組。這種返回重發(fā)系統(tǒng)的傳輸效率比停發(fā)等候系統(tǒng)有很大改進(jìn)，在很多數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)中得到了應(yīng)用。

圖8－4（c）描述了選擇重發(fā)系統(tǒng)的工作過程。這種重發(fā)系統(tǒng)也是連續(xù)不斷地發(fā)送碼組，接收端檢測(cè)到錯(cuò)誤后發(fā)回NAK信號(hào)，但是發(fā)送端不是重發(fā)前N個(gè)碼組，而是只重發(fā)有錯(cuò)誤的那一組。圖中顯示發(fā)送端只重發(fā)接收端檢出有錯(cuò)的碼組2，對(duì)其他碼組不再重發(fā)。接收端對(duì)已認(rèn)可的碼組，從緩沖存儲(chǔ)器讀出時(shí)重新排序，恢復(fù)出正常的碼組序列。顯然，選擇重發(fā)系統(tǒng)傳輸效率最高，但價(jià)格也最貴，因?yàn)樗筝^為復(fù)雜的控制，在收、發(fā)兩端都要求有數(shù)據(jù)緩存器。

混合糾錯(cuò)方式是前向糾錯(cuò)方式和檢錯(cuò)重發(fā)方式的結(jié)合。如圖8－3（c）所示，其內(nèi)層采用FEC方式，糾正部分差錯(cuò)；外層采用ARQ方式，重傳那些雖已檢出但未糾正的差錯(cuò)?；旌霞m錯(cuò)方式在實(shí)時(shí)性和譯碼復(fù)雜性方面是前向糾錯(cuò)和檢錯(cuò)重發(fā)方式的折中，較適合于環(huán)路延遲大的高速數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)。

8.3差錯(cuò)控制編碼的分類

根據(jù)編碼方式和衡量標(biāo)準(zhǔn)的不同，差錯(cuò)控制編碼有多種形式和類別，其主要分類如下：

（1）檢錯(cuò)碼、糾錯(cuò)碼和糾刪碼。根據(jù)編碼功能可分為檢錯(cuò)碼、糾錯(cuò)碼和糾刪碼三種類型，只能完成檢錯(cuò)功能的叫檢錯(cuò)碼；具有糾錯(cuò)能力的叫糾錯(cuò)碼；而糾刪碼既可檢錯(cuò)也可糾錯(cuò)。

（2）線性碼和非線性碼。按照信息碼元和附加的監(jiān)督碼元之間的檢驗(yàn)關(guān)系可以分為線性碼和非線性碼。若信息碼元與監(jiān)督碼元之間的關(guān)系為線性關(guān)系，即監(jiān)督碼元是信息碼元的線性組合，則稱為線性碼。反之，若兩者不存在線性關(guān)系，則稱為非線性碼。（3）按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的約束方式可分為分組碼和卷積碼。在分組碼中，編碼前先把信息序列分為k位一組，然后用一定規(guī)則附加m位監(jiān)督碼元，形成n=k+m位的碼組。監(jiān)督碼元僅與本碼組的信息碼元有關(guān)，而與其他碼組的信息碼元無關(guān)。但在卷積碼中，碼組中的監(jiān)督碼元不但與本組信息碼元有關(guān)，而且與前面碼組的信息碼元也有約束關(guān)系，就像鏈條那樣一環(huán)扣—環(huán)，所以卷積碼又稱連環(huán)碼或鏈碼。

（4）系統(tǒng)碼與非系統(tǒng)碼。所有碼組的k信息位和m監(jiān)督位排列順序一致且互不相混的碼叫系統(tǒng)碼，反之就是非系統(tǒng)碼。

（5）糾正隨機(jī)錯(cuò)誤碼和糾正突發(fā)錯(cuò)誤碼。顧名思義，前者用于糾正因信道中出現(xiàn)的隨機(jī)獨(dú)立干擾引起的誤碼，后者主要對(duì)付信道中出現(xiàn)的突發(fā)錯(cuò)誤。

從上述分類中可以看到，一種編碼可以具有多樣性。本章主要介紹糾正隨機(jī)錯(cuò)誤的二進(jìn)制線性分組碼。

8.4檢錯(cuò)和糾錯(cuò)原理

在討論檢錯(cuò)和糾錯(cuò)問題之前，我們先介紹一下數(shù)字通信中碼元的兩種錯(cuò)誤形式：隨機(jī)錯(cuò)誤和突發(fā)錯(cuò)誤。

（1）隨機(jī)錯(cuò)誤：由隨機(jī)噪聲引起的碼元錯(cuò)誤。其特點(diǎn)是碼元中任意一位或幾位發(fā)生從0變1或從1變0的錯(cuò)誤是相互獨(dú)立的，彼此之間沒有聯(lián)系，一般不會(huì)引起成片的碼元錯(cuò)誤。

