2021-2022學(xué)年湖北省武漢市九年級上冊數(shù)學(xué)期末調(diào)研試卷（八）含答案

2021-2022學(xué)年湖北省武漢市九年級上冊數(shù)學(xué)期末調(diào)研試卷（八）

一、選一選（每小題3分，共30分）

1.如果一元二次方程2x2+3x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)m的取值為（）

9898

A.m<—B.m>—C.m=-D.m=—

8989

【答案】c

【解析】

【詳解】試題解析：：一元二次方程2x2+3x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

.,.△=32-4x2m=9-8m=0,

解得：m=—.

8

故選C.

2.如圖所示，該幾何體的左視圖是（）

當(dāng)

念面看

A~1B1

C口D.㈢

【答案】D

【解析】

【詳解】解：在三視圖中，實(shí)際存在而被遮擋的線用虛線表示,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查簡單組合體的三視圖.

3.如圖，一個(gè)斜坡長130加，坡頂離水平地面的距離為50加，那么這個(gè)斜坡與水平地面夾角

的正切值等于（）

50M

512513

A.—B.—C.—D.—

13131212

【答案】C

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【解析】

【分析】如圖(見解析)，先利用勾股定理求出AC的長，再根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得.

【詳解】如圖，由題意得：Z5=130m,BC=50〃?,NC=90°,NZ是斜坡與水平地面的夾角,

由勾股定理得：AC7AB?-BC?=120萬，

則tan/=^=日/

AC12012

即這個(gè)斜坡與水平地面夾角的正切值等于2,

12

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正切，熟練掌握正切三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

4.函數(shù)弘=4x2+6,%=——(必<0)的圖象在下列四個(gè)示意圖中，可能正確的是()

X

【答案】C

【解析】

【詳解】試題解析：A、函數(shù)y2=——(ab<0)可知，ab>0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

x

B、函數(shù)y2=—(ab<0)可知，ab>0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

x

ab

C、由拋物線可知，a>0,b<0,由直線可知，函數(shù)yi=ax2+b,y=——(ab<0)的圖象可知ab

2X

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<0,故本選項(xiàng)正確；

D、由拋物線可知，a<0,b<0,則ab>0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選C.

5.二次函數(shù)y=or?+hx+c圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)滿足下表:

X-3-2-111

y-3-2-3-6-11

則該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(—3,—3)B.(-2,-2)C.(-1,-3)D,(0,-6)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性解答即可.

【詳解】解：Vx=-3,x=-l時(shí)的函數(shù)值都是-3,相等，

函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=-2,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-2).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，點(diǎn)C(4,0),。(0,3),。(0,0),在。Z上，8。是QZ的一條弦，則sin/O8O=().

【答案】D

【解析】

【分析】連接C。，由圓周角定理可得出NO8O=NOCQ,根據(jù)點(diǎn)0(0,3),C(4,0),得0。=3,

。。=4,由勾股定理得出CZ>5,再在直角三角形。8中利用三角函數(shù)即可求出答案.

【詳解】解：連接CD,

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：.OD=3,0C=4,

ZCOD=90°,

???CD=yJOD2+OC2=V32+42=5，

*：/OBD=/OCD,

OD3

sinZO8O=sinZOCD=----=—，

DC5

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理、以及銳角三角函數(shù)的定義；熟練掌握圓周角定理

是解決問題的關(guān)鍵.

7.若半徑為5c機(jī)的一段弧長等于半徑為2cm的圓的周長，則這段弧所對的圓心角為（）

A.18°B.36°C.72°D.144°

【答案】D

【解析】

【詳解】設(shè)圓心角是由題意得，2TTR=G;

27tx2=5。

解得“=144°.選D.

8.如圖，已知頂點(diǎn)為（-3,-6）的拋物線尸ax2+bx+c點(diǎn)（-1,-4）,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的

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B.ax2+bx+c>-6

C.若點(diǎn)（-2,m）,（-5,n）在拋物線上，則m>n

D.關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的兩根為-5和-1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系進(jìn)行判斷.

