2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國）（第一期）專題16 二次函數(shù)解答題壓軸題（35題）（解析版）

專題16二次函數(shù)解答題壓軸題（35題）一、解答題1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是某公園的一種水上娛樂項目．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對該項目中的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過騰空點B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設(shè)計了以下三個問題，請你解決．(1)如圖1，點B與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為米，點C到點B的水平距離為3米，則水滑道所在拋物線的解析式為______；(2)如圖1，騰空點B與對面水池邊緣的水平距離米，人騰空后的落點D與水池邊緣的安全距離不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關(guān)于點B成中心對稱．①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線的解析式；②此人騰空飛出后的落點D是否在安全范圍內(nèi)？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；(3)為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進(jìn)行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點M處豎直支撐的鋼架，另一條是點M與點B之間連接支撐的鋼架．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與平行，且與水滑道有唯一公共點，一端固定在鋼架上，另一端固定在地面上．請你計算出這條鋼架的長度（結(jié)果保留根號）．【答案】(1)(2)①此人騰空后的最大高度是米，解析式為；②此人騰空飛出后的落點D在安全范圍內(nèi)，理由見解析(3)這條鋼架的長度為米【分析】（1）根據(jù)題意得到水滑道所在拋物線的頂點坐標(biāo)為，且過點，設(shè)水滑道所在拋物線的解析式為，將代入，計算求出a的值即可；（2）①根據(jù)題意可設(shè)人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為，由拋物線的頂點為，即可得出結(jié)果；②由①知人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：，令，求出的值，即點的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意可得點的縱坐標(biāo)為4，令中，求出符合實際的x值，得到點M的坐標(biāo)，求出所在直線的解析式為，設(shè)這條鋼架為，與交于點G，與地面交于H，根據(jù)這條鋼架與平行，設(shè)該鋼架所在直線的解析式為，由該鋼架與水滑道有唯一公共點，聯(lián)立，根據(jù)方程組有唯一解，求出，即該鋼架所在直線的解析式為，點H與點O重合，根據(jù)，，，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得到水滑道所在拋物線的頂點坐標(biāo)為，且過點，設(shè)水滑道所在拋物線的解析式為，將代入，得：，即，，水滑道所在拋物線的解析式為；（2）解：①人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關(guān)于點B成中心對稱，則設(shè)人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為，人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點坐標(biāo)與拋物線的頂點坐標(biāo)關(guān)于點成中心對稱，，人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點坐標(biāo)為，即，∴此人騰空后的最大高度是米，人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：；由①知人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：，令，則，即或（舍去，不符合題意），點，，，，此人騰空飛出后的落點D在安全范圍內(nèi)；（3）解：根據(jù)題意可得點的縱坐標(biāo)為4，令，即，（舍去，不符合題意）或，，設(shè)所在直線的解析式為，將代入得：，解得：，所在直線的解析式為，如圖，設(shè)這條鋼架為，與交于點G，與地面交于H，這條鋼架與平行，設(shè)該鋼架所在直線的解析式為，聯(lián)立，即，整理得：，該鋼架與水滑道有唯一公共點，，即該鋼架所在直線的解析式為，點H與點O重合，，，，，這條鋼架的長度為米．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及點的坐標(biāo)的求法，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點問題，勾股定理，借助二次函數(shù)解決實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想．2．（2024·廣東深圳·中考真題）為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇不同位置測量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)的讀數(shù)為x，讀數(shù)為y，拋物線的頂點為C．(1)（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y012.2546.259（Ⅱ）描點：請將表格中的描在圖2中；（Ⅲ）連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點連接，并求出y與x的關(guān)系式；(2)如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點為C，該數(shù)學(xué)興趣小組用水平和豎直直尺測量其水平跨度為，豎直跨度為，且，，為了求出該拋物線的開口大小，該數(shù)學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中一種方案，并完善過程：方案一：將二次函數(shù)平移，使得頂點C與原點O重合，此時拋物線解析式為．①此時點的坐標(biāo)為________；②將點坐標(biāo)代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）方案二：設(shè)C點坐標(biāo)為①此時點B的坐標(biāo)為________；②將點B坐標(biāo)代入中解得________；（用含m，n的式子表示）(3)【應(yīng)用】如圖4，已知平面直角坐標(biāo)系中有A，B兩點，，且軸，二次函數(shù)和都經(jīng)過A，B兩點，且和的頂點P，Q距線段的距離之和為10，求a的值．【答案】(1)圖見解析，；(2)方案一：①；②；方案二：①；②；(3)a的值為或．【分析】（1）描點，連線，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)圖形寫出點或點B的坐標(biāo)，再代入求解即可；（3）先求得，，的頂點坐標(biāo)為，再求得頂點距線段的距離為，得到的頂點距線段的距離為，得到的頂點坐標(biāo)為或，再分類求解即可．【詳解】（1）解：描點，連線，函數(shù)圖象如圖所示，觀察圖象知，函數(shù)為二次函數(shù)，設(shè)拋物線的解析式為，由題意得，解得，∴y與x的關(guān)系式為；（2）解：方案一：①∵，，∴，此時點的坐標(biāo)為；故答案為：；②由題意得，解得，故答案為：；方案二：①∵C點坐標(biāo)為，，，∴，此時點B的坐標(biāo)為；故答案為：；②由題意得，解得，故答案為：；（3）解：根據(jù)題意和的對稱軸為，則，，的頂點坐標(biāo)為，∴頂點距線段的距離為，∴的頂點距線段的距離為，∴的頂點坐標(biāo)為或，當(dāng)?shù)捻旤c坐標(biāo)為時，，將代入得，解得；當(dāng)?shù)捻旤c坐標(biāo)為時，，將代入得，解得；綜上，a的值為或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．3．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：經(jīng)過點，與y軸交于點．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在直線上方拋物線上有一動點C，連接交于點D，求的最大值及此時點C的坐標(biāo)；(3)作拋物線F關(guān)于直線上一點的對稱圖象，拋物線F與只有一個公共點E（點E在y軸右側(cè)），G為直線上一點，H為拋物線對稱軸上一點，若以B，E，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形，求G點坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)最大值為，C的坐標(biāo)為；(3)點G的坐標(biāo)為，，．【分析】（1）本題考查了待定系數(shù)法解拋物線分析式，根據(jù)題意將點坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，解方程即可；（2）根據(jù)題意證明，再設(shè)的解析式為，求出的解析式，再設(shè)，則，再表示出利用最值即可得到本題答案；（3）根據(jù)題意求出，再分情況討論當(dāng)為對角線時，當(dāng)為邊時繼而得到本題答案．【詳解】（1）解：，代入，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：如圖1，過點C作x軸的垂線交于點M．∴軸，∴，∴，設(shè)的解析式為，把，代入解析式得，解得：，∴．設(shè)，則，∴，∵，，∴當(dāng)時，最大，最大值為．∴的最大值為，此時點C的坐標(biāo)為．（3）解：由中心對稱可知，拋物線F與的公共點E為直線與拋物線F的右交點，∴，∴（舍），，∴．∵拋物線F：的頂點坐標(biāo)為，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，∴拋物線的對稱軸為直線．如圖2，當(dāng)為對角線時，由題知，∴，∴．如圖3，當(dāng)為邊時，由題知，∴，∴．如圖4，由題知，∴，∴，綜上：點G的坐標(biāo)為，，．4．（2024·天津·中考真題）已知拋物線的頂點為，且，對稱軸與軸相交于點，點在拋物線上，為坐標(biāo)原點．(1)當(dāng)時，求該拋物線頂點的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時，求的值；(3)若是拋物線上的點，且點在第四象限，，點在線段上，點在線段上，，當(dāng)取得最小值為時，求的值．【答案】(1)該拋物線頂點的坐標(biāo)為(2)10(3)1【分析】（1）先求得的值，再配成頂點式，即可求解；（2）過點作軸，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得該拋物線頂點的坐標(biāo)為，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）過點作軸，過點作軸，證明，求得點的坐標(biāo)為，在中，利用勾股定理結(jié)合題意求得，在的外部，作，且，證明，得到，當(dāng)滿足條件的點落在線段上時，取得最小值，求得點的坐標(biāo)為，再利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】（1）解：，得．又，該拋物線的解析式為．，該拋物線頂點的坐標(biāo)為；（2）解：過點作軸，垂足為，則．在中，由，．解得（舍）．點的坐標(biāo)為．，即．拋物線的對稱軸為．對稱軸與軸相交于點，則．在中，由，．解得負(fù)值舍去．由，得該拋物線頂點的坐標(biāo)為．該拋物線的解析式為．點在該拋物線上，有．；（3）解：過點作軸，垂足為，則．．在中，．過點作軸，垂足為，則．，又，．∴，，∴點的坐標(biāo)為．在中，，，即．根據(jù)題意，，得．在的外部，作，且，連接，得．．∴．．當(dāng)滿足條件的點落在線段上時，取得最小值，即．在中，，．得．．解得（舍）．