圖8-5通信差錯(cuò)分類及其表示（2）突發(fā)錯(cuò)誤：由突發(fā)噪聲引起的碼元錯(cuò)誤，比如閃電、電器開關(guān)的瞬態(tài)、磁帶缺陷等都屬于突發(fā)噪聲。該錯(cuò)誤的特點(diǎn)是各錯(cuò)誤碼元之間存在相關(guān)性，因此是成片出現(xiàn)的，也就是說，突發(fā)錯(cuò)誤是一個(gè)錯(cuò)誤序列，該序列的首部和尾部碼元都是錯(cuò)的，中間的碼元有錯(cuò)的也有對(duì)的，但錯(cuò)的碼元相對(duì)較多。錯(cuò)誤序列的長(zhǎng)度（包括首和尾在內(nèi)的錯(cuò)誤所波及的段落長(zhǎng)度）稱為突發(fā)長(zhǎng)度。

根據(jù)前面給出的基本概念我們知道，必須在信息碼序列中加入監(jiān)督碼元才能完成檢錯(cuò)和糾錯(cuò)功能，其前提是監(jiān)督碼元要與信息碼之間有一種特殊的關(guān)系。下面我們從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子出發(fā)，詳細(xì)介紹檢錯(cuò)和糾錯(cuò)的基本原理。

假設(shè)要發(fā)送一組具有四個(gè)狀態(tài)的數(shù)據(jù)信息（比如一個(gè)電壓信號(hào)的四個(gè)值，1V、2V、3V、4V）。我們首先要用二進(jìn)制碼對(duì)數(shù)據(jù)信息進(jìn)行編碼，顯然，用2位二進(jìn)制碼就可完成，其編碼表如表8－1所示。

表8－1

2位編碼表假設(shè)不經(jīng)信道編碼，在信道中直接傳輸按表中編碼規(guī)則得到的0、1數(shù)字序列，則在理想情況下，接收端收到00就認(rèn)為是1V，收到10就是3V，如此可完全了解發(fā)送端傳過來的信息。而在實(shí)際通信中由于干擾（噪聲）的影響，會(huì)使信息碼元發(fā)生錯(cuò)誤從而出現(xiàn)誤碼（比如碼組00變成10、01或11）。從上表可見，任何一組碼不管是一位還是兩位發(fā)生錯(cuò)誤，都會(huì)使該碼組變成另外一組信息碼，從而引起信息傳輸錯(cuò)誤。因此，以這種編碼形式得到的數(shù)字信號(hào)在傳輸過程中不具備檢錯(cuò)和糾錯(cuò)的能力，這是我們所不希望的。該例中問題的關(guān)鍵是2位二進(jìn)制碼的全部組合都是信息碼組或稱許用碼組，任何一位（或兩位）發(fā)生錯(cuò)誤都會(huì)引起歧義。為了克服這一缺點(diǎn)，我們?cè)诿拷M碼后面再加1位碼元，使2位碼組變成3位碼組。這樣，在3位碼組的8種組合中只有4組是許用碼組，而其余4種被稱為禁用碼組，編碼表變成表8－2。

在許用碼組000、011、101、110中，右邊加上的1位碼元就是監(jiān)督碼元，它的加入原則是使碼組中1的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，這樣監(jiān)督碼元就和前面2位信息碼元發(fā)生了關(guān)系。這種編碼方式稱為偶校驗(yàn)（EvenParity）；反之，如果加入原則是使碼組中1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則編碼方式稱為奇校驗(yàn)（OddParity）?，F(xiàn)在我們?cè)倏匆幌鲁霈F(xiàn)誤碼的情況，假設(shè)許用碼組000出現(xiàn)1位誤碼，即變成001、010或100三個(gè)碼組中的一個(gè)，可見這三個(gè)碼組中1的個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，是禁用碼組。因此，當(dāng)收信端收到這三個(gè)碼組中的任何一個(gè)時(shí)，就知道是誤碼。用這種方法可以發(fā)現(xiàn)1位或3位出現(xiàn)錯(cuò)誤的碼組，而無法檢出2位錯(cuò)誤，因?yàn)橐粋€(gè)碼組出現(xiàn)2位錯(cuò)誤，其奇偶性不變。那么，收信端能否從誤碼中判斷哪一位發(fā)生錯(cuò)誤了呢（即糾正錯(cuò)誤）？比如對(duì)誤碼001而言，如果是1位發(fā)生錯(cuò)誤，原碼可能是000、101或011；如果3位都錯(cuò)，原碼就是110，而我們現(xiàn)在無法判斷出原碼到底是哪一組。也就是說，通過增加一位監(jiān)督碼元，我們可以檢出1位或3位錯(cuò)誤（3位出錯(cuò)的概率極?。?，但無法糾正錯(cuò)誤。

我們能否通過增加監(jiān)督碼元的位數(shù)來增加檢錯(cuò)位數(shù)或?qū)崿F(xiàn)糾錯(cuò)功能呢？比如我們?cè)诒?－2中再加1位監(jiān)督碼元變成4位編碼（見表8－3），看看情況如何。