【詳解】A、圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)沒有相等的實(shí)數(shù)根，b2-4ac>0

所以b?>4ac,故A選項(xiàng)正確；

B、拋物線的開口向上，函數(shù)有最小值，因?yàn)閽佄锞€的最小值為-6,所以ax2+bx+cZ-6,故B

選項(xiàng)正確；

C、拋物線的對稱軸為直線x=-3,因?yàn)?5離對稱軸的距離大于-2離對稱軸的距離，所以m

<n,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、根據(jù)拋物線的對稱性可知，（-1,-4）關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為（-5,-4）,所以關(guān)于x

的一元二次方程ax2+bx+c=-4的兩根為-5和-1,故D選項(xiàng)正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟練運(yùn)用

數(shù)形是解題的關(guān)鍵.

9.將進(jìn)貨單價(jià)為70元的某種商品按零售價(jià)100元/個(gè)售出時(shí)每天能賣出20個(gè)，若這種商品的零

售價(jià)在一定范圍內(nèi)每降價(jià)1元，其日量就增加1個(gè)，為了獲得利潤，則應(yīng)降價(jià)（）

A.5元B.10元C.15元D.20元

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)應(yīng)降價(jià)x元，表示出利潤的關(guān)系式為（20+x）（lOO-x-70）=-x2+10x+600,根據(jù)二次

函數(shù)的最值問題求得利潤時(shí)x的值即可.

【詳解】解：設(shè)應(yīng)降價(jià)x元，

則Q0+x）（100-x-70）=-N+10x+600=-（x-5）2+625,

V-1<0

.?.當(dāng)x=5元時(shí)，二次函數(shù)有值.

...為了獲得利潤，則應(yīng)降價(jià)5元.

故選A.

【點(diǎn)睛】應(yīng)識記有關(guān)利潤的公式：利潤=價(jià)-成本價(jià).找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列

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出方程是解決問題的關(guān)鍵.

10.如圖，將函數(shù)夕=/(X-2)2+1的圖象沿夕軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象，其中點(diǎn)/

(I,加)，B(4,?)平移后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)⑷、B'.若曲線段Z3掃過的面積為9(圖中的陰

影部分)，則新圖象的函數(shù)表達(dá)式是()

A.y=^(x-2)2-2B.y=\(x-2)2+7

C.y=y(x-2)2-5D.y=^(x-2)2+4

【答案】D

【解析】

【分析】連接48、A'B'，過/作，交"8的延長線于點(diǎn)C,由平移的性質(zhì)得四邊形ABB'A'

的面積等于陰影部分的面積，由此關(guān)系可確定平移的距離，則可求得平移后拋物線的解析式.

【詳解】?.,函數(shù)y=；(x-2『+1的圖象過點(diǎn)X(I,加)，B(4,”)，

1O1

—(1-2)+1=—,n=—(4—2)+1=3,

3

：.A(1,-),B(4,3),

2

3

如圖，連接4B、過/作/?！üぽS，交夕8的延長線于點(diǎn)C,則C(4,一)，且四邊形Z58N'

2

是平行四邊形，

.'.AC=4-1=3?

?.?曲線段N8掃過的面積為9(圖中的陰影部分)，

二陰影部分的面積等于平行四邊形ABB'A'的面積，

：.AC-AA'=3AA'=9,

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力?=3,即將函數(shù)尸g（x-2『+l的圖象沿y軸向上平移3個(gè)單位長度得到一條新函數(shù)的圖象,

...新圖象的函數(shù)表達(dá)式是y=；（x—27+4.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，關(guān)鍵是確定平移的距離，難點(diǎn)是通過割補(bǔ)把沒有規(guī)則圖形面

積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積.