點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．點都在拋物線上，得．．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的頂點式，勾股定理，垂線段最短，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確引出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于，兩點（點在點左側(cè)），頂點為，連接．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，若是軸正半軸上一點，連接．當(dāng)點的坐標(biāo)為時，求證：；(3)如圖2，連接，將沿軸折疊，折疊后點落在第四象限的點處，過點的直線與線段相交于點，與軸負(fù)半軸相交于點．當(dāng)時，與是否相等？請說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)相等，理由見解析【分析】（1）根據(jù)頂點為，利用求出，再將代入解析式即可求出，即可得出函數(shù)表達(dá)式；（2）延長交x軸于點D，由（1）知拋物線的解析式表達(dá)式為，求出，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，進(jìn)而求出，則，利用兩點間距離公式求出，易證，得到，由，即可證明；（3）過點作軸，交x軸于點G，利用拋物線解析式求出，求出，根據(jù)，易證，得到，由，即，求出，得到，即點的橫坐標(biāo)為，由折疊的性質(zhì)得到，求出直線的解析式為，進(jìn)而求出，得到，利用三角形面積公式求出，則，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：該拋物線的頂點為，即該拋物線的對稱軸為，，，將代入解析式，則，，拋物線的解析式表達(dá)式為；（2）證明：如圖1，延長交x軸于點D，由（1）知拋物線的解析式表達(dá)式為，則，，點的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，則，解得：直線的解析式為，則，，，，，，，，，，，，；（3）解：過點作軸，交x軸于點G，令，即，解得：，根據(jù)題意得：，，軸，軸，，，，，即，，，點的橫坐標(biāo)為，由折疊的性質(zhì)得到，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，，，，，，，，．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合問題，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的解析式，折疊的性質(zhì)，二次函數(shù)與三角形相似的綜合問題，二次函數(shù)與面積綜合問題，正確作出輔助線構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．6．（2024·吉林·中考真題）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識，設(shè)計了一個計算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為時，輸出y的值為1；輸入x的值為2時，輸出y的值為3；輸入x的值為3時，輸出y的值為6．(1)直接寫出k，a，b的值．(2)小明在平面直角坐標(biāo)系中畫出了關(guān)于x的函數(shù)圖像，如圖（2）．Ⅰ．當(dāng)y隨x的增大而增大時，求x的取值范圍．Ⅱ．若關(guān)于x的方程（t為實數(shù)），在時無解，求t的取值范圍．Ⅲ．若在函數(shù)圖像上有點P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標(biāo)為m，Q的橫坐標(biāo)為．小明對P，Q之間（含P，Q兩點）的圖像進(jìn)行研究，當(dāng)圖像對應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)(2)Ⅰ：或；Ⅱ：或；Ⅲ：或【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一元二次方程的解，正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的額關(guān)鍵．（1）先確定輸入x值的范圍，確定好之后將x，y的值代入所給的y關(guān)于x的函數(shù)解析式種解方程或方程組即可；（2）Ⅰ：可知一次函數(shù)解析式為：，二次函數(shù)解析式為：，當(dāng)時，，對稱為直線，開口向上，故時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時，，，故時，y隨著x的增大而增大；Ⅱ：問題轉(zhuǎn)化為拋物線與直線在時無交點，考慮兩個臨界狀態(tài)，當(dāng)時，拋物線與直線在時正好一個交點，因此當(dāng)時，拋物線與直線在時沒有交點；當(dāng)，，故當(dāng)時，拋物線與直線在時正好一個交點，因此當(dāng)時，拋物線與直線在時沒有交點，當(dāng)或時，拋物線與直線在時沒有交點，即方程無解；Ⅲ：可求點P、Q關(guān)于直線對稱，當(dāng)，，當(dāng)時，，當(dāng)圖像對應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，而當(dāng)時，，時，，故①當(dāng)，由題意得：，則；②當(dāng)，由題意得：，則，綜上：或．【詳解】（1）解：∵，∴將，代入，得：，解得：，∵，∴將，代入得：，解得：；（2）解：Ⅰ，∵，∴一次函數(shù)解析式為：，二次函數(shù)解析式為：當(dāng)時，，對稱為直線，開口向上，∴時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時，，，∴時，y隨著x的增大而增大，綜上，x的取值范圍：或；Ⅱ，∵，∴，在時無解，∴問題轉(zhuǎn)化為拋物線與直線在時無交點，∵對于，當(dāng)時，∴頂點為，如圖：∴當(dāng)時，拋物線與直線在時正好一個交點，∴當(dāng)時，拋物線與直線在時沒有交點；當(dāng)，，∴當(dāng)時，拋物線與直線在時正好一個交點，∴當(dāng)時，拋物線與直線在時沒有交點，∴當(dāng)或時，拋物線與直線在時沒有交點，即：當(dāng)或時，關(guān)于x的方程（t為實數(shù)），在時無解；Ⅲ：∵，∴，∴點P、Q關(guān)于直線對稱，當(dāng)，，當(dāng)時，，∵當(dāng)圖像對應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，而當(dāng)時，，時，，∴①當(dāng)，如圖：由題意得：，∴；②當(dāng)，如圖：由題意得：，∴，綜上：或．7．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．點是拋物線的頂點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對稱軸于點，若點是直線上方拋物線上一點，且，求點的坐標(biāo)；(3)若點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，是否存在以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或；(3)或或或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）先求得的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，進(jìn)而根據(jù)得出，連接，設(shè)交軸于點，則得出是等腰直角三角形，進(jìn)而得出，則點與點重合時符合題意，，過點作交拋物線于點，得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解；（3）勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論解方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點和點，∴解得：∴拋物線的解析式為；（2）由，當(dāng)時，，則∵，則，對稱軸為直線設(shè)直線的解析式為，代入，∴解得：∴直線的解析式為，當(dāng)時，，則∴∴∴是等腰三角形，∴連接，設(shè)交軸于點，則∴是等腰直角三角形，∴，，又∴∴∴點與點重合時符合題意，如圖所示，過點作交拋物線于點，設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：，∴綜上所述，或；（3）解：∵，，∴∵點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，設(shè)其中∴，①當(dāng)時，，解得：或②當(dāng)時，，解得：③當(dāng)時，，解得：或（舍去）綜上所述，或或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點B，且關(guān)于直線對稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)時，y的取值范圍是，求t的值；(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線于點D，在y軸上是否存在點E，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在點以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形，邊長為或2【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）分和，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可．（3）分為菱形的邊和菱形的對角線兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點B，且關(guān)于直線對稱，∴，解得：，∴；（2）∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線，∴拋物線上點到對稱軸上的距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∵時，，①當(dāng)時，則：當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即：，解得：或，均不符合題意，舍去；②當(dāng)時，則：當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即：，解得：；故；（3）存在；當(dāng)時，解得：，當(dāng)時，，∴，，設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，∴，設(shè)，則：，∴，，，當(dāng)B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形時，分兩種情況：①當(dāng)為邊時，則：，即，解得：（舍去）或，此時菱形的邊長為；②當(dāng)為對角線時，則：，即：，解得：或（舍去）此時菱形的邊長為：；綜上：存在以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形，邊長為或2．9．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點，點為線段上一點（不與端點重合），直線，分別交拋物線于點，，設(shè)面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點是拋物線對稱軸與軸的交點，過點的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點，，過拋物線頂點作直線軸，點是直線上一動點．求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；（）設(shè)，直線為，求出，直線為，求出，聯(lián)立方程組得，，再根據(jù)，即可求解；（）設(shè)直線為，由得，得，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物，得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，則有，過點作于F，則，則，，根據(jù)勾股定理得，即可求出最小值．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，，，

