材料力學(xué)(第三版) 課件 第9章 壓桿穩(wěn)定

第9章壓桿穩(wěn)定9.1引言9.2細(xì)長壓桿的臨界載荷9.3壓桿的臨界應(yīng)力9.4壓桿的穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)習(xí)題

9.1引言

1.平衡穩(wěn)定性的概念

構(gòu)件在壓力或其他特定載荷作用下，在某一位置保持平衡，這一位置稱為剛體的平衡位形或彈性體的平衡構(gòu)形。剛體的平衡位形與彈性體的平衡構(gòu)形都存在穩(wěn)定與不穩(wěn)定的問題。

例如，圖9-1(a)所示豎直放置的剛性直桿AB，下端鉸支，上端用剛度系數(shù)為k的水平彈簧支持。在鉛垂載荷F作用下，剛桿在豎直位置保持平衡，此時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。假設(shè)剛桿受到微小側(cè)向擾動(dòng)，使桿端產(chǎn)生微小的側(cè)向位移δ(見圖9-1(b))，則彈簧產(chǎn)生水平恢復(fù)力kδ。此時(shí)，載荷F對A點(diǎn)的力矩Fδ將使桿更加偏離豎直的平衡位形，而彈簧力的力矩kδl將使桿恢復(fù)其初始平衡位形。如果Fδ<kδl，即F<kl，則在上述干擾解除后，剛桿將自動(dòng)恢復(fù)至初始平衡位形，說明在該載荷作用下，剛桿在豎直位置的平衡位形是穩(wěn)定的。圖9-1

如果Fδ>kδl，即F>kl，則在干擾解除后，剛桿不僅不能自動(dòng)返回其初始的平衡位形，而且還將繼續(xù)偏轉(zhuǎn)，這圖9-2說明在該載荷作用下，剛桿在豎直位置的平衡位形是不穩(wěn)定的。如果Fδ=kδl，即F=kl，則剛桿既可以在豎直位置保持平衡，也可以在任意微小偏斜狀態(tài)下保持平衡，這種平衡稱為隨遇平衡。隨遇平衡實(shí)質(zhì)上也是一種不穩(wěn)定平衡，它介于穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡之間，也稱為臨界平衡?？梢?，當(dāng)桿長l與彈簧常數(shù)k確定之后，剛性直桿AB豎直平衡位形的性質(zhì)，由載荷F的大小而定。使壓桿的直線形式平衡位形由穩(wěn)定向不穩(wěn)定過渡的臨界狀態(tài)的載荷值稱為臨界載荷，并用Fcr表示。圖9-2

對于軸向受壓的細(xì)長彈性直桿也存在類似情況。圖9-2所示兩端鉸支的細(xì)長理想直桿，受力后處于直線平衡構(gòu)形。在任意微小側(cè)向干擾下，壓桿將產(chǎn)生微小彎曲(見圖9-2(a))。外界微小干擾去除后將出現(xiàn)兩種不同情況：當(dāng)軸向壓力較小時(shí)，壓桿最終將恢復(fù)其直線平衡構(gòu)形(見圖9-2(b))；當(dāng)軸向壓力較大時(shí)，壓桿不僅不能恢復(fù)其直線平衡構(gòu)形，而且將繼續(xù)彎曲，產(chǎn)生顯著的彎曲變形(見圖9-2(c))，甚至破壞。

上述情況表明：當(dāng)軸向壓力小于臨界載荷Fcr時(shí)，壓桿直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的；當(dāng)軸向壓力大于臨界載荷Fcr時(shí)，壓桿直線平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的，在任意微小的外界擾動(dòng)下，壓桿的直線平衡構(gòu)形會突然轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢钠胶鈽?gòu)形，這種過程稱為屈曲或失穩(wěn)。在臨界載荷Fcr作用下，壓桿既可在直線構(gòu)形下保持平衡，也可在微彎構(gòu)形下保持平衡。所以，當(dāng)軸向壓力達(dá)到或超過臨界載荷時(shí)，壓桿直線平衡構(gòu)形將會失穩(wěn)。