二、填空題（每題3分，共15分）

OF3FG

11.如圖，四邊形/8C0與四邊形EFG”相似，位似點(diǎn)是0,——=一,則一=

OA5BC

【解析】

【分析】

【詳解】解：如圖所示：

,四邊形ABCD與四邊形EFGH位似,

.,.△OEF^AOAB,AOFG^AOBC,

.OEOF3

"04-05-5'

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?FGOF_3

**BC~05-5,

故答案為13

4

12.雙曲線必、歹2在象限的圖像如圖，,=一，過必上的任意一點(diǎn)A,作％軸的平行線交%于

x

B,交y軸于c,若s^o8=i，則歹2的解析式是一

【解析】

4

【分析】根據(jù)"=—,過"上的任意一點(diǎn)4得出△的面積為2,進(jìn)而得出ACB。面積為3,即

x

可得出外的解析式.

4

【詳解】解：,??以=-,過刈上的任意一點(diǎn)兒作x軸的平行線交/于慶交y軸于C,

x

,1

??SAAOCC=-X4=2,

2

*1SA/O尸］,

：./\CBO面積為3,

:.k=xy=6,

/2

工及的解析式是：及=一.

x

故答案為：y2~—?

x

13.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于00,ZDAB=120°,連接0C,點(diǎn)P是半徑0C上任意一點(diǎn)，連接

DP,BP,貝U/BPD可能為度（寫出一個(gè)即可）.

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【解析】

連接OQ、0B,

"：ZDAB=\20°,

：.NDCB=60。,

：.ZDOB=\20°,

：.60°<ZBPD<\20°,

可能為80。.

故答案為80.

點(diǎn)睛：圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ).

14.如圖，平行四邊形ABCD中，AE_LBC于E,AF_LCD于F,若AE=6,AF=4,cosZEAF=-,

3

【答案】哈

【解析】

【詳解】試題解析：AFrDC,

：.NAFE=ZAEB=90°

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又<AB〃DC,

：.ZFAB=ZFAE+ZEAB=90°.

又,:ZEAB+ZS=90°,

；?NB=NFAE.

cosZ.EAF=-,

3

p/clDF1

又???/B=ND,所以cosND=-,——=-.

3AD3

由題，AF=4,AE=6,

則根據(jù)勾股定理，易彳導(dǎo)DF=6>/8=」='3=逑，

V22

=CF=￡>C-Z)F=/i5-Z)F=--V2=—.

22

所以本題的正確答案為逆.

2

點(diǎn)睛：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角函數(shù)和勾股定理等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵在于將已知角

的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)換到直角三角形中去，如果沒有合適的直角三角形，也可作輔助線去構(gòu)造一個(gè)

來求解.

15.小明家的，洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭(如圖1),完全開啟后，水流路線呈拋物線，把

手端點(diǎn)A,出水口B和落水點(diǎn)C恰好在同一直線上，點(diǎn)A至出水管BD的距離為12cm,洗手

盆及水龍頭的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2所示，現(xiàn)用高10.2cm的圓柱型水杯去接水，若水流所在拋物線點(diǎn)

D和杯子上底面E,則點(diǎn)E到洗手盆內(nèi)側(cè)的距離EH為cm.

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單位tcm

圖1

【答案】24-80.

【解析】

【詳解】試題解析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，過4作ZGJ_OC于G,交2。于。，過M作

MPUG于P,由題可得，40=12,PQ=MD=6,故/P=6,AG=36,MP=8,故

人一，口人"BQAQ412

DQ=S=OG,.",52=12-8=4,由BO〃CG可得，/\ABQ^/\ACG,A,即Hn一=一，

CGAGCG36

：.CG=\2,0C=12+8=20,：.C(20,0),又：水流所在拋物線點(diǎn)。(0,24)和8(12,24),

可設(shè)拋物線為y=磔2+區(qū)+24,把C(20,0),B(12,24)代入拋物線，可得:

'24=144^+126+24”一茄39

i解得.>.??拋物線為y=—3X2+'X+24,又：點(diǎn)、E

0=400〃+20/?+24',9205

'o=—

5

39

的縱坐標(biāo)為10.2,...令產(chǎn)10.2,則10.2=-茄x2+《x+24,解得XI=6+8JI，X2=6—8&(舍

去)，.?.點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為6+8J5,又...E，=30-(6+872)=24-872.故答案

為24-80?

