材料力學(xué)(第三版) 課件 第10、11章 構(gòu)件的疲勞強(qiáng)度、能量法

第10章構(gòu)件的疲勞強(qiáng)度10.1引言10.2交變應(yīng)力的描述及其分類10.3S-N曲線與材料的疲勞極限10.4影響構(gòu)件疲勞極限的因素10.5構(gòu)件的疲勞強(qiáng)度計(jì)算與提高構(gòu)件疲勞強(qiáng)度的途徑習(xí)題

10.1引言

1.交變應(yīng)力

工程中大量機(jī)器的零部件和結(jié)構(gòu)的構(gòu)件常常受到隨時(shí)間循環(huán)變化的應(yīng)力作用，這種應(yīng)力稱為交變應(yīng)力或循環(huán)應(yīng)力。

例如，火車的輪軸隨車輪一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其承受的載荷與橫截面上的彎矩M雖然基本不變，但由于車軸在以角速度ω旋轉(zhuǎn)，橫截面邊緣上任一點(diǎn)A處(見圖10-1(b))的彎曲正應(yīng)力為

上式表明，A點(diǎn)處的應(yīng)力隨時(shí)間按正弦規(guī)律交替變化(見圖10-1(c))，車軸每轉(zhuǎn)一圈，A點(diǎn)處的材料經(jīng)歷一次由拉伸到壓縮的應(yīng)力循環(huán)。車軸不停地轉(zhuǎn)動(dòng)，該處材料反復(fù)不斷地受力。圖10-1

又如，齒輪上的每個(gè)齒，自開始嚙合到脫開的過程中，由于嚙合壓力的變化，齒根上的彎曲正應(yīng)力自零增大到最大值，然后又逐漸減為零(見圖10-2)。齒輪不斷地轉(zhuǎn)動(dòng)，每個(gè)齒反復(fù)不斷地受力。圖10-2

2.疲勞失效及其特征

構(gòu)件在交變應(yīng)力長時(shí)間作用下發(fā)生的破壞現(xiàn)象稱為疲勞失效或疲勞破壞，簡稱疲勞。疲勞失效與靜載荷作用下的強(qiáng)度失效有著本質(zhì)上的差別。大量試驗(yàn)結(jié)果以及疲勞破壞現(xiàn)象

表明，疲勞破壞具有以下明顯特征：

(1)疲勞破壞時(shí)的應(yīng)力值遠(yuǎn)低于材料在靜載荷作用下的強(qiáng)度指標(biāo)。如火車輪軸承受圖10-1所示的交變應(yīng)力，當(dāng)σmax=-σmin=260MPa時(shí)大約經(jīng)歷107次循環(huán)就會(huì)發(fā)生斷裂，而使用45鋼后在靜載荷下強(qiáng)度極限可高達(dá)600MPa。

(2)疲勞破壞是一個(gè)損傷累積的過程。構(gòu)件在確定的應(yīng)力水平下發(fā)生疲勞破壞需要一個(gè)過程，即需要一定量的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)。

(3)構(gòu)件在破壞前和破壞時(shí)都沒有明顯的塑性變形，即使

塑性很好的材料，也會(huì)呈現(xiàn)脆性斷裂。

(4)同一疲勞破壞斷口，一般都有明顯的兩個(gè)區(qū)域：光滑區(qū)域和粗粒狀區(qū)域。圖10-3為傳動(dòng)軸疲勞破壞斷口的示意圖，這種斷口特征提供了疲勞破壞的起源和損傷傳遞的重要信息。圖10-3

3.疲勞破壞原因分析

構(gòu)件疲勞破壞的特征與疲勞破壞的機(jī)理和損傷傳遞的過程密切相關(guān)。在微觀上構(gòu)件內(nèi)部組織是不均勻的。對(duì)于承載的構(gòu)件，當(dāng)循環(huán)應(yīng)力的大小超過一定限度并經(jīng)歷足夠多次的交替反復(fù)后，在高應(yīng)力區(qū)的晶界上、夾有雜物與內(nèi)部空洞等缺陷處、機(jī)械加工所造成的刻痕以及其他應(yīng)力集中處，將產(chǎn)生長度約為10-9~10-4m的細(xì)微裂紋(即所謂疲勞源)。

這種裂紋隨著應(yīng)力循環(huán)次數(shù)增加而不斷擴(kuò)展，并逐漸形成長度大于10-4m的宏觀裂紋。在裂紋擴(kuò)展過程中，由于應(yīng)力反復(fù)變化，裂紋或時(shí)張時(shí)合，或左右錯(cuò)動(dòng)，類似研磨過程，從而形成斷口的光滑區(qū)。當(dāng)裂紋尺寸達(dá)到其臨界尺寸時(shí)，構(gòu)件將發(fā)生突然斷裂，斷口的顆粒狀粗糙區(qū)就是突然斷裂造成的。由于裂紋的生成和擴(kuò)展需要一定的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)，因此疲勞破壞需要經(jīng)歷一定的時(shí)間歷程。宏觀裂紋類似于構(gòu)件上存在著尖銳的切口，應(yīng)力集中造成局部區(qū)域的應(yīng)力達(dá)到很大數(shù)值，結(jié)果使構(gòu)件在很低的應(yīng)力水平下發(fā)生破壞。

另外，裂紋尖端附近的材料處于三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)，在這種應(yīng)力狀態(tài)下，即使塑性很好的材料也會(huì)發(fā)生脆性斷裂，因而疲勞破壞時(shí)沒有明顯的塑性變形?？傊?，疲勞破壞的過程可理解為：疲勞裂紋萌生→裂紋擴(kuò)展→斷裂。

