八年級(jí)數(shù)學(xué)期末培優(yōu)試卷（答案）公開課

2020-2021學(xué)年第二學(xué)期初二數(shù)學(xué)培優(yōu)測(cè)試卷

參考答案與試題解析

選擇題（本題共14小題，每小題4分，共56分）

1.已知孫＜0,化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為（）

A.6B./C.-y[yD.-y[-y

【解答】解：?.,孫V。，

y<0或xvO,y>0,

又「有意義,

/.y<0,

/.x>0,yvO,

當(dāng)x>0,y<。時(shí),=4~y

故選：B.

2.已知Q=2--2,c=5-,那么4,b,C的大小順序是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【解答】解：?.?6=2.236,

.-.?=2-^?2-2.236=-0.236;

人=右—2=2.236-2=0.236；

=5-2>/5?5-4.472=0.528,

v0.528>0.236>-0.236,

;.5-2亞>亞-2>2-舊,即"6<c.

故選：A.

3.某校男籃隊(duì)員的年齡分布如表所示:

年齡/歲131415

人數(shù)a4一。6

對(duì)于不同的a,下列關(guān)于年齡的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是（）

A.眾數(shù)，中位數(shù)B.眾數(shù)，方差

C.平均數(shù)，中位數(shù)D.平均數(shù)，方差

【解答】解：由表可知I,年齡為15=3歲與年齡為14歲的頻數(shù)和為a+4-a=4,

則總?cè)藬?shù)為：4+6=10,

故該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為15歲；

按大小排列后，第5個(gè)和第6個(gè)數(shù)據(jù)為：15,15,則中位數(shù)為：”士”=15歲，

2

即對(duì)于不同的a，關(guān)于年齡的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是眾數(shù)和中位數(shù)，

故選：A.

4.如圖，在矩形488中，4）=4,ND4C=30。，點(diǎn)尸、石分別在4。、AD±,則PE+P。

的最小值是（）

B

A.2B.273C.4D.—

3

【解答】解：作。關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D,過。作〃石，AD于石，

則DE=PE+PD的最小值，

???四邊形A8CO是矩形，

/.ZADC=90°,

???AD=4,ZZMC=30°,

?.DZ7±AC,

zcz)zy=30°,

ZADZ7=60°,

.*.DZ7=4,

.?.D，E=26，

故選：B.

5.如圖，在四邊形紙片ABC。中，AB//CD,ZD=90°,ZC=45°,AB=2,C￡>=6.將

四邊形紙片剪去3個(gè)等腰直角三角形，所有剪法中，剩余部分面積的最小值為（）

AB

DC

A.2B.1C.1.5D.4

【解答】解：如圖1,過WB作_LC。于M,

則四邊形為矩形，

：.AB=DM=2,

???CD=6,ZC=45°,

.?.AD=BM=CM=6-2=4,

BC=4y[2<CD,

如圖2,過。作QE_LBC于點(diǎn)石，得等腰直角三角形AECD,DE=3①vAD,

ZADE=ZCDE=45°

作A尸"LOE于尸，得等腰直角AADF,ZBAF=ZDAF=45°,AF=242>ABf

以AF為斜邊作等腰直角三角形的直角邊為2=43,故連接所，得等腰直角4W,

ZEBF=45°,AB斯也為等腰直角三角形，BE=BF=五,

因此在四邊形ABC。中前去AECD,A4DF,AAB/三個(gè)等腰直角三角形后，剩下的AB防

面積最小’其值為:*0"

故選：B.