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點(diǎn)睛：本題以水龍頭接水為載體，考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及相似三角形的應(yīng)用，在運(yùn)用數(shù)學(xué)

知識解決問題過程中，關(guān)注核心內(nèi)容，經(jīng)歷測量、運(yùn)算、建模等數(shù)學(xué)實(shí)踐為主線的問題探究過

程，突出考查數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和解決問題的能力，蘊(yùn)含數(shù)學(xué)建模，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，利用數(shù)

學(xué)方法解決實(shí)際問題.

三、解答題（共75分）

16.按要求完成下列各題：

（1）解方程x2-6x-4=0（用配方法）

（2）計(jì)算：tan2600-2cos60°-72sin45°

【答案】（1）X1=JFJ,X2=-JTJ；（2）原式=1.

【解析】

【詳解】試題分析：（1）按配方法的一般步驟，求方程的解即可；

（2）把函數(shù)值直接代入，求出結(jié)果

試題解析：（1）移項(xiàng)，得X?-6x=4,

配方,得方-6x+9=13

即（x-3）2=13

兩邊開平方，得x-3=±Ji5

所以x=3土而’

即X1=V13，X2=-y/\3

⑵原式=（V3）2-2xy-亞X也

22

=3-1-1

=1

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17.為了傳承祖國的傳統(tǒng)文化，某校組織了“詩詞大會”，小明和小麗同時(shí)參加，其中，有一道

必答題是:從如圖所示的九宮格中選取七個(gè)字組成一句唐詩，其答案為“山重水復(fù)疑無路

(1)小明回答該問題時(shí)，僅對第二個(gè)字是選“重”還是選“窮”難以抉擇，隨機(jī)選擇其中一個(gè)，則

小明回答正確的概率是；

(2)小麗回答該問題時(shí)，對第二個(gè)字是選“重”還是選“窮”、第四個(gè)字是選“富”還是選“復(fù)”都難

以抉擇，若分別隨機(jī)選擇，請用列表或畫樹狀圖的方法求小麗回答正確的概率.

九宮格

水重富

山疑路

無復(fù)窮

【答案】(1)(2)工

【解析】

【詳解】試題分析：(1)利用概率公式直接計(jì)算即可；

(2)畫出樹狀圖得到所有可能的結(jié)果，再找到回答正確的數(shù)目即可求出小麗回答正確的概率.

試題解析：

(1);對第二個(gè)字是選"重"還是選"窮"難以抉擇，，若隨機(jī)選擇其中一個(gè)正確的概率=」，故

2

答案為工；

2

(2)畫樹形圖得：

開始

富復(fù)富復(fù)

由樹狀圖可知共有4種可能結(jié)果，其中正確的有1種，所以小麗回答正確的概率=：.

考點(diǎn)：列表法與樹狀圖法；概率公式.

m

18.已知A(-4,2)、B(n,-4)兩點(diǎn)是函數(shù)產(chǎn)kx+b和反比例函數(shù)y=—圖象的兩個(gè)交點(diǎn).

x

(1)求函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

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(2)求AAOB的面積;

m

(3)觀察圖象，直接寫出沒有等式kx+b-—>0的解集.

x

Q

【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為y=--，函數(shù)的解析式為y=-x-2；⑵6；(3)x<-4或

x

0<x<2.

【解析】

【詳解】試題分析：(1)先把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可得到m=-8,再把點(diǎn)B

的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可求出n=2,然后利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式；

(2)先求出直線y=-x-2與x軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用SAAOB=SAAOC+SABOC進(jìn)行計(jì)算；

(3)觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x<-4或0<x<2時(shí)，函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方，據(jù)此可

得沒有等式的解集.

o

試題解析：(1)把A(-4,2)代入y=竺m，得m=2x(-4)=-8,所以反比例函數(shù)解析式為y=,

xx

Q

把B(n,-4)代入y=-一，得-4n=-8,解得n=2,把A(-4,2)和B(2,-4)代入y=kx+b,

x

HJt+*=2

得：,■，解得:c，所以函數(shù)的解析式為；

2k+b=-4\b=-2y=-x-2

(2)y=-x-2中，令y=0,則x=-2,即直線y=-x-2與x軸交于點(diǎn)C(-2,0),

??S△AOB=SAAOC?"S△BOC=x2x2+—x2x4=6；

22

(3)由圖可得，沒有等式辰+6—二>0的解集為：x<-4或0<x<2.