統(tǒng)計(jì)表明，疲勞破壞在構(gòu)件的破壞中占有很大的比重。疲勞破壞常常帶有突發(fā)性，往往造成嚴(yán)重后果。

10.2交變應(yīng)力的描述及其分類

圖10-4所示是工程中最常見、最基本的恒幅交變應(yīng)力，其應(yīng)力在兩個(gè)極值之間周期性地變化。應(yīng)力變化一個(gè)周期，稱為一次應(yīng)力循環(huán)。在一次應(yīng)力循環(huán)中，應(yīng)力的極大值σmax與極小值σmin，分別稱為最大應(yīng)力與最小應(yīng)力。

圖10-4

根據(jù)應(yīng)力隨時(shí)間變化的特點(diǎn)，定義下列名詞和術(shù)語：

一次應(yīng)力循環(huán)中最小應(yīng)力與最大應(yīng)力的比值稱為循環(huán)特征或應(yīng)力比，記為r，即

循環(huán)特征|r|≤1。循環(huán)特征反映了交變應(yīng)力的變化特點(diǎn)，對(duì)材料的疲勞強(qiáng)度有直接影響。

最大應(yīng)力與最小應(yīng)力的代數(shù)平均值σm稱為平均應(yīng)力，記為σm，即

最大應(yīng)力與最小應(yīng)力的代數(shù)值差的一半稱為應(yīng)力幅，記為σa，即

應(yīng)力幅反映交變應(yīng)力變化的幅度。

在應(yīng)力循環(huán)中，若應(yīng)力數(shù)值與正負(fù)號(hào)都反復(fù)變化，且有σmax=-σmin，這種應(yīng)力循環(huán)稱為對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力(見圖10-5(a))，其中r=-1，σm=0，σa=σmax。在應(yīng)力循環(huán)中，若僅應(yīng)力的數(shù)值在變化而應(yīng)力的正負(fù)號(hào)不發(fā)生變化，且σmin=0，則這種應(yīng)力循環(huán)稱為脈動(dòng)循環(huán)應(yīng)力(見圖10-2與圖10-5(b))，其循環(huán)特征r=0。除對(duì)稱循環(huán)外，所有循環(huán)特征r≠-1的循環(huán)應(yīng)力，均屬于非對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力。所以，脈動(dòng)循環(huán)應(yīng)力是一種非對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力。圖10-5

構(gòu)件在靜載荷作用下的應(yīng)力稱為靜應(yīng)力。靜應(yīng)力可看成是循環(huán)應(yīng)力的特例，即σmax=σmin=σm=σ，σa=0，其循環(huán)特征r=1。對(duì)于圖10-4所示的非對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力，可以看成是在不變的靜應(yīng)力σm上疊加一個(gè)數(shù)值等于應(yīng)力幅σa的對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力。

需要注意的是，應(yīng)力循環(huán)是指一點(diǎn)的應(yīng)力隨時(shí)間而變化的循環(huán)，上述最大應(yīng)力與最小應(yīng)力均指一點(diǎn)的應(yīng)力在應(yīng)力循環(huán)中的數(shù)值。它們既不是橫截面上由于應(yīng)力分布不均勻所引

起的最大與最小應(yīng)力，也不是一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)中的最大與最小應(yīng)力，而且這些應(yīng)力數(shù)值均未計(jì)及應(yīng)力集中因素的影響，是用材料力學(xué)基本變形應(yīng)力公式計(jì)算得到的所謂名義應(yīng)力。

10.3S-N曲線與材料的疲勞極限

1.疲勞試驗(yàn)材料在循環(huán)應(yīng)力作用下的強(qiáng)度可由疲勞試驗(yàn)測定。最常用的試驗(yàn)是圖10-6所示的旋轉(zhuǎn)彎曲疲勞試驗(yàn)。

圖10-6

試驗(yàn)中，由計(jì)數(shù)器記錄下試樣斷裂時(shí)所旋轉(zhuǎn)的總?cè)?shù)或所經(jīng)歷的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N，即試樣的疲勞壽命。同時(shí)，根據(jù)試樣的尺寸與砝碼的重量，計(jì)算出試樣橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力σmax=M/W。對(duì)于同組試樣分別承受由大到小的不同載荷進(jìn)行疲勞破壞試驗(yàn)，得到一組關(guān)于最大應(yīng)力σmax與相應(yīng)疲勞壽命N的數(shù)據(jù)。

2.S-N曲線

材料在一定循環(huán)特征下的疲勞強(qiáng)度必須用最大應(yīng)力σmax與疲勞壽命N兩個(gè)量才能表示。以最大應(yīng)力σmax為縱坐標(biāo)，以疲勞壽命N(或lgN)為橫坐標(biāo)，根據(jù)上述大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)所繪制的最大應(yīng)力與疲勞壽命的關(guān)系曲線簡稱為S-N曲線。圖10-7是高速鋼與45鋼的S-N曲線。

可以看出，材料承受的應(yīng)力愈大，疲勞壽命愈短。壽命N<104(或105)的疲勞問題稱為低周疲勞，反之稱為高周疲勞。圖10-7

3.材料的疲勞極限

試驗(yàn)表明，鋼材與灰口鑄鐵均具有與圖10-7類似的S-N曲線。它們的S-N曲線均存在水平漸近線，該漸近線的縱坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力，稱為材料的持久極限。持久極限是材料的試樣能夠經(jīng)受“無限”次應(yīng)力循環(huán)而不發(fā)生疲勞破壞的最大應(yīng)力值。持久極限用σr和τr表示，下標(biāo)r代表循環(huán)特征，圖10-7中的σ-1即代表45鋼在對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力下的持久極限。

有色金屬及其合金在對(duì)稱循環(huán)下的S-N曲線沒有明顯的水平漸近線。圖10-8是硬鋁與鎂合金的S-N曲線。對(duì)于這類材料，很難得到材料試樣能夠經(jīng)受“無限”次應(yīng)力循環(huán)而不發(fā)生疲勞破壞的最大應(yīng)力值。工程中根據(jù)構(gòu)件的使用要求，以某一指定的壽命N0(例如107~108)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力作為極限應(yīng)力，并稱為材料的條件疲勞極限。持久極限與條件疲勞極限統(tǒng)稱為疲勞極限。圖10-8