6.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2,AB=瓜,Nfi是銳角，A石_L3C于點(diǎn)￡,

是的中點(diǎn)，連接小、EF.若ZEFD=90。,則AE長(zhǎng)為（

D.述

A.2B.45C.三絲

22

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)所交ZM的延長(zhǎng)線于Q,連接。石，設(shè)BE=x,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

DQ//BC,

??.4Q=/BEF,

?；AF=FB,ZAFQ=ZBFEf

:.^QFA=AEFB(AAS)9

:,AQ=BE=xfQF=EF,

vZEFD=90°,

/.DF1.QE,

DQ=DE=x+2，

.AEYBC,BC//AD,

：.AEA.AD,

:.ZAEB=AEAD=90°,

AE2=DE?-AD2^AB2-BE2,

（x+2）2-4=6-x2,

整理得：2X2+4X-6=0,

解得x=l或-3（舍棄），

:.BE=1,

/.AE7AB2-BE2=>/^1=石,

故選：B.

1.利用反證法證明“直角三角形至少有一個(gè)銳角不小于45?！?，應(yīng)先假設(shè)（）

A.直角三角形的每個(gè)銳角都小于45。

B.直角三角形有一個(gè)銳角大于45。

C.直角三角形的每個(gè)銳角都大于45。

D.直角三角形有一個(gè)銳角小于45。

【解答】解：用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不小于45。”時(shí)，應(yīng)先

假設(shè)直角三角形的每個(gè)銳角都小于45。.

故選：A.

8.一組數(shù)據(jù)1,2,3,4,5的方差是a,若減少一個(gè)數(shù)據(jù)3,剩余4個(gè)數(shù)據(jù)的方差為6,則

。與。的大小關(guān)系是（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.不能確定

【解答】解：數(shù)據(jù)1,2,3,4,5的平均數(shù)是：[(1+2+3+4+5)=3,

則方差：a=([(1—3)2+(2—3)2+(3—3)2+(4—3尸+(5—]=2,

減少一個(gè)數(shù)據(jù)3,平均數(shù)是：；(1+2+4+5)=3,

則方差：/，=-[(1-3)2+(2-3>+(4-3產(chǎn)+(5-3y]=2.5,

4

則avZ?；

故選：A.

9全班有70%的學(xué)生參加生物小組，75%的學(xué)生參加化學(xué)小組，85%的學(xué)生參加物理小

組，90%的學(xué)生參加數(shù)學(xué)小組，則四個(gè)小組都去參加的學(xué)生至少占全班的百分比是(

)

A.10%B.15%C.20%D.25%

【解答】解：假設(shè)全班有100名同學(xué)，則有70人參加生物小組，75人參

加化學(xué)小組，

85人參加物理小組，90人參加數(shù)學(xué)小組.

設(shè)四個(gè)都參加的人為x人，則

根據(jù)容斥原理，至少有70+75-100=45人同時(shí)參加生物和化學(xué)兩個(gè)小組，至

少有

45+85-100=30人同時(shí)參加生物，化學(xué)和物理三個(gè)小組，那么

x=30+90—100,

二同時(shí)參加四個(gè)小組的人至少有20人,

所占的百分比為：20+100x100%=20%.

故選：C.

10.給出下列命題：①一組對(duì)邊和一組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；②兩組對(duì)角的

內(nèi)角平分線分別平行的四邊形是平行四邊形；③一組對(duì)邊中點(diǎn)間的距離等于另一組對(duì)邊

長(zhǎng)和的一半的四邊形是平行四邊形；④兩條對(duì)角線都平分四邊形的面積的四邊形是平行

四邊形.其中真命題有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：①一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形，不能證明另一組對(duì)邊也相等或平行，

即一組對(duì)邊和一組對(duì)角分別相等的四邊形不一定是平行四邊形，故①錯(cuò)誤；

②兩組對(duì)角的內(nèi)角平分線分別平行的四邊形，能證明兩組對(duì)角相等，故四邊形一定是平行四

邊形，故②正確；

③一組對(duì)邊中點(diǎn)的距離等于另一組對(duì)邊邊長(zhǎng)的和的一半的四邊形，梯形中兩腰中點(diǎn)的連線也

可以符合等于上下底的一半，故③錯(cuò)誤；

④兩條對(duì)角線都平分四邊形的面積的四邊形是平行四邊形，可以推出兩條對(duì)角線互相平分,

故④正確；

故正確的有②④.