解得，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，設(shè)，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，

，

，∴；（3）設(shè)直線為，由得，∴，∴，

設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線，得，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，

由題意得直線，則，∴，過點作于F，則．則，，

在中，，

即當(dāng)時，，此時，故的最小值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解一元二次方程，根的判別式，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．10．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與軸交于A，B兩點（點在點的左側(cè)），其頂點為，是拋物線第四象限上一點．(1)求線段的長；(2)當(dāng)時，若的面積與的面積相等，求的值；(3)延長交軸于點，當(dāng)時，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個定點．若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)拋物線與交于定點【分析】（1）根據(jù)題意可得，整理得，即可知則有；（2）由題意得拋物線：，則設(shè)，可求得，結(jié)合題意可得直線解析式為，設(shè)直線與拋物線對稱軸交于點E，則，即可求得，進(jìn)一步解得點，過D作于點H，則，即可求得；（3）設(shè)可求得直線解析式為，過點D作，可得，結(jié)合題意得設(shè)拋物線解析式為，由于過點，可求得拋物線解析式為，根據(jù)解得，即可判斷拋物線與交于定點．【詳解】（1）解：∵拋物線：與軸交于A，B兩點，∴，整理得，解得∴則；（2）當(dāng)時，拋物線：，則設(shè)，則，設(shè)直線解析式為，∵點D在直線上，∴，解得，則直線解析式為，設(shè)直線與拋物線對稱軸交于點E，則，∴，∵的面積與的面積相等，∴，解得，∴點，過點D作于點H，則，則；（3）設(shè)直線解析式為，則，解得，那么直線解析式為，過點D作，如圖，則，∵，∴，∵將沿方向平移得到，∴由題意知拋物線平移得到拋物線，設(shè)拋物線解析式為，∵點，都落在拋物線上