表8－3

4位編碼表

編碼原則仍然是偶校驗(yàn)。顯然，檢錯(cuò)1位和3位沒問題，但檢錯(cuò)2位還不行（比如0000變成1100，而1100是許用碼組）。設(shè)誤碼為1110，則可能的原碼為0110、1010、1100、1111四個(gè)（還按1位誤碼考慮），而0110、1010、1100都是許用碼組，所以無法糾錯(cuò)。必須注意，這里的糾錯(cuò)是對(duì)所有許用碼組而言的，部分許用碼組能夠糾錯(cuò)還不能稱之為能夠糾錯(cuò)，比如，誤碼0001的可能原碼有0000、0011、0101、1001，其中0011、0101和1001都是禁用碼組，所以原碼只能是0000，可見對(duì)0001可以糾錯(cuò)，但我們不能說這種編碼方式可以糾正一位錯(cuò)誤（因?yàn)椴荒軐?duì)全部許用碼組糾錯(cuò)）。可見，簡(jiǎn)單地增加一位監(jiān)督碼元并沒有提高檢錯(cuò)與糾錯(cuò)能力。那么，檢錯(cuò)與糾錯(cuò)能力到底與什么有關(guān)呢？在回答這個(gè)問題之前，我們先介紹兩個(gè)新概念——碼元的漢明（Hamming）距離和碼元的漢明重量。

所謂碼元的漢明距離，就是兩個(gè)碼組中對(duì)應(yīng)碼位上碼元不同的個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)稱碼距（也稱漢明距）。碼距反映的是碼組之間的差異程度。比如，00和01兩組碼的碼距為1，011和100的碼距為3。那么，多個(gè)碼組之間相互比較，可能會(huì)有不同的碼距，其中的最小值被稱為最小碼距（用dmin表示）。比如，000、001、110三個(gè)碼組相比較，碼距有1和2兩個(gè)值，則最小碼距為1；表8－3中的4個(gè)許用碼組的最小碼距為2。

有分析表明，一種編碼方式的檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力與許用碼組中的最小碼距有關(guān)。比如，表8－3中8個(gè)碼組的最小碼距為1，若這8個(gè)碼組都作為許用碼組，則沒有檢錯(cuò)能力，更不用說糾錯(cuò)了；若我們選取其中四個(gè)作為許用碼組，則最小碼距為2，可以檢出1位或3位錯(cuò)誤；如果只選兩組000和111為許用碼組時(shí)，其最小碼距為3，那么就可以發(fā)現(xiàn)所有2位以下的錯(cuò)誤，若用來糾錯(cuò)，則可糾正1位錯(cuò)誤。根據(jù)理論推導(dǎo)，可以得出以下結(jié)論：

(1)在一個(gè)碼組內(nèi)要想檢出e位誤碼，要求最小碼距為

（8.4－1）

(2)在一個(gè)碼組內(nèi)要想糾正t位誤碼，要求最小碼距為

（8.4－2）

(3)在一個(gè)碼組內(nèi)要想糾正t位誤碼，同時(shí)檢測(cè)出e位誤碼（e＞t），要求最小碼距為

（8.4－3）

假如有碼組0000和1111，其碼距為4。對(duì)式（8.4－1）可以這樣理解：若原碼為0000，接收碼為0001、0011或0111，顯然可以斷定接收碼出現(xiàn)1位、2位和3位錯(cuò)誤，即若只用于檢錯(cuò)，碼距為4的碼組可檢測(cè)出3位錯(cuò)誤；同樣的情況，用式（8.4－2）可以發(fā)現(xiàn)0001是錯(cuò)碼，并可認(rèn)定原碼為0000。但對(duì)0011不能糾正，因?yàn)闊o法斷定原碼是0000還是1111。而對(duì)0111，只能認(rèn)定是1位錯(cuò)誤，原碼為1111。所以，式（8.4－2）只能糾正1位錯(cuò)誤。所謂能糾正t位誤碼，同時(shí)檢測(cè)出e位誤碼，是指當(dāng)錯(cuò)碼不超過t位時(shí)，錯(cuò)碼能夠自動(dòng)糾正，當(dāng)錯(cuò)碼超過t位時(shí)，則不能糾正錯(cuò)誤，但仍可檢測(cè)出e位誤碼，這正是混和檢錯(cuò)糾錯(cuò)的控制方式。如上述碼組按式（8.4－3）可知，能夠糾正1位錯(cuò)誤，若收到0100，則可自動(dòng)將1變?yōu)?；若收到1100時(shí)，則無法糾正，但仍可發(fā)現(xiàn)有2位錯(cuò)誤，若收到1101，則只能按1位錯(cuò)誤糾正為1111，而不能判定為3位錯(cuò)誤糾正為0000。

