高中數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)專題13泰勒以泰勒為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練含解析

Page21專題13泰勒（以泰勒為背景的中學(xué)數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）一、單選題1．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)覺(jué)了如下公式：，其中．依據(jù)該公式可知，與的值最接近的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】視察題目將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，再將弧度制與角度制互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式推斷即可.【詳解】原式故選:B2．英國(guó)著名數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒(TaylorBrook)以微積分學(xué)中將函數(shù)綻開(kāi)成無(wú)窮級(jí)數(shù)的定理著稱于世.在數(shù)學(xué)中，泰勒級(jí)數(shù)用無(wú)限連加式來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，泰勒提出了適用于全部函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)，并建立了如下指數(shù)函數(shù)公式：其中，，，特殊地，.用上述公式估計(jì)的近似值.下列最適合的為（

）(精確到0.01)A．1.25 B．1.26 C．1.28 D．1.30【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用題設(shè)泰勒綻開(kāi)式可得，隨著n的增大，數(shù)列遞減且靠后各項(xiàng)無(wú)限接近于0，即可估計(jì)的近似值.【詳解】由題意知：.故選：C3．約公元前600年，幾何學(xué)家泰勒斯第一個(gè)測(cè)出了金字塔的高度．如圖，金字塔是正四棱錐，泰勒斯先測(cè)量出某個(gè)金字塔的底棱長(zhǎng)約為230米；然后，他站立在沙地上，請(qǐng)人不斷測(cè)量他的影子，當(dāng)他的影子和身高相等時(shí)，他立即測(cè)量出該金字塔影子的頂點(diǎn)A與相應(yīng)底棱中點(diǎn)B的距離約為22．2米．此時(shí)，影子的頂點(diǎn)A和底面中心O的連線恰好與相應(yīng)的底棱垂直，則該金字塔的高度約為A．115米 B．137．2米 C．230米 D．252．2米【答案】B【解析】【分析】易知，當(dāng)泰勒斯的身高與影子相等時(shí)，身高與影子構(gòu)成等腰直角三角形的兩直角邊，再依據(jù)金字塔高與影子所在的直角三角形與剛才的三角形相像，可知塔底到A的距離即為塔高．【詳解】當(dāng)泰勒斯的身高與影子相等時(shí)，身高與影子構(gòu)成等腰直角三角形的兩直角邊，再依據(jù)金字塔高與影子所在的直角三角形與剛才的三角形相像，可知塔底到A的距離即為塔高．所以由題意得金字塔塔高為米．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行投影的概念，屬于基礎(chǔ)題.4．英國(guó)著名數(shù)學(xué)家布魯克-泰勒以微積分學(xué)中將函數(shù)綻開(kāi)成無(wú)窮級(jí)數(shù)的定理著稱于世.在數(shù)學(xué)中，泰勒級(jí)數(shù)用無(wú)限連加式來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，泰勒提出了適用于全部函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)，并建立了如下指數(shù)函數(shù)公式：，其中，則的近似值為（精確到）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用題設(shè)泰勒綻開(kāi)式可得,隨著的增大，數(shù)列遞減且靠后各項(xiàng)無(wú)限接近于，即可估計(jì)的近似值.【詳解】計(jì)算前四項(xiàng)，在千分位上四舍五入由題意知:故選：C5．英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克泰勒，以發(fā)覺(jué)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)而著名于世.依據(jù)泰勒公式，我們可知：假如函數(shù)在包含的某個(gè)開(kāi)區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于，有，其中，（此處介于和之間）.若取，則，其中，（此處介于0和之間）稱作拉格朗日余項(xiàng).此時(shí)稱該式為函數(shù)在處的階泰勒公式，也稱作的階麥克勞林公式.于是，我們可得（此處介于0和1之間）.若用近似的表示的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)，當(dāng)不超過(guò)時(shí)，正整數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由已知可得，依據(jù)可出正整數(shù)的最小值.【詳解】解：由條件有，即因?yàn)?，，所以的最小值?故選：C.6．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒以發(fā)覺(jué)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)著名于世．由泰勒公式，我們能得到（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），其拉格朗日余項(xiàng)是．可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的e的近似值也就越精確．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)，不超過(guò)時(shí)，正整數(shù)n的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，得到不等式，結(jié)合階乘的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，可得的，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以n的最小值是6．故選：B.7．胡夫金字塔的形態(tài)為正四棱錐.年，英國(guó)作家約翰·泰勒在其《大金字塔》一書(shū)中提出：埃及人在建立胡夫金字塔時(shí)利用了黃金比例，泰勒還引用了古希臘歷史學(xué)家希羅多德的記載：胡夫金字塔的每一個(gè)側(cè)面的面積都等于金字塔高的平方，如圖，即．已知四棱錐底面是邊長(zhǎng)約為英尺的正方形，頂點(diǎn)的投影在底面中心，為中點(diǎn)，依據(jù)以上條件，的長(zhǎng)度（單位：英尺）約為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理可得，可得出，可解得，即可得解.【詳解】由已知可得平面，平面，，，，，由勾股定理可得，即，，又因?yàn)椋?，，即，解?故選：D.8．英因數(shù)學(xué)家泰勒(B.Taylor，1685-1731)以發(fā)覺(jué)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)著名于世.由泰勒公式，我們能得到(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，)，其拉格朗日余項(xiàng)是.可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的的近似值也就越精確.若近似地表示的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)，不超過(guò)時(shí)，正整數(shù)的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意建立不等式，利用驗(yàn)證的方式求解即可.【詳解】依題意得，即，，，所以的最小值是6.故選：B9．計(jì)算器是如何計(jì)算，，，，等函數(shù)值的？計(jì)算器運(yùn)用的是數(shù)值計(jì)算法，其中一種方法是用簡(jiǎn)潔計(jì)算的多項(xiàng)式近似地表示這些函數(shù)，通過(guò)計(jì)算多項(xiàng)式的值求出原函數(shù)的值，如，，，其中.英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒(B.Taylor，1685-1731)發(fā)覺(jué)了這些公式，可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得出的和的值也就越精確.運(yùn)用上述思想，可得到的近似值為（