X

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考點(diǎn)：反比例函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問題；待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

19.如圖，為半圓。的直徑，/C是。。的一條弦，。為前的中點(diǎn)，作。E_L4C,交X8的

延長線于點(diǎn)尸，連接。4

（1）求證：E尸為半圓。的切線；

（2）若DA=DF=65求陰影區(qū)域的面積.（結(jié)果保留根號和先）

【解析】

【分析】（1）直接利用切線的判定方法圓心角定理分析得出OO_LE尸，即可得出答案;

（2）直接利用條件得出山CO=SACW，再利用“彩=品花。71?8。求出答案.

【詳解】（1）證明：連接OO,

1?。為弧8c的中點(diǎn)，

:.NCAD=NBAD,

；OA=OD,

:.NBAD=NADO,

：.ZCAD=ZADO,

"DELAC,

/.NE=90。，

ZCAD+ZEDA=90°,即ZADO+ZEDA=90°,

：.ODVEF,

.?.EF為半圓。的切線；

（2）解：連接OC與CO,

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?；DA=DF,

:?/BAD=/F,

：?NBAD=NF=NCAD,

又V/BAD+/CAD+ZF=90°,

AZF=30°,ZBAC=60%

?：OC=OA,

為等邊三角形，

AZAOC=60°fNCO8=120。，

???ODLEF,ZF=30°,

：.ZDOF=60°,

在RtAODF中,DF=6也，

，00=0/Fan3()o=6,

在心△4EO中，DA=6y/3,NC4D=30。,

：.DE=DAsin300=3y/3,E4=O/?cos300=9,

VZCOD=ISO°-ZAOC-ZDOF=60°,

由CO=DO,

：./\COD是等邊三角形，

；?NOCD=60。,

：.ZDCO=ZAOC=60°f

工CD〃AB,

故SAACD=SXCOD，

【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的判定，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形

及扇形面積求法等知識，得出SA〃Y)=S?a)是解題關(guān)鍵.

20.汾河孕育著世代的龍城子孫，而魅力汾河兩岸那“新外灘”的稱號，將太原人對汾河的愛表

露無遺…貫穿太原的汾河，讓橋，也成為太原的文化符號，讓汾河兩岸，也成為繁華的必爭之

地！北中環(huán)橋是世界上首座對稱五拱稱五跨非對稱斜拉索橋，2013年開工建設(shè)，當(dāng)年實(shí)現(xiàn)全線

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竣工通車.這座橋造型現(xiàn)代，宛如一條騰飛巨龍.

小蕓和小剛分別在橋面上的A,B處，準(zhǔn)備測量其中一座弧形鋼架拱梁頂部C處到橋面的距離

AB=20m,小蕓在A處測得NCAB=36。，小剛在B處測得NCBA=43。，求弧形鋼架拱梁頂部C

處到橋面的距離.(結(jié)果到0.1m)(參考數(shù)據(jù)sin36°~0.59,cos36°~0.81,tan36°~0.73,sin到30.68,

cos43°~0.73,tan430~0.93)

【答案】拱梁頂部C處到橋面的距離8.2m.

【解析】

【詳解】試題分析：過點(diǎn)C作CDJ_AB于D.設(shè)CD=x,在RSADC中，可得AD=---------

tan36°

YXY

在R3BCD中，BD=---------,可得-----+----=20,解方程即可解決問題.

3?43。0.930.73

試題解析：過點(diǎn)C作CDJ_AB于D.設(shè)CD=x,

*4CD

在RtAADC中，tan360=-----,

AD

x

AAD=

tan36°

*?CD

在RtABCD中，tanZB=-----,

BD

x

BD=---------

tan43°

--------1--------=20

0.930.73

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解得x=8.179=8.2m.