試驗(yàn)表明，鋼材在拉壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)對(duì)稱循環(huán)下的疲勞極限與靜強(qiáng)度極限之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系：

上述關(guān)系可以作為粗略估計(jì)材料疲勞極限的參考。顯然，在循環(huán)應(yīng)力作用下，材料抵抗破壞的能力顯著降低。

材料在其他循環(huán)特征下的疲勞極限也要通過疲勞試驗(yàn)來確定。試驗(yàn)表明，疲勞極限與循環(huán)特征有著很大的關(guān)系。循環(huán)特征r不同，疲勞極限σr亦不同，而且以對(duì)稱循環(huán)疲勞極限σ-1為最低。例如彎曲時(shí)，鋼材脈動(dòng)循環(huán)與對(duì)稱循環(huán)疲勞極限的關(guān)系為σ0≈1.7σ-1。

10.4影響構(gòu)件疲勞極限的因素

1.構(gòu)件外形的影響很多機(jī)械零件的形狀都是變化的，如零件上有螺紋、鍵槽、穿孔、軸肩等。在構(gòu)件截面突然變化處會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象。試驗(yàn)表明，應(yīng)力集中容易促使疲勞裂紋的形成，對(duì)疲勞強(qiáng)度有著顯著的影響。

圖10-9~圖10-11分別給出了階梯形圓截面鋼軸在彎曲、軸向拉壓與扭轉(zhuǎn)對(duì)稱循環(huán)時(shí)的有效應(yīng)力集中因數(shù)。上述曲線都是在D/d=2且d=30~50mm的條件下測得的。如果D/d<2，則有效應(yīng)力集中因數(shù)為

式中，Kσ0與Kτ0是D/d=2的有效應(yīng)力集中因數(shù)；ξ是和比值D/d有關(guān)的修正系數(shù)，可由圖10-12查得。

圖10-9圖10-10圖10-11

圖10-12

表10-1和表10-2分別給出了螺紋、鍵槽和花鍵以及橫孔處的有效應(yīng)力集中因數(shù)。至于其他情況下的有效應(yīng)力集中因數(shù)，可查閱有關(guān)手冊(cè)。

2.構(gòu)件截面尺寸的影響

截面尺寸對(duì)疲勞極限的影響，用尺寸因數(shù)εσ或ετ表示，它代表光滑大尺寸試樣的疲勞極限與光滑小尺寸試樣的疲勞極限之比值。圖10-13給出了圓截面鋼軸在對(duì)稱循環(huán)彎曲與扭轉(zhuǎn)時(shí)的尺寸因數(shù)。

圖10-13

彎曲與扭轉(zhuǎn)時(shí)，構(gòu)件橫截面上的應(yīng)力是非均勻分布的，其疲勞極限隨截面尺寸增大而降低的原因，可用圖10-14加以說明。圖10-14

3.構(gòu)件表面質(zhì)量的影響

表面加工質(zhì)量對(duì)構(gòu)件疲勞強(qiáng)度的影響用表面質(zhì)量因數(shù)β表示，它代表用某種方法加工的試樣的疲勞極限與經(jīng)磨削加工的光滑試樣的疲勞極限的比值。表面質(zhì)量因數(shù)與加工方法的關(guān)系如圖10-15所示。

圖10-15

4.對(duì)稱循環(huán)下構(gòu)件的疲勞極限

綜合考慮應(yīng)力集中、截面尺寸、表面加工質(zhì)量等影響構(gòu)件疲勞極限的因素后，構(gòu)件在對(duì)稱循環(huán)下的疲勞極限(σ-1)與(τ-1)分別為

10.5構(gòu)件的疲勞強(qiáng)度計(jì)算與提高構(gòu)件疲勞強(qiáng)度的途徑

10.5.1對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力下構(gòu)件的疲勞強(qiáng)度條件如果規(guī)定構(gòu)件承受循環(huán)應(yīng)力的疲勞安全因數(shù)為nf，則拉壓桿與梁在對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力下的許用應(yīng)力為

按照應(yīng)力比較法，拉壓桿與梁在對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力下的強(qiáng)度條件為

式中σmax代表拉壓桿與梁橫截面上最大的工作應(yīng)力。

工程上大都采用安全因數(shù)法建立構(gòu)件的疲勞強(qiáng)度條件，即要求構(gòu)件的實(shí)際安全因數(shù)不小于規(guī)定的安全因數(shù)。由(10-8)、(10-9)兩式可知，拉壓桿與梁在對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力下的工作安全因數(shù)為

相應(yīng)的強(qiáng)度條件則為

同理，軸在對(duì)稱循環(huán)切應(yīng)力下的疲勞強(qiáng)度條件為

式中，τmax代表橫截面上的最大切應(yīng)力。

10.5.2非對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力下構(gòu)件的疲勞強(qiáng)度條件

根據(jù)理論分析推導(dǎo)的結(jié)果，構(gòu)件在非對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力下的疲勞強(qiáng)度條件為

在以上兩式中，σ-1(或τ-1)是對(duì)稱循環(huán)下材料的疲勞極限；σm與σa(或τm與τa)分別代表構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)處的平均應(yīng)力與應(yīng)力幅；Kσ、εσ(或Kτ、ετ)與β分別代表對(duì)稱循環(huán)時(shí)構(gòu)件的有效應(yīng)力集中因數(shù)、尺寸因數(shù)與表面質(zhì)量因數(shù)；ψσ與ψτ稱為敏感因數(shù)，代表材料對(duì)于應(yīng)力循環(huán)非對(duì)稱性的敏感程度，其值為

