2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值考點(diǎn)清單題型清單目錄考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極(最)值題型1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題型2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極(最)值題型3利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的性質(zhì)考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f'(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù),則f'(x)>0f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增f'(x)<0f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減f'(x)=0f(x)在(a,b)上為常數(shù)函數(shù)注意1.f'(x)>0(<0)是f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件.2.f'(x)≥0(≤0)是f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的必要不充分條件.3.若f'(x)在區(qū)間(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零,則f'(x)≥0(≤0)是f(x)在區(qū)間(a,b)

內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充要條件.考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極(最)值1.函數(shù)的極值極值滿足條件極小值點(diǎn)與極小值函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都小,f'(a)=0;在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,就把a(bǔ)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值極大值點(diǎn)與極大值函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都大,f'(b)=0;在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,就把b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值極值與極值點(diǎn)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)注意1.在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi),函數(shù)的極值不一定唯一,在整個(gè)定義域內(nèi)可能有多個(gè)極大值

和極小值;2.極大值與極小值沒有必然關(guān)系,極大值可能比極小值還小;3.導(dǎo)數(shù)等于零的

點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)(例如:f(x)=x3,f'(x)=3x2,當(dāng)x=0時(shí),f'(0)=0,但x=0不是函數(shù)的極值點(diǎn));

4.對于處處可導(dǎo)的函數(shù),極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)必為零.2.函數(shù)的最值一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大

值和最小值,函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.即練即清判斷正誤(對的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,那么一定有f'(x)>0.

(

)(2)在(a,b)內(nèi)f'(x)≤0且f'(x)=0的根為有限個(gè),則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.

(

)(3)函數(shù)的極大值不一定是最大值,極小值也不一定是最小值.

(

)(4)函數(shù)f(x)=x2-2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).

(

)×√√√題型1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟①確定函數(shù)f(x)的定義域;②求導(dǎo)數(shù)f'(x);③解不等式f'(x)>0,函數(shù)在解集與定義域的交集上為增函數(shù);④解不等式f'(x)<0,函數(shù)在解集與定義域的交集上為減函數(shù).(2)含參函數(shù)的單調(diào)性問題含參函數(shù)的單調(diào)性問題主要以兩種形式呈現(xiàn),一是判斷含參函數(shù)的單調(diào)性,二是求含

參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.這兩種形式實(shí)質(zhì)上是一致的,只不過是換了一種說法.解決此類問題時(shí),通常歸結(jié)為求含參不等式的解集問題,而對于含有參數(shù)的不等式,要針對具體情

況進(jìn)行分類討論,但始終要注意定義域及分類討論的標(biāo)準(zhǔn).2.已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍由函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減),可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在該區(qū)間恒成立,

而不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立,“=”不能少.必要時(shí)還需對“=”進(jìn)行檢驗(yàn).例1設(shè)函數(shù)f(x)=alnx+

,其中a為常數(shù).討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

解析

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=

+

=

,當(dāng)a≥0時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)a<0時(shí),令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),①當(dāng)a=-

時(shí),Δ=0,f'(x)=

≤0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,②當(dāng)a<-

時(shí),Δ<0,g(x)<0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,③當(dāng)-

<a<0時(shí),Δ>0,設(shè)x1,x2(x1<x2)是方程ax2+(2a+2)x+a=0的兩根,則x1=

,x2=

,由于x1=

=

>0,所以x∈(0,x1)時(shí),g(x)<0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,x∈(x1,x2)時(shí),g(x)>0,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,x∈(x2,+∞)時(shí),g(x)<0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.綜上可知,當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a≤-

時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)-

<a<0時(shí),f(x)在

0,

,

,+∞

上單調(diào)遞減,在

,

上單調(diào)遞增.即練即清1.(2024屆湖南長沙一中基礎(chǔ)測試,8)若函數(shù)g(x)=lnx+

x2-(b-1)x存在單調(diào)遞減區(qū)間,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

(

)A.[3,+∞)

B.(3,+∞)C.(-∞,3)

D.(-∞,3]B題型2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極(最)值1.解決函數(shù)極值問題的一般思路

2.可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)存在問題可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)f'(x)的變號零點(diǎn)存在問題.3.求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大(小)值的步驟如下:(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值;(2)將函數(shù)f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最