有了上述結(jié)論，我們就知道表8－2和表8－3中的編碼檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力之所以一樣，是因?yàn)樗鼈兊淖钚〈a距都是2。

顯然，要提高編碼的糾、檢錯(cuò)能力，不能僅靠簡(jiǎn)單地增加監(jiān)督碼元位數(shù)（即冗余度），更重要的是要加大最小碼距（即碼組之間的差異程度）。而最小碼距的大小與編碼的冗余度是有關(guān)的，最小碼距增大，碼元的冗余度就增大，但碼元的冗余度增大，最小碼距不一定增大。因此，一種編碼方式具有檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力的必要條件是信息編碼必須有冗余，而充分條件是碼元之間要有一定的碼距。另外，檢錯(cuò)要求的冗余度比糾錯(cuò)要低。

在把k位信息碼編制成n位差錯(cuò)控制碼的過程中，我們把信息碼的位數(shù)k與差錯(cuò)控制碼的位數(shù)n之比定義為編碼效率，用Rc表示，即

因?yàn)閗<n，所以Rc<1。顯然，編碼的冗余度越大，編碼效率越低，也就是說，通信系統(tǒng)可靠性的提高，是以降低有效性（即編碼效率）來?yè)Q取的。差錯(cuò)控制編碼的關(guān)鍵技術(shù)（也是努力方向）就是尋找一種好的編碼方法，在一定的差錯(cuò)控制能力要求下，使得編碼效率盡可能地高，同時(shí)譯碼方法盡可能地簡(jiǎn)單。

碼元的漢明重量簡(jiǎn)稱碼重，被定義為一個(gè)碼字中非零碼元的個(gè)數(shù)。比如，碼字100110的碼重為3，0110的碼重是2。它反映一個(gè)碼字中“1”和“0”的“比重”。(8.4-4) 8.5幾種常用的檢錯(cuò)碼

8.5.1奇偶校驗(yàn)碼

奇偶校驗(yàn)碼是數(shù)據(jù)通信中最常見的一種簡(jiǎn)單檢錯(cuò)碼，其編碼規(guī)則是：把信息碼先分組，形成多個(gè)許用碼組，在每一個(gè)許用碼組最后（最低位）加上一位監(jiān)督碼元即可。加上監(jiān)督碼元后使該碼組中1的數(shù)目為奇數(shù)的編碼稱為奇校驗(yàn)碼，為偶數(shù)的編碼稱為偶校驗(yàn)碼。根據(jù)編碼分類，可知奇偶校驗(yàn)碼屬于一種檢錯(cuò)、線性、分組系統(tǒng)碼。

奇偶校驗(yàn)碼的監(jiān)督關(guān)系可以用以下公式進(jìn)行表述。假設(shè)一個(gè)碼組的長(zhǎng)度為n(在計(jì)算機(jī)通信中常為一個(gè)字節(jié))，表示為an-1an-2an-3…a0，其中前n-1位是信息碼，最后一位a0為校驗(yàn)位，那么，偶校驗(yàn)碼必須保證

監(jiān)督碼元a0的取值（0或1）可由下式?jīng)Q定：

對(duì)于偶校驗(yàn)碼必須保證監(jiān)督碼元a0的取值（0或1）可由下式?jīng)Q定：

根據(jù)奇偶校驗(yàn)的規(guī)則我們可以看到，當(dāng)碼組中的誤碼為偶數(shù)時(shí)，校驗(yàn)失效。比如有兩位發(fā)生錯(cuò)誤，則會(huì)有這樣幾種情況：00變成11、11變成00、01變成10、10變成01?？梢姡瑹o論哪種情況出現(xiàn)，都不會(huì)改變碼組的奇偶性，偶校驗(yàn)碼中1的個(gè)數(shù)仍為偶數(shù)，奇校驗(yàn)碼中1的個(gè)數(shù)仍為奇數(shù)。所以，簡(jiǎn)單的奇偶校驗(yàn)碼只能檢測(cè)出奇數(shù)個(gè)位發(fā)生錯(cuò)誤的碼組。

