應(yīng)用數(shù)學(xué)與拓展學(xué)校本課程教材

校本課程教材

應(yīng)用數(shù)學(xué)與拓展

YINGYONGSHUXUEYUTUOZHAN

二o一六年一月

第一章趣味數(shù)學(xué)（編者）...................................2

目錄

第一課七橋問題...................................................3

第二課四色問題...................................................6

第三課麥比烏斯帶.................................................8

第四課分割圖形...................................................11

第五課數(shù)學(xué)故事...................................................12

第六課世界上最有趣的數(shù)學(xué)題.......................................14

第七課最完美的數(shù).................................................17

第八課有理數(shù)的巧算...............................................19

第二章生活與數(shù)學(xué)（編者）.................................23

目錄

第一課由特殊到一般...............................................24

第二課代數(shù)式求值問題.............................................27

第三課打折銷售...................................................32

第四課生活中的數(shù)學(xué)--儲(chǔ)蓄........................................34

第五課生活中的數(shù)學(xué)--保險(xiǎn)........................................37

第六課生活中的數(shù)學(xué)--納稅........................................39

第七課代數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)展的歷史.......................................42

第八課生活中的分類討論...........................................44

《趣味數(shù)學(xué)》

編者：林昭濤

第一課：七橋問題（一筆畫問題）

18世紀(jì)時(shí)，歐洲有一個(gè)風(fēng)景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖1所示：河中

的小島A與河的左岸B、右岸C各有兩座橋相連結(jié)，河中兩支流間的陸地D與A、B、C各有

一座橋相連結(jié)。當(dāng)時(shí)哥尼斯堡的居民中流傳著一道難題：一個(gè)人怎樣才能一次走遍七座橋,

每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)？大家都試圖找出問題的答案，但是誰也解決不了這

個(gè)問題。

七橋問題引起了著名數(shù)學(xué)家歐拉（1707—1783）

的關(guān)注。他把具體七橋布局化歸為圖所示的簡(jiǎn)單圖

形，于是，七橋問題就變成一個(gè)一筆畫問題：怎樣才

能從A、B、C、D中的某一點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出這個(gè)簡(jiǎn)

單圖形（即筆不離開紙，而且a、b、c、d、e、f、g

各條線

只畫一次不準(zhǔn)重復(fù)），并且最后返回起點(diǎn)？

歐拉經(jīng)過研究得出的結(jié)論是：圖是不能一筆畫出的圖形。這就是說，七橋問題是無解

的。這個(gè)結(jié)論是如何產(chǎn)生呢？

如果我們從某點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出了某個(gè)圖形，到某一點(diǎn)終止，那么除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，

畫筆每經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)一次，總有畫進(jìn)該點(diǎn)的一條線和畫出該點(diǎn)的一條線，因此就有兩條線與

該點(diǎn)相連結(jié)。如果畫筆經(jīng)過一個(gè)n次，那么就有2n條線與該點(diǎn)相連結(jié)。因此，這個(gè)圖形中

除起點(diǎn)與終點(diǎn)外的各點(diǎn)，都與偶數(shù)條線相連。

如果起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，那么這個(gè)點(diǎn)也與偶數(shù)條線相連；如果起點(diǎn)和終點(diǎn)是不同的兩個(gè)

點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)部是與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)。

綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點(diǎn)或者都是與偶數(shù)條線相連的點(diǎn)，或者其中只有兩

個(gè)點(diǎn)與奇數(shù)條線相連。

圖2中的A點(diǎn)與5條線相連結(jié)，B、C、D各點(diǎn)各與3條線相連結(jié)，圖中有4個(gè)與奇數(shù)條

線相連的點(diǎn)，所以不論是否要求起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，都不能一筆畫出這個(gè)圖形。

歐拉定理：如果一個(gè)圖是連通的并且奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于?；?,那么它可以一筆畫出；否則

它不可以一筆畫出。

一筆畫：

1.凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時(shí)可以把任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一定

能以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖。

2.凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖（其余都為偶點(diǎn)），一定可以一筆畫成。畫時(shí)必須把一個(gè)奇點(diǎn)

為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)終點(diǎn)。

3.其他情況的圖都不能一筆畫出。（奇點(diǎn)數(shù)除以二便可算出此圖需幾筆畫成。）

練習(xí)：你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個(gè)圖形嗎？試試看。（不走重復(fù)線路）

圖例2

圖例3

圖例4

CH)

第二課：四色問題

人人都熟悉地圖，可是繪制一張普通的政區(qū)圖，至少需要幾種顏色，才能把相鄰的政

區(qū)或區(qū)域通過不同的顏色區(qū)分開來，就未必是一個(gè)簡(jiǎn)單的問題了。

這個(gè)地圖著色問題，是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)難題。大家不妨用一張中國(guó)政區(qū)圖來試一試，

無論從哪里開始著色，至少都要用上四種顏色，才能把所有省份都區(qū)別開來。所以，很早

的時(shí)候就有數(shù)學(xué)家猜想：“任何地圖的著色，只需四種顏色就足夠了?！边@就是“四色問

題”這個(gè)名稱的由來。

四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。

四色問題的內(nèi)容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不

同的顏色?！庇脭?shù)學(xué)語(yǔ)言表示，即“將平面任意地細(xì)分為不相重迭的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總

可以用1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字之一來標(biāo)記，而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字。”

（上右圖）。

這里所指的相鄰區(qū)域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個(gè)區(qū)域只相遇于一點(diǎn)或有

限多點(diǎn)，就不叫相鄰的。因?yàn)橛孟嗤念伾o它們著色不會(huì)引起混淆。

數(shù)學(xué)史上正式提出“四色問題”的時(shí)間是在1852年。當(dāng)時(shí)倫敦的大學(xué)的一名學(xué)生法朗

西斯向他的老師、著名數(shù)學(xué)家、倫敦大學(xué)數(shù)學(xué)教授莫根提出了這個(gè)問題，可是莫根無法解

答，求助于其它數(shù)學(xué)家，也沒有得到答案。于是從那時(shí)起，這個(gè)問題便成為數(shù)學(xué)界的一個(gè)