∴，解得，則拋物線解析式為∵整理得，解得，∴拋物線與交于定點．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點之間的距離、一次函數(shù)的性質(zhì)、求正切值、二次函數(shù)的平移、等腰三角形的性質(zhì)和拋物線過定點，解題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和平移過程中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)時，求的函數(shù)值的取值范圍；(3)將拋物線的頂點向下平移個單位長度得到點，點為拋物線的對稱軸上一動點，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)的最小值為：【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可；（2）求解的對稱軸為直線，而，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）求解，，可得，求解直線為，及，證明在直線上，如圖，過作于，連接，過作于，可得，，證明，可得，可得，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）解：∵的對稱軸為直線，而，∴函數(shù)最小值為：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴函數(shù)值的范圍為：；（3）解：∵，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，解得：，，∴，∴，設(shè)直線為，∴，∴，∴直線為，∵拋物線的頂點向下平移個單位長度得到點，而頂點為，∴，∴在直線上，如圖，過作于，連接，過作于，∵，，∴，，∵對稱軸與軸平行，∴，∴，∴，由拋物線的對稱性可得：，，∴，當(dāng)三點共線時取等號，∴，∴，∴，即的最小值為：．【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用軸對稱的性質(zhì)求解線段和的最小值，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．12．（2024·山東·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線．(1)求的值；(2)若點在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當(dāng)時，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；(3)設(shè)的圖像與軸交點為，．若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；(3)【分析】（1）把點代入可得，再利用拋物線的對稱軸公式可得答案；（2）把點代入，可得：，可得拋物線為，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)為：，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，結(jié)合，，再建立不等式組求解即可.【詳解】（1）解：∵點在二次函數(shù)的圖像上，∴，解得：，∴拋物線為：，∴拋物線的對稱軸為直線，∴；（2）解：∵點在的圖像上，∴，解得：，∴拋物線為，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)為：，∵，∴當(dāng)時，函數(shù)有最小值為，當(dāng)時，函數(shù)有最大值為∴新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；（3）∵的圖像與軸交點為，．∴，，∵，∴，∵，∴即，解得：.【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練的利用各知識點建立方程或不等式組解題是關(guān)鍵.13．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和．(1)求平移后新拋物線的表達(dá)式；(2)直線（）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q．①如果小于3，求m的取值范圍；②記點P在原拋物線上的對應(yīng)點為，如果四邊形有一組對邊平行，求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)或；(2)①；②．【分析】（1）設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得答案；（2）①如圖，設(shè)，則，，結(jié)合小于3，可得，結(jié)合，從而可得答案；②先確定平移方式為，向右平移2個單位，向下平移3個單位，由題意可得：在的右邊，當(dāng)時，可得，結(jié)合平移的性質(zhì)可得答案如圖，當(dāng)時，則，過作于，證明，可得，設(shè)，則，，，再建立方程求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得：，解得：，∴新拋物線為；（2）解：①如圖，設(shè)，則，∴，∵小于3，∴，∴，∵，∴；②∵，∴平移方式為，向右平移2個單位，向下平移3個單位，由題意可得：在的右邊，當(dāng)時，∴軸，∴，∴，由平移的性質(zhì)可得：，即；如圖，當(dāng)時，則，過作于，∴，∴，∴，設(shè)，則，，，∴，解得：（不符合題意舍去）；綜上：；【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，拋物線的平移，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.14．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，與軸交于點，為拋物線上的兩點．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)兩點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，是以點為直角頂點的直角三角形時，求點的坐標(biāo)；(3)設(shè)的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，最小值為【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，已知兩點坐標(biāo)表示兩點距離，二次函數(shù)最值，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）可求，設(shè)，由，得，則，解得，（舍去），故；（3）分當(dāng)點P、Q在x軸下方，且點Q在點P上方時，當(dāng)點P、Q在x軸下方，且點P在點Q上方時，當(dāng)點P、Q都在x軸上方或者一個在x軸上方，一個在x軸下方，得到這個面積是關(guān)于m的二次函數(shù)，進(jìn)而求最值即可．【詳解】（1）解：把，代入得，，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：如圖：由得拋物線對稱軸為直線，∵兩點關(guān)于拋物線對軸對稱，∴，設(shè)，∵，∴，∴，整理得，，解得，（舍去），∴，∴；（3）存在，理由：當(dāng)點P、Q在x軸下方，且點Q在點P上方時，設(shè)點，則點，設(shè)直線交軸于點，設(shè)直線表達(dá)式為：，代入，得：，解得：，∴直線的表達(dá)式為：，令，得則，則，則，即存在最小值為；當(dāng)點P、Q在x軸下方，且點P在點Q上方時，同上可求直線表達(dá)式為：，令，得則，則，則即存在最小值為；當(dāng)點P、Q都在x軸上方或者一個在x軸上方，一個在x軸下方同理可求，即存在最小值為，綜上所述，的面積是否存在最小值，且為．15．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，拋物線與直線相交于兩點，與軸相交于另一點．(1)求拋物線的解析式；(2)點是直線上方拋物線上的一個動點（不與重合），過點作直線軸于點，交直線于點，當(dāng)時，求點坐標(biāo)；(3)拋物線上是否存在點使的面積等于面積的一半？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)的坐標(biāo)為(3)的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）把代入求出，再用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為；（2）設(shè)，則，，由，可得，解出的值可得的坐標(biāo)為；（3）過作軸交直線于，求出，知，故，設(shè)，則，可得，，根據(jù)的面積等于面積的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案．【詳解】（1）解：把代入得：，，把，代入得：，解得，拋物線的解析式為；（2）解：設(shè)，則，，，，解得或（此時不在直線上方，舍去）；的坐標(biāo)為；（3）解：拋物線上存在點，使的面積等于面積的一半，理由如下：過作軸交直線于，過點B作，延長交x軸于點F，如圖：在中，令得，解得或，，，，，，設(shè)，則，，∵，的面積等于面積的一半，，，或，解得或，的坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸交點問題，解一元二次方程，三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．16．（2024·江蘇連云港·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（a、b為常數(shù)，）．

(1)若拋物線與軸交于、兩點，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，當(dāng)時，過點、分別作軸的平行線，交拋物線于點M、N，連接．求證：平分；(3)當(dāng)，時，過直線上一點作軸的平行線，交拋物線于點．若的最大值為4，求的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）連接，根據(jù)題意，求得，，進(jìn)而求出，，利用勾股定理求出，求出，從而得到，結(jié)合平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（3）設(shè)，則，，求出當(dāng)時，，得到點在的上方，設(shè)，故，其對稱軸為，分為和兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：分別將，代入，得，解得．函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：連接，

，．當(dāng)時，，即點，當(dāng)時，，即點．，，，，，在中，．，，．，．．平分．（3）解：設(shè)，則，．當(dāng)時，．令，解得，．，，點在的上方（如圖1）．