10.5.3彎扭組合交變應(yīng)力下構(gòu)件的疲勞強(qiáng)度條件

對(duì)于一個(gè)彎扭組合變形的構(gòu)件，如果彎曲與扭轉(zhuǎn)都是交變應(yīng)力，其疲勞強(qiáng)度條件公式(高夫公式)為

式中，nσ與nτ分別為僅考慮彎曲循環(huán)應(yīng)力與僅考慮扭轉(zhuǎn)循環(huán)應(yīng)力時(shí)構(gòu)件的工作安全因數(shù)，它們應(yīng)分別按式(10-10)、式(10-13)或式(10-14)、式(10-15)計(jì)算；nστ代表構(gòu)件在彎扭組合交變應(yīng)力下的實(shí)際工作安全因數(shù)，nf是規(guī)定安全因數(shù)。

例10-1圖10-16所示階梯形圓截面鋼軸，由鉻鎳合金鋼制成，承受對(duì)稱循環(huán)的交變彎矩，其最大值Mmax=700N·m，試校核該軸的疲勞強(qiáng)度。已知軸徑D=50mm，d=40mm，圓角半徑R=5mm，強(qiáng)度極限σb=1200MPa，材料在彎曲對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力下的疲勞極限σ-1=480MPa，疲勞安全因數(shù)nf=1.6，軸表面經(jīng)精車加工。圖10-16

解(1)計(jì)算工作應(yīng)力。對(duì)于該階梯形圓截面鋼軸，危險(xiǎn)截面位于應(yīng)力集中的軸肩細(xì)軸的橫截面A-A處。在交變彎矩作用下，由材料力學(xué)彎曲應(yīng)力公式計(jì)算該截面的名義最大彎曲正應(yīng)力為

(2)確定影響因數(shù)。首先計(jì)算軸肩處的幾何特征：

然后由圖10-9與由圖10-12根據(jù)σb=1200MPa分別對(duì)應(yīng)查得

將其代入式(10-4)，計(jì)算軸肩處的有效應(yīng)力集中因數(shù)為

由圖10-13與圖10-15，查得尺寸因數(shù)與表面質(zhì)量因數(shù)分別為

(3)校核疲勞強(qiáng)度。將有關(guān)數(shù)據(jù)代入式(10-11)，計(jì)算該軸危險(xiǎn)截面A-A實(shí)際的工作安全因數(shù)為

可見，該階梯形軸滿足疲勞強(qiáng)度要求。

例10-2圖10-17所示階梯形圓截面鋼桿，承受非對(duì)稱循環(huán)的軸向載荷F作用，其最大值與最小值分別為Fmax=100kN與Fmin=10kN，試校核該桿的疲勞強(qiáng)度。已知桿徑D=50mm，d=40mm，圓角半徑R=5mm，強(qiáng)度極限σb=600MPa，材料在拉壓對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力下的疲勞極限σ-1=170MPa，敏感因數(shù)ψσ=0.1，疲勞安全因數(shù)nf=2，桿表面經(jīng)精車加工。圖10-17

解(1)計(jì)算工作應(yīng)力。對(duì)于該階梯形圓截面鋼桿，危險(xiǎn)截面位于應(yīng)力集中的粗細(xì)交界細(xì)桿的橫截面A-A處。在非對(duì)稱循環(huán)軸向載荷作用下，由材料力學(xué)軸向拉壓正應(yīng)力公式計(jì)算該截面的名義最大與最小正應(yīng)力為

顯然，該拉壓桿所承受的交變應(yīng)力的循環(huán)特征r=0.1，其平均應(yīng)力與應(yīng)力幅分別為

(2)確定影響因數(shù)。首先計(jì)算軸肩處的幾何特征：

由于圖10-10中沒有靜強(qiáng)度σb=600MPa的鋼材的應(yīng)力集中因數(shù)圖線，可先根據(jù)查得σb=400MPa與b=800MPa的鋼材對(duì)應(yīng)的應(yīng)力集中因數(shù)Kσ0分別為1.38和1.72。

然后，利用線性插值法，求得σb=600MPa的鋼材的有效應(yīng)力集中因數(shù)為

再由圖10-12查得對(duì)應(yīng)的修正因數(shù)為

將Kσ0與ξ代入式(10-4)，計(jì)算該拉壓桿的有效應(yīng)力集中因數(shù)為

由圖10-15，查表面質(zhì)量因數(shù)為

對(duì)于軸向受力的拉壓桿，尺寸因數(shù)為

(3)校核疲勞強(qiáng)度。將有關(guān)數(shù)據(jù)代入式(10-14)，計(jì)算該拉壓桿危險(xiǎn)截面A-A的工作安全因數(shù)為

可見，該階梯形拉壓桿符合疲勞強(qiáng)度要求。

例10-3圖10-18所示階梯形圓截面鋼軸，在危險(xiǎn)截面A-A上，內(nèi)力為同相位的對(duì)稱循環(huán)交變彎矩與交變扭矩，其最大值分別為M

max=1.5kN·m與Tmax=2.0kN·m，設(shè)規(guī)定的疲勞安全因數(shù)nf=1.5，試校核軸的疲勞強(qiáng)度。已知軸徑D=60mm，d=50mm，圓角半徑R=5mm，強(qiáng)度極限σb=1100MPa，材料在對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力下的彎曲疲勞極限σ-1=540MPa，扭轉(zhuǎn)疲勞極限τ-1=310MPa，軸表面經(jīng)磨削加工。

圖10-18

解(1)計(jì)算工作應(yīng)力。對(duì)于該階梯形圓截面鋼軸，在對(duì)稱循環(huán)的交變彎矩與交變扭矩作用下，危險(xiǎn)截面A-A處的最大彎曲正應(yīng)力與最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分別為

(2)確定影響因數(shù)。根據(jù)D/d=1.2與R/d=0.10，由圖10-9、圖10-11、圖10-12以及式(10-4)、式(10-5)得軸肩處的有效應(yīng)力集中因數(shù)為

