八年級(jí)數(shù)學(xué)分式方程湘教版知識(shí)精講

初二數(shù)學(xué)分式方程湘教版

【本講教育信息】

教學(xué)內(nèi)容：

分式方程

教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能

(1)知道分式方程的意義，會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程。

(2)知道增根及產(chǎn)生增根的原因，明確檢驗(yàn)是解分式方程必不可少的重要步驟。

(3)能列出可化為一元一次方程的分式方程解簡單的應(yīng)用題。

2.過程與方法

在解分式方程中體驗(yàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

在共同探索中，體會(huì)方程思想，提高分析和解決問題的能力，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值。

二.重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：

1.解可化為一元一次方程的分式方程。

2.可根據(jù)題意列出分式方程。

難點(diǎn)：

1.解分式方程的步驟及驗(yàn)根的原理與方法。

2.會(huì)找出分式方程應(yīng)用題中的等量關(guān)系。

知識(shí)要點(diǎn)歸納：

1.分式方程的概念

分母里含有未知數(shù)的方程叫分式方程。

即分式方程的重要特征是方程中分式的分母里含有未知數(shù)。

2.如何解分式方程

(1)在分式方程的兩邊都乘以方程中的各分母的最簡公分母，約去分母，化成整式方

程。

(2)解這個(gè)整式方程。

(3)把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是否為零，若是零，就是原分式方程的

增根，必須舍去。

3.解分式方程的基本思想

是將它轉(zhuǎn)化為整式方程，轉(zhuǎn)化的方法有：

(1)兩邊同乘以最簡公分母；(2)換元法

4.分式方程產(chǎn)生增根的原因

分式方程的增根是去分母后整式方程的某個(gè)根，但因其使分式方程的某個(gè)分母等于零,

這時(shí)原方程中的分式就沒有意義了，故應(yīng)是原方程的增根。

5.分式方程的應(yīng)用

列分式方程解應(yīng)用題的方法與列一元一次方程解應(yīng)用題的方法基本相同，即其步驟為：

(1)審題：它是解應(yīng)用題的重點(diǎn)，其關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系。

(2)設(shè)未知數(shù)：同時(shí)也要寫出有關(guān)的代數(shù)式，并要寫好單位。

(3)根據(jù)題意找等量關(guān)系，列出分式方程。

(4)解分式方程并驗(yàn)根，驗(yàn)根時(shí)不僅要注意檢驗(yàn)其根是否為增根，而且還需要檢驗(yàn)是

否符合應(yīng)用題的實(shí)際要求。

(5)寫出答案，注意寫好單位。

【典型例題】

基礎(chǔ)知識(shí)題

例1.解方程:

3—xx~—25—x

------+—=1+-------

1-xx2-8x+7------7-X

分析：(1)解此題的第一步是要把分式方程中的每一個(gè)分式的分子、分母都按x的降基

排列，并且最高次項(xiàng)的系數(shù)要化為正數(shù)，這樣再解方程就不容易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，也便于找最

簡公分母。

(2)解方程的關(guān)鍵是去分母，將分式方程化為整式方程，所以首先要求各個(gè)分母能因

式分解的多項(xiàng)式先做因式分解，再取最簡公分母。

(3)解分式方程的檢驗(yàn)這個(gè)步驟是不可以省略的。

解：原方程可變形為：

x—3x?—2x一5

-------1-----------------=1+

x-\(x-DU-7)x—7

方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母(x-1)(x-7)得:

(x-3)(x-7)+(x2—2)=(x—l)(x-7)+(x-l)(x-5)

x~-10x+21+x~-2=x2—8x+7+x~—f)x+5

4x+7=0

解這個(gè)一元一次方程得：

7

X-——

4

檢驗(yàn)：

7

把X=代入最簡公分母(x-l)(x-7)得：

4

77

(x-l)(x-7)=(---1)(---7)^0

44

7

=是原方程的根

4

例2.已知關(guān)于x的方程--孚L=三口有增根，求機(jī)的值。

X+1X+xX

分析：(1)增根就是使原方程分母為零時(shí)的根，也是原方程轉(zhuǎn)化為整式方程后的整式方

程的根。

(2)做這類題的方法是將分式方程去分母化為整式方程，把增根代入整式方程便可獲

得未知系數(shù)的值。

解：原方程可化為：

2x7/24-1X+1

X+\X(X+1)X

方程兩邊同時(shí)乘以X(x+l)得：

2x2-(m+l)=(x+l)2(1)