故選：B.

11.設(shè)一夕,邙,n為正整數(shù)，如果+197盯+2/=1993

成立，那么幾的值為（）

A.7B.8C.9D.10

【解答】解：由題設(shè)得：xy=lx+y=4〃+2,

由+197孫+2/=1993,得2(x+y)2+l93孫=1993.

將町=1,x+y=4”+2代入上式得：(4〃+2>=900,

即4〃+2=30.

H=7.

故選：A.

12.如圖，正方形ABC。的頂點(diǎn)A、3分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)>=￡依>0)

X

的圖象經(jīng)過另外兩個(gè)頂點(diǎn)C、D,且點(diǎn)。(4,〃)(0<〃<4),則%的值為()

A.12B.8C.6D.4

【解答】解：過。作軸于E,RTLy軸于點(diǎn)尸，

/.Zr>E4=90°,

???四邊形ABC。是正方形，

.\AB=AD,ZBAD=90°f

.\ZBAO+ZDAE=90°,ZDAE+ZADE=90°,

:.ZDAE=ZABO,

又?.?A5=AT>,

:./SABO=NDAE.

同理，AABO^ABCF.

:.OA=DE=n,OB=AE=OE-OA=4-n,

則A點(diǎn)的坐標(biāo)是(〃,0),8的坐標(biāo)是(0,4-〃).

.?.(7的坐標(biāo)是(4-〃,4).

由反比例函數(shù)%的性質(zhì)得到：4(4-〃)=4〃，所以〃=2.

則。點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2),所以4=2x4=8.

故選：B.

13.已知菱形。4BC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點(diǎn)A(5,0),08=4百，點(diǎn)P是

對(duì)角線03上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，0(0,1),當(dāng)CP+DP最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

B.心

A.(0,0)7.ID?畢7)

【解答】解：如圖連接AC,AD,分別交05于G、P,作3K_LQ4于K.

?四邊形Q4BC是菱形,

.-.ACrOB,GC=AG,OG=BG=2后，A、C關(guān)于直線08對(duì)稱,

:.PC+PD=PA+PD=DA,

，此時(shí)PC+PD最短，

在RtAAOG中，AG=J。]_OG2=g-(2府=后,

AC=20

-.?OABK=-ACOB,

2

；.BK=4,AK=dAB2-BK?=3,

點(diǎn)5坐標(biāo)(8,4),

直線OB解析式為y=；x,直線4)解析式為y=--x+l,

110

X=一

由，2]解得.7

5

y=—x+1

5"7

，點(diǎn)尸坐標(biāo)件().

故選：D.

14.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形EFG"在邊長(zhǎng)為3的正方形/WCD所在平面上移動(dòng)，始終保

特EF//AB.線段CF的中點(diǎn)為M,。”的中點(diǎn)為N,則線段MN的長(zhǎng)為（）

D.-V10

c?粵3

【解答】解：如圖，將正方形EFGH的位置特殊化，使點(diǎn)”與點(diǎn)A重合，過點(diǎn)M作MOLED

與O,則是梯形FE0C的中位線,

.\EO=OD=2,MO=1(EF+CD)=2.

???點(diǎn)N、M分別是4)、FC的中點(diǎn)，

3

,-.AN=ND=-

2

31

:.ON=OD-ND=2——=一

22

在氏如加中，MN?=MU+ON：即MN=

二.填空題（本題共8小題，每小題5分，共40分）

15.已知機(jī)，〃是有理數(shù)，且(6+2)〃?+(3-26)〃+7=0,則機(jī)=,〃=.

【解答】解：由且(括+2)加+(3-2后)〃+7=0,得

#>(m-2”)+2m+3〃+7=0,

”是有理數(shù)，

:.m—2n>2〃z+2〃+7必為有理數(shù)，

又?.?石是無理數(shù)，

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)-2〃=0、2加+3〃+7=0時(shí)，等式才成立，

二幾=-19TYI-—2.