設(shè)，故，其對稱軸為，且．①當(dāng)時，即．由圖2可知：

當(dāng)時，取得最大值．解得或（舍去）．②當(dāng)時，得，由圖3可知：

當(dāng)時，取得最大值．解得（舍去）．綜上所述，的值為．【點睛】本題考查拋物線與角度的綜合問題，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的解析式及最值等問題，關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．17．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖①，二次函數(shù)的圖象與開口向下的二次函數(shù)圖象均過點，．(1)求圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)若圖象過點，點P位于第一象限，且在圖象上，直線l過點P且與x軸平行，與圖象的另一個交點為Q（Q在P左側(cè)），直線l與圖象的交點為M，N（N在M左側(cè)）．當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；(3)如圖②，D，E分別為二次函數(shù)圖象，的頂點，連接，過點A作．交圖象于點F，連接EF，當(dāng)時，求圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)(2)點P的坐標(biāo)為(3)【分析】（1）運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）可求對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，其對稱軸為直線．作直線，交直線l于點H．（如答圖①）由二次函數(shù)的對稱性得，，，由，得到，設(shè)，則點P的橫坐標(biāo)為，點M的橫坐標(biāo)為，，，故有，解得，（舍去），故點P的坐標(biāo)為；（3）連接，交x軸于點G，過點F作于點I，過點F作軸于點J，（如答圖②），則四邊形為矩形，設(shè)對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，可求，，則，，，而，則．設(shè)，則，，，即，可得，故，則，則①，由點F在上，得到，化簡得②，由①，②可得，解得，因此，故的函數(shù)表達(dá)式為．【詳解】（1）解：（1）將，代入，得，，解得：對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）解：設(shè)對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將點代入得：，解得：．對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，其對稱軸為直線．又圖象的對稱軸也為直線，作直線，交直線l于點H（如答圖①）由二次函數(shù)的對稱性得，，∴．又，而．設(shè)，則點P的橫坐標(biāo)為，點M的橫坐標(biāo)為．將代入，得，將代入，得．，，即，解得，（舍去）．點P的坐標(biāo)為；（3）解：連接，交x軸于點G，過點F作于點I，過點F作軸于點J．（如答圖②），軸，軸，四邊形為矩形，，．設(shè)對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，點D，E分別為二次函數(shù)圖象，的頂點，將分別代入，得，∴，，，，．在中，．，．又，．．設(shè)，則，．，．，．，．又，，①點F在上，，即．，②由①，②可得．解得（舍去），，．的函數(shù)表達(dá)式為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對稱性，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)運算，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．18．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點和點．經(jīng)過點的直線與該二次函數(shù)圖象交于點，與軸交于點．(1)求二次函數(shù)的解析式及點的坐標(biāo)；(2)點是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)點在直線上方時，過點作軸于點，與直線交于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．①為何值時線段的長度最大，并求出最大值；②是否存在點，使得與相似．若存在，請求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)①當(dāng)時，有最大值為；②當(dāng)P的坐標(biāo)為或時，與相似【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)P、D的坐標(biāo)求出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；②先利用等邊對等角，平行線的判定與性質(zhì)等求出，然后分，兩種情況討論過，利用相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等求解即可．【詳解】（1）解：把，，代入，得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，設(shè)直線解析式為，則，解得，∴直線解析式為，當(dāng)時，，∴；（2）解：①設(shè)，則，∴，∴當(dāng)時，有最大值為；②∵，，∴，又，∴，又軸，∴軸，∴，當(dāng)時，如圖，∴，∴軸，∴P的縱坐標(biāo)為3，把代入，得，解得，，∴，∴，∴P的坐標(biāo)為；當(dāng)時，如圖，過B作于F，則，，又，∴，∴，∴，∴，∴，解得，（舍去），∴，∴P的坐標(biāo)為綜上，當(dāng)P的坐標(biāo)為或時，與相似．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，明確題意，添加合適輔助線，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．19．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）已知拋物線與x軸交點的坐標(biāo)分別為，，且．(1)若拋物線與x軸交點的坐標(biāo)分別為，，且．試判斷下列每組數(shù)據(jù)的大小（填寫、或）：①________；②________；③________．(2)若，，求b的取值范圍；(3)當(dāng)時，最大值與最小值的差為，求b的值．【答案】(1)；；；(2)(3)b的值為或或．【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，不等式性質(zhì)，二次函數(shù)最值情況，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)圖像與性質(zhì)．（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，以及，即可判斷①，利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，利用不等式性質(zhì)變形，即可判斷②③．（2）根據(jù)題意得到，結(jié)合進(jìn)行求解，即可解題；（3）根據(jù)題意得到拋物線頂點坐標(biāo)為，對稱軸為；當(dāng)時，，當(dāng)時，，由最大值與最小值的差為，分以下情況①當(dāng)在取得最大值，在取得最小值時，②當(dāng)在取得最大值，在頂點取得最小值時，③當(dāng)在取得最大值，在頂點取得最小值時，建立等式求解，即可解題．【詳解】（1）解：與x軸交點的坐標(biāo)分別為，，且，，且拋物線開口向上，與x軸交點的坐標(biāo)分別為，，且．即向上平移1個單位，，且，①；，，即②；，即③．故答案為；；；；（2）解：，，，，；（3）解：拋物線頂點坐標(biāo)為，對稱軸為；當(dāng)時，，當(dāng)時，，①當(dāng)在取得最大值，在取得最小值時，有，解得；②當(dāng)在取得最大值，在頂點取得最小值時，有，解得（舍去）或，③當(dāng)在取得最大值，在頂點取得最小值時，有，解得（舍去）或；綜上所述，b的值為或或．20．（2024·河北·中考真題）如圖，拋物線過點，頂點為Q．拋物線（其中t為常數(shù)，且），頂點為P．(1)直接寫出a的值和點Q的坐標(biāo)．(2)嘉嘉說：無論t為何值，將的頂點Q向左平移2個單位長度后一定落在上．淇淇說：無論t為何值，總經(jīng)過一個定點．請選擇其中一人的說法進(jìn)行說理．(3)當(dāng)時，①求直線PQ的解析式；②作直線，當(dāng)l與的交點到x軸的距離恰為6時，求l與x軸交點的橫坐標(biāo)．(4)設(shè)與的交點A，B的橫坐標(biāo)分別為，且．點M在上，橫坐標(biāo)為．點N在上，橫坐標(biāo)為．若點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，直接用含t和m的式子表示n．