小的一個(gè)是最小值.例2

(2021全國乙理,10,5分)設(shè)a≠0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn),則

(

)A.a<b

B.a>b

C.ab<a2

D.ab>a2

解析

f'(x)=a(x-a)[3x-(a+2b)],令f'(x)=0,得x1=a,x2=

.(i)若a>0,要使函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值,則需f(x)在(-∞,a)上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減,此時(shí)需a<

,得0<a<b,∴a2<ab.(ii)若a<0,要使函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值,則需f(x)在

上單調(diào)遞增,在(a,+∞)上單調(diào)遞減,此時(shí)需滿足a>

,得b<a<0,∴a2<ab.綜上可知,a2<ab,故選D.

答案

D即練即清2.(2022全國甲,文8,理6,5分)當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)=alnx+

取得最大值-2,則f'(2)=

(

)A.-1

B.-

C.

D.1B題型3利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的性質(zhì)對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),求導(dǎo)得f'(x)=3ax2+2bx+c,當(dāng)Δ=4(b2-3ac)>0

時(shí),不妨設(shè)f'(x)=0的兩個(gè)實(shí)根是x1,x2,且x1<x2.一、三次函數(shù)的圖象、單調(diào)區(qū)間及極值

a>0a<0Δ>0Δ≤0Δ>0Δ≤0圖象

單調(diào)區(qū)間增區(qū)間:(-∞,x1)和(x

2,+∞);減區(qū)間:(x1,x2)增區(qū)間:(-∞,+∞)增區(qū)間:(x1,x2);減區(qū)間:(-∞,x1)和(x

2,+∞)減區(qū)間:(-∞,+∞)極值f(x1)為極大值f(x2)為極小值無極值f(x1)為極小值f(x2)為極大值無極值二、三次函數(shù)圖象的對稱性三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖象是中心對稱圖形,且對稱中心為點(diǎn)

,此點(diǎn)的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的橫坐標(biāo).三、一元三次方程的根的情況

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0時(shí))對應(yīng)的方程根的情況:

b2-3ac>0b2-3ac≤0圖象

f(x1)·f(x2)<0

f(x1)·f(x2)=0

f(x1)·f(x2)>0

f(x)=0根的個(gè)數(shù)3211例3

(2021全國乙文,21,12分)已知函數(shù)f(x)=x3-x2+ax+1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)求曲線y=f(x)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=f(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo).

解析

(1)由f(x)=x3-x2+ax+1可得f'(x)=3x2-2x+a,x∈R.對于3x2-2x+a=0,Δ=4-12a.①當(dāng)a≥

時(shí),Δ≤0,即f'(x)≥0在R上恒成立,此時(shí)f(x)在R上單調(diào)遞增.②當(dāng)a<

時(shí),Δ>0,方程3x2-2x+a=0的兩個(gè)根為x1=

,x2=

,故當(dāng)x∈

∪

,+∞

時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈

,

時(shí),f'(x)<0,所以f(x)在

和

上單調(diào)遞增,在

,

上單調(diào)遞減.(2)設(shè)過原點(diǎn)的切線與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)P(x0,y0),則切線的斜率為f'(x0)=3

-2x0+a,故以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線方程為y=(3

-2x0+a)(x-x0)+y0.由y0=

-

+ax0+1,且切線過原點(diǎn),得2

-

-1=0,即(x0-1)(2

+x0+1)=0,解得x0=1,從而得P(1,1+a).所以切線方程為y=(1+a)x,聯(lián)立

消去y得x3-x2-x+1=0,即(x-1)2(x+1)=0,∴x=1或-1,∴公共點(diǎn)為(1,1+a)與(-1,-1-a).即練即清3.(2020課標(biāo)Ⅲ,20,12分)已知函數(shù)f(x)=x3-kx+k2.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有三個(gè)零點(diǎn),求k的取值范圍.解析

(1)f'(x)=3x2-k.當(dāng)k=0時(shí),f(x)=x3,故f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)k<0時(shí),f'(x)=3x2

-k>0,故f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)k>0時(shí),令f'(x)=0,得x=±

.當(dāng)x∈

-∞,-

時(shí),

f'(x)>0;當(dāng)x∈

時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈

時(shí),f'(x)>0.故f(