8.5.2水平奇偶校驗(yàn)碼

為克服上述簡(jiǎn)單奇偶校驗(yàn)碼檢錯(cuò)能力不高且不能檢測(cè)突發(fā)錯(cuò)誤的缺點(diǎn)，我們可以將經(jīng)過簡(jiǎn)單奇偶校驗(yàn)編碼的碼組按行排列成方陣，每一行是一個(gè)碼組，若有n個(gè)碼組則方陣就有n。比如，有經(jīng)過奇偶校驗(yàn)編碼的7個(gè)碼組01011011001、01010100100、00110000110、11000111001、00111111110、00010011111、11101100001排成方陣共有7行（見表8－4）。如果傳輸時(shí)按碼組逐行傳輸?shù)脑?，則與簡(jiǎn)單奇偶校驗(yàn)碼沒有區(qū)別。但若發(fā)信端按列進(jìn)行傳輸，即000100110010110010101…1001011（如表中箭頭所示），接收端按列接收后再按行還原成發(fā)送端的方陣，然后按行進(jìn)行奇偶校驗(yàn)，則糾錯(cuò)情況就會(huì)發(fā)生變化。觀察該表可見，因?yàn)槭侵鹆邪l(fā)送，在一列中不管出現(xiàn)幾個(gè)誤碼（偶數(shù)個(gè)或奇數(shù)個(gè)），對(duì)應(yīng)在每一行都只是一位誤碼，所以都可以通過水平奇偶校驗(yàn)檢驗(yàn)出來；但對(duì)于每一行（一個(gè)碼組）而言，仍然只能檢出所有奇數(shù)個(gè)錯(cuò)誤。與簡(jiǎn)單奇偶校驗(yàn)編碼相比，這種方法的最大優(yōu)點(diǎn)是可以檢出所有長(zhǎng)度小于行數(shù)（碼組數(shù)）的突發(fā)錯(cuò)誤。

表8－4水平偶校驗(yàn)碼

8.5.3二維奇偶校驗(yàn)碼

在上述水平奇偶校驗(yàn)編碼的基礎(chǔ)上，若再加上垂直奇偶校驗(yàn)編碼就構(gòu)成二維奇偶校驗(yàn)碼。比如對(duì)表8－4的7個(gè)碼組再加上一行就構(gòu)成二維偶校驗(yàn)碼，如表8－5所示。

二維奇偶校驗(yàn)碼在發(fā)送時(shí)仍按列發(fā)送（如箭頭所示），接收端順序接收后仍還原成表8－5所示的方陣形式。二維奇偶校驗(yàn)碼比一維奇偶校驗(yàn)碼多了個(gè)列校驗(yàn)，因此，其檢錯(cuò)能力有所提高，除了可檢出行中的所有奇數(shù)個(gè)誤碼及長(zhǎng)度不大于行數(shù)的突發(fā)性錯(cuò)誤外，還可檢出列中的所有奇數(shù)個(gè)誤碼及長(zhǎng)度不大于列數(shù)的突發(fā)性錯(cuò)誤，同時(shí)還能檢出碼組中大多數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)個(gè)錯(cuò)誤的情況。比如，在碼組1中頭兩位發(fā)生錯(cuò)誤，從01變成10，則第1列的1就變成3個(gè)，第2列的1也變成3個(gè)，而兩列的校驗(yàn)碼元都是0，所以可以查出這兩列有錯(cuò)誤，也就是說，碼組中出現(xiàn)了2位（偶數(shù)位）誤碼，但具體是哪一個(gè)碼組（那一行）出現(xiàn)誤碼還無法判斷。

表8－5二維偶校驗(yàn)碼

8.5.4群計(jì)數(shù)碼

在奇偶校驗(yàn)碼中，我們通過添加監(jiān)督位將碼組的碼重配成奇數(shù)或偶數(shù)。而群計(jì)數(shù)碼的編碼原則是先算出信息碼組的碼重（碼組中“1”的個(gè)數(shù)），然后用二進(jìn)制計(jì)數(shù)法將碼重作為監(jiān)督碼元添加到信息碼組的后面。比如表8－4中的7個(gè)信息碼組變成群計(jì)數(shù)碼后的形式見表8－6。

表8－6群計(jì)數(shù)碼

這種碼屬于非線性分組系統(tǒng)碼，其檢錯(cuò)能力很強(qiáng)，除了能檢出碼組中奇數(shù)個(gè)錯(cuò)誤之外，還能檢出偶數(shù)個(gè)0變1或1變0的錯(cuò)誤，但對(duì)1變0和0變1成對(duì)出現(xiàn)的誤碼無能為力?？梢则?yàn)證，除了無法檢出1變0和0變1成對(duì)出現(xiàn)的誤碼外，這種碼可以檢出其他所有形式的錯(cuò)誤。

8.5.5恒比碼

恒比碼的編碼原則是從確定碼長(zhǎng)的碼字中挑選那些“1”和“0”個(gè)數(shù)的比值一樣的碼字作為許用碼字。

這種碼通過計(jì)算接收碼組中1的個(gè)數(shù)目是否正確，就可檢測(cè)出有無錯(cuò)誤。表8－7是我國(guó)郵電部門在國(guó)內(nèi)通信中采用的五單位數(shù)字保護(hù)電碼，它是一種5中取3的恒比碼。每個(gè)碼組的長(zhǎng)度為5，其中1的個(gè)數(shù)為3，每個(gè)許用碼組中1和0個(gè)數(shù)的比值恒為3/2。許用碼組的個(gè)數(shù)就是5中取3的組合數(shù)，即C35=5!(3!2!)=10，正好可以表示10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字。

表8－7五單位保護(hù)電碼表

8.6線性分組碼

對(duì)于信源輸出的2k個(gè)離散消息，信源編碼器可以用k位二進(jìn)制碼對(duì)它們進(jìn)行編碼，形成2k個(gè)具有k位碼元的碼字（碼組），這些碼字被稱為信息碼字，我們用矩陣D表示。