答：拱梁頂部C處到橋面的距離8.2m.

21.隨著地鐵和共享單車的發(fā)展，“地鐵+單車”已成為很多市民出行的選擇.李華從文化宮站

出發(fā)，先乘坐地鐵，準(zhǔn)備在離家較近的A,B,C,D,E中的某一站出地鐵，再騎共享單車回

家.設(shè)他出地鐵的站點(diǎn)與文化宮站的距離為單位：km),乘坐地鐵的時(shí)間必(單位：min)是關(guān)

于x的函數(shù)，其關(guān)系如下表:

地鐵站ABCDE

x/km79111213

y/min1620242628

(I)求必關(guān)于x的函數(shù)解析式;

(2)李華騎單車的時(shí)間%(單位：min)也受x的影響，其關(guān)系可以用為=；x2_1ix+78來描述.求

李華應(yīng)選擇在哪一站出地鐵，才能使他從文化宮站回到家所需的時(shí)間最短，并求出最短時(shí)間.

【答案】(1)a=2x+2；(2)李華應(yīng)選擇在出地鐵，才能使他從文化宮站回到家所需的時(shí)間最短,

最短時(shí)間為39.5min

【解析】

【分析】(1)將(7,16),(9,20)代入函數(shù)解析式，便可求解.

(2)回到家所需的時(shí)間為y,貝!l產(chǎn)”i+次,產(chǎn)=gx2-9x+80配方便可解決.

【詳解】解：(1)設(shè)外關(guān)于x的函數(shù)解析式為將(7,16),(9,20)代入，

lk+b=16[k=2

得k,“解得c二八關(guān)于x的函數(shù)解析式為a=2x+2.

9k+b=20b=2-

(2)設(shè)李華從文化宮站回到家所需的時(shí)間為ymin,y=y\+y2

則?i+y2=2x+2+3x2-llx+78=g/-9x+80=*(x-9)2+39.5.

當(dāng)x=9時(shí)，y取得最小值，最小值為39.5.

所以李華應(yīng)選擇在出地鐵，才能使他從文化宮站回到家所需的時(shí)間最短，最短時(shí)間為39.5min.

【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)求函數(shù)表達(dá)式，代入點(diǎn)便可求出，配方法的解決最值問題常用

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的方法，掌握即可.

22.【探索發(fā)現(xiàn)】

如圖①，是一張直角三角形紙片，NB=90。，小明想從中剪出一個(gè)以NB為內(nèi)角且面積的矩形,

多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線DE、EF剪下時(shí)，所得的矩形的面積，隨后，他通過證明驗(yàn)證了

其正確性，并得出：矩形的面積與原三角形面積的比值為.

如圖②，在aABC中，BC=a,BC邊上的高AD=h,矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在邊AB、

AC上，頂點(diǎn)Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的值為.（用含a,h的代數(shù)式表示）

【靈活應(yīng)用】

如圖③，有一塊“缺角矩形"ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明從中剪出了一個(gè)

面積的矩形（NB為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積.

【實(shí)際應(yīng)用】

如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD,經(jīng)測量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且

4

ta=tanC=-,木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點(diǎn)M、N在邊BC上且面積的矩形PQMN,求

3

該矩形的面積.

【答案】【探索發(fā)現(xiàn)】；；【拓展應(yīng)用】竺；【靈活應(yīng)用】該矩形的面積為720；【實(shí)際應(yīng)用】

24

該矩形的面積為1944cm2.