由圖10-13與圖10-15，查得尺寸因數(shù)與表面質(zhì)量因數(shù)分別為

(3)校核疲勞強(qiáng)度。將有關(guān)數(shù)據(jù)代入式(10-10)與式(10-13)，計(jì)算該鋼軸分別在僅考慮彎曲與僅考慮扭轉(zhuǎn)時(shí)的安全因數(shù)為

將上述結(jié)果代入式(10-18)，計(jì)算危險(xiǎn)截面A-A在彎扭組合循環(huán)應(yīng)力下的工作安全因數(shù)為

10.5.4提高構(gòu)件疲勞強(qiáng)度的途徑

1.減緩應(yīng)力集中的影響

構(gòu)件截面突變處的應(yīng)力集中是產(chǎn)生裂紋和裂紋擴(kuò)展的主要因素。所以，對(duì)于在交變應(yīng)力下工作的構(gòu)件，尤其是用高強(qiáng)度材料制成的構(gòu)件，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量減小應(yīng)力集中。例如：增大過渡圓角半徑；減小相鄰桿段橫截面粗細(xì)差別；采用凹槽結(jié)構(gòu)(見圖10-19(a))；設(shè)置卸荷槽(見圖10-19(b))；將必要的孔與溝槽配置在構(gòu)件的低應(yīng)力區(qū)等。這些措施均能顯著提高構(gòu)件的疲勞強(qiáng)度。

圖10-19

2.降低表面粗糙度

在構(gòu)件橫截面應(yīng)力非均勻分布的情形下，最大應(yīng)力一般發(fā)生在構(gòu)件表層，疲勞裂紋大都從表面開始產(chǎn)生和擴(kuò)展。所以，對(duì)于在交變應(yīng)力下工作的重要構(gòu)件，特別是存在應(yīng)力集中的部位，應(yīng)當(dāng)力求提高表面加工質(zhì)量，降低表面粗糙度。由于表面加工質(zhì)量對(duì)高強(qiáng)度鋼材的影響比一般鋼材大，因此材料愈好，愈應(yīng)講究加工方法，以避免形成表面?zhèn)邸?/p>

3.增加表層強(qiáng)度

通過機(jī)械方法和化學(xué)方法對(duì)構(gòu)件表面進(jìn)行強(qiáng)化處理，提高構(gòu)件表層材料的強(qiáng)度，改善表層的應(yīng)力狀況，將使構(gòu)件的疲勞強(qiáng)度有明顯的提高。表面熱處理和化學(xué)處理(如表面高頻淬火、滲碳、滲氮)以及冷壓機(jī)械加工(如表面滾壓和噴丸處理等)，這些方法可改善構(gòu)件的表層結(jié)構(gòu)，使構(gòu)件表層產(chǎn)生殘余壓應(yīng)力，抑制疲勞裂紋的生成與擴(kuò)展。

習(xí)題題10-1圖

10-1題10-1圖所示應(yīng)力循環(huán),試求平均應(yīng)力、應(yīng)力幅與應(yīng)力比。

10-2題10-2圖所示旋轉(zhuǎn)軸,同時(shí)承受軸向拉力Fx與橫向載荷Fy作用,試求危險(xiǎn)截面邊緣任一點(diǎn)處的最大正應(yīng)力、最小正應(yīng)力、平均應(yīng)力、應(yīng)力幅與應(yīng)力比。已知軸徑

d=10mm,軸長l=100mm,載荷Fx=2kN,Fy=0.5kN。題10-2圖

10-3題10-3圖所示疲勞試樣由鋼制成,強(qiáng)度極限σb=600MPa,試確定夾持部位有效應(yīng)力集中因數(shù)。試樣表面經(jīng)磨削加工。

(1)試驗(yàn)時(shí)承受對(duì)稱循環(huán)的軸向載荷作用;

(2)承受對(duì)稱循環(huán)的扭矩作用題10-3圖

10-4題10-4圖所示鋼軸承受對(duì)稱循環(huán)的彎曲應(yīng)力作用,經(jīng)粗車制成。鋼軸材料或選擇強(qiáng)度極限σb=1200MPa的合金鋼,或選擇強(qiáng)度極限σb'=700MPa的碳鋼。設(shè)疲勞安全因數(shù)nf=2,試計(jì)算鋼軸的許用應(yīng)力[σ-1]。題10-4圖

10-5題10-5圖所示階梯形圓截面鋼桿承受非對(duì)稱循環(huán)的軸向載荷F作用,其最大與最小值分別為Fmax=110kN與Fmin=5kN,設(shè)規(guī)定的疲勞安全因數(shù)nf=2,試校核桿的疲勞強(qiáng)度。已知D=50mm,d=40mm,σb=600MPa,拉壓疲勞極限σ-1=170MPa,ψσ=0.05。桿表面經(jīng)精車加工。題10-5圖

10-6一階梯形圓截面鋼軸,危險(xiǎn)截面上內(nèi)力為同相位的對(duì)稱循環(huán)交變彎矩與交變扭矩,其最大值分別為M

max=1.0kN·m與Tmax=1.5kN·m,試計(jì)算該截面的工作安全因數(shù)。已知軸徑D=60mm,d=50mm,圓角半徑R=5mm,材料強(qiáng)度極限σb=800

MPa,材料在對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力下的彎曲疲勞極限σ-1=350MPa,扭轉(zhuǎn)疲勞極限τ-1=200MPa,軸表面經(jīng)精車加工。

10-7題10-7圖所示飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)活塞銷承受交變外力F作用,該力在最大值Fmax=52kN與最小值Fmin=-11.5kN之間變化,試計(jì)算活塞銷的工作安全因數(shù)?；钊N用鉻鎳合金制成,強(qiáng)度極限σb=960MPa,疲勞極限σ-1=430MPa,敏感因數(shù)ψσ=0.1,活塞銷表面經(jīng)磨削加工。題10-7圖