若在每個(gè)k位信息碼字后面添加m位碼元，就會(huì)形成2k

個(gè)n位碼字（n=k+m）。而添加的m個(gè)碼元不攜帶將要傳送的信息，這些碼元被稱為監(jiān)督碼元或校驗(yàn)碼元。因此，把這種對(duì)每個(gè)信息碼字附加若干位監(jiān)督碼元的編碼方法所得到的碼字集合稱為分組碼，常用矩陣C表示。顯然，如果上述分組碼每個(gè)碼字之間沒有關(guān)系的話（彼此獨(dú)立或線性無關(guān)），則對(duì)于大的k值或n值（信息碼或分組碼的碼長(zhǎng)很大），編碼設(shè)備會(huì)極為復(fù)雜，因?yàn)榫幋a設(shè)備必須儲(chǔ)存2k個(gè)碼長(zhǎng)為n的碼字。因此，我們需要構(gòu)造碼字之間有某種關(guān)系的分組碼，以降低編碼的復(fù)雜性。線性分組碼就是滿足這一條件的一種分組碼。

如果分組碼中的信息碼元和監(jiān)督碼元滿足一組線性方程的話，則稱其為線性分組碼。否則，即為非線性分組碼。通常，把長(zhǎng)度為n，有2k個(gè)碼字的線性分組碼稱為線性（n，k）碼或（n，k）線性碼。線性分組碼有兩個(gè)重要性質(zhì)：

（1）封閉性。即任意兩個(gè)許用碼字之模2加仍為一個(gè)許用碼字，這個(gè)性質(zhì)隱含著線性分組碼必須包含全零碼字這一結(jié)論。

（2）碼字的最小碼距等于非零碼的最小碼重。利用這一性質(zhì)，我們可以迅速方便地找出一種線性分組碼的最小碼距，從而判斷該碼的檢/糾錯(cuò)能力。線性分組碼有兩個(gè)重要性質(zhì)：

（1）封閉性。即任意兩個(gè)許用碼字之模2加仍為一個(gè)許用碼字，這個(gè)性質(zhì)隱含著線性分組碼必須包含全零碼字這一結(jié)論。

（2）碼字的最小碼距等于非零碼的最小碼重。利用這一性質(zhì)，我們可以迅速方便地找出一種線性分組碼的最小碼距，從而判斷該碼的檢/糾錯(cuò)能力。

在（n，k）碼中，雖然有2k個(gè)碼字，但因?yàn)橛辛司€性條件，2k個(gè)碼字中只有k個(gè)獨(dú)立，其余的都可以通過這k個(gè)獨(dú)立的碼字線性組合而成（模2加），所以，編碼設(shè)備不再需要儲(chǔ)存2k個(gè)碼長(zhǎng)為n的碼字，而只需保存k個(gè)線性無關(guān)的碼字即可。

設(shè)有一（n，k）線性分組碼，即c1,c2,…，cn；其中信息碼字為d1，d2,…，dk，線性分組碼格式如圖8-6所示。具有這種結(jié)構(gòu)的線性分組碼又叫做線性分組系統(tǒng)碼。圖8－6線性分組碼格式

相應(yīng)的分組碼碼組行向量和信息碼組行向量為

則一個(gè)分組碼組的前k位是信息碼元，后n-k位是監(jiān)督碼元（設(shè)監(jiān)督碼元位數(shù)為m，則有m=n-k），每一個(gè)分組碼組可以由信息碼元線性組合而成，即（8.6－1）

（8.6－2）

c1=d1

c2=d2

c3=d3

┆

ck=dk

ck+1=h11d1⊕h12d2⊕…⊕h1kdk

ck+2=h21d1⊕h22d2⊕…⊕h2kdk

┆

cn=hm1d1⊕hm2d2⊕…⊕hmkdk

式中hij是二進(jìn)制常數(shù)，值為0或1；hmidi表示模2乘，也可表示為hm⊙idi。其運(yùn)算規(guī)則是：1⊙0=0⊙1=0⊙0=0；1⊙1=1?？梢?，在線性分組碼中，信息碼元和監(jiān)督碼元可以用線性方程聯(lián)系起來。上述各式描述一個(gè)分組碼碼組與一個(gè)信息碼碼組之間的關(guān)系。

將上述C與D的n個(gè)關(guān)系式用矩陣表示為

式中，G稱為生成矩陣，是一個(gè)k×n階矩陣，具體形式為

即

C=D·G

（8.6-3）

該矩陣又可分解為兩個(gè)子矩陣：

其中，Ik是k×k階單位陣；P為k×m階矩陣，即(8.6-4)這樣，分組碼C又可表示為

C=D[IkP]（8.6-5）

需要說明的是，上述各式中的C和D可以是由一個(gè)碼組構(gòu)成的一個(gè)行向量，也可以是由2k個(gè)行向量構(gòu)成的2k×n階分組碼矩陣或2k×k階信息碼矩陣。