故答案為：-2、-1.

16.參加會(huì)議的成員都互相握過手，其中某人與他的一些老朋友握過第二次手.若這次會(huì)議

握手的總次數(shù)是159,那么參加會(huì)議的成員有人，其中，第二次握手有次.

【解答】解：設(shè)參加會(huì)議的有x人，第2次握手有y次.

x(x-l)4-2+y=159.

x(x-l)=318-2y,

?.?相鄰2個(gè)正整數(shù)相乘接近318的只有18/17=306,

=18?

y=(318—306)+2=6.

故答案為：18；6.

17.某人將一本書的頁(yè)碼按1、2、3…的順序相加，其中有一頁(yè)被多加了一次，結(jié)果得到一

個(gè)錯(cuò)誤的總和2005,則被多加的頁(yè)碼是

【解答】解：設(shè)全書共〃頁(yè)，被多加的頁(yè)碼為X,(掇/〃)

則有個(gè)+l)+x=2005

2

，巡四+掇如05及S+”

22

即/+〃+2釉010〃(〃+3)

由于〃01。々63,驗(yàn)算知〃=62

故答案為：52頁(yè).

18.已知關(guān)于x的一元二次方程￡+(2加一1)3+m2-3=0有實(shí)數(shù)根.

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍;

(2)當(dāng)機(jī)=2時(shí)，方程的根為%,”,求代數(shù)式(再2+2與)(考+4/+2)的值為

【解答】解：(1)由題意

：.(2tn—I)2—4(62—3)..0,

13

辦，—?

4

(2)當(dāng)機(jī)=2時(shí)，方程為幺+3了+1=0,

/.x[+x2=-3,x4=1，

???方程的根為％,x2,

X1~+3X|+1=0,%2+3^2+1=0,

(x；+2xt)(x；+4X2+2)

=(x；+2玉+玉一%)(%2+3X24-x2+2)

=(-1—xi)(—14-%24-2)

—(—1-*X)(/+1)

——Xj—XjX,—1—X|

=-x2—Xj-2

=3-2

=1.

19.如圖，是平行四邊形，對(duì)角線08在y軸正半軸上，位于第一象限的點(diǎn)A和第二

象限內(nèi)的點(diǎn)C分別在雙曲線丫=&和、=%的一支上，分別過點(diǎn)A、C作x軸的垂線，垂足

XX

分別為M和N,則有以下的結(jié)論：

①陰影部分的面積為:(4+&);

②若3點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),則&=-8；

③當(dāng)NAOC=90。時(shí)，

④若。43c是菱形，則兩雙曲線既關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱.

其中正確的結(jié)論是(填寫正確結(jié)論的序號(hào)).

【解答】解：作AE_Ly軸于E,b_Ly軸于尸，如圖，

①,一ShAOM=5IKI9S&CON=5I自I，

?t,S陰影部分=S"OM+S&CON=5(kH^21)'

而％]>0,k2<0f

??S陰影部分=/(K-k2)，故①錯(cuò)誤；

②???四邊形Q4BC是平行四邊形，8點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),O的坐標(biāo)為(0,0).

C(-2,4).

又?.?點(diǎn)C位于y=與上，

X

/.A:2=xy=-2x4=-8.

故②正確；

③當(dāng)NAOC=90。，

.??四邊形OSC是矩形,

不能確定。4與OC相等,

而OM=ON,

不能判斷AAOM=ACNO,

不能判斷AM=CN,

.?.不能確定IK|=|&I，故③錯(cuò)誤；

④若。4BC是菱形，則。4=OC，

而OM=ON,

RtAAOM￡RtACNO,

/.AM=CN,

?-U,l=l^2I-

ky——k],

兩雙曲線既關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱，故④正確.

故答案是：②④.