因?yàn)樵匠逃性龈詘=0或x=-l

當(dāng)x=0時(shí)，代入(1)得：

—(m+1)=1,m——2

當(dāng)x=-1時(shí)，代入(1)得：

2—(m+1)=0,m=1

，m=-2或m=l時(shí)原方程有增根

能力提高題

丫:aARc

例3.已知一仝士一=C+—J+二一(A、B、C是常數(shù))，求A、B、C

x(x—1)(%+2)xx—1x+2

的值。

分析：此題可利用恒等式的性質(zhì)來解決，我們可采用下面兩種解法來求A、B、C的值。

解法1：利用去分母將分式化為整式，通過多項(xiàng)式恒等，對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)分別相等來列出方

程，求出A、B、C?其解法如下：

方程兩邊同時(shí)乘以x(x-1)(x+2)得：

A(x-l)(x+2)+Bx(^x+2)+Cv(x—1)—2x+3

整理得：

(A+3+C)x~+(A+2B—C)x-2A=2x+3

比較系數(shù)得：

A+8+C=0

<A+2B-C=2

-2A=3

解得：

解法二：用特殊值法，多項(xiàng)式恒等與x的取值無關(guān)，我們可令x=l,x=-2,x=0化

簡式子，直接求出A、B、C的值。

其解法如下：

方程兩邊同時(shí)乘以x(X—1)(x+2)得：

A(x-1)(元+2)+Bx(x+2)+Cx(x-1)=+3

令%=1,得8=*

3

令x=-2,得C=-4

6

3

令冗=0,得A=——

2

例例解方程:

x—4x—5x—7x—8

x—5x—6x—8x—9

分析：此題按常規(guī)方法來解比較麻煩，若觀察方程兩邊的特點(diǎn)，先將方程兩邊通分，巧

妙的消去分子中的未知數(shù)，減小了計(jì)算量，使運(yùn)算過程比較簡便。

解：方程兩邊分別通分得：

(x—4)(x—6)—(x—5)"(x—7)(x—9)—(x—8)~

(%—5)(x—6)(x—8)(x—9)

即1——_ii-----=———_i------

x2-llx+30x2-17A:+72

去分母得：

x2—17x+72-x2-1lx+30

整理得：

-llx+3O=-17x+72

解這個(gè)一元一次方程得：

x=7

檢驗(yàn)：

把x=7代入原方程中的分母中可知均不為0

，x=7是原方程的解。

綜合應(yīng)用題

例5.某商人用7200元購進(jìn)甲、乙兩種商品，然后賣出，若每種商品均用去一半的錢，則

一共可購進(jìn)750件；若用2/3的錢買甲種商品，其余的買乙種商品，則要少購50件，賣出

時(shí)，甲種商品可贏利20%,乙種商品可贏利25%。

(1)求甲、乙兩種商品的購進(jìn)價(jià)和賣出價(jià)。

(2)因市場需求總量有限，每種商品最多只能賣出600件，那么商人采用怎樣的購貨

方式才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

分析：本題是一個(gè)探索性的綜合題，對(duì)于問題(1),若直接設(shè)未知數(shù)，則需設(shè)兩個(gè)，所

以采用間接設(shè)未知數(shù)的辦法較好；對(duì)于問題(2),它為一個(gè)有關(guān)最大利潤的問題，那么必然

確定盈利較少的甲種商品最多可賣的數(shù)量。

本題涉及到了單價(jià)X數(shù)量=總價(jià)的關(guān)系式的運(yùn)用，還涉及到了方程的解法，列分式方程

應(yīng)用題的步驟，同時(shí)還考查了對(duì)問題進(jìn)行分析，比較找出最佳方案，解決實(shí)際問題的能力。

解答列方程解應(yīng)用題的重點(diǎn)是審題，審題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系，根據(jù)題意，我們可找出

此題的等量關(guān)系是：

21

用:的錢買甲種商品的件數(shù)十用(的錢買乙種商品的件數(shù)=(750-50)件

下面我們用表格的形式找出題中已知量和未知量的關(guān)系：

進(jìn)價(jià)數(shù)量總價(jià)

22

7200x--x7200-x7200

甲______23________3

X7200x-

______2

X

7200x'

-X7200-x7200

乙______2J______3

750-x

7200x-

2

750-%

現(xiàn)在我們根據(jù)上面的分析寫出如下解答過程。

解：設(shè)甲種商品的購進(jìn)數(shù)量為x件，則乙種商品的購進(jìn)數(shù)量為(750-x)件，則甲

7200x-7200x-

種商品的進(jìn)價(jià)為：------2.元；乙種商品的進(jìn)價(jià)為：-------2.元

x750-X

根據(jù)題意得:

21

7200x7200x-

3+3750-50

7200x'7200x1

22

x750-%

解這個(gè)方程得：x=300

經(jīng)檢驗(yàn)，x=300是原方程的解，也符合題意。

.?.當(dāng)x=300時(shí)，750-x=750-300=450

此時(shí)甲種商品的進(jìn)價(jià)為：

7200x-

---------2.=12元

300

乙種商品的進(jìn)價(jià)為：

7200xl

-----=8TU

750-300

故賣出價(jià)分別為：

甲種商品=12X(1+20%)=14.4元

乙種商品=8X(1+25%)=10元

(2)設(shè)獲得最大利潤時(shí)，甲種商品進(jìn)m件，總利潤為P元，則

7200-12/W

P=(12x20%)m+(8*25%)?