式（8.6－3）說明，（n，k）線性碼完全由生成矩陣G的k行元素決定，即任意一個(gè)分組碼碼組都是G的線性組合。而（n，k）線性碼中的任何k個(gè)線性無關(guān)的碼組都可用來構(gòu)成生成矩陣，所以，生成矩陣G的各行都線性無關(guān)，如果各行之間有線性相關(guān)的，就不可能由G生成2k個(gè)不同的碼組了。其實(shí)，G的各行本身就是一個(gè)碼組，如果已有k個(gè)線性無關(guān)的碼組，則可用其直接構(gòu)成G矩陣，并由此生成其余碼字。

用能夠分塊為Ik和Q的生成矩陣G產(chǎn)生的線性分組碼就是系統(tǒng)碼，其特征是前k位元素與信息碼完全相同。不能分塊的生成矩陣G所產(chǎn)生的線性分組碼就是非系統(tǒng)碼。

系統(tǒng)碼的編碼器只需存儲(chǔ)k×m個(gè)元素（非系統(tǒng)碼要存儲(chǔ)k×n個(gè)），就可根據(jù)信息向量（矩陣）構(gòu)造出相應(yīng)的分組碼碼字（或分組碼矩陣），從而降低了編碼的復(fù)雜性，并提高了編碼效率。

由于系統(tǒng)碼的編/譯碼器比較簡(jiǎn)單，且檢、糾錯(cuò)性能與非系統(tǒng)碼相同，因此，以下只討論系統(tǒng)碼的相關(guān)問題。例題8－1

給定一個(gè)（7，4）線性分組碼的生成矩陣

若信息碼D=［1101］，求該信息碼的線性分組編碼C。解根據(jù)式（8.6－3）可得

即對(duì)信息碼［1101］的線性分組編碼為［1101000］。注意在矩陣乘法中，是模2乘和模2加。

上式也可寫成

由以上討論可知，編碼前的信息碼組共有2k種組合，而編碼后的碼組在k位信息碼元之外還附加了m位校驗(yàn)碼元，共有2n種組合，顯然，2n>2k，這就是說C與D的關(guān)系不唯一。因此，選擇適當(dāng)?shù)木仃嘝，就可得到既具有較強(qiáng)的檢錯(cuò)或糾錯(cuò)能力，實(shí)現(xiàn)方法又比較簡(jiǎn)單且編碼效率較高的一種線性分組碼。目前已經(jīng)找到不少性能較好的矩陣P。

例題8－2已知線性（6，3）碼的生成矩陣為

求兩組線性分組碼及差錯(cuò)控制能力。

解因?yàn)閗=3，所以信息碼碼組矩陣（8×3階）為則由式（8-6）可得出分組碼碼字矩陣分別為下面我們簡(jiǎn)要介紹譯碼原理。

從式（8.6－4）可得

C=D[IkP]=[DDP]=[DCm]（8.6-6）

Cm=DQ

（8.6-7）式中，Cm是k×m階監(jiān)督碼元矩陣。式（8.6-7）兩邊模2加Cm，可得DQ⊕Cm=0，該式可變?yōu)榫仃囅喑诵问剑矗?.6－8）

令其中QT是m×k階矩陣，可用P表示，即則有（8.6－9）

（8.6－10）

通常，把H稱為一致校驗(yàn)矩陣或一致監(jiān)督矩陣。具有[P

Im]形式的H矩陣稱為典型形式的監(jiān)督矩陣。由典型形式的監(jiān)督矩陣及信息碼元很容易算出各監(jiān)督碼元。CHT=0 （8.6-11）

該式說明任何碼組和校驗(yàn)矩陣H的轉(zhuǎn)置相乘，其結(jié)果為m位零向量，因此，用校驗(yàn)矩陣檢查二元序列是不是碼組非常方便，“校驗(yàn)”之名由此而來?？梢酝茖?dǎo)出校驗(yàn)矩陣H與生成矩陣G滿足

GHT=HGT=0（8.6－12）

將式（8.6-6）和HT代入式（8.6-8）可得

設(shè)行向量R=[r1，r2，…，rn]是收信端通過信道收到的碼組。由于信道干擾會(huì)產(chǎn)生誤碼，接收向量R和發(fā)送向量C就會(huì)有差別，我們用向量E=[e1，e2，…，en]表示這種差別。由此定義三者之間的關(guān)系為：

E=R+C （8.6-13）

這里的“+”號(hào)仍為模2加。若R中的某一位ri與C中的相同位ci一樣時(shí)，E中的ei=0；若不同（即出現(xiàn)誤碼），則ei=1?？梢娤蛄縀能夠反映誤碼狀況，因此，稱之為錯(cuò)誤向量或錯(cuò)誤圖樣。比如，發(fā)送向量C=[11011001]，而接收向量R=[10001011]，顯然，R中有3個(gè)錯(cuò)誤，由式（8.6-10）可得錯(cuò)誤圖樣E=[01010010]?？梢?，E的碼重就是誤碼的個(gè)數(shù)，因此E的碼重越小越好。