“懸案”。

一直到二十年前的1976年9月，《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通告》正式宣布了一件震撼全球數(shù)學(xué)界

的消息：美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計(jì)算機(jī)證明了“四色問題”

這個(gè)猜想是完全正確的！他們將普通地圖的四色問題轉(zhuǎn)化為2000個(gè)特殊圖的四色問題，然

后在電子計(jì)算機(jī)上計(jì)算了足足1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，最后成功地證明了四色問題,

轟動(dòng)了世界。

這是一百多年來吸引許多數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者的大事，當(dāng)兩位數(shù)學(xué)家將他們的研究成

果發(fā)表的時(shí)候，當(dāng)?shù)氐泥]局在當(dāng)天發(fā)出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特制郵戳，

以慶祝這一難題獲得解決。

第三課：麥比烏斯帶

數(shù)學(xué)上流傳著這樣一個(gè)故事：有人曾提出，先用一張長(zhǎng)方形的紙條，首尾相粘，做成

一個(gè)紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個(gè)紙圈全部抹成一種

顏色，不留下任何空白。這個(gè)紙圈應(yīng)該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個(gè)

面，勢(shì)必要涂完一個(gè)面再重新涂另一個(gè)面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個(gè)面、

一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？

對(duì)于這樣一個(gè)看來十分簡(jiǎn)單的問題，數(shù)百年間，曾有許多科學(xué)家進(jìn)行了認(rèn)真研究，結(jié)

果都沒有成功。后來，德國(guó)的數(shù)學(xué)家麥比烏斯對(duì)此發(fā)生了濃厚興趣，他長(zhǎng)時(shí)間專心思索、

試驗(yàn)，也毫無結(jié)果。

有一天，他被這個(gè)問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風(fēng)，

使他頓時(shí)感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個(gè)尚未找到的圈兒。

一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，

擺弄著、觀察著。葉子彎曲著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉

子自然扭的方向?qū)映梢粋€(gè)圓圈兒，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，這“綠色的圓圈兒”就是他夢(mèng)寐以求

的那種圓圈。

麥比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉(zhuǎn)180°,再將一端的正面和背面粘在

一起，這樣就做成了只有一個(gè)面的紙圈兒。

圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結(jié)果，小甲蟲不翻越任何

邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。麥比烏斯激動(dòng)地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證

明了這個(gè)圈兒只有一個(gè)面。”麥比烏斯圈就這樣被發(fā)現(xiàn)了。

做幾個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)“麥比烏斯圈”有許多讓我們感到驚奇而有趣的結(jié)果。

弄好一個(gè)圈,粘好,繞一圈后可以發(fā)現(xiàn),另一個(gè)面的入口被堵住了，原理就是這樣啊.

實(shí)驗(yàn)一

如果在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成“麥比烏斯圈”，再沿線剪開，把這個(gè)

圈一分為二，照理應(yīng)得到兩個(gè)圈兒，奇怪的是，剪開后竟是一個(gè)大圈兒。

實(shí)驗(yàn)二

如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開,

剪刀繞兩個(gè)圈竟然又回到原出發(fā)點(diǎn)，猜一猜，剪開后的結(jié)果是什么，是一個(gè)大圈？還是三

個(gè)圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自己動(dòng)手做這個(gè)實(shí)驗(yàn)就知道了。你就會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn),

紙帶不一分為二，一大一小的相扣環(huán)。

有趣的是：新得到的這個(gè)較長(zhǎng)的紙圈，本身卻是一個(gè)雙側(cè)曲面，它的兩條邊界自身雖

不打結(jié)，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分

為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中,

只是每條紙圈本身并不打結(jié)罷了。

奇妙之處有三：

一、麥比烏斯環(huán)只存在一個(gè)面。

二、如果沿著麥比烏斯環(huán)的中間剪開，將會(huì)形成一個(gè)比原來的麥比烏斯環(huán)空間大一倍

的、具有正反兩個(gè)面的環(huán)（在本文中將之編號(hào)為：環(huán)0）,而不是形成兩個(gè)麥比烏斯環(huán)或兩

個(gè)其它形式的環(huán)。

三、如果再沿著環(huán)0的中間剪開，將會(huì)形成兩個(gè)與環(huán)0空間一樣的、具有正反兩個(gè)面

的環(huán)，且這兩個(gè)環(huán)是相互套在一起的（在本文中將之編號(hào)為：環(huán)1和環(huán)2）,從此以后再沿

著環(huán)1和環(huán)2以及因沿著環(huán)1和環(huán)2中間剪開所生成的所有環(huán)的中間剪開，都將會(huì)形成兩

個(gè)與環(huán)0空間一樣的、具有正反兩個(gè)面的環(huán)，永無止境……且所生成的所有的環(huán)都將套在

一起，永遠(yuǎn)無法分開、永遠(yuǎn)也不可能與其它的環(huán)不發(fā)生聯(lián)系而獨(dú)立存在。

數(shù)學(xué)中有一個(gè)重要分支叫拓?fù)鋵W(xué)，主要是研究幾何圖形連續(xù)改變形狀時(shí)的一些特征和

規(guī)律的，麥比烏斯圈變成了拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的單側(cè)面問題之一。