【答案】(1)，(2)兩人說法都正確，理由見解析(3)①；②或(4)【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，再化為頂點式即可得到頂點坐標(biāo)；（2）把向左平移2個單位長度得到對應(yīng)點的坐標(biāo)為：，再檢驗即可，再根據(jù)函數(shù)化為，可得函數(shù)過定點；（3）①先求解的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；②如圖，當(dāng)（等于6兩直線重合不符合題意），可得，可得交點，交點，再進(jìn)一步求解即可；（4）如圖，由題意可得是由通過旋轉(zhuǎn)，再平移得到的，兩個函數(shù)圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，可得四邊形是平行四邊形，當(dāng)點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，此時與重合，與重合，再進(jìn)一步利用中點坐標(biāo)公式解答即可．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，頂點為Q．∴，解得：，∴拋物線為：，∴；（2）解：把向左平移2個單位長度得到對應(yīng)點的坐標(biāo)為：，當(dāng)時，∴，∴在上，∴嘉嘉說法正確；∵，當(dāng)時，，∴過定點；∴淇淇說法正確；（3）解：①當(dāng)時，，∴頂點，而，設(shè)為，∴，解得：，∴為；②如圖，當(dāng)（等于6兩直線重合不符合題意），∴，∴交點，交點，由直線，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為：，當(dāng)時，，此時直線與軸交點的橫坐標(biāo)為，同理當(dāng)直線過點，直線為：，當(dāng)時，，此時直線與軸交點的橫坐標(biāo)為，（4）解：如圖，∵，，∴是由通過旋轉(zhuǎn)，再平移得到的，兩個函數(shù)圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，∴四邊形是平行四邊形，當(dāng)點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，此時與重合，與重合，∵，，∴的橫坐標(biāo)為，∵，，∴的橫坐標(biāo)為，∴，解得：；【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的平移與旋轉(zhuǎn)，以及特殊四邊形的性質(zhì)，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．21．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，其頂點為D．(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點D的坐標(biāo)；(2)在y軸上是否存在一點M，使得的周長最?。舸嬖冢蟪鳇cM的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)若點E在以點為圓心，1為半徑的上，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．求的取值范圍．【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為，頂點D的坐標(biāo)為；(2)點M的坐標(biāo)為；(3)的取值范圍為．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）作點B關(guān)于原點的對稱點，連接交軸于點M，此時的周長最小，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，據(jù)此求解即可；（3）以為邊在的下方作等邊三角形，得到點在以為圓心，1為半徑的上，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：由于拋物線經(jīng)過點和點，∴，∴，∴拋物線的表達(dá)式為，∴頂點D的坐標(biāo)為；（2）解：∵點，對稱軸為直線，∴點，∵，，∴長為定值，作點B關(guān)于原點的對稱點，則，連接交軸于點M，則，∴，此時的周長最小，設(shè)直線的解析式為，則，解得，，∴直線的解析式為，令，則，∴點M的坐標(biāo)為；（3）解：以為邊在的下方作等邊三角形，作軸于點，連接，，∵等邊三角形，∴，，，∴，∴，，，∵，∴，∴點在以為圓心，1為半徑的上，，當(dāng)點在線段上時，有最小值為；當(dāng)點在射線上時，有最大值為；∴的取值范圍為．【點睛】本題是一道二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，拋物線上點的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，利用點的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．22．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，點，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個動點．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點B，點P在直線的上方，過點P作軸于點C，交AB于點D，連接．若，求證的值為定值；(3)如圖2，點P在第二象限，，若點M在直線上，且橫坐標(biāo)為，過點M作軸于點N，求線段長度的最大值．【答案】(1)(2)為定值3，證明見解析(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線的解析式，，則，，表示出，，代入即可求解；（3）設(shè)，則，求出直線的解析式，把代入即可求出線段長度的最大值．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，∴，∴，∴；（2）當(dāng)時，，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，．∴，∴的值為定值；（3）設(shè)，則，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴，當(dāng)時，，∴當(dāng)時，線段長度的最大值．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．23．（2024·四川樂山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點為“完美點”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點A．(1)若，求拋物線的頂點坐標(biāo)；(2)若線段（含端點）上的“完美點”個數(shù)大于3個且小于6個，求a的取值范圍；(3)若拋物線與直線交于M、N兩點，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個“完美點”，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的特征．?dāng)?shù)形結(jié)合解題是解題的關(guān)鍵．（1）把代入后再將拋物線化成頂點式為，即可求頂點坐標(biāo)；（2）根據(jù)整點個數(shù)的范圍確定點A縱坐標(biāo)的范圍；（3）結(jié)合圖象確定有4個“完美點”時a的最大和最小值，進(jìn)而確定a的范圍．【詳解】（1）解：當(dāng)時，拋物線．∴頂點坐標(biāo)．（2）令，則，∴，∵線段上的“完美點”的個數(shù)大于3個且小于6個，∴“完美點”的個數(shù)為4個或5個．∵，∴當(dāng)“完美點”個數(shù)為4個時，分別為，，，；當(dāng)“完美點”個數(shù)為5個時，分別為，，，，．∴．∴a的取值范圍是．（3）根據(jù)，得拋物線的頂點坐標(biāo)為，過點，，．∵拋物線與直線交于M、N兩點，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個“完美點”，顯然，“完美點”，，符合題意．下面討論拋物線經(jīng)過，的兩種情況：①當(dāng)拋物線經(jīng)過時，解得此時，，，．如圖所示，滿足題意的“完美點”有，，，，共4個．②當(dāng)拋物線經(jīng)過時，解得此時，，，．如圖所示，滿足題意的“完美點”有，，，，，，共6個．∴a的取值范圍是．24．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點在第二象限內(nèi)，且的面積為3時，求點的坐標(biāo)；(3)在直線上是否存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)的坐標(biāo)為或(3)的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）過作軸交于，求出直線解析式，根據(jù)列式求解；（3）先求出點A，B坐標(biāo)，再求出直線解析式，過作軸于，過作軸于，分以下情況分別討論即可：①與重合，與重合時；②當(dāng)在第一象限，在第四象限時；③當(dāng)在第四象限，在第三象限時；④當(dāng)在第四象限，在第一象限時．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得，拋物線的解析式為；（2）解：過作軸交于，如圖：