）A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56【答案】C【解析】依據(jù)新定義，干脆計(jì)算取近似值即可.【詳解】由題意，故選：C10．1715年英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（BrookTaylor）在他的著作中陳述了泰勒公式，假如滿意肯定的條件，泰勒公式可以用函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)這個(gè)函數(shù)．泰勒公式將一些困難函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)潔的多項(xiàng)式函數(shù)，使得它成為分析和探討很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具，例如：，其中．試用上述公式估計(jì)的近似值為（精確到0.001）（

）A．1.647 B．1.648 C．1.649 D．1.650【答案】B【解析】依據(jù)泰勒公式，令，代入即可求解.【詳解】由題意可知，結(jié)果只需精確到0.001即可，令，取前項(xiàng)可得：所以的近似值為，故選：B.11．胡夫金字塔的形態(tài)為四棱錐，1859年，英國(guó)作家約翰·泰勒（JohnTaylor，1781-1846）在其《大金字塔》一書(shū)中提出：古埃及人在建立胡夫金字塔時(shí)利用黃金比例，泰勒還引用了古希臘歷史學(xué)家希羅多德的記載：胡夫金字塔的每一個(gè)側(cè)面的面積都等于金字塔高的平方．如圖，若，則由勾股定理，，即，因此可求得為黃金數(shù)，已知四棱錐底面是邊長(zhǎng)約為856英尺的正方形，頂點(diǎn)的投影在底面中心，為中點(diǎn)，依據(jù)以上信息，的長(zhǎng)度（單位：英尺）約為（

）．A．611.6 B．481.4 C．692.5 D．512.4【答案】C【解析】由和可得【詳解】解：，故選：C【點(diǎn)睛】讀懂實(shí)際問(wèn)題，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算；基礎(chǔ)題.12．在數(shù)學(xué)中，泰勒級(jí)數(shù)用無(wú)限項(xiàng)連加式——級(jí)數(shù)來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，包括正弦，余弦，正切三角函數(shù)等等，其中泰勒級(jí)數(shù)是以于1715年發(fā)表了泰勒公式的英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克?泰勒（SirBrookTaylor）的名字來(lái)命名的.1715年，泰勒提出了一個(gè)常用的方法來(lái)構(gòu)建這一系列級(jí)數(shù)并適用于全部函數(shù)，這就是后來(lái)被人們所熟知的泰勒級(jí)數(shù)，并建立了如下指數(shù)函數(shù)公式：，其中，，，例如：，，，.試用上述公式估計(jì)的近似值為（精確到0.001）（