2.工程中的失穩(wěn)現(xiàn)象

工程中受壓的桿件是很多的，例如各種建筑的立柱、各種液壓機(jī)械的活塞桿、機(jī)床的絲杠、曲柄連桿機(jī)構(gòu)中的連桿、橋梁與鉆井井架等桁架結(jié)構(gòu)中的壓桿等，它們都有平衡構(gòu)形的穩(wěn)定性問題。除細(xì)長壓桿外，其他彈性構(gòu)件也存在穩(wěn)定性問題。例如，若薄壁圓管受壓或受扭，當(dāng)軸向壓力或扭矩達(dá)到或超過一定數(shù)值時(shí)，圓管將突然發(fā)生皺褶(見圖9-3)。圖9-4(a)所示狹長矩形截面梁，當(dāng)載荷F達(dá)到或超過一定數(shù)值時(shí)，梁將突然發(fā)生翹曲；圖9-4(b)所示承受徑向外壓的圓柱形薄殼，當(dāng)外壓p達(dá)到或超過一定數(shù)值時(shí)，圓環(huán)形截面將突然變?yōu)闄E圓形。

圖9-3

圖9-4

9.2細(xì)長壓桿的臨界載荷

9.2.1兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷如圖9-5所示，兩端鉸支的等截面細(xì)長直桿承受軸向壓力作用。在臨界狀態(tài)下，壓桿除了直線形式的平衡構(gòu)形外，還可能存在與之無限接近的微彎平衡構(gòu)形?，F(xiàn)以微彎平衡構(gòu)形作為其臨界狀態(tài)特征，確定其臨界載荷。

圖9-5

使壓桿在微彎狀態(tài)下保持平衡的最小軸向壓力即為壓桿的臨界載荷。由式(j)取n=1，即得兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷為

式(9-1)是由歐拉于1744年最早提出的，所以通常稱為臨界載荷的歐拉公式，該載荷又稱為歐拉臨界載荷?？梢钥闯?，兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷與截面彎曲剛度成正比，與桿長的平方成反比。對于各個(gè)方向約束相同的情形，上式中的慣性矩I應(yīng)為壓桿橫截面最小主形心慣性矩。

在臨界載荷作用下，即k=π/l時(shí)，由式(e)得

即兩端鉸支細(xì)長壓桿臨界狀態(tài)的撓曲軸為一半波正弦曲線，其最大撓度A則取決于壓桿微彎的程度?？梢?，壓桿在臨界狀態(tài)下的平衡是一種有條件的隨遇平衡，微彎程度可以任意，但撓曲軸形狀一定。

9.2.2大撓度理論與實(shí)際壓桿

式(9-1)與式(9-2)是對于理想壓桿根據(jù)小撓度撓曲軸近似微分方程得到的。如果采用大撓度撓曲軸的微分方程

進(jìn)行理論分析，則軸向壓力F與壓桿最大撓度wmax之間存在著如圖9-6中的曲線AB所示的確定關(guān)系，其中A點(diǎn)為曲線的極值點(diǎn)，相應(yīng)之載荷Fcr即為上述歐拉臨界載荷。

圖9-6

可以看出：當(dāng)軸向壓力F<Fcr時(shí)，壓桿只有直線一種平衡構(gòu)形，而且直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的；當(dāng)F>Fcr時(shí)，壓桿存在兩種平衡構(gòu)形——直線平衡構(gòu)形(分支AC所對應(yīng))與屈曲平衡構(gòu)形(分支AB所對應(yīng))，前者是不穩(wěn)定的，而后者是穩(wěn)定的。直線AC與曲線AB的交點(diǎn)A稱為臨界點(diǎn)，也稱為分叉點(diǎn)，因?yàn)閺腁點(diǎn)開始，出現(xiàn)兩種平衡構(gòu)形。在A點(diǎn)附近，曲線AB極為平坦，可近似地用水平線代替曲線，其力學(xué)意義是：在F=Fcr時(shí)，壓桿既可在直線構(gòu)形保持平衡，也可在微彎構(gòu)形保持平衡。由此可見，以微彎構(gòu)形作為臨界狀態(tài)的特征，并根據(jù)撓曲軸的近似微分方程確定臨界載荷的方法，不僅簡單、正確，而且合理、實(shí)用。

另外，由于曲線AB在A點(diǎn)附近極為平坦，因此，當(dāng)軸向壓力F略高于臨界值Fcr時(shí)，撓度即急劇增加。例如，當(dāng)F=1.015Fcr時(shí)，wmax=0.11l，即軸向壓力超過臨界值的1.5%時(shí)，最大撓度竟高達(dá)桿長的11%。大撓度理論明確指出了失穩(wěn)的危險(xiǎn)性。

9.2.3兩端非鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷

1.一端固定、一端自由的細(xì)長壓桿的臨界載荷

圖9-7所示為一端固定、一端自由且長為l的細(xì)長壓桿。當(dāng)軸向壓力F=Fcr時(shí)，該桿的撓曲軸與長為2l的兩端鉸支細(xì)長壓桿的撓曲軸的一半完全相同。因此，如果二桿各截面的彎曲剛度相同，則臨界載荷也相同。所以，一端固定、一端自由且長為l的細(xì)長壓桿的臨界載荷為圖9-7