10-8一圓柱形密圈螺旋彈簧,平均半徑R=20mm,彈簧絲直徑d=5mm,彈簧承受軸向交變壓力F作用,其最大值Fmax=300N,最小值Fmin=100N,彈簧用合金鋼制成,強(qiáng)度極限σb=1200MPa,疲勞極限τ-1=300MPa,敏感因數(shù)ψτ=0.1,試確定彈簧的工作安全因數(shù)。表面質(zhì)量因數(shù)β可取為1。第11章能量法11.1外力功與應(yīng)變能的一般表達(dá)式11.2變形體虛功原理11.3單位載荷法11.4沖擊應(yīng)力分析習(xí)題

11.1外力功與應(yīng)變能的一般表達(dá)式

11.1.1外力功的計(jì)算

在外力作用下，彈性體發(fā)生變形，載荷作用點(diǎn)隨之產(chǎn)生位移。載荷作用點(diǎn)在載荷作用方向的位移分量，稱為該載荷的相應(yīng)位移。

對(duì)于由零緩慢增加到最終值的靜載荷f，若其相應(yīng)位移為Δ(見圖11-1(a))，則此力的功為

如果材料服從胡克定律，而且構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的變形很小，則構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的位移與載荷成正比(見圖11-1(b))，此時(shí)研究對(duì)象為線性彈性體，顯然此時(shí)外力的功為

圖11-1

另外可以證明，當(dāng)線性彈性體上同時(shí)作用幾個(gè)載荷F1、F2、…、Fn時(shí)，不論按何種方法加載，廣義力在相應(yīng)廣義位移Δ1、Δ2、…、Δn上所做之總功恒為

上述關(guān)系稱為克拉比隆定理。

11.1.2應(yīng)變能的計(jì)算

根據(jù)功能原理，存儲(chǔ)在構(gòu)件內(nèi)的應(yīng)變能等于外力所做之功，對(duì)于線性彈性體

1.軸向拉壓時(shí)的應(yīng)變能

在前面已經(jīng)討論過，當(dāng)桿件處于軸向拉伸或壓縮時(shí)，其應(yīng)變能為

若軸向力FN沿桿件軸線為一變量FN(x)，則應(yīng)變能的一般表達(dá)式為

若結(jié)構(gòu)是由n根直桿組成的桁架，整個(gè)結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)變能為

式中FNi、li、Ei和Ai分別為桁架中第i根桿的軸力、長度、彈性模量和橫截面面積。

2.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能

圓軸受扭時(shí)(見圖11-2)，扭轉(zhuǎn)角為

其應(yīng)變能為

若扭矩T沿軸線為一變量T(x)，則應(yīng)變能的一般表達(dá)式為

圖11-2

3.梁彎曲時(shí)的應(yīng)變能

在一般情況下(見圖11-3(a))，梁的彎矩和剪力均沿軸線變化，因此，梁的應(yīng)變能應(yīng)從微段dx入手進(jìn)行計(jì)算(見圖11-3(b))。圖11-3

在彎矩M(x)作用下，微段兩端橫截面作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)(見圖11-3(c))，且

在剪力FS(x)作用下，微段產(chǎn)生剪切變形(見圖11-3(d))。所以，橫力彎曲時(shí)，彎矩僅在相應(yīng)的彎曲變形上做功；剪力僅在相應(yīng)的剪切變形上做功。但是，對(duì)于細(xì)長梁，剪力所做的功遠(yuǎn)小于彎矩所做的功，通?？珊雎圆挥?jì)。所以，梁微段dx的應(yīng)變能為

而整個(gè)梁的變形能則為

4.組合變形桿件的應(yīng)變能

組合變形時(shí)，圓截面桿微段受力的一般形式如圖11-4(a)所示。圖11-4

由于小變形的情況下各內(nèi)力分量引起的應(yīng)變互不耦合，在忽略剪力影響的情況下，由功能原理與克拉比隆定理可得，微段dx的應(yīng)變能為

而整個(gè)桿或桿系結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為

上式只適用于圓截面桿。對(duì)于非圓截面等一般桿件，則有

例11-1圖11-5所示懸臂梁，在自由端承受集中力F與矩為Me的集中力偶作用。試計(jì)算外力所做之總功。設(shè)梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。圖11-5

11.1.3互等定理

圖11-6(a)、(b)所示為同一線性彈性體(以簡支梁為例)的兩種受力變形狀態(tài)。規(guī)定廣義位移Δij表示作用在點(diǎn)j的載荷Fj引起的點(diǎn)i沿Fi方向的位移。在第一種受力狀態(tài)(見圖11-6(a))下，則點(diǎn)1、點(diǎn)2的位移分別為Δ11、Δ21；在第二種受力狀態(tài)(見圖11-6(b))下，則點(diǎn)1、點(diǎn)2的位移分別為Δ12、Δ22。圖11-6

考慮兩種加載方式。一是先加F1、再加F2(見圖11-6(c))，則外力所做總功為

另一種加載方式是先加F2、再加F1(見圖11-6(d))，則外力所做總功為

而外力所做之總功與加載次序無關(guān)，W1=W2，因此可得

式(11-11)表明，對(duì)于線性彈性體，F(xiàn)1在F2所引起的位移Δ12上所做之功，等于F2在F1所引起的位移Δ21上所做之功。此關(guān)系式稱為功的互等定理。

作為上述定理的一個(gè)重要推論，如果F1=F2，則由式(11-11)得

即當(dāng)F1與F2的數(shù)值相等時(shí)，F(xiàn)2在點(diǎn)1沿F1方向引起的位移Δ12，等于F1在點(diǎn)2沿F2方向引起的位移Δ21。此定理稱為位移互等定理。