）A．1.601 B．1.642 C．1.648 D．1.647【答案】C【解析】依據(jù)泰勒級(jí)數(shù)公式，令，代入即可求解.【詳解】由題意，只須要精確到0.001即可，令，代入可得，，所以的近似值為1.648，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，理解題意并正確則合適的值即可，屬于基礎(chǔ)題.13．十八世紀(jì)，數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)覺(jué)了公式…，其中，若，下列選項(xiàng)中與的值最接近的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】已知式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，然后令代入，并結(jié)合角的變換，誘導(dǎo)公式變形可得．【詳解】因?yàn)椤?，所以，令得，即．故選：A．14．計(jì)算器是如何計(jì)算，，，，等函數(shù)值的呢？計(jì)算器運(yùn)用的是數(shù)值計(jì)算法，其中一種方法是用簡(jiǎn)潔計(jì)算的多項(xiàng)式近似地表示這些函數(shù)，通過(guò)計(jì)算多項(xiàng)式的值求出原函數(shù)的值，如，，其中，英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)覺(jué)了這些公式，可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得出的和的值也就越精確.運(yùn)用上述思想，可得到的近似值為（

）A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56【答案】C【解析】【分析】將化為，依據(jù)新定義，取代入公式中，干脆計(jì)算取近似值即可．【詳解】由題意可得，，故，故選：．15．將扇形的圓弧拉直后，恰得一邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，利用泰勒公式的前三項(xiàng)，求扇形中（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題設(shè)可得扇形圓心角為，結(jié)合題設(shè)泰勒公式求，再依據(jù)向量數(shù)量積的定義求.【詳解】扇形的圓弧長(zhǎng)為2，，所以，由的前三項(xiàng)得：，所以．故選：C．16．十八世紀(jì)早期，英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)覺(jué)了如下公式：（其中）現(xiàn)用上述公式求的值，下列選項(xiàng)中與該值最接近的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用已知公式，將公式兩邊分別求導(dǎo)，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可得到，求解即可.【詳解】因?yàn)椋ㄆ渲校?，且，所以?duì)兩邊分別求導(dǎo)可得：.令x=1可得：.又，則.故選：B17．1859年，英國(guó)作家約翰·泰勒（JohnTaylor，1781-1846）在其《大金字塔》一書(shū)中提出：古埃及人在建立胡夫金字塔時(shí)利用了黃金數(shù)（）．泰勒還引用了古希臘歷史學(xué)家希羅多德的記載：胡夫金字塔的形態(tài)為正四棱錐，每一個(gè)側(cè)面的面積都等于金字塔高的平方．如圖，已知金字塔型正四棱錐的底面邊長(zhǎng)約為656英尺，頂點(diǎn)P在底面上的投影為底面的中心O，H為線段BC的中點(diǎn)，依據(jù)以上信息，的長(zhǎng)度（單位：英尺）約為（

）A．302.7 B．405.4 C．530.7 D．1061.4【答案】C【解析】【分析】結(jié)合已知條件，利用勾股定理列方程，化簡(jiǎn)求得的長(zhǎng)度.【詳解】設(shè)，，，由已知得，又由勾股定理，故，即，因此可求得，則．故選：C18．18世紀(jì)早期，英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)覺(jué)了公式，其中．現(xiàn)用上述公式求的值，下列選項(xiàng)中與該值最接近的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用已知公式，將公式兩邊求導(dǎo)，結(jié)合誘導(dǎo)公式和角度弧度轉(zhuǎn)換即可得到答案.【詳解】解：由題意得當(dāng)時(shí)，于是故選：B19．十八世紀(jì)早期，英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)覺(jué)了公式，(其中，，n!=1×2×3×…×n0!=1)，現(xiàn)用上述公式求的值，下列選項(xiàng)中與該值最接近的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求出后代入得cos1=sin可得答案，即與最接近.【詳解】所以cos1==sin=sin，由于與最接近，故選：B20．英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克泰勒（TaylorBrook，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（