2.兩端固定的細(xì)長壓桿的臨界載荷

圖9-8所示為兩端固定且長為l的細(xì)長壓桿，當(dāng)軸向壓力F=Fcr時(shí)，該桿的撓曲軸如圖9-8(a)所示，在離兩固定端各l/4處的截面A、B存在拐點(diǎn)，A、B截面的彎矩均為零。因此，長為l/2的AB段的兩端僅承受軸向壓力Fcr(見圖9-8(b))，受力情況與長為l/2的兩端鉸支壓桿相同。所以，兩端固定的壓桿的臨界載荷為

圖9-8

3.一端固定一端鉸支的細(xì)長壓桿的臨界載荷

圖9-9所示為一端固定一端鉸支的長為l的細(xì)長壓桿，在微彎臨界狀態(tài)，其拐點(diǎn)與鉸支端之間的正弦半波曲線長為0.7l，則該壓桿的臨界載荷為圖9-9

9.2.4歐拉公式的一般形式

由式(9-1)、式(9-3)、式(9-4)與式(9-5)可知，上述幾種細(xì)長壓桿的臨界載荷公式基本相似，只是分母中l(wèi)的系數(shù)不同。為了應(yīng)用方便，將上述公式統(tǒng)一寫成如下形式：

式中，乘積μl稱為壓桿的相當(dāng)長度或有效長度，即相當(dāng)于兩端鉸支壓桿的長度；系數(shù)μ稱為長度因數(shù)，代表支持方式對臨界壓力的影響。幾種常見細(xì)長壓桿的長度因數(shù)與臨界載荷如表9-1所示。

例9-1圖9-10所示細(xì)長圓截面連桿，長度l=800mm，直徑d=20mm，材料為Q235鋼，其彈性模量E=200GPa。試計(jì)算該連桿的臨界載荷。圖9-10

9.3壓桿的臨界應(yīng)力

1.臨界應(yīng)力與柔度壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)橫截面上的平均應(yīng)力，稱為壓桿的臨界應(yīng)力，并用σcr表示。根據(jù)式(9-6)，細(xì)長壓桿臨界應(yīng)力為

式中，比值I/A是僅與橫截面的形狀及尺寸有關(guān)的幾何量，將其用i2

表示，即

i稱為截面的慣性半徑，具有長度量綱。將i代入式(a)，并令

則細(xì)長壓桿的臨界應(yīng)力為

式(9-9)稱為歐拉臨界應(yīng)力公式。式中的λ為一無量綱量，稱為柔度或細(xì)長比，它綜合地反映了壓桿的長度、支持方式與截面幾何性質(zhì)對臨界應(yīng)力的影響。式(9-9)表明，細(xì)長壓桿的臨界應(yīng)力與柔度的平方成反比，柔度愈大，臨界應(yīng)力愈低。

2.歐拉公式的適用范圍

歐拉公式是根據(jù)撓曲軸近似微分方程建立的，它只在線彈性范圍才適用，即要求

或

式中：

即僅當(dāng)λ≥λp

時(shí)，歐拉公式才成立。

λp僅隨材料而異，對于不同材料的壓桿，由于E、σp各不相同，λp的數(shù)值亦不相同。例如對于Q235鋼制成的壓桿，E≈200GPa，σp=200MPa，于是由式(9-11)得λp≈100。

柔度λ≥λp的壓桿，稱為大柔度桿或細(xì)長桿。這類壓桿可能發(fā)生彈性失穩(wěn)，其臨界應(yīng)力可用歐拉公式計(jì)算。

3.臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式

總之，根據(jù)柔度的大小，壓桿可以分為三類：λ≥λp的壓桿屬于細(xì)長桿或大柔度桿，臨界應(yīng)力按歐拉公式計(jì)算；λ0<λ<λp的壓桿屬于中柔度桿或中長桿，臨界應(yīng)力按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算；λ<λ0的壓桿屬于小柔度桿或粗短桿，這類壓桿一般不會發(fā)生失穩(wěn)，可能發(fā)生屈服失效，臨界應(yīng)力等于材料壓縮極限應(yīng)力。在上述三種情況下，臨界應(yīng)力隨柔度變化的曲線如圖9-11所示，稱為臨界應(yīng)力總圖。

圖9-11

2)拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式

對于由結(jié)構(gòu)鋼與低合金鋼等材料制作的非細(xì)長壓桿，工程中還采用拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算其臨界應(yīng)力，即