例11-2圖11-7(a)所示簡支梁AB，在跨度中點(diǎn)C承受集中力F作用時(shí)，橫截面B的轉(zhuǎn)角為θBF=Fl3/16EI。試計(jì)算在截面B作用矩為Me的力偶時(shí)(見圖11-7(b))，截面C的撓度ΔC。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。圖11-7

解根據(jù)功的互等定理，有

由此解得

11.2變形體虛功原理

1.變形體虛功原理虛功原理是分析靜力學(xué)的一個(gè)基本原理，適用于任意質(zhì)點(diǎn)系。對(duì)于處于平衡狀態(tài)的變形體，除了外力在任意虛位移上要做功外，內(nèi)力在相應(yīng)的變形虛位移上也要做功，前者稱為外力虛功，用We表示；后者稱為內(nèi)力虛功，用Wi表示。

變形體的虛功原理可以表述為:

變形體平衡的充分必要條件是作用于其上的外力和內(nèi)力在任意虛位移上所做的虛功相等，即

此處的虛位移是除作用在桿件上的原力系本身以外，由其他因素引起的滿足位移邊界條件與變形連續(xù)條件的任意無限小位移。它是在原力系作用下的平衡位置上再增加的位

移。

2.內(nèi)力虛功的計(jì)算

結(jié)構(gòu)在靜平衡狀態(tài)下，微段dx的內(nèi)力如圖11-8所示。圖11-8

對(duì)于任意的虛位移，微段的虛位移可以分為剛性虛位移和變形虛位移。該微段因其他各微段的變形而引起的虛位移稱為剛性虛位移，由于該微段本身變形而引起的虛位移則稱為變形虛位移。如圖11-9所示，微段的變形虛位移分別用dδ*、dφ*、dθ*表示。忽略高階微量，作用在微段上的內(nèi)力所做之虛功為

圖11-9

作用在結(jié)構(gòu)所有微段上的內(nèi)力所做之總虛功為

若Fi是作用在結(jié)構(gòu)上的原力系中的廣義力，Δi*是與Fi相應(yīng)的廣義虛位移，則外力的虛功為

則變形體虛位移原理可具體表示為

11.3單位載荷法

圖11-10

以上所述計(jì)算位移的方法，稱為單位載荷法。需要指出的是，這里所求的位移以及施加的單位力都是廣義的。如果按上述公式求得的位移為正，即表示所求位移與所加的單位

載荷同向；反之，則表示所求位移與所加的單位載荷反向。單位載荷法不僅適用于線性彈性體，也適用于非線性彈性體與非彈性體。

對(duì)于線性彈性體，微段的變形為

于是，公式(11-17)可寫為

式(11-18)稱為莫爾積分或莫爾定理。

對(duì)于分別處于平面彎曲的梁與剛架、扭轉(zhuǎn)的圓軸、桁架，莫爾積分可分別簡化為

例11-3求圖11-11(a)所示簡支梁截面A的轉(zhuǎn)角。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。

解為了計(jì)算截面A轉(zhuǎn)角，在該簡支梁的截面A處加單位力偶(見圖11-11(b))。

(1)求約束力。根據(jù)靜平衡方程分別求出圖11-11(a)、(b)的約束力:圖11-11

(3)計(jì)算θA。由莫爾積分得

計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說明截面A的轉(zhuǎn)角與所加單位力偶的轉(zhuǎn)向相反，即截面A沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。

例11-4求圖11-12(a)所示剛架截面A的水平位移。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。圖11-12

解為了計(jì)算截面A的水平位移，在該剛架的截面A處沿水平方向加單位力(見圖11-12(b))。

(1)求約束力。計(jì)算圖11-12(a)、(b)兩種情形下的約束力:

(2)分段列彎矩方程。將該梁劃分為AB與CB兩段，并選坐標(biāo)x1與x2如圖所示，各梁段的彎矩方程為

(3)計(jì)算ΔA。由莫爾積分得

例11-5圖11-13(a)為一開有細(xì)小缺口的圓環(huán)，抗彎剛度EI為常數(shù)。試計(jì)算在均勻壓力q作用下缺口處的張開位移。圖11-13

解為了計(jì)算圓環(huán)缺口處的相對(duì)位移，應(yīng)在該圓環(huán)缺口處加一對(duì)單位力(見圖11-13(b))。在外力q作用下，圓環(huán)任一截面的彎矩為

在單位力作用下，圓環(huán)任一截面的彎矩為

由莫爾積分得

例11-6圖11-14(a)所示四分之一圓弧形小曲率圓截面桿，在桿端A承受鉛垂方向的載荷F，試求相應(yīng)位移。設(shè)抗彎剛度EI與扭轉(zhuǎn)剛度GIP均為常數(shù)。11-14

例11-7圖11-15(a)所示桁架，在節(jié)點(diǎn)B承受鉛垂集中力F作用，試計(jì)算節(jié)點(diǎn)B的鉛垂位移。設(shè)桿1和桿2均為等截面直桿，材料服從胡克定律，且拉壓剛度EA相同。圖11-15

例題11-7已經(jīng)得到該桁架各桿的軸力；而各桿的軸向變形分別為

11.4沖擊應(yīng)力分析

工程中存在許多沖擊問題，如打樁、沖壓、鍛壓、車船碰撞、高速飛輪突然剎車、升降機(jī)構(gòu)鋼纜突然卡住等。鍛錘、沖頭、飛輪等稱為沖擊物，工件、樁、車船、傳動(dòng)軸、鋼纜等稱為被沖擊物。

沖擊問題簡化計(jì)算的力學(xué)模型建立在如下基本假設(shè)之上:

(1)忽略沖擊物的變形，即認(rèn)為沖擊物是剛體；而且忽略沖擊物的回彈，即沖擊物與被沖擊物接觸后保持接觸，直至被沖擊物上沖擊點(diǎn)的位移達(dá)到最大值。