20.如圖，在矩形中，")=4,將NA向內(nèi)翻折，點(diǎn)A落在上，記為A，折痕

為DE.若將沿3向內(nèi)翻折，點(diǎn)8恰好落在DE上，記為則/歸=.

【解答】解：由折疊可得，AZ>=4,ZA=ZEA,D=90°,ZBA.E=ZB]A.E,B\=B^,

ZB=Z^B,E=90°,

.?.N34+ND41g=90°=ZB/l1E+ZCA1D,

?,.NDA&=NG4,O，

又???/。=幺g。，\D=\D,

△404三△4。。（AAS）,

/.AyC=AM,

BA^=AC=gBC=2,

,Rf△ACD中，CD=yl『-矛=2+,

AB=2y/3,

故答案為：2G.

21.如圖，在平行四邊形458中，AC為對(duì)角線，若P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且

S=5，S^AC=3,則

【解答】解：?.?四邊形是平行四邊形,

.\AB=DC,

假設(shè)P點(diǎn)到AB的距離是4,假設(shè)。點(diǎn)到DC的距離是h2，

*0-SyAB=2A3-h},S&p0c=-DC?%，

???SMAH+SATOC=g(AB?4+DCh2)=^DC(hl+h2),

/?,+飽正好是AB到DC的距離，

S.AB+S居DC=2S平行四邊形ABC。=~M.DC，

即^AADC=S?AB+SwDC=5+S*僅f

?'S"AD=^^ADC-S^PDC-S?AC9

??=5—3=2，

當(dāng)點(diǎn)尸在AC的下方時(shí)，S^,AD=5MDC+S^pc—+SMl=5+3=8

故答案為：2或8.

c

B

22.如圖，反比例函數(shù)y=3（x>0）的圖象與矩形A5CO的邊A3交于點(diǎn)G,與邊8C交于

X

點(diǎn)。，過點(diǎn)A,。作OE//A尸，交直線2="（左〈0）于點(diǎn)石，F(xiàn),若OE=OF,BG=2GA,

則四邊形4）砂的面積為.

【解答】解：延長(zhǎng)。石交尢軸于K,作EWLOA于

設(shè)G(a,3),則3=a,AG=-

aa

?.?3G=2G4,

BG=-

a

9

.?.DH=AB=AG+BG=-,

\-DE//AF,

:.ZEKO=ZFAO,

在△0蛛和八0必中,

NEKO=/FAO

<ZEOK=NFOA,

OE=OF

\OEK=AOM(A45),

OK=OA=a，

：.AK=2a，

__1_19_

?,S四邊形仞"=S四邊形AH’+SAKEO=S,MQK=耳，DH=-x2ax--=9.

故答案為：9.

三,解答題(本題共2小題，共24分)

23.閱讀材料：

小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如

3+20=(1+及y.善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：

設(shè)〃+匕夜=(巾+〃及尸(其中47、6、機(jī)、〃均為整數(shù))，則有°+以歷=加!+2〃2+2\/5相〃.

.?.4=療+2/,b=2mn.這樣小明就找到了一種把類似。+的式子化為平方式的方法.

請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

(1)當(dāng)a、b、機(jī)、〃均為正整數(shù)時(shí)，若“+bG=Q*+〃J5)2,用含“7、〃的式子分別表

不。、b,得：a=，b=;

(2)利用所探索的結(jié)論，填空：13+4g=(+百尸；

(3)若a+6G=(加+〃狀了，且a、m>〃均為正整數(shù)，求a的值？

【解答】解：(1)a+b>]3=(m4-nx/3)2=nr+3H2+2mn\/3,

而a.b.m.〃均為正整數(shù)，

所以a=+3/t2；b=2〃m；

故答案為：M+3〃2,2nm.

(2)13+46=(1+2百

故答案為：1,2；

(3)a=m2+3n2；6=2rnn；

?,，加=3,

而加、〃為正整數(shù)，

/.m=l