式中，a1=σs與b1=σ2s/(4π2E)是與材料有關(guān)的常數(shù)。例如，對于Q235鋼，a1=235MPa，b1=0.0068MPa。根據(jù)歐拉公式與拋物線型公式，得到結(jié)構(gòu)鋼等的臨界應(yīng)力總圖如圖9-12所示。

圖9-12

例9-2圖9-13所示連桿用鉻鉬鋼制成，連桿兩端為柱狀鉸，橫截面積A=720mm2，慣性矩Iz=6.5×104mm4，Iy=3.8×104mm4。試確定連桿的臨界載荷。圖9-13

解(1)失穩(wěn)形式判斷。在軸向壓力作用下，連桿可能在x－y平面內(nèi)失穩(wěn)(即橫截面繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng))，連桿兩端柱狀鉸(見圖9-14)的銷軸對桿的約束相當(dāng)于鉸支，長度因數(shù)μz=1，連桿的柔度為

圖9-14

在軸向壓力作用下，連桿也可能在x－z平面內(nèi)失穩(wěn)(即橫截面繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng))，連桿兩端柱狀鉸的銷軸對桿的約束接近于固定端，其長度因數(shù)介于鉸支與固定端之間，如取μy=0.7，連桿的柔度為

因λz>λy，故連桿將在x－y平面內(nèi)失穩(wěn)。

(2)臨界載荷計(jì)算。由表9-2查得，鉻鉬鋼的λ0=0，λp=55，a=980MPa，b=5.29MPa，該連桿屬于中柔度壓桿。根據(jù)直線型經(jīng)驗(yàn)公式，其臨界載荷為

討論：該連桿既可能在x－y平面內(nèi)失穩(wěn)，也可能在x－z平面內(nèi)失穩(wěn)。為使連桿在這兩個(gè)平面內(nèi)抵抗失穩(wěn)的能力接近相等，在截面設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)大致保持λy與λz比較接近。該連桿的柔度分別為λz=52.6，λy=48.2，設(shè)計(jì)比較合理。

9.4壓桿的穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)9.4.1壓桿的穩(wěn)定條件為了保證壓桿的直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的，并具有一定的安全儲備，必須使壓桿承受的工作載荷F滿足下述條件：或者

由于壓桿失穩(wěn)大都具有突發(fā)性，危害嚴(yán)重，而且考慮到工程實(shí)際中的壓桿有初曲與加載偏心等不利因素，因此穩(wěn)定安全因數(shù)一般大于強(qiáng)度安全因數(shù)。幾種常見壓桿的穩(wěn)定安全

因數(shù)如表9-3所示。

9.4.2折減系數(shù)法

在工程中，常采用所謂折減系數(shù)法進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算，特別是進(jìn)行截面的設(shè)計(jì)計(jì)算。這種方法借助于材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力[σ]，將其乘以小于1的系數(shù)φ，以此作為穩(wěn)定許用應(yīng)力，于是，壓桿穩(wěn)定條件為

式中，φ稱為穩(wěn)定系數(shù)或折減系數(shù)，其值與壓桿的柔度及所用材料有關(guān)。結(jié)構(gòu)鋼、低合金鋼以及木質(zhì)壓桿的φ－λ曲線如圖9-15所示。各種軋制與焊接構(gòu)件的折減系數(shù)可查閱有關(guān)規(guī)范。圖9-15

例9-3圖9-16所示立柱，下端固定，上端承受軸向壓力F=200kN。立柱用No25a工字鋼制成，柱長l=1m，材料為Q235鋼，許用應(yīng)力[σ]=160MPa，規(guī)定穩(wěn)定安全因數(shù)nst=5。在立柱中點(diǎn)C處，因結(jié)構(gòu)需要鉆一直徑d=70mm的圖9-16圓孔。試校核立柱的穩(wěn)定性與強(qiáng)度。圖9-16

(2)穩(wěn)定性校核。對于Q235鋼，直線型經(jīng)驗(yàn)公式中的

a=304MPa，b=1.12MPa，立柱的臨界應(yīng)力為

立柱的臨界載荷為

立柱的穩(wěn)定許用載荷為

立柱工作壓力F=200kN，雖然超過穩(wěn)定許用壓力，但其超過量僅為后者的0.5%。因此，立柱符合穩(wěn)定性要求。

(3)強(qiáng)度校核。從型鋼表中查得，No25a工字鋼的腹板厚度δ=8.0mm，所以立柱中點(diǎn)C處橫截面的凈面積為

該截面的工作應(yīng)力為

其值遠(yuǎn)小于許用應(yīng)力[σ]，立柱的強(qiáng)度也符合要求。顯然，該立柱的承載能力是由穩(wěn)定性決定的。

9.4.3壓桿的合理設(shè)計(jì)