麥比烏斯圈的概念被廣泛地應(yīng)用到了建筑，藝術(shù)，工業(yè)生產(chǎn)中。運(yùn)用麥比烏斯圈原理

我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。

1979年，美國(guó)著名輪胎公司百路馳創(chuàng)造性地把傳送帶制成麥比烏斯圈形狀，這樣

一來，整條傳送帶環(huán)面各處均勻地承受磨損，避免了普通傳送帶單面受損的情況，使得其

壽命延長(zhǎng)了整整一倍。

二、針式打印機(jī)靠打印針擊打色帶在紙上留下一個(gè)一個(gè)的墨點(diǎn)，為充分利用色帶的全

部表面，色帶也常被設(shè)計(jì)成麥比烏斯圈。

三、在美國(guó)匹茲堡著名肯尼森林游樂園里，就有一部“加強(qiáng)版”的云霄飛車一一它的

軌道是一個(gè)麥比烏斯圈。乘客在軌道的兩面上飛馳。

四、麥比烏斯圈循環(huán)往復(fù)的幾何特征，蘊(yùn)含著永恒、無限的意義，因此常被用于各類

標(biāo)志設(shè)計(jì)。微處理器廠商PowerArchitecture的商標(biāo)就是一條麥比烏斯圈，甚至垃圾回收

標(biāo)志也是由麥比烏斯圈變化而來。

垃圾回收標(biāo)志PowerArchitecture標(biāo)志

第四課：分割圖形

分割圖形是使我們的頭腦靈活，增強(qiáng)觀察能力的一種有趣的游戲。

我們先來看一個(gè)簡(jiǎn)單的分割圖形的題目——分割正方形。I―I—I—I

在正方形內(nèi)用4條線段作“井”字形分割，可以把正方形分一~~—

成大小相等的9塊，這種圖形我們常稱為九宮格。___

用4條線段還可以把一個(gè)正方形分成10塊，只是和九宮格不同L勺是I每1的）小不一

定都相等。那么，怎樣才能用4條線段把正方形分成10塊呢？請(qǐng)你先動(dòng)腦筋想想，在動(dòng)腦

的同時(shí)還要?jiǎng)邮之嬕划?/p>

其實(shí)，正方形是不難分割成10塊的，下面就是其中兩種分割方法。

練習(xí)：想一想，用4條線段能將正方形分成11塊嗎？應(yīng)該怎樣分?

第五課：數(shù)學(xué)故事

(1)奇特的墓志銘

在大數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上，鐫刻著一個(gè)有趣的幾何圖形：一個(gè)圓球鑲嵌在一個(gè)圓

柱內(nèi)。相傳，它是阿基米德生前最為欣賞的一個(gè)定理。

在數(shù)學(xué)家魯?shù)婪虻哪贡希瑒t鐫刻著圓周率”的35位數(shù)值。這個(gè)數(shù)值被叫做?！濒?/p>

道夫數(shù)”。它是魯?shù)婪虍吷难慕Y(jié)晶。

大數(shù)學(xué)家高斯曾經(jīng)表示，在他去世以后，希望人們?cè)谒哪贡峡躺弦粋€(gè)正17邊形。

因?yàn)樗窃谕瓿闪苏?7邊形的尺規(guī)作圖后，才決定獻(xiàn)身于數(shù)學(xué)研究的……

不過，最奇特的墓志銘，卻是屬于古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的。他的墓碑上刻著一道謎語(yǔ)

般的數(shù)學(xué)題：“過路人，這座石墓里安葬著丟番圖。他生命的1/6是幸福的童年，生命

的1/12是青少年時(shí)期。又過了生命的1/7他才結(jié)婚?；楹?年有了一個(gè)孩子，孩子

活到他父親一半的年紀(jì)便死去了。孩子死后，丟番圖在深深的悲哀中又活了4年，也結(jié)

束了塵世生涯。過路人，你知道丟番圖的年紀(jì)嗎？”

丟番圖的年紀(jì)究竟有多大呢？

設(shè)他活了X歲，依題意可列出方程。這樣，要知道丟番圖的年紀(jì)，只要解出這個(gè)方程

就行了。

這段墓志銘寫得太妙了。誰想知道丟番圖的年紀(jì)，誰就得解一個(gè)一元一次方程；而這

又正好提醒前來瞻仰的人們，不要忘記了丟番圖獻(xiàn)身的事業(yè)。

在丟番圖之前，古希臘數(shù)學(xué)家習(xí)慣用幾何的觀點(diǎn)看待遇到的所有數(shù)學(xué)問題，而丟番圖

則不然，他是古希臘第一個(gè)大代數(shù)學(xué)家，喜歡用代數(shù)的方法來解決問題?，F(xiàn)代解方程的基

本步驟，如移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、，方程兩邊乘以同一因子等等，丟番圖都已知道了。他尤其

擅長(zhǎng)解答不定方程，發(fā)明了許多巧妙的方法，被西方數(shù)學(xué)家譽(yù)為這門數(shù)學(xué)分支的開山鼻

祖。

丟番圖也是古希臘最后一個(gè)大數(shù)學(xué)家。遺憾的是，關(guān)于他的生平。后人幾乎一無所知,

既不知道他生于何地，也不知道他卒于何時(shí)。幸虧有了這段奇特的墓志銘，才知道他曾

享有84歲的高齡。

(2)希臘十字架問題

圖上那只巨大的復(fù)活節(jié)彩蛋上有一個(gè)希臘十字架，從它引發(fā)出許多切割問題，下面是

其中的三個(gè)。

(a)將十字架圖形分成四塊，用它們拼成一個(gè)正方形；

有無限多種辦法把一個(gè)希臘十字架分成四塊，再把它們拼成一個(gè)正方形，下圖給出了

其中的一個(gè)解法。奇妙的是，任何兩條切割直線，只要與圖上的直線分別平行，也可取得

同樣的結(jié)果，分成的四塊東西總是能拼出一個(gè)正方形。

(b)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個(gè)菱形；

(c)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個(gè)矩形，要求其長(zhǎng)是寬的兩倍。