【解析】

S矩形FEDB_EF?DE

【分析】【探索發(fā)現(xiàn)】由中位線知EF=：BC、ED=；AB、由S/一1,D二可得;

22AABC—AB?BC

2

PNAEAO

【拓展應(yīng)用】由△APNs/iABC知一=—，可得PN=a-*PQ,設(shè)PQ=x,由S審形

BCADAP

PQMN=PQ?PN=-―—（X--）2+—，據(jù)此可得;

AP24

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【靈活應(yīng)用】添加如圖1輔助線，取BF中點(diǎn)I,FG的中點(diǎn)K,由矩形性質(zhì)知AE=EH=20、

CD=DH=16,分另ij證AAEF絲ZXHED、ACDG^AHDEWAF=DH=16,CG=HE=20,從而判斷

出中位線IK的兩端點(diǎn)在線段AB和DE上，利用【探索發(fā)現(xiàn)】結(jié)論解答即可；

【實(shí)際應(yīng)用】延長BA、CD交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EHLBC于點(diǎn)H,由ta=tanC知EB=EC、BH=CH=54,

4

EH=-BH=72,繼而求得BE=CE=90,可判斷中位線PQ的兩端點(diǎn)在線段AB、CD±,利用【拓

3

展應(yīng)用】結(jié)論解答可得.

【詳解】【探索發(fā)現(xiàn)】

VEF.ED為AABC中位線，

；.ED〃AB,EF〃BC,EF=yBC,ED=yAB,

又NB=90。，

四邊形FEDB是矩形，

矩彩

mi|SFEDB=EF-DE\_

川S112,

?血AB'BCAB'BC2

22

【拓展應(yīng)用】

：PN〃BC,

AAAPN^AABC,

.PNAE,PNh-PQ

??---=----，Bn|rJ------=----------,

BCADah

.*.PN=a-—PQ,

AP

設(shè)PQ=x,

,4。、/。，AQhah

貝nUlSn“ppQMN=PQ?PN=x(a------x)=-------x2+ax=-------(x-—)2H，

APAPAP24

，當(dāng)PQ=不時(shí)，S些修PQMN值為"'；

24

【靈活應(yīng)用】

如圖1,延長BA、DE交于點(diǎn)F,延長BC,ED交于點(diǎn)G,延長AE、CD交于點(diǎn)H,取BF中

點(diǎn)I,FG的中點(diǎn)K,

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F

由題意知四邊形ABCH是矩形，

VAB=32,BC=40,AE=20,CD=16,

AEH=20,DH=16,

AAE=EH,CD=DH,

在AAEF和AHED中，

ZFAE=ZDHE

???IAE=AH,

ZAEF=ZHED

AAAEF^AHED(ASA),

/.AF=DH=16,

同理△CDGgZXHDE,

??.CG=HE=20,

AB+AF

???BI==24,

-2-

VBI=24<32,

???中位線IK的兩端點(diǎn)在線段AB和DE上，

過點(diǎn)K作KL_LBC于點(diǎn)L,

由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的面積為^BG—BF^x(40+20)xl(32+16)=720,

答：該矩形的面積為720；

【實(shí)際應(yīng)用】

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圖2

如圖2,延長BA、CD交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EH_LBC于點(diǎn)H,

4

Vta=tanC=—,

3

AZB=ZC,

AEB=EC,

VBC=108cm,且EH_LBC,

ABH=CH=yBC=54cm,

EH4

*/ta=-----=—,

BH3

44

???EH=-BH=-x54=72cm,

33

在RtABHE中,BE=1EH?+BH?=90cm,

VAB=50cm,

I.AE=40cm,

ABE的中點(diǎn)Q在線段AB上，

VCD=60cm,

ED=30cm,

ACE的中點(diǎn)P在線段CD上，

???中位線PQ的兩端點(diǎn)在線段AB、CD±,

由【拓展應(yīng)用】知，矩形PQMN的面積為:BC?EH=1944cm2,

答：該矩形的面積為1944cm2.

23.如圖，拋物線y=ax2+bx+3點(diǎn)B(-1,0),C(2,3),拋物線與y軸的焦點(diǎn)A,與x軸的

另一個(gè)焦點(diǎn)為D,點(diǎn)M為線段AD上的一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

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(2)過點(diǎn)M作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)線段PM的長為1,當(dāng)t為何值時(shí)，1的長,

并求值；(先根據(jù)題目畫圖，再計(jì)算)

(3)在(2)的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，4PAD的面積？并求值；

(4)在(2)的條件下，是否存在點(diǎn)P,使4PAD為直角三角形？若存在，直接寫