1.盡量減小壓桿長度

對于細(xì)長桿，其臨界載荷與壓桿相當(dāng)長度的平方成反比，因此，減小桿長可以顯著提高壓桿的承載能力。在某些情況下，通過改變結(jié)構(gòu)或增加支點(diǎn)可以達(dá)到減小桿長的目的。例如，圖9-17所示的兩種桁架，其中的1桿和4桿均為壓桿，但圖9-17(b)中的壓桿的承載能力，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于圖9-17(a)中的壓桿。圖9-17

2.改變壓桿的約束條件

支承的剛性越大，壓桿的長度系數(shù)μ值越小，臨界應(yīng)力越大。例如，將兩端鉸支的細(xì)長壓桿變成兩端固定約束時(shí)，臨界應(yīng)力將成數(shù)倍地增加。實(shí)際上，增加中間支承也是增加壓桿的約束。例如，對于兩端鉸支的細(xì)長壓桿，如果在該桿中間再增加一活動(dòng)鉸支座，壓桿的承載能力將是原來的4倍。又如，無縫鋼管廠在軋制鋼管時(shí)，在頂桿中部增加抱輥裝置(見圖9-18)。有的車床，絲杠與溜板間的聯(lián)系除對開螺母外，再增加一導(dǎo)套加強(qiáng)溜板對絲杠的約束作用，因而增強(qiáng)了絲杠的穩(wěn)定性。

圖9-18

3.合理選擇截面形狀

細(xì)長桿與中柔度桿的臨界應(yīng)力均與柔度λ有關(guān)，而且，柔度愈小，臨界應(yīng)力愈高。壓桿的柔度為

因此，對于一定長度與支持方式的壓桿，在橫截面面積一定的情況下，應(yīng)選擇慣性矩較大的截面形狀。

在選擇截面形狀與尺寸時(shí)，還應(yīng)考慮到失穩(wěn)的方向性，理想的設(shè)計(jì)是使兩形心主慣性矩平面內(nèi)的柔度λz與λy

相同，即

如果壓桿兩端為球形鉸支或固定端，即壓桿在截面的兩個(gè)形心主軸方向失穩(wěn)的約束情況相同時(shí)，則宜選主形心慣性矩Iy=Iz的截面。

在這種情況下，正方形截面或圓形截面比矩形截面好，空心的正方形截面或空心圓形截面比實(shí)心截面好。如果壓桿兩端為柱狀鉸，即壓桿在截面的兩個(gè)形心主軸方向失穩(wěn)的約束情況不同時(shí)，則宜選擇主形心慣性矩Iy與Iz不等的截面，例如矩形截面、工字形截面以及圖9-19所示的由角鋼或槽鋼組成的組合截面，并且使形心主慣性矩較小的平面內(nèi)具有剛性較大的約束，盡量使兩個(gè)形心主慣性矩平面內(nèi)的柔度λz與λy相接近(如例題9-2)。圖9-19

4.合理選擇材料

細(xì)長壓桿的臨界應(yīng)力與材料的彈性模量E

成正比，選擇彈性模量較高的材料，顯然可以提高細(xì)長壓桿的穩(wěn)定性。例如，在同樣條件下，鋼制壓桿的臨界應(yīng)力大于銅、鑄鐵或鋁制壓桿的臨界應(yīng)力。但是，就鋼材而言，普通碳素鋼、合金鋼以及高強(qiáng)度鋼的彈性模量大致相同，因此，如果僅從穩(wěn)定性考慮，選用高強(qiáng)度鋼制作細(xì)長壓桿是不必要的。對于中柔度壓桿，其臨界應(yīng)力與材料的比例極限σp、壓縮極限應(yīng)力σcu等有關(guān)，因而強(qiáng)度高的材料，臨界應(yīng)力也高，所以選用高強(qiáng)度材料制作中柔度壓桿有利于穩(wěn)定性的提高。

習(xí)題題9-1圖

9-1在分析人體下肢穩(wěn)定問題時(shí)，可簡化為題9-1圖所示兩端鉸支剛桿碟形彈簧系統(tǒng)，圖中的k代表碟形彈簧產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需之力偶矩。試求該系統(tǒng)的臨界載荷。

9-2題9-2圖所示剛性桿AB，下端與圓截面鋼軸BC

連接，為使剛性桿在圖示鉛垂位置保持穩(wěn)定平衡，試確定軸BC的