由，得直線解析式為，設(shè)，則，，的面積為3，，即，解得或，的坐標(biāo)為或；（3）解：在直線上存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：在中，令得，解得或，，，由，得直線解析式為，設(shè)，，過作軸于，過作軸于，①，當(dāng)與重合，與重合時，是等腰直角三角形，如圖：

此時；②當(dāng)在第一象限，在第四象限時，

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，，解得（小于0，舍去）或，，的坐標(biāo)為；③當(dāng)在第四象限，在第三象限時，如圖：

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，同理可得，解得或（大于0，舍去），，的坐標(biāo)為；④當(dāng)在第四象限，在第一象限，如圖：

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，，解得（舍去）或，，的坐標(biāo)為；綜上所述，的坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)中三角形面積計算、特殊三角形存在性問題、等腰直角三角形的性質(zhì)等，難度較大，熟練運用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．25．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線相交于，兩點，其中點，．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．(2)過點作軸交拋物線于點，連接，在拋物線上是否存在點使．若存在，請求出滿足條件的所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（提示：依題意補全圖形，并解答）(3)將該拋物線向左平移個單位長度得到，平移后的拋物線與原拋物線相交于點，點為原拋物線對稱軸上的一點，是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點，當(dāng)以點、、、為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點F的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在，點坐標(biāo)為，，補圖見解析(3)、、、【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，求得，進(jìn)而分別求得，，根據(jù)可得，設(shè)直線交軸于點，則，．進(jìn)而可得，的解析式為，，連接交拋物線于，連接交拋物線于，進(jìn)而聯(lián)立拋物線與直線解析式，解方程，即可求解．（3）①以為對角線，如圖作的垂直平分線交于點交直線于，設(shè)，根據(jù)兩點距離公式可得，根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得，②以為邊，如圖以為圓心，為半徑畫圓交直線于點，；連接，，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而得出，，根據(jù)平移的性質(zhì)得出，，③以為邊，如圖以點為圓心，長為半徑畫圓交直線于點和，連接，，則，過點作于點，則，在和中，由勾股定理得，則、，根據(jù)，可得，過點作，過作，和相交于點，的中點．根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得；【詳解】（1）解：∵把點，代入得，解得，∴．（2）存在．理由：∵軸且，∴，∴（舍去），，∴．過點作于點，在中，∵，∴，∵，∴．設(shè)直線交軸于點，，，∴，．連接交拋物線于，連接交拋物線于，∴，的解析式為，，∴，解得，或，解得．∴把，代入得，，∴，．綜上所述，滿足條件的點坐標(biāo)為，．（3）、、、．方法一：①以為對角線，如圖作的垂直平分線交于點交直線于∵，，∴．設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵是的中點，．②以為邊如圖以為圓心，為半徑畫圓交直線于點，；連接，，過點作，過點作，和相交于點，同理可得，，，．過點作直線于點，則；在和中，由勾股定理得，，，．點是由點向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到的，，，③以為邊如圖以點為圓心，長為半徑畫圓交直線于點和，連接，，則，過點作于點，則，在和中，由勾股定理得，，、，，，、、三點共線，過點作，過作，和相交于點，∵、，的中點．，點為的中點，．綜上所述：、、、．26．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，過A，C兩點的拋物線與x軸的另一個交點為點，點P是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點E，點F．(1)求拋物線的解析式；(2)點D是x軸上的任意一點，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下，若點N是y軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)題意確定點A、C的坐標(biāo)，然后運用待定系數(shù)法求解即可；（2）分三種情況分別畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標(biāo)與圖形即可解答；（3）先證明可得，設(shè)，則,可得，即，求得可得m的值，進(jìn)而求得點P的坐標(biāo)；（4）如圖：將線段向右平移單位得到,即四邊形是平行四邊形，可得,即，作關(guān)于對稱軸的點,則，由兩點間的距離公式可得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得即可解答．【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，∴當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；∵，∴設(shè)拋物線的解析式為，把代入可得：，解得：，∴，∴拋物線的解析式為：．（2）解：∵，，∴,∴，如圖：當(dāng)，∴,即；如圖：當(dāng)，∴,即；如圖：當(dāng)，∴,即；綜上，點D的坐標(biāo)為．（3）解：如圖：∵軸，∴，∵軸，∴，∵，∴,∴,∵設(shè)，則,∴，∴，解得：（負(fù)值舍去），當(dāng)時，，∴．（4）解：∵拋物線的解析式為：，∴拋物線的對稱軸為：直線，如圖：將線段向右平移單位得到,∴四邊形是平行四邊形，∴,即,作關(guān)于對稱軸的點,則∴,∵，∴的最小值為．故答案為．27．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點，拋物線的對稱軸是直線．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點是直線下方對稱軸右側(cè)拋物線上一動點，過點作軸交拋物線于點，作于點，求的最大值及此時點的坐標(biāo)；(3)將拋物線沿射線方向平移個單位，在取得最大值的條件下，點為點平移后的對應(yīng)點，連接交軸于點，點為平移后的拋物線上一點，若，請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)最大值為；；(3)或【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即可；（2）如圖，延長交軸于，過作軸于，求解，可得，證明，設(shè)，，，再建立二次函數(shù)求解即可；（3）由拋物線沿射線方向平移個單位，即把拋物線向左平移2個單位，再向下平移1個單位，可得新的拋物線為：，，如圖，當(dāng)在軸的左側(cè)時，過作軸于，證明，可得，證明，如圖，當(dāng)在軸的右側(cè)時，過作軸的垂線，過作過的垂線于，同理可得：，再進(jìn)一步結(jié)合三角函數(shù)建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點，交軸于點，拋物線的對稱軸是直線，∴，解得，∴；（2）解：如圖，延長交軸于，過作軸于，∵當(dāng)時，解得：，，∴，當(dāng)時，，∴，∴，∴，∵軸，∴，∴，∴，∵，，設(shè)為，∴，解得：，∴直線為：，設(shè)，∴，∴，∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，當(dāng)時，取得最大值，最大值為；此時；（3）解：∵拋物線沿射線方向平移個單位，即把拋物線向左平移2個單位，再向下平移1個單位，∴新的拋物線為：，，如圖，當(dāng)在軸的左側(cè)時，過作軸于，∵，同理可得：直線為，當(dāng)時，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∴，解得：或（舍去）∴；如圖，當(dāng)在軸的右側(cè)時，過作軸的垂線，過作過的垂線于，同理可得：，設(shè)，則，同理可得：，∴或（舍去），∴．【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，難度很大，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是做出合適的輔助線進(jìn)行轉(zhuǎn)化，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．28．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，與軸交于點，與軸交于兩點（在的左側(cè)），連接．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點是射線上方拋物線上的一動點，過點作軸，垂足為，交于點．點是線段上一動點，軸，垂足為，點為線段的中點，連接．當(dāng)線段長度取得最大值時，求的最小值；(3)將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段長度取得最大值時的點，且與直線相交于另一點．點為新拋物線上的一個動點，當(dāng)時，直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)的最小值為；(3)符合條件的點的坐標(biāo)為或．【分析】（1）利用正切函數(shù)求得，得到，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，設(shè)，求得最大，點，再證明四邊形是平行四邊形，得到，推出當(dāng)共線時，取最小值，即取最小值，據(jù)此求解即可；（3）求得，再利用平移的性質(zhì)得到新拋物線的解析式，再分兩種情況討論，計算即可求解．【詳解】（1）解：令，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，將和代入得，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：令，則，解得或，∴，設(shè)直線的解析式為，代入，得，解得，∴直線的解析式為，設(shè)（），則，∴，∵，∴當(dāng)時，最大，此時，∴，，，∴，，連接，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴當(dāng)共線時，取最小值，即取最小值，∵點為線段的中點，∴，∴，∴的最小值為；（3）解：由（2）得點的橫坐標(biāo)為，代入，得，∴，∴新拋物線由向左平移2個單位，向下平移2個單位得到，∴，過點作交拋物線于點，∴，同理求得直線的解析式為，∵，∴直線的解析式為，聯(lián)立得，解得，，當(dāng)時，，∴，作關(guān)于直線的對稱線得交拋物線于點，∴，設(shè)交軸于點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，過點作軸，作軸于點，作于點，當(dāng)時，，解得，∴∵，，∴，∴，∵軸，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，同理直線的解析式為，聯(lián)立，解得或，當(dāng)時，，∴，綜上，符合條件的點的坐標(biāo)為或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合問題，考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．29．（2024·廣東廣州·中考真題）已知拋物線過點和點，直線過點，交線段于點，記的周長為，的周長為，且．(1)求拋物線的對稱軸；(2)求的值；(3)直線繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)秒后得到直線，當(dāng)時，直線交拋物線于，兩點．①求的值；②設(shè)的面積為，若對于任意的，均有成立，求的最大值及此時拋物線的解析式．【答案】(1)對稱軸為直線：；(2)(3)①，②的最大值為，拋物線為；【分析】（1）直接利用對稱軸公式可得答案；（2）如圖，由，可得在的左邊，，證明，可得，設(shè)，建立，可得：，，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）①如圖，當(dāng)時，與拋物線交于，由直線，可得，可得，從而可得答案；②計算，當(dāng)時，可得，則，，可得，可得當(dāng)時，的最小值為，再進(jìn)一步求解可得答案．【詳解】（1）解：∵拋物線，∴拋物線對稱軸為直線：；（2）解：∵直線過點，∴，如圖，∵直線過點，交線段于點，記的周長為，的周長為，且，∴在的左邊，，∵在拋物線的對稱軸上，∴，∴，設(shè)，∴，解得：，∴，∴，∴，解得：；（3）解：①如圖，當(dāng)時，與拋物線交于，∵直線，∴，∴，解得：，②∵，當(dāng)時，，∴，∴，，∴，∵，∴當(dāng)時，的最小值為，∴此時，∵對于任意的，均有成立，∴的最大值為，∴拋物線為；【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形面積，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．30．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為．