第六課：世界上最有趣的數(shù)學(xué)題

數(shù)學(xué)經(jīng)常會(huì)讓那些自以為很聰明的人也感覺笨得不行。事實(shí)上，數(shù)學(xué)本身非常有趣，

它是我們?nèi)粘Ｉ畹囊徊糠郑總€(gè)人都能從中獲得享受。只不過在課堂上，數(shù)學(xué)被一些死

板的老師教死板了。

你身上的計(jì)算器

利用手進(jìn)行計(jì)算時(shí)，一種最簡(jiǎn)單的乘法是9的倍數(shù)計(jì)算，在這種計(jì)算中，有一

個(gè)小孩子非常了解，但是年長(zhǎng)的人不是太了解的小竅門。計(jì)算9的倍數(shù)時(shí)，將手放在膝蓋

上，像下表中所示，從左到右給你的手指編號(hào)。現(xiàn)在選擇你想計(jì)算的9的倍數(shù)，假設(shè)這個(gè)

乘式是7義9。只要像上圖所示那樣，彎曲標(biāo)有數(shù)字7的手指。然后數(shù)彎曲的那根手指左邊

剩下的手指數(shù)是6,它右邊剩下的手指根數(shù)是3,將它們放在一起，得出7X9的答案是63。

多少只襪子才能配成一對(duì)？

關(guān)于多少只襪子能配成對(duì)的問題，答案并非兩只。而且這種情況并非只在我家發(fā)生。

為什么會(huì)這樣呢？那是因?yàn)槲腋覔?dān)保在冬季黑蒙蒙的早上，如果我從裝著黑色和藍(lán)色襪子

的抽屜里拿出兩只，它們或許始終都無法配成一對(duì)。雖然我不是太幸運(yùn)，但是如果我從抽

屜里拿出3只襪子，我敢說肯定會(huì)有一雙顏色是一樣的。不管成對(duì)的那雙襪子是黑色還是

藍(lán)色，最終都會(huì)有一雙顏色一樣的。如此說來，只要借助一只額外的襪子，數(shù)學(xué)規(guī)則就能

戰(zhàn)勝墨菲法則。通過上述情況可以得出，“多少只襪子能配成一對(duì)”的答案是3只。

當(dāng)然只有當(dāng)襪子是兩種顏色時(shí)，這種情況才成立。如果抽屜里有3種顏色的襪子，例

如藍(lán)色、黑色和白色襪子，你要想拿出一雙顏色一樣的，至少必須取出4只襪子。如果抽

屜里有10種不同顏色的襪子，你就必須拿出11只。根據(jù)上述情況總結(jié)出來的數(shù)學(xué)規(guī)則是:

如果你有N種類型的襪子，你必須取出N+1只，才能確保有一雙完全一樣的。

燃繩計(jì)時(shí)

一根繩子，從一端開始燃燒，燒完需要1小時(shí)。現(xiàn)在你需要在不看表的情況下，僅借

助這根繩子和一盒火柴測(cè)量出半小時(shí)的時(shí)間。你可能認(rèn)為這很容易，你只要在繩子中間做

個(gè)標(biāo)記，然后測(cè)量出這根繩子燃燒完一半所用的時(shí)間就行了。然而不幸的是，這根繩子并

不均勻，有些地方比較粗，有些地方卻很細(xì)，因此這根繩子不同地方的燃燒率不同。也許

其中一半繩子燃燒完僅需5分鐘，而另一半燃燒完卻需要55分鐘。面對(duì)這種情況，似乎想

利用上面的繩子準(zhǔn)確測(cè)出30分鐘時(shí)間根本不可能，但是事實(shí)并非如此，因此大家可以利用

一種創(chuàng)新方法解決上述問題，這種方法是同時(shí)從繩子兩頭點(diǎn)火。繩子燃燒完所用的時(shí)間一

定是30分鐘。

第七課：最完美的數(shù)

完美數(shù)又稱為完全數(shù),最初是由畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)的信徒發(fā)現(xiàn)的，他們注意到：

數(shù)6有一個(gè)特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和：6=1+2+3,下一個(gè)具有同樣性質(zhì)

的數(shù)是28,28=1+2+4+7+14接著是496和8128.他們稱這類數(shù)為完美數(shù).歐幾里德在大約

公元前350-300年間證明了：若2--1是素?cái)?shù)，則數(shù)2n-l[2nT](1)是完全數(shù).兩千年后，歐

拉證明每個(gè)偶完全數(shù)都具有這種形式.這就在完全數(shù)與梅森數(shù)(形式為2”——1的素

數(shù))之間建立了緊密的聯(lián)系，到1999年6月1日為止，共發(fā)現(xiàn)了38個(gè)梅森素?cái)?shù)，這就是說已

發(fā)現(xiàn)了38個(gè)完全數(shù).

1：完全數(shù)是非常奇特的數(shù),它們有一些特殊性質(zhì),例如每個(gè)完全數(shù)都是三角形數(shù),即都

能寫成n(n+l)/2.

6=1+2+3=3*4/2

28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2

496=1+2+3+4+...+31=31*32/2....

(2"-1)=1+2+3+...+(2-1)=(2-1)272

2：把它們(6除外)的各位數(shù)字相加，直到變成一位數(shù)，那么這個(gè)一位數(shù)一定是1;它們都是

連續(xù)奇數(shù)的立方和(6除外)，

22(23-1)=28=13+33

24(2-1)=496=13+33+53+73

26(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+153....

2"-1(2"-l)=l3+33+53+...+(2(n+1)/-l)3

3：除了因子1之外，每個(gè)完全數(shù)的所有因子(包括自身)的倒數(shù)和等于1,比如:

1/2+1/3+1/6=1

1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1....

4：完全數(shù)都是以6或8結(jié)尾的，如果以8結(jié)尾,那么就肯定是以28結(jié)尾.

注意以上談到的完全數(shù)都是偶完全數(shù),至今仍然不知道有沒有奇完全數(shù),如果真的存在奇完

全數(shù).

第八課：有理數(shù)的巧算

有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ).它要求同學(xué)們?cè)诶斫庥欣頂?shù)的有關(guān)概念、

法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進(jìn)行運(yùn)算.不僅如此，還要善于根據(jù)題

目條件，將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡(jiǎn)捷的算法解決問題，從而提高運(yùn)

算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性.