）其中，，例如：．試用上述公式估計(jì)的近似值為（精確到0.01）A．0.99 B．0.98 C．0.97

D．0.96【答案】B【解析】【分析】利用題設(shè)中給出的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可估算，得到答案．【詳解】由題設(shè)中的余弦公式得，故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查了新信息試題的應(yīng)用，其中解答中理解題意，利用題設(shè)中的公式，精確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．21．公元1715年英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克·泰在他的著作中陳述了“泰勒公式”，假如滿意肯定的條件，泰勒公式可以用函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)這個(gè)函數(shù).泰勒公式將一些困難函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)潔的多項(xiàng)式函數(shù)，使得它成為分析和探討很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具，例如：，其中，，試用上述公式估計(jì)的近似值為（精確到0.001）（

）A．1.647 B． C． D．1.646【答案】B【解析】【分析】依據(jù)泰勒公式，令，代入即可求解.【詳解】由題意可知，結(jié)果只需精確到0.001即可，令，取前6項(xiàng)可得：所以的近似值為，故選：B.22．宏大的數(shù)學(xué)家歐拉28歲時(shí)解決了困擾數(shù)學(xué)界近一世紀(jì)的“巴賽爾級(jí)數(shù)”難題．當(dāng)時(shí)，，又依據(jù)泰勒綻開(kāi)式可以得到，依據(jù)以上兩式可求得（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由同時(shí)除以x，再利用綻開(kāi)式中的系數(shù)可求出.【詳解】由，兩邊同時(shí)除以x，得，又綻開(kāi)式中的系數(shù)為，所以，所以．故選：A．23．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)覺(jué)了如下公式：.則下列數(shù)值更接近的是（

）A．0.91 B．0.92 C．0.93 D．0.94【答案】B【解析】【分析】依據(jù)表達(dá)式特點(diǎn)可寫出通式，再分為奇數(shù)和偶數(shù)分類探討即可【詳解】由題知題設(shè)要求精確到0.01即可，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由于，，所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由于，，綜上所述，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解與運(yùn)用，找出規(guī)律，學(xué)會(huì)分類探討是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題二、雙空題24．已知：若函數(shù)在上可導(dǎo)，，則.又英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)覺(jué)了一個(gè)恒等式，則___________，___________.【答案】

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##【解析】【分析】令，即可求出，再將兩邊求導(dǎo)數(shù)，即可得到，即可得到，從而得到，再用裂項(xiàng)相消法求和即可；【詳解】解：因?yàn)?，令，即，所以；又，所以，所以，所以所以故答案為：；三、填空題25．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒以發(fā)覺(jué)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)著名于世．由泰勒公式，我們能得到（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，，其拉格朗日余項(xiàng)是．可以看出，e的表達(dá)式右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的e的近似值也就越精確．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)，且不超過(guò)時(shí)，則正整數(shù)n的最小值是______．【答案】5【解析】【分析】依據(jù)題意，列出關(guān)于的不等式，結(jié)合階乘的運(yùn)算，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意，可得，即．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以n的最小值是5．故答案為：.26．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)覺(jué)了如下公式：，，其中．這些公式可以利用多項(xiàng)式來(lái)靠近原函數(shù)，在近似計(jì)算上又獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)．比如，利用前三項(xiàng)計(jì)算，就得到，那么，利用前三項(xiàng)計(jì)算可以得到它的近似值為_(kāi)_____（保留分?jǐn)?shù)）．【答案】【解析】干脆將3代入中可得結(jié)果.【詳解】由題意易得，故答案為：.27．?dāng)?shù)學(xué)家探討發(fā)覺(jué)，對(duì)于隨意的，，稱為正弦函數(shù)的泰勒綻開(kāi)式．在精度要求不高的狀況下，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，可以用這個(gè)綻開(kāi)式來(lái)求的近值．如圖，百貨大樓的上空有一廣告氣球，直徑為6米，在豎直平面內(nèi)，某人測(cè)得氣球中心的仰角，氣球的視角，則該氣球的高約為