(2)忽略被沖擊物的慣性，即認(rèn)為沖擊引起的變形瞬即傳遍整個(gè)構(gòu)件，沖擊應(yīng)力像靜應(yīng)力一樣，瞬即遍布整個(gè)構(gòu)件。

(3)忽略沖擊過程中的其他能量損失，沖擊物的機(jī)械能全部轉(zhuǎn)變?yōu)楸粵_擊物的彈性應(yīng)變能，即系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

(4)被沖擊物材料在沖擊時(shí)仍保持線彈性，且仍按靜載荷的許用應(yīng)力建立強(qiáng)度條件。

1.4.1鉛垂沖擊應(yīng)力分析

如圖11-16所示，一重量為P的沖擊物自高度h處自由下落，沖擊某線性彈性體。由于彈性構(gòu)件的阻礙，沖擊物的速度在極短的時(shí)間內(nèi)迅速減小為零；與此同時(shí)，彈性體受到的沖擊載荷及相應(yīng)位移也達(dá)到最大值，并分別用Fd與Δd表示；此后系統(tǒng)開始振動(dòng)。圖11-16

根據(jù)機(jī)械能守恒定律以及基本假設(shè)可知，在沖擊過程中，沖擊物減少的機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化為被沖擊彈性構(gòu)件存儲(chǔ)的應(yīng)變能。即

沖擊物減少的機(jī)械能為

被沖擊彈性體增加的應(yīng)變能為

將式(b)、(c)代入式(a)，得

在線彈性范圍內(nèi)，定義沖擊動(dòng)荷因數(shù)Kd為

式(11-23)中，Δst與σst是假設(shè)沖擊物的重力P以靜載荷的方式作用在被沖擊物時(shí)產(chǎn)生的靜變形與靜應(yīng)力；Δd與σd是沖擊載荷Fd產(chǎn)生的相應(yīng)截面的最大沖擊變形與沖擊應(yīng)力。將式(11-23)代入式(d)，整理后得

由上式解得具有實(shí)際意義的最大沖擊變形為

由此得到自由落體沖擊的動(dòng)荷因數(shù)為

由式(11-23)可知，只要求出動(dòng)荷因數(shù)Kd，用Kd分別乘以靜載荷、靜變形、靜應(yīng)力，即可得到?jīng)_擊時(shí)相應(yīng)的動(dòng)載荷、動(dòng)變形、動(dòng)應(yīng)力。

構(gòu)件受沖擊時(shí)的強(qiáng)度條件可寫為

例11-9圖11-17所示正方形截面梁，中點(diǎn)C處受自由落體沖擊。已知P=500N，h=20mm，梁的跨度l=1.0m，橫截面邊長b=50mm，彈性模量E=200GPa。試在下列

兩種情況下計(jì)算截面C的撓度Δd與梁中的最大彎曲正應(yīng)力σd，max:(1)梁兩端用鉸支座支持；

(2)梁兩端用彈簧常數(shù)為k=100N/mm的彈簧支座支持。圖11-17

11.4.2水平?jīng)_擊應(yīng)力分析

如圖11-18所示，重量為P的沖擊物，沿水平方向以速度v沖擊某線性彈性體。圖11-18

根據(jù)機(jī)械能守恒定律以及有關(guān)假定可知，在沖擊過程中，沖擊物減少的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為被沖擊彈性構(gòu)件增加的應(yīng)變能，即

即

求解上式，可得水平?jīng)_擊的動(dòng)荷因數(shù)為

若圖11-18所示懸臂梁長為l，抗彎剛度為EI，抗彎截面系數(shù)為W，則受沖擊截面B沿沖擊方向的靜撓度與梁中最大的靜應(yīng)力分別為

則梁端B的沖擊撓度與梁中最大的沖擊應(yīng)力分別為

11.4.3吊索沖擊應(yīng)力分析

如圖11-19所示，吊索的末端C懸掛一重量為P的物體，吊索繞在鼓輪上，當(dāng)鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，重物以速度v勻速下降。如果突然剎車或鼓輪突然被卡住，試分析吊索中的沖擊應(yīng)力。圖11-19

若剎車時(shí)吊索的長度為l，橫截面面積為A，彈性模量為E，則剎車前吊索的靜變形與靜應(yīng)力分別為

剎車后吊索中的最大沖擊應(yīng)力為

11.4.4扭轉(zhuǎn)沖擊應(yīng)力分析

圖11-20所示的飛輪，如果在A端突然剎車，即突然停止轉(zhuǎn)動(dòng)，而B端的飛輪由于慣性作用將繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣AB軸就受到?jīng)_擊，發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。將飛輪視為沖擊物，AB軸視為被沖擊物，這類問題稱為扭轉(zhuǎn)沖擊。

圖11-20

總之，沖擊會(huì)造成構(gòu)件破壞，影響儀器儀表的正常工作，甚至造成人身傷害，故通常要設(shè)法避免或減輕沖擊。但另一方面，鍛壓、沖壓、打樁、爆炸加工和拆除、采礦等正是利用沖擊時(shí)產(chǎn)生的巨大載荷使被沖擊物產(chǎn)生永久變形或破壞，以達(dá)到工程目的。

習(xí)題題11-1圖

11-1試計(jì)算題11-1圖所示各梁的變形能以及與載荷相應(yīng)的位移。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。

11-2試?yán)脝挝惠d荷法計(jì)算題11-2圖所示各梁橫截面A的撓度和轉(zhuǎn)角。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。題11-2圖

11-3題11-3圖所示桁架，各桿的拉壓剛度EA均相同，在節(jié)點(diǎn)B處受垂直集中力F作用，試用單位載荷法計(jì)算節(jié)點(diǎn)B的水平位移。

題11-3圖

11-4題11-4圖所示剛架，抗彎剛度EI為常數(shù)，在截面C處承受水平集中力