一、括號(hào)的使用

在代數(shù)運(yùn)算中，可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，去掉或者添上括號(hào)，以此來改變運(yùn)算的

次序，使復(fù)雜的問題變得較簡(jiǎn)單.

例1：計(jì)算347—(18.75—1+立,2色+0.46

(-2)3x(一1嚴(yán)98+12|十

54

分析：中學(xué)數(shù)學(xué)中，由于負(fù)數(shù)的引入，符號(hào)“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表

示加法與減法的運(yùn)算符號(hào)，也是表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號(hào).因此進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，一

定要正確運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則，尤其是要注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化.

解：(1)H^=^47-fl8--l->|x2—+0.46

(48J25

23

50

23

50

竺2

(2)原式=

4

25

16

注意：在本例中的乘除運(yùn)算中，常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù)，這樣便

于計(jì)算.

例2：計(jì)算下式的值:211X555+445X789+555X789+211X445.

分析：直接計(jì)算很麻煩，根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，添加括號(hào)改變運(yùn)算次序，可使計(jì)算簡(jiǎn)單.本

題可將第一、第四項(xiàng)和第二、第三項(xiàng)分別結(jié)合起來計(jì)算.

解：原式=(211X555+211X445)+(445X789+555X789)

=21IX(555+445)+(445+555)X789

=211X1000+1000X789

=1000X(211+789)

=1000000.

說明：加括號(hào)的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧.

例3：在數(shù)列2,3,…，1998前添符號(hào)“+”和并依次運(yùn)算,所得可能的最小

非負(fù)數(shù)是多少？

分析與解：因?yàn)槿舾蓚€(gè)整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，所以在1,2,3,…,

1998之前任意添加符號(hào)“+”或不會(huì)改變和的奇偶性.在1,2,3,…，1998中有

1998?2個(gè)奇數(shù)，即有999個(gè)奇數(shù)，所以任意添加符號(hào)“+”或之后，所得的代數(shù)和總

為奇數(shù)，故最小非負(fù)數(shù)不小于1.

現(xiàn)考慮在自然數(shù)n,n+1,n+2,n+3之間添加符號(hào)“+”或“-"，顯然

n-(n+l)-(n+2)+(n+3)=0.

這啟發(fā)我們將1,2,3,…，1998每連續(xù)四個(gè)數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號(hào)，

即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+???+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.

所以，所求最小非負(fù)數(shù)是1.

說明：本例中，添括號(hào)是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計(jì)算大大簡(jiǎn)化.

二、用字母表示數(shù)：

我們先來計(jì)算(100+2)X(100-2)的值：

(100+2)X(100-2)

=100X100-2X100+2X100-4=1002-22.

這是一個(gè)對(duì)具體數(shù)的運(yùn)算，若用字母a代換100,用字母b代換2,上述運(yùn)算過程變?yōu)?

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-bL=a2-b2.

于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算公式：(a+b)(a-b)=a2-b?,①

這個(gè)公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí)，不必重復(fù)公式的證明過程，可直

接利用該公式計(jì)算.

24690_______

例4：計(jì)算:

123462-12345x12347

分析與解：直接計(jì)算繁.仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個(gè)連續(xù)整數(shù)：12345,12346,

12347.可設(shè)字母n=12346,那么12345=n-l,12347=n+l,于是分母變?yōu)閚2-(n-l)(n+1).應(yīng)

用平方差公式化簡(jiǎn)得：n2-(n2-l2)=n2-n2+l=l,

即原式分母的值是1,所以原式=24690.

例5：計(jì)算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(2,6+1)(232+1).

分析：式子中2,22,2',…每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(gè)(2T),

就可以連續(xù)遞進(jìn)地運(yùn)用(a+b)(a-b)=a2-b2了.

解:原式=(2-1)(2+1)(241)(2'+1)(2，+1)X(216+1)(232+1)

=(2-1)(22+1)(24+1)(2S+1)(216+1)X(232+1)

=(2'-1)(2*+1)(28+1)(2|6+1)(232+1)

....=(232-1)(232+1)=2M-1.

分析：在前面的例題中，應(yīng)用過公式(a+b)(a-b)=a2-b?.

這個(gè)公式也可以反著使用，即a2-b2=(a+b)(a-b).本題就是一個(gè)例子.

通過以上例

1111

=—X——X-----

21020

題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計(jì)算帶來很大的益處.下面再看一個(gè)例1題，從中可

以看到用字母表示一個(gè)式子，也可使計(jì)算簡(jiǎn)化.

1111

例7：計(jì)算—I--F???+1+2+???+

2319991998

1

1+-+...+*+...+，)

21999A231998；

分析：四個(gè)括號(hào)中均包含一個(gè)共同部分5+』+...+—L

231998

我們用一個(gè)字母表示它以簡(jiǎn)化計(jì)算。

111

--1--F…+---

231998

2

+2+—!—+----------］一(++----

19991999J11999

1

1999

練習(xí)與作業(yè):

1.計(jì)算下列各式的值：

(1)-1+3-5+7-9+11-------1997+1999；

(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；

(3)1991X1999-1990X2000；

(4)4726342+4726352-472633X472635-472634X472636；

(5)計(jì)算3001X2999的值.

(6)計(jì)算103X97X10009的值.

《生活與數(shù)學(xué)》

編者：毛德英

第一課：由特殊到一般

近些年來，全國(guó)多數(shù)地市的中招考試都有找規(guī)律的題目，人們開始逐漸重視這一類數(shù)

學(xué)題，研究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律題的解題思想，不但能夠提高學(xué)生的考試成績(jī)，而且更有助于創(chuàng)

新型人才的培養(yǎng)。這類問題沒有明確的知識(shí)方法可套，在現(xiàn)在的教科書上也很少觸及這類

問題。這類題目主要考查學(xué)生的綜合分析問題和解決問題的能力。

找規(guī)律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量或符合某種形式的一些式子，要求

我們根據(jù)這些已知的量找出一般規(guī)律。揭示它的內(nèi)在規(guī)律，常常包含著事物的序列號(hào)或關(guān)

系式。所以，把變量和序列號(hào)放在一起或按相同形式的式子加以比較，就比較容易發(fā)現(xiàn)其

中的奧秘。

觀察算式找規(guī)律：

例1：20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)?nèi)缦?，?qǐng)計(jì)算他們的總分與平均分.87,91,94,88,

93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.