式（8.6－13）也可寫為

R=E+C

（8.6－14）

定義矩陣S為伴隨式

S=RHT

（8.6－15）

則由式（8.6－8）、（8.6－11）和（8.6－12）得

S=（E+C）HT=EHT+CHT=EHT

（8.6－16）

圖8-7線性分組碼編碼與譯碼示意圖 8.7循環(huán)碼

循環(huán)碼是線性分組碼的一個(gè)重要分支。循環(huán)碼有許多特殊的代數(shù)性質(zhì)，基于這些性質(zhì)，循環(huán)碼有較強(qiáng)的糾錯(cuò)能力，而且其編碼和譯碼電路很容易用移位寄存器實(shí)現(xiàn)，因而在FEC系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。

循環(huán)碼可定義為：對(duì)于一個(gè)（n，k）線性碼C，若其中的任一碼組向左或向右循環(huán)移動(dòng)任意位后仍是C中的一個(gè)碼組，則稱C是一個(gè)循環(huán)碼。循環(huán)碼是一種分組碼，前k位為信息碼元，后r位為監(jiān)督碼元。它除了具有線性分組碼的封閉性之外，還具有一個(gè)獨(dú)特的性質(zhì)即循環(huán)性。循環(huán)性指的是任一許用碼組經(jīng)過循環(huán)移位后所得到的碼組仍為一許用碼組。若C=[c1，c2，…，cn]是一個(gè)循環(huán)碼組，對(duì)它左循環(huán)移位一次，得到C（1）=[c2，c3，…，cn，c1]也是許用碼組，移位i次得到C(i)=[ci+1，ci+2，…，cn，c1，ci]也是許用碼組。不論右移或左移，移位位數(shù)多少，其結(jié)果均為循環(huán)碼組。

在代數(shù)編碼理論中，可以把循環(huán)碼組中各碼元當(dāng)作一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，即把一個(gè)長(zhǎng)為n的碼組表示為

c(x)=c1xn-1+c2xn-2+…+cn

式中，c(x)稱為碼多項(xiàng)式；變量x稱為元素，其冪次對(duì)應(yīng)元素的位置，它的系數(shù)即為元數(shù)的取值（我們不關(guān)心x本身的取值），系數(shù)之間的加法和乘法仍服從模2規(guī)則。比如一個(gè)（7，3）循環(huán)碼（見表8－9）中第7個(gè)碼組為（1100101），則該碼組可表示為

c7(x)=1·x6+1·x5+0·x4+0·x3+1·x2+0·x+1

=x6+x5+x2+1表8－8（7，3）循環(huán)碼的全部碼組

表8－9（7，4）循環(huán)碼碼組

從表8－9中可見，對(duì)于16組信息，系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼都具有16個(gè)相同的編碼碼組，但與信息碼的對(duì)應(yīng)（映射）關(guān)系不一樣。系統(tǒng)碼的前4位對(duì)應(yīng)的都是信息碼，而后3位都是監(jiān)督碼元，二者涇渭分明。而非系統(tǒng)碼從第5組開始就“亂”了，雖然每組信息碼仍有一個(gè)確定的編碼碼組與之對(duì)應(yīng)，但已經(jīng)沒有了系統(tǒng)碼那種涇渭分明的結(jié)構(gòu)。由于一般我們只研究系統(tǒng)碼，因此有些書上直接說循環(huán)碼是一種系統(tǒng)碼。另外，還需說明的是，對(duì)于一個(gè)（n，k）線性碼C，根據(jù)不同的方法（生成矩陣）可以有多種編碼形式，其中包含系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼，但系統(tǒng)碼是唯一的，其余的都是非系統(tǒng)碼。

通過上述介紹，我們簡(jiǎn)要地了解了數(shù)字（數(shù)據(jù)）通信中信道編碼的基本概念和常用的檢錯(cuò)、糾錯(cuò)編碼，但限于篇幅，還有很多內(nèi)容沒有涉及。為了使讀者對(duì)編碼有一個(gè)全面、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，我們給出編碼所研究的以下主要問題：

（1）根據(jù)實(shí)際通信系統(tǒng)對(duì)糾錯(cuò)能力的要求，尋找合適的碼型（通常是一種長(zhǎng)碼型）。要求該碼型可以在數(shù)學(xué)上證明具有滿足要求的糾錯(cuò)能力，并具有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，且能夠根據(jù)此結(jié)構(gòu)用一些設(shè)備實(shí)現(xiàn)編碼和譯碼。

（2）尋找實(shí)用的編碼方法，盡量提高編碼效率。

（3）尋找實(shí)用的譯碼方法