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點是直線上方拋物線上一個動點，過點作軸的垂線交直線于點，過點作軸的垂線，垂足為點，請?zhí)骄渴欠裼凶畲笾?？若有最大值，求出最大值及此時點的坐標(biāo)；若沒有最大值，請說明理由．(3)點為該拋物線上的點，當(dāng)時，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)的最大值為，點的坐標(biāo)為(3)點的坐標(biāo)為或【分析】（1）直接利用拋物線的交點式可得拋物線的解析式；（2）先求解，及直線為，設(shè)，可得，再建立二次函數(shù)求解即可；（3）如圖，以為對角線作正方形，可得，與拋物線的另一個交點即為，如圖，過作軸的平行線交軸于，過作于，則，設(shè)，則，求解，進(jìn)一步求解直線為：，直線為，再求解函數(shù)的交點坐標(biāo)即可.【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為．∴；（2）解：當(dāng)時，，∴，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為，設(shè)，∴，∴；當(dāng)時，有最大值；此時；（3）解：如圖，以為對角線作正方形，∴，∴與拋物線的另一個交點即為，如圖，過作軸的平行線交軸于，過作于，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，設(shè)，則，∴,∴，由可得：∴，解得：，∴，設(shè)為：，∴，解得：，∴直線為：，∴，解得：或，∴，∵，，，正方形，∴，同理可得：直線為，∴，解得：或，∴，綜上：點的坐標(biāo)為或.【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.31．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，，，對稱軸為直線，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，拋物線與軸交于點，頂點為，對稱軸為直線．(1)分別求拋物線和的表達(dá)式；(2)如圖，點的坐標(biāo)為，動點在直線上，過點作軸與直線交于點，連接，．求的最小值；(3)如圖，點的坐標(biāo)為，動點在拋物線上，試探究是否存在點，使？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】（1）先求出點A、B、C坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式，求出其頂點坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)可知拋物線的二次項系數(shù)為原來的相反數(shù)，頂點坐標(biāo)與拋物線的頂點坐標(biāo)關(guān)于原點對稱，即可求解；（2）將點F向右平移2個單位至，則，，過點D作直線的對稱點為，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，因此，即可求解；（3）當(dāng)點P在直線右側(cè)拋物線上時，可得，作H關(guān)于直線的對稱點，則點在直線上，可求直線的表達(dá)式為，聯(lián)立，解得：或（舍），故；當(dāng)點P在直線左側(cè)拋物線上時，延長交y軸于點N，作的垂直平分線交于點Q，交y軸于點M，過點E作軸于點K，則，可得，可證明出，由，得，設(shè)，則，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直線表達(dá)式為：，聯(lián)立，解得：或（舍），故．【詳解】（1）解：設(shè)對稱軸與x軸交于點G，由題意得，∵對稱軸為直線，∴，∴，∴，將A、B、C分別代入，得：，解得：，∴，∴，頂點為∵拋物線繞點旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，∴拋物線的，頂點為，∴的表達(dá)式為：，即（2）解：將點F向右平移2個單位至，則，，過點D作直線的對稱點為，連接，∴，∵，∴直線為直線，∵軸，∴，對于拋物線，令，則，∴，∵點D與點關(guān)于直線對稱，∴點，∵軸，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，當(dāng)點三點共線時，取得最小值，而，∴的最小值為；（3）解：當(dāng)點P在直線右側(cè)拋物線上時，如圖：∵拋物線，∴∵軸，∴，∵，∴，∴，作H關(guān)于直線的對稱點，則點在直線上，∵點的坐標(biāo)為，直線：，∴，設(shè)直線的表達(dá)式為：，代入，,得：，解得：，∴直線的表達(dá)式為，聯(lián)立，得：，解得：或（舍），∴；②當(dāng)點P在直線左側(cè)拋物線上時，延長交y軸于點N，作的垂直平分線交于點Q，交y軸于點M，過點E作軸于點K，則，如圖：∵垂直平分，∴，∴，∴，∵∴，∴，由點得：，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∴，，在和中，由勾股定理得，∴，解得：或（舍）∴，∴，∴，設(shè)直線表達(dá)式為：，代入點N，E，得：，解得：∴直線表達(dá)式為：，聯(lián)立，得：，整理得：解得：或（舍），∴，綜上所述，或．【點睛】本題是一道二次函數(shù)與角度有關(guān)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形三邊關(guān)系求最值，平行四邊形的判定與性質(zhì)，中心對稱圖形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．32．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于O，兩點，頂點為．點C為的中點．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)過點C作，垂足為H，交拋物線于點E．求線段的長．(3)點D為線段上一動點（O點除外），在右側(cè)作平行四邊形．①如圖2，當(dāng)點F落在拋物線上時，求點F的坐標(biāo)；②如圖3，連接，，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)①②【分析】（1）根據(jù)頂點為．設(shè)拋物線，把代入解析式，計算求解即可；（2）根據(jù)頂點為．點C為的中點，得到，當(dāng)時，，得到．結(jié)合，垂足為H，得到的長．（3）①根據(jù)題意，得，結(jié)合四邊形是平行四邊形，設(shè)，結(jié)合點F落在拋物線上，得到，解得即可；②過點B作軸于點N，作點D關(guān)于直線的對稱點G，過點G作軸于點H，連接，，，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形判定和性質(zhì)，計算解答即可．【詳解】（1）∵拋物線的頂點坐標(biāo)為．設(shè)拋物線，把代入解析式，得，解得，∴．（2）∵頂點為．點C為的中點，∴，∵，∴軸，∴E的橫坐標(biāo)為1，設(shè)，當(dāng)時，，∴．∴．（3）①根據(jù)題意，得，∵四邊形是平行四邊形，∴點C，點F的縱坐標(biāo)相同，設(shè)，∵點F落在拋物線上，∴，解得，(舍去)；故．②過點B作軸于點N，作點D關(guān)于直線的對稱點G，過點G作軸于點H，連接，，，則四邊形是矩形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，故當(dāng)三點共線時，取得最小值，∵，∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，延長交y軸于點