分析與解若直接把20個(gè)數(shù)加起來，顯然運(yùn)算量較大，粗略地估計(jì)一下，這些數(shù)均在

90上下，所以可取90為基準(zhǔn)數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負(fù)”，考察這20

個(gè)數(shù)與90的差，這樣會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.

所以總分為：

90X20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)

=1800-1=1799,

平均分為：90+(-1)920=89.95.

例2計(jì)算1+3+5+7+…+1997+1999的值.

分析：觀察發(fā)現(xiàn)，首先算式中從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都等于2；其次算式中首

末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于2000,于是可有如下解法.

解：用字母S表示所求算式，

即S=l+3+5+…+1997+1999.①

再將S各項(xiàng)倒過來寫為：

S=1999+1997+1995+-+3+1.②

將①，②兩式左右分別相加，得

2S=(1+1999)+(3+1997)+-+(1997+3)+(1999+1)

=2000+2000+…+2000+2000(1000個(gè)2000)

=2000X1000.

從而有S=1000000.

說明：一般地，一列數(shù)，如果從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都相等(本題

3-1=5-3=7-5=-=1999-1997,都等于2),那么，這列數(shù)的求和問題，都可以用上例中的“倒

寫相加”的方法解決.

例3：計(jì)算1+5+545斗…+599+58的值.

分析：觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍.如果將和式各項(xiàng)

都乘以5,所得新和式中除個(gè)別項(xiàng)外，其余與原和式中的項(xiàng)相同，于是兩式相減將使差易于

計(jì)算.

2100

解：設(shè)S=l+5+5+-+5"+5,①

.,.5S=5+52+5%“+5叫5KH.②

②一①得：4S=5IO1-1,

5,0|-1

,S二-——-

4

說明：如果一列數(shù)，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都相等(本例中是都等于5),那么

這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯(cuò)位相減”法來解決.

,,1111

11-----1------1------F…H-------------

1x22x33x41998x1999

分析一般情況下，分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分.本題通分計(jì)算將很繁，所以我們不但不通分,

I_11

反而利用如下一個(gè)關(guān)系式:

K（K+1）-K-K+1

來把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,然后再計(jì)算，這種方法叫做拆項(xiàng)法.

解：由于一匚=J_1_11111

---

1x212'27323'3^434

11

19981999

19991999

說明：本例使用拆項(xiàng)法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項(xiàng)，這種方法

在有理數(shù)巧算中很常用.

練習(xí)與作業(yè):

1.計(jì)算下列各式的值：

/,、1111

(1)----1------1-----1-…H-----------

1x33x55x71997x1999

(2)1+4+7+-+244；

/小，1111

(3)1+—H---H--r+而而"

3323332000

79111315

(4)1—

3122034256

2.某小組20名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦拢囉?jì)算他們的平均分.

81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,

76,97,80,90,76,91,86,78,74,85.

第二課：代數(shù)式求值問題

歸納的方法是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性的一種重要思考方法，也是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)命題

與發(fā)現(xiàn)解題思路的一種重要手段.這里的歸納指的是常用的經(jīng)驗(yàn)歸納，也就是在求解數(shù)學(xué)

問題時(shí)，首先從簡(jiǎn)單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果，然后以這些經(jīng)驗(yàn)

作基礎(chǔ)，分析概括這些經(jīng)驗(yàn)的共同特征，從而發(fā)現(xiàn)解題的一般途徑或新的命題的思考方

法.下面舉幾個(gè)例題，以見一般.

例1如圖2-99,有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算作第一層；第二層每邊有

兩個(gè)點(diǎn)（相鄰兩邊公用一個(gè)點(diǎn)）；第三層每邊有三個(gè)點(diǎn)，…這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有n層，試問

第n層有多少個(gè)點(diǎn)？這個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè)點(diǎn)？

圖2-99

分析與解我們來觀察點(diǎn)陣中各層點(diǎn)數(shù)的規(guī)律，然后歸納出點(diǎn)陣共有的點(diǎn)數(shù).第

一層有點(diǎn)數(shù)：1；

第二層有點(diǎn)數(shù)：1義6；

第三層有點(diǎn)數(shù)：2X6；

第四層有點(diǎn)數(shù)：3X6；

第n層有點(diǎn)數(shù):(n-l)X6.

因此，這個(gè)點(diǎn)陣的第n層有點(diǎn)(nT)X6個(gè).n層共有點(diǎn)數(shù)為

l+lX6+2X6+3X6+-+(n-l)X6

=l+6[l+2+-+(n-l)]

=1+6x---------------

2

=1+3(n-l)n.

例2在平面上有過同一點(diǎn)P,并且半徑相等的n個(gè)圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn),

任何三個(gè)圓除P點(diǎn)外無其他公共點(diǎn)，那么試問：

圖2-1。0

(1)這n個(gè)圓把平面劃分成多少個(gè)平面區(qū)域?

(2)這n個(gè)圓共有多少個(gè)交點(diǎn)？

分析與解(1)在圖2T00中，設(shè)以P點(diǎn)為公共點(diǎn)的圓有1,2,3,4,5個(gè)(取這n個(gè)特

定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個(gè)？為此，我們列出表18.1.

表18.1

圓的個(gè)數(shù)n12345.??n

平面區(qū)域數(shù)Sn2471116????

由表18.1易知

S2-SI=2,

S3-S2=3,

S「S：3=4,

Ss-SI—5，

由此，不難推測(cè)

SnSQ-1n?