8

——0.6/72+1800

由于每種商品最多只能賣出600件，所以獲利較大的乙種商品的進(jìn)貨量為:

720°-12"<600

8

此時(shí)m，200

故當(dāng)m=200時(shí)，甲種商品的進(jìn)貨量最少，乙種商品的進(jìn)貨量最多，可獲得最大利潤:

P=-0.6x200+1800=1680元

【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）

填空題

1.滿足方程—=二一的X的值是_____________o

x-1x-2

32

2.當(dāng)乂=_____________時(shí)，分式一與——的值互為相反數(shù)。

x6-x

3.已知分式方程￡■=——有增根，則2=。

4.一個(gè)水池裝有兩個(gè)進(jìn)水管，單獨(dú)開甲管需a小時(shí)注滿空池，單獨(dú)開乙管需b小時(shí)注滿

水池，若同時(shí)打開兩個(gè)水管，則注滿空池的時(shí)間是小時(shí)。

r4-

5.已知關(guān)于x的方程——=-1的根大于0,則a的取值范圍是o

x-2

v—3

6.已知x—一1■二匕，，用含x的代數(shù)式表示y,則丫=___________。

x-2y-4

二.選擇題

1.方程、=0的根是()

?—

x1

A.x=lB.x=±lC.x=0D.x=-1

2.要使4—上2x上的值和x—二5^的值相等，則x的值為()

4-xx-4

1

2

3.若關(guān)于x的方程一工一3攵二5。一%）+1的解為負(fù)數(shù)，則k的值為（）

3

,1\_D.女〉工且女。2

、k>=B.k<—C.k

2222

x

4.方程的解的情況是)

x+2x+2

A.x=-2B.x=0C.解為任意數(shù)D.無解

三.解下列分式方程

123

].-----=------------------------

1—X21+2x+x21—2x+

x+4x+7x+3元+6

’77XX

四.若關(guān)于x的方程-------=-^7--J有增根，試求m的值。

x+x—2x-1無+2

五.已知一次函數(shù)丁=依+。的圖象經(jīng)過（1,3）點(diǎn)和（一2,0）點(diǎn)，則關(guān)于x的方程

kb

0的根是多少？

x+kx-b

2

六.因汛期防洪的需要，計(jì)劃對(duì)某河段進(jìn)行加固，此項(xiàng)工程若由甲、乙兩隊(duì)同時(shí)干，需要2M

天完成，共支付費(fèi)用180000元；若甲隊(duì)單獨(dú)干2天后，再由乙隊(duì)單獨(dú)完成還需3天，共支

付費(fèi)用179500元，但是為了便于管理，決定由一個(gè)隊(duì)完成。

（1）由于時(shí)間緊迫，加固工程必須在5天內(nèi)完成，你認(rèn)為應(yīng)選哪個(gè)隊(duì)？

（2）如果時(shí)間充裕，為了節(jié)省資金，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪個(gè)隊(duì)？

【試題答案】

ab

1.02.183.-44.-------

a+b

5.a<26.x+2

l.D2.B3.B4.D

123

二.1.------7=--------;----------1-

1—x~1+2x+x~1—2x+x

解：原方程可化為：

123

x2-1x2+2x+1x2-2x+l

123

(X+l)(x-1)(X+1)"(X—1)"

方程兩邊同時(shí)乘以(X+l)2(X—l)2得：

-(X+1)(%-1)=2(x-1)2-3(x+1)2

化簡整理得：5x+l=0

.x__l

5

檢驗(yàn)：

把X=-L代入(％+1)2。-1)2得：

(JC+1)2(X-1)2=(一(+1)2(一(一1)2力0

.?.》=一(是原方程的解

2.解：方程兩邊分別通分得：

x+7-x—4x+6-x—3

(x+4)(%+7)(x+3)(%+6)

33

即：-------------=-------------

(%+4)(尤+7)(x+3)(x+6)

兩邊同時(shí)乘以(元+4)(%+7)(x+3)(%+6)得：

(x+3)(%+6)=(%+4)(%+7)

解之得：x=-5

經(jīng)檢驗(yàn)：x=—5是原方程的解

??.x=-5是原方程的解

mxx

四.

x—2x—1%+2

原方程