把上面(n-l)個(gè)等式左、右兩邊分別相加，就得到

STS]=2+3+4+…+n,

因?yàn)镾N,所以

S『2+2+3+???+n=1+(1+2+3+???+n)

-n(n+l)n2+n+2

=1+——-——=-----------.

22

這就證明了當(dāng)n個(gè)圓過P點(diǎn)時(shí)，可把平面劃分為以產(chǎn)個(gè)平面區(qū)域.

下面對(duì)Sn-SnH=n,即SKe+n的正確性略作說明.

因?yàn)镾g為nT個(gè)圓把平面劃分的區(qū)域數(shù)，當(dāng)再加上一個(gè)圓，即當(dāng)n個(gè)圓過定點(diǎn)P時(shí)，

這個(gè)加上去的圓必與前n-l個(gè)圓相交，所以這個(gè)圓就被前n-l個(gè)圓分成n部分，加在Sn-,±,

所以有Sn=S”i+n.

⑵與⑴一樣，同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來解決.為此，可列出表18.2.

表18.2

圓的個(gè)數(shù)k12345???n

圓的交點(diǎn)數(shù)ak124711—%=?

由表18.2容易發(fā)現(xiàn)

3]-1,

3-2~~Q-1-1，

包=2，

a：?=3，

@5一41-4,

—

Hn-i3^-2=n-2，

&n—Q,n-l—n—1.

n個(gè)式子相加

%=1+[1+2+3+…+(n-l)l

_(n-l)nn2-n+2

=1+-------=----------

22

所以，當(dāng)有滿足條件的n個(gè)圓過P點(diǎn)時(shí)，這n個(gè)圓共有.2個(gè)交點(diǎn)

注意請(qǐng)讀者說明an=ae+(n-1)的正確性.

例3設(shè)a,b,c表示三角形三邊的長(zhǎng)，它們都是自然數(shù)，其中aWbWc,如果b=n(n

是自然數(shù))，試問這樣的三角形有多少個(gè)?

分析與解我們先來研究一些特殊情況:

⑴設(shè)b=n=l,這時(shí)b=l,因?yàn)閍WbWc,所以a=l,c可取1,2,3,….若c=l,則得

到一個(gè)三邊都為1的等邊三角形；若c22,由于a+b=2,那么a+b不大于第三邊c,這時(shí)

不可能由a,b,c構(gòu)成三角形，可見，當(dāng)b=n=l時(shí)，滿足條件的三角形只有一個(gè).

(2)設(shè)b=n=2,類似地可以列舉各種情況如表18.3.

表18.3

aC三角形個(gè)數(shù)

22>32

121

這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2=3.

(3)設(shè)b=n=3,類似地可得表18.4.

表18.4

aC三角形個(gè)數(shù)

33,4,53

23,42

131

這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2+3=6.

通過上面這些特例不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b=n時(shí)，滿足條件的三角形總數(shù)為：

?ccn(n+1)

1+2+3+—+n=、門?

2

這個(gè)猜想是正確的.因?yàn)楫?dāng)b=n時(shí)，a可取n個(gè)值(1,2,3,…，n),對(duì)應(yīng)于a的每個(gè)

值，不妨設(shè)a=k(lWkWn).由于bWcVa+b,即nWcVn+k,所以c可能取的值恰好有k

個(gè)(n,n+1,n+2,…，n+k-1).所以，當(dāng)b=n時(shí)，滿足條件的三角形總數(shù)為：

n(n+l)

1+2+3+-+n

-2~

第三課：打折銷售

1.某市百貨商場(chǎng)元月1日搞促銷活動(dòng)，購(gòu)物不超過200元，不給優(yōu)惠；超過200元，而

不足500元，優(yōu)惠10%超過500元的，其中500元9折優(yōu)惠，超過部分按8折優(yōu)惠。某人兩次

購(gòu)物分別用了134元和466元，問：

（1）此人在兩次購(gòu)物中不打折時(shí)商品價(jià)值多少錢？

（2）在這次活動(dòng)中他節(jié)省了多少錢？

（3）若此人講這兩次的錢合起來購(gòu)買同樣的商品是更節(jié)省還是虧損？說明你的理由。

點(diǎn)撥：該題給出的優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)實(shí)質(zhì)是：200元以上給予優(yōu)惠，且分兩個(gè)等級(jí).（1）中首先應(yīng)

判定，134元的商品是否給予優(yōu)惠，因?yàn)?00X90%=180>134.所以購(gòu)134元的商品并未優(yōu)惠。

其次是466元的商品是如何優(yōu)惠的？（3）中應(yīng)計(jì)算合起來買相同商品，其付款數(shù)是多少，

然后再與600元進(jìn)行比較，問題得以解決.

解答：（1）200?500元之間，優(yōu)惠10幅最多需500X90%=450<466,故第二次購(gòu)物超過

了500元，設(shè)購(gòu)了x元的物品，則500X90%+（x-500）X80%=466,解得：x=520

故他兩次購(gòu)物，其物品值為134元和520元.

（2）他節(jié)省了520—466=54元

（3）若合起來購(gòu)物，即購(gòu)買134+520=654元的物品，只需500X90%+（654-500）X

80%=573.2（元）節(jié)省了80.8元，故更優(yōu)惠一些.

【數(shù)學(xué)教你聰明消費(fèi)】

2.小明想在兩種燈中選購(gòu)一種，其中一種是H瓦（即0.011千瓦）的節(jié)能燈，售價(jià)為

60元；另一種是60瓦（即0.06千瓦）的白熾燈，售價(jià)3元.兩種燈的照明效果一樣，使用壽

命都可以達(dá)到3000小時(shí)，電費(fèi)是0.5元（千瓦/時(shí)）.

（1）如果照明不超過3000小時(shí)，選用哪種燈可以節(jié)省費(fèi)用？（費(fèi)用含燈的售價(jià)和電費(fèi)）

（2）如計(jì)劃照明3500小時(shí)，就需購(gòu)買兩個(gè)燈，試設(shè)計(jì)你認(rèn)為最能省錢的買方案（通過

運(yùn)算說明理由）.

分析：（1）設(shè)使用x個(gè)小時(shí)后，節(jié)能燈的費(fèi)用（元）為0.011X0.5x+60=0.0055x+60,

白熾燈的費(fèi)用（元）為0.06X0.5x+3=0.03x+3.

由題意0.0055x+60=0.03x+3.

解得x^2326.5

如果x=2000小時(shí)，節(jié)能燈的費(fèi)用60+0.0055X2000=71

白熾燈的費(fèi)用3+0.03X2000=63

.?.當(dāng)照明時(shí)間小于2326.5時(shí)，應(yīng)買白熾燈.

如果x=2500小時(shí)，節(jié)能燈的費(fèi)用60+0.0055X2500=73.75

白熾燈的費(fèi)用3+0.03X2500=78

?..當(dāng)照明時(shí)間大于2326.5小時(shí)，小于3000小時(shí)時(shí),應(yīng)買節(jié)能燈，

若照明時(shí)間等于2326.5小時(shí)，兩種燈具費(fèi)用一樣.

（2）若買兩盞白熾燈，使用3500小時(shí)的費(fèi)用為

0.06X0.5X3500+2X3=105+6=111

若買兩盞節(jié)能燈，使用3500小時(shí)的費(fèi)用為

0.011X0.5X3500+2X60=19.25+120=139.25

若買一盞白熾燈一盞節(jié)能燈，使用3500小時(shí)的費(fèi)用為

0.011X0.5X3000+60+0.06X0.5X500+3=16.5+60+15+3=94.5（2分）

Z.139.5>111>94,5

故從省錢的角度來看，應(yīng)該兩種燈各買一盞.

數(shù)學(xué)的妙用

某報(bào)紙上報(bào)道了兩則廣告，甲商廈實(shí)行有獎(jiǎng)銷售：特等獎(jiǎng)10000元1名，一等獎(jiǎng)1000

元2名，二等獎(jiǎng)100元10名，三等獎(jiǎng)5元200名，乙商廈則實(shí)行九五折優(yōu)惠銷售。請(qǐng)你想

一想；哪一種銷售方式更吸引人？哪一家商廈提供給消費(fèi)者的實(shí)惠大？

在實(shí)際問題中，甲商廈每組設(shè)獎(jiǎng)銷售的營(yíng)業(yè)額和參加抽獎(jiǎng)的人數(shù)都沒有限制。所以這

個(gè)問題的答案應(yīng)該是開放的，現(xiàn)在討論如下：

1如果甲商廈確定以組設(shè)獎(jiǎng)，當(dāng)參加人數(shù)較少時(shí)，少于213（1十2+10+200=213人）

人，人們會(huì)認(rèn)為獲獎(jiǎng)機(jī)率較大，則甲商廈的銷售方式更吸引顧客。

2如果甲商廈的每組營(yíng)業(yè)額較多時(shí)，它給顧客的優(yōu)惠幅度就相應(yīng)的小。因?yàn)榧咨虖B提供

的優(yōu)惠金額是固定的，共14000元（10000+2000+1000+1000=14000）。假設(shè)兩商廈提

供的優(yōu)惠都是14000元，則可求乙商廈的營(yíng)業(yè)額為280000元（140004-5%=280000）。

所以由此可得：

（1）當(dāng)兩商廈的營(yíng)業(yè)額都為280000元時(shí)，兩家商廈所提供的優(yōu)惠同樣多。

（2）當(dāng)兩商廈的營(yíng)業(yè)額都不足280000元時(shí)，乙商廈的優(yōu)惠則小于14000元，所以這

時(shí)甲商廈提供的優(yōu)惠仍是14000元，優(yōu)惠較大。

（3）當(dāng)兩家的營(yíng)業(yè)額都超過280000元時(shí)，乙商廈的優(yōu)惠則大于14000元，而甲商廈

的優(yōu)惠仍保持14000元時(shí)，乙商廈所提供的實(shí)惠大。

第四課：生活中的數(shù)學(xué)

一儲(chǔ)蓄

儲(chǔ)蓄、保險(xiǎn)、納稅是最常見的有關(guān)理財(cái)方面的數(shù)學(xué)問題，幾乎人人都會(huì)遇到，因此，

我們?cè)谶@一講舉例介紹有關(guān)這方面的知識(shí)，以增強(qiáng)理財(cái)?shù)淖晕冶Ｗo(hù)意識(shí)和處理簡(jiǎn)單財(cái)務(wù)問

題的數(shù)學(xué)能力.

1.儲(chǔ)蓄

銀行對(duì)存款人付給利息，這叫儲(chǔ)蓄.存入的錢叫本金.一定存期（年、月或日）內(nèi)的利

息對(duì)本金的比叫利率.本金加上利息叫本利和.

利息=本金X利率義存期，

本利和=本金義（1+利率經(jīng)X存期）.

如果用p,r,n,i,s分別表示本金、利率、存期、利息與本利和，那么有

i=prn,s=p（1+rn）.

例1設(shè)年利率為0.0171,某人存入銀行2000元，3年后得到利息多少元？本利和為多

少元?

解i=2000X0.0171X3=102.6(元).

s=2000X(1+0.0171X3)=2102.6(元).

答某人得到利息102.6元，本利和為2102.6元.

以上計(jì)算利息的方法叫單利法，單利法的特點(diǎn)是無論存款多少年，利息都不加入本

金.相對(duì)地，如果存款年限較長(zhǎng)，約定在每年的某月把利息加入本金，這就是復(fù)利法，即

利息再生利息.目前我國(guó)銀行存款多數(shù)實(shí)行的是單利法.不過規(guī)定存款的年限越長(zhǎng)利率也

越高.例如，1998年3月我國(guó)銀行公布的定期儲(chǔ)蓄人民幣的年利率如表22.1所示.

表22.1

存期1年2年3年5年

年利率(%)5.225.586.216.66

用復(fù)利法